Éducation Nationale Française · Terminale Complémentaire

Suites et modèles discrets

⌚ ~274 min ▢ 32 blocs ✓ 135 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Suites numériques, Python : fonctions

I Définition et représentation graphique d'une suite

I.1 Suites définies par une formule explicite

Définition — Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Compétences à pratiquer

Utiliser une formule explicite

I.2 Suites définies par récurrence

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Compétences à pratiquer

Utiliser une relation de récurrence

I.3 Suites croissantes et décroissantes

Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Compétences à pratiquer

Lire le sens de variation sur un graphique

I.4 Étudier le sens de variation d'une suite

Méthode — Étude du signe de $u_{n+1}-u_n$

Pour étudier le sens de variation d'une suite $(u_n)$, on peut déterminer le signe de la différence entre deux termes consécutifs :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \ge 0}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{u_{n+1}-u_n \le 0}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2n - 3$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.$$\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \bigl[2(n+1)-3\bigr]-\bigl[2n-3\bigr]\\ &= 2n+2-3-2n+3\\ &= 2.\end{aligned}$$ Comme $2>0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Méthode — Comparaison entre $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $1$

Pour une suite à termes strictement positifs ($u_n>0$) :

Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1}$, alors la suite est croissante à partir du rang $n_0$.
Si pour tout $n\geq n_0$, $\textcolor{colorprop}{\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1}$, alors la suite est décroissante à partir du rang $n_0$.

Exemple

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$.

Correction

Soit $n \in \mathbb{N}$.
Tous les termes sont positifs ($2^n>0$).$$\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n}&= \frac{2^{n+1}}{2^n}\\ &= 2^{n+1-n}\\ &= 2.\end{aligned}$$ Comme $2>1$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Compétences à pratiquer

Étudier le signe de la différence
Comparer le quotient à 1

I.5 Représentation graphique d'une suite récurrente

Lorsqu'une suite est définie par une relation $u_{n+1} = f(u_n)$, ses termes se lisent sur un graphique sans être calculés : la courbe de la fonction $f$ donne $u_{n+1}$ à partir de $u_n$, et la droite d'équation $y = x$ ramène chaque valeur sur l'axe des abscisses pour que l'étape suivante puisse commencer. Le dessin obtenu — un escalier ou une spirale — permet de conjecturer le comportement de la suite : son sens de variation et sa limite. La fonction doit envoyer l'intervalle d'étude dans lui-même, pour que chaque terme reste là où la courbe est tracée.

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Méthode — Le tracé en escalier ou en toile d'araignée

Pour représenter les premiers termes de $(u_n)$, définie par $u_0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, sur l'axe des abscisses :

Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$, dans le même repère.
Placer $u_0$ sur l'axe des abscisses.
Monter (ou descendre) verticalement depuis $u_0$ jusqu'à la courbe $\mathcal{C}_f$ : le point atteint a pour ordonnée $f(u_0) = u_1$.
Rejoindre horizontalement la droite $\Delta$ : le point atteint a pour abscisse $u_1$ — la valeur a été reportée sur l'axe des abscisses.
Recommencer les étapes 3 et 4 depuis $u_1$ pour obtenir $u_2$, puis $u_3$, et ainsi de suite.

Quand la courbe est au-dessus de $\Delta$, les termes augmentent ; quand elle est en dessous, ils diminuent ; quand la courbe traverse $\Delta$ en descendant, les termes voisins du point de croisement alternent de part et d'autre de celui-ci, et le tracé s'enroule en spirale.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. La fonction $f : x \mapsto 0{,}5x + 3$ envoie l'intervalle $[0\,;\,6]$ dans lui-même. Représenter $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ sur l'axe des abscisses et conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.

Correction

La courbe est au-dessus de la droite $y = x$ sur $[0\,;\,6[$ : depuis $u_0 = 0$ l'escalier monte, $u_1 = 3$, $u_2 = 4{,}5$, $u_3 = 5{,}25$, et les marches raccourcissent en approchant du point de croisement de la courbe et de la droite, dont l'abscisse vérifie $0{,}5x + 3 = x$, soit $x = 6$. Conjecture : $(u_n)$ est croissante et converge vers $6$. Le dessin suggère ; il ne démontre pas.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x + 2}$ envoie $[0\,;\,2]$ dans lui-même. Représenter les premiers termes et conjecturer le comportement de $(u_n)$.

Correction

$u_1 = \sqrt{2} \approx 1{,}41$, $u_2 = \sqrt{u_1 + 2} \approx 1{,}85$, $u_3 \approx 1{,}96$ : l'escalier monte vers le point où $\sqrt{x + 2} = x$, c'est-à-dire $x = 2$ (seule solution avec $x \geqslant 0$, puisque $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$). Conjecture : $(u_n)$ est croissante et converge vers $2$.

Lire un tracé : une conjecture, pas une preuve

Le tracé dit trois choses, et chacune est une conjecture à confirmer par un calcul ou un théorème :

un escalier qui avance toujours dans le même sens suggère une suite monotone — croissante quand la courbe est au-dessus de la droite, décroissante quand elle est en dessous ;
une spirale qui s'enroule autour d'un point de croisement suggère une suite non monotone, dont les termes alternent de part et d'autre d'une limite ;
des marches qui rétrécissent vers un point de croisement de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$ suggèrent la convergence vers l'abscisse $\ell$ de ce point, qui vérifie $f(\ell) = \ell$ ; des marches qui grandissent suggèrent la divergence.

Calculer quelques termes de plus — sur papier ou en Python — renforce une conjecture lue sur un tracé mais ne la démontre pas. Dans ce chapitre, le cas linéaire $u_{n+1} = a\,u_n + b$ est tranché par la forme explicite trouvée à la section sur les suites arithmético-géométriques.

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Compétences à pratiquer

Lire un tracé en escalier
Construire le tracé et conjecturer
Calculer les termes d'une suite récurrente en Python

II Limite d'une suite

II.1 Approche intuitive de la limite

Une fois le sens de variation connu, une seconde question se pose : que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand — mille, un million, et au-delà ? Deviennent-ils de plus en plus grands, se rapprochent-ils d'un nombre fixe, ou continuent-ils d'osciller ? C'est la question de la limite d'une suite.

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Définition — Limite d'une suite

Soit $(u_n)$ une suite.

$(u_n)$ a pour limite $+\infty$ (quand $n$ tend vers $+\infty$) si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$(u_n)$ a pour limite $-\infty$ si les termes $u_n$ deviennent aussi grands que l'on veut dans les négatifs, pourvu que $n$ soit assez grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
$(u_n)$ a pour limite un réel $\ell$ si les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $\ell$ que l'on veut, pourvu que $n$ soit assez grand : on dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$, et on note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$.

Une suite qui ne converge pas (limite infinie, ou pas de limite du tout) est dite divergente. Une suite peut en effet n'avoir aucune limite : par exemple $u_n = (-1)^n$ alterne indéfiniment entre $1$ et $-1$.

Exemple

Conjecturer la limite éventuelle de chaque suite définie pour $n \geq 1$ : $$u_n = \frac{1}{n} \qquad v_n = n^2 \qquad w_n = (-1)^n \qquad t_n = 0{,}5^n$$

Correction

On calcule quelques termes pour de grandes valeurs de $n$ :

$n$	$1$	$10$	$101$	$1000$
$u_n = 1/n$	$1$	$0{,}1$	$\approx 0{,}0099$	$0{,}001$
$v_n = n^2$	$1$	$100$	$10\,201$	$1\,000\,000$
$w_n = (-1)^n$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$t_n = 0{,}5^n$	$0{,}5$	$\approx 0{,}001$	$\approx 4 \times 10^{-31}$	$\approx 0$

Les termes $u_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : on conjecture $\lim u_n = 0$.
Les termes $v_n$ deviennent aussi grands que l'on veut : $\lim v_n = +\infty$.
$w_n$ prend alternativement les valeurs $-1$ et $1$ ($w_{101} = -1$) : pas de limite.
Les termes $t_n$ deviennent aussi proches de $0$ que l'on veut : $\lim t_n = 0$.

Compétences à pratiquer

Conjecturer la limite d'une suite

II.2 Limite infinie et seuil

Exemple

Les suites $(n)$, $(n^2)$, $(\sqrt{n})$ et $(n^3)$ ont pour limite $+\infty$.

Exemple

Les suites $(-2n)$, $(-n^2)$ et $(-5\sqrt{n})$ ont pour limite $-\infty$.

Méthode — Déterminer un seuil

Lorsque $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$, la définition dit que pour tout réel $A$ les termes dépassent $A$ à partir d'un certain rang. Pour une suite croissante, le seuil pour $A$ est le plus petit rang $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$ : à partir de ce rang, tous les termes dépassent $A$. Deux techniques.

Par une inéquation (formule explicite) : résoudre l'inéquation $u_n > A$ d'inconnue l'entier $n$. Lorsque la suite est croissante, la première solution entière est le seuil.
En parcourant les termes (suite quelconque, typiquement définie par récurrence) : calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, … jusqu'à dépasser $A$, avec un tableau de valeurs à la calculatrice ou une boucle while en Python. Pour $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 1{,}5\,u_n$ :
```
def threshold(A):
    n = 0
    u = 2              # u_0
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = 1.5 * u    # u_n
    return n
```
La boucle s'arrête : comme $u_n \to +\infty$, la définition garantit qu'un terme dépasse $A$. Elle renvoie le premier rang $n$ tel que $u_n > A$, qui est le seuil lorsque la suite est croissante. Pour une suite qui n'est pas croissante, ce premier rang n'est pas nécessairement un rang à partir duquel tous les termes dépassent $A$.

Exemple

Soit $u_n = n^2 - 3$ pour tout entier naturel $n$. Déterminer le seuil pour $A = 1000$.

Correction

La suite est croissante, car $u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0$.

Par une inéquation. $$\begin{aligned} u_n > 1000 &\iff n^2 - 3 > 1000 \\ &\iff n^2 > 1003. && \text{(on ajoute 3)} \end{aligned}$$ Comme $31^2 = 961 < 1003$ et $32^2 = 1024 > 1003$, la première solution entière est $n = 32$ : le seuil est $n_0 = 32$.
Par une boucle. La fonction de la méthode est adaptée à la suite : la valeur initiale devient $u_0 = -3$ et la mise à jour devient $u_n = n^2 - 3$.
```
def threshold(A):
    n = 0
    u = -3               # u_0
    while u <= A:
        n = n + 1
        u = n * n - 3    # u_n
    return n
```
threshold(1000) renvoie 32.

Compétences à pratiquer

Déterminer un seuil par une inéquation
Déterminer un seuil en Python

II.3 Limite finie et convergence

Rang d'approximation

Lorsque $(u_n)$ converge vers $\ell$, la définition fournit, pour tout $\varepsilon > 0$, un rang à partir duquel $|u_n - \ell| < \varepsilon$. Pour déterminer un tel rang, les deux techniques du seuil (méthode « Déterminer un seuil ») s'appliquent à l'inéquation $|u_n - \ell| < \varepsilon$ : la résoudre, ou parcourir les termes avec la boucle while abs(u - l) >= eps.
Attention : la boucle renvoie le premier rang où l'inégalité est vérifiée. Lorsque $|u_n - \ell|$ décroît (par exemple $|u_n - \ell| = \frac1n$), ce premier rang est un rang à partir duquel l'inégalité reste vraie ; sinon, cela doit être vérifié à part.

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Exemple

La suite définie par $u_n = (-1)^n$ n'admet aucune limite. Elle alterne entre $-1$ et $1$ sans se rapprocher d'une valeur fixe. C'est donc une suite divergente.

Compétences à pratiquer

Déterminer un rang d'approximation

II.4 Opérations sur les limites

Proposition — Somme et produit

Soient $\ell$ et $\ell'$ deux nombres réels.

Somme

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)$	$\ell+\ell'$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI	FI

Produit

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$	$\ell'$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)$	$\ell\ell'$	$\pm\infty$ (règle des signes)	$\pm\infty$ (règle des signes)	FI

FI signifie forme indéterminée : les seules limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ ne permettent pas de conclure, une étude supplémentaire est nécessaire (transformation de l'expression, comparaison, encadrement).

Proposition — Quotient de deux suites

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout entier naturel $n$, $v_n \neq 0$.

Cas où $\lim v_n = \ell' \neq 0$ ou $\pm\infty$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$\ell' \neq 0$	$\pm\infty$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\ell'>0$	$\ell'<0$	$\pm\infty$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$\frac{\ell}{\ell'}$	$0$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Cas où $\lim v_n = 0$

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n $	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$\ell>0$ ou $+\infty$	$\ell<0$ ou $-\infty$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n $	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $+$	$0$ en restant $-$	$0$ en restant $-$	$0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} $	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	FI

Méthode — Factoriser par le terme dominant

Lorsque les règles donnent une forme indéterminée ($+\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$), la limite ne se lit pas directement : il faut d'abord transformer l'expression. Pour les expressions polynomiales et rationnelles en $n$ :

Dans chaque somme, factoriser par le terme dominant, celui qui croît le plus vite (pour une expression polynomiale en $n$, la plus haute puissance de $n$) : par exemple $n^2 - 3n = n^2\left(1 - \dfrac{3}{n}\right)$.
Dans un quotient, factoriser par le terme dominant du numérateur et par celui du dénominateur, puis simplifier.
Appliquer les règles à la nouvelle expression : le facteur entre parenthèses a une limite finie, obtenue à partir de $\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, $\dfrac{1}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, …

Exemple

Déterminer la limite de chaque suite.

$u_n = n^2 - 3n$ pour tout entier naturel $n$.
$v_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + n}$ pour tout entier $n \ge 1$.

Correction

$n^2 \to +\infty$ (limite de référence) et $3n \to +\infty$ (règle du produit) : la différence est une forme indéterminée $+\infty - \infty$. Pour $n \ge 1$, on factorise par le terme dominant $n^2$ : $$\begin{aligned} u_n &= n^2 - 3n \\ &= n^2 \times 1 - n^2 \times \frac{3}{n} && \text{(on écrit } 3n = n^2 \times \tfrac{3}{n}\text{)} \\ &= n^2\left(1 - \frac{3}{n}\right). \end{aligned}$$ Or $\dfrac{3}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, donc $1 - \dfrac{3}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1$, et $n^2 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Par la règle du produit, $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.
Le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+\infty$ : forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme dominant $n^2$ en haut et en bas : $$\begin{aligned} v_n &= \frac{2n^2 + 1}{n^2 + n} \\ &= \frac{n^2\left(2 + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)} && \text{(on factorise par } n^2\text{)} \\ &= \frac{\cancel{n^2}\left(2 + \frac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)} && \text{(on simplifie)} \\ &= \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}}. \end{aligned}$$ Comme $\dfrac{1}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ et $\dfrac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$, le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ : par la règle du quotient, $v_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2$.

Proposition — Limites des suites arithmétiques

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $\boldsymbol{r > 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{r < 0}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Si $\boldsymbol{r = 0}$, la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = u_0$.

Exemple

Soit $u_n = 5 + 3n$. Comme $r=3 > 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
Soit $v_n = 10 - 2n$. Comme $r=-2 < 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$.

Compétences à pratiquer

Appliquer les opérations sur les limites
Calculer des limites par opérations algébriques
Lever une indétermination par factorisation

III Limite et comparaison

III.1 Comparaison et passage à la limite

Théorème — Théorème de comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang $n_0$, on a $u_n \ge v_n$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$,
alors :$$\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$$ De même, si à partir d'un certain rang $u_n \le v_n$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

Exemple

Soit $u_n = 2n + (-1)^n$ pour tout entier naturel $n$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction

La suite $((-1)^n)$ alterne entre $-1$ et $1$, donc la règle de la somme ne s'applique pas. On minore $u_n$ : pour tout entier naturel $n$, $$\begin{aligned} (-1)^n &\ge -1 \\ 2n + (-1)^n &\ge 2n - 1. && \text{(on ajoute } 2n\text{)} \end{aligned}$$ La suite $(2n - 1)$ est arithmétique de raison $2 > 0$, donc $2n - 1 \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Comme $u_n \ge 2n - 1$ pour tout $n$, le théorème de comparaison donne $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$.

Compétences à pratiquer

Utiliser la comparaison pour déterminer une limite

III.2 Le théorème des gendarmes

Théorème — Théorème des gendarmes

Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques.
Si (1) à partir d'un certain rang, $\textcolor{colordef}{v_n} \leq \textcolor{olive}{u_n} \leq \textcolor{colorprop}{w_n}$, et si (2) $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$, où $\ell$ est un réel,
alors la suite $(u_n)$ converge et sa limite est $\ell$.

Exemple

Calculer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Correction

Pour tout $n \ge 1$, on a $-1 \le (-1)^n \le 1$.
Comme $n > 0$, on peut diviser les membres de l'inégalité par $n$ :$$-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$$ On a :

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} -\frac{1}{n} = 0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$

D'après le théorème des gendarmes, on en déduit :$$\lim_{n \to +\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$$

Compétences à pratiquer

Utiliser le théorème des gendarmes pour déterminer une limite finie

IV Cas particuliers

IV.1 Suites géométriques

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

Correction

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Compétences à pratiquer

Démontrer qu'une suite est géométrique
Écrire le terme général d'une suite géométrique

IV.2 Limite d'une suite géométrique

Proposition — Limites des suites géométriques

Soit $q$ un nombre réel. La limite de la suite $(q^n)$ dépend de la valeur de $q$ :

Si $\boldsymbol{q > 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $\boldsymbol{-1 < q < 1}$, alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $\boldsymbol{q = 1}$, alors la suite est constante et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
Si $\boldsymbol{q \le -1}$, alors la suite n'a pas de limite.

Pour $q = 0$, on considère les termes à partir de $n = 1$, de sorte que chaque terme soit défini.

Exemple

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 1{,}05^n = +\infty$ car $1{,}05 > 1$.
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ car $-1 < 0{,}5 < 1$.
La suite $((-2)^n)$ n'admet pas de limite car $-2 \le -1$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître la limite d'une suite géométrique
Déterminer et interpréter la limite d'une suite géométrique

IV.3 Somme des termes d'une suite géométrique

Découverte

Comment calculer efficacement la somme des 10 premiers termes d'une suite géométrique commençant par $u_0 = 3$ et de raison $q=2$ ?$$S_9 = 3 + 6 + 12 + 24 + \ldots + 768 + 1536$$ L'astuce consiste à multiplier toute la somme par la raison $q=2$, puis à soustraire la somme de départ de cette nouvelle somme.
On écrit la somme de départ :$$S_9 = 3 + 6 + 12 + \ldots + 768 + 1536$$ On multiplie ensuite chaque terme par la raison $2$ :$$2S_9 = 6 + 12 + 24 + \ldots + 1536 + 3072$$ On remarque que la plupart des termes de $S_9$ et de $2S_9$ sont identiques. En soustrayant la première égalité de la deuxième, ces termes s'éliminent :$$\begin{array}{lrccccccccc} 2S_9 & = & & & 6 & + & 12 & + \ldots + & 1536 & + & 3072 \\ -\, S_9 & = & -(3 & + & 6 & +&12 & + \ldots + & 1536) \\ \hline(2-1)S_9 & = & -3 & + & 0 & + &0&+\ldots + & 0 & + & 3072 \\ \end{array}$$ Il reste une égalité beaucoup plus simple :$$S_9 = 3072 - 3 = 3069$$ Cette méthode donne la formule générale de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ (pour pouvoir diviser par $1 - q$) :$$\begin{aligned}S_n - qS_n &= u_0 - u_0 \times q^{n+1}\\ S_n(1-q) &= u_0(1-q^{n+1})\\ S_n &= u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\right)\\ \end{aligned}$$

Proposition — Somme d'une suite géométrique

La somme des premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :$$S_n = \text{Premier terme} \times \frac{1 - (\text{raison})^{\text{Nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$$

Si une suite commence à $u_0$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n+1}$ premiers termes est :$$S_n = u_0 \left( \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \right)$$
Si une suite commence à $u_1$ et a pour raison $q$, la somme des $\boldsymbol{n}$ premiers termes est :$$S_n = u_1 \left( \frac{1 - q^{n}}{1 - q} \right)$$

Ces formules sont valables pour toute raison $q \neq 1$.

Exemple

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $q = 3$. Calculer la somme de ses $6$ premiers termes.

Correction

La suite commence à $u_0$, donc la somme des $6$ premiers termes est $S_5$, et $q = 3 \neq 1$ : $$\begin{aligned}[t] S_5 &= u_0\left(\frac{1 - q^{5+1}}{1 - q}\right) && \text{(} S_n = u_0\,\tfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\text{)} \\ &= 5 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} && \\ &= 5 \times \frac{1 - 729}{-2} && \text{(} 3^6 = 729\text{)} \\ &= 5 \times \frac{-728}{-2} && \\ &= 5 \times 364 && \\ &= 1\,820. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer une somme de termes d'une suite géométrique

IV.4 La série géométrique

On a vu comment calculer la somme d'un nombre fini de termes. Mais que se passe-t-il si l'on continue à additionner les termes d'une suite géométrique à l'infini ? Cette somme, appelée série infinie, n'est pas toujours finie. Sous une condition précise, elle peut cependant converger vers une valeur finie unique.

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Proposition — Convergence d'une série géométrique

Une série géométrique infinie (de premier terme non nul) converge vers une somme finie si et seulement si sa raison $q$ est strictement comprise entre $-1$ et $1$, c'est-à-dire $\boldsymbol{|q| < 1}$.
Si la série converge, sa somme à l'infini, notée $S_\infty$, est donnée par la formule :$$\boldsymbol{S_\infty = \frac{u_1}{1-q}}$$ où $u_1$ est le premier terme et $|q|<1$. Si la suite commence à $u_0$, la formule est :$$\boldsymbol{S_\infty = \frac{u_0}{1-q}}$$

Preuve

La somme d'une série géométrique infinie est, par définition, la limite de la somme partielle $S_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. La somme partielle vaut, pour $q \neq 1$ :$$S_n = u_1 \left( \frac{1 - q^n}{1 - q} \right)$$ Pour obtenir la somme à l'infini, on calcule la limite :$$S_\infty = \lim_{n \to \infty} u_1 \left( \frac{1 - q^n}{1 - q} \right)$$ Cette limite dépend uniquement du comportement du terme $\boldsymbol{q^n}$ lorsque $n \to \infty$.

Cas de convergence :
Si $\boldsymbol{|q| < 1}$, alors le terme $q^n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ (résultat établi avec les limites de suites) : $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$. En reportant ce résultat dans l'expression de la limite, on obtient :$$S_\infty = u_1 \left( \frac{1 - 0}{1 - q} \right) = \frac{u_1}{1-q}$$
Cas de divergence :
Si $q = 1$, alors $S_n = n\,u_1$, qui ne converge pas vers une limite finie. Si $\boldsymbol{|q| \ge 1}$ et $q \neq 1$, le terme $q^n$ n'a pas de limite finie lorsque $n \to \infty$ (il tend vers l'infini ou oscille). La somme partielle $S_n$ n'a donc pas de limite finie : on dit que la série diverge.

Ainsi, la somme est finie si et seulement si $|q| < 1$.

Exemple

Calculer la somme de la série géométrique infinie$$16 + 8 + 4 + 2 + 1 + \cdots$$

Correction

Le premier terme est $u_1 = 16$ et la raison est $q = \dfrac{8}{16} = \dfrac{1}{2}$.
Comme $|q| = \dfrac{1}{2} < 1$, la série converge et la formule de la somme infinie s'applique :$$\begin{aligned}[t] S_\infty &= \frac{u_1}{1 - q} && {\scriptstyle(|q| < 1)} \\ &= \frac{16}{1 - \tfrac{1}{2}} = \frac{16}{\tfrac{1}{2}} \\ &= 32. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Déterminer la convergence des séries géométriques
Calculer la somme d'une série géométrique infinie
Raisonner et justifier

IV.5 Suites arithmético-géométriques

Définition — Suite arithmético-géométrique

Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique lorsqu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$u_{n+1} = a\,u_n + b.$$ Chaque terme s'obtient du précédent par une multiplication suivie d'une addition : une évolution en pourcentage suivie d'un apport fixe, par exemple.

Deux cas particuliers connus

Si $a = 1$, la relation s'écrit $u_{n+1} = u_n + b$ : la suite est arithmétique de raison $b$.
Si $b = 0$ (et $a \neq 0$), la relation s'écrit $u_{n+1} = a\,u_n$ : la suite est géométrique de raison $a$.
Si $a = 0$, tous les termes à partir de $u_1$ valent $b$ : la suite est constante à partir du rang $1$.

Le cas intéressant est donc $a \neq 1$ et $b \neq 0$ : aucune des formules connues ne s'applique, et il faut une idée nouvelle.

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Méthode — Le point fixe et la suite auxiliaire

Pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$ quand $u_{n+1} = a\,u_n + b$ avec $a \neq 1$ :

Chercher la solution constante : résoudre l'équation $\ell = a\,\ell + b$, soit $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$. La suite constante égale à $\ell$ vérifie la même relation — $\ell$ est le point fixe.
Poser la suite auxiliaire $v_n = u_n - \ell$, et montrer qu'elle est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - \ell = a\,u_n + b - (a\,\ell + b) = a\,(u_n - \ell) = a\,v_n$.
Écrire sa forme explicite : $v_n = v_0 \times a^n$ avec $v_0 = u_0 - \ell$.
Revenir à $u_n$ : $u_n = v_n + \ell = (u_0 - \ell)\,a^n + \ell$.

Toute solution de la relation est de cette forme : la solution constante plus une suite géométrique de raison $a$. Quand $0 < a < 1$, la partie géométrique tend vers $0$ et $(u_n)$ converge vers $\ell$ ; quand $a > 1$ et $u_0 \neq \ell$, elle diverge.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3u_n - 4$. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Correction

Point fixe : $\ell = 3\ell - 4$ donne $-2\ell = -4$, donc $\ell = 2$.
Suite auxiliaire : on pose $v_n = u_n - 2$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $$\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1} - 2 \\ &= 3u_n - 4 - 2 &&\text{(relation)}\\ &= 3u_n - 6 \\ &= 3\,(u_n - 2) &&\text{(factorisation)}\\ &= 3\,v_n. \end{aligned}$$ Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 1$.
D'où $v_n = 1 \times 3^n = 3^n$.
Retour à $u_n$ : $u_n = v_n + 2$, donc $u_n = 3^n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Vérification : $u_1 = 3 \times 3 - 4 = 5 = 3^1 + 2$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 200$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 200$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis déterminer la limite de $(u_n)$.

Correction

Point fixe : $\ell = 0{,}8\ell + 200$ donne $0{,}2\ell = 200$, donc $\ell = 1000$. On pose $v_n = u_n - 1000$ : alors $v_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 200 - 1000 = 0{,}8\,(u_n - 1000) = 0{,}8\,v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et $v_0 = 200 - 1000 = -800$. D'où $v_n = -800 \times 0{,}8^n$ et $$u_n = 1000 - 800 \times 0{,}8^n.$$ Comme $0 < 0{,}8 < 1$, $0{,}8^n$ tend vers $0$, donc $800 \times 0{,}8^n$ tend vers $0$ et $(u_n)$ converge vers $1000$. Les termes croissent vers le point fixe : $u_1 = 360$, $u_2 = 488$, $u_3 = 590{,}4$, …

Méthode — Modéliser une évolution par une suite

De nombreuses situations combinent une valeur de départ et une évolution régulière. Pour traduire un texte en suite :

Nommer la variable : ce que compte $n$ (années, mois, étapes) et ce que mesure $u_n$ (un prix, une population, une dette).
Lire l'état initial : la valeur de $u_0$, à l'étape zéro.
Lire l'évolution d'une étape à la suivante, et écrire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ :
- une quantité fixe ajoutée ou retirée — modèle arithmétique, $u_{n+1} = u_n + b$ ;
- une hausse ou une baisse en pourcentage — modèle géométrique, $u_{n+1} = a\,u_n$ avec $a = 1 + \frac{t}{100}$ ou $a = 1 - \frac{t}{100}$ ;
- les deux à la fois — modèle arithmético-géométrique, $u_{n+1} = a\,u_n + b$. L'ordre compte : le pourcentage s'applique d'abord, l'apport fixe s'ajoute ensuite.
Répondre à la question avec le modèle : un terme, la forme explicite, un seuil, la limite — et l'interpréter dans la situation.

Exemple

Un festival de musique a accueilli $100\,000$ personnes en 2020. Ses organisateurs prévoient que, chaque année, $80\,\pourcent$ du public de l'année précédente reviendra et que $30\,000$ nouveaux festivaliers s'ajouteront. On note $u_n$ le public prévu l'année $2020 + n$. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$, et donner le public à long terme.

Correction

État initial $u_0 = 100\,000$. « $80\,\pourcent$ reviennent » multiplie par $0{,}8$, « $30\,000$ nouveaux » ajoute $30\,000$ : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30\,000$, un modèle arithmético-géométrique. Point fixe : $\ell = 0{,}8\ell + 30\,000$ donne $0{,}2\ell = 30\,000$, donc $\ell = 150\,000$. Avec $v_n = u_n - 150\,000$, géométrique de raison $0{,}8$ et $v_0 = -50\,000$ : $$u_n = 150\,000 - 50\,000 \times 0{,}8^n.$$ Comme $0 < 0{,}8 < 1$, $(u_n)$ converge vers $150\,000$ : le public grandit — $110\,000$ en 2021, $118\,000$ en 2022 — et se stabilise en dessous de $150\,000$ personnes, sans jamais les atteindre.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une suite arithmético-géométrique
Déterminer la forme explicite
Modéliser une évolution

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes : limites
Problèmes : suites et séries géométriques
Problèmes : modèles d'évolution
Type bac
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h 30.

À traiter sur papier, puis à photographier : la correction est automatique, par IA.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.

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\(n\)	\(1\)	\(10\)	\(101\)	\(1000\)
\(u_n = 1/n\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(\approx 0{,}0099\)	\(0{,}001\)
\(v_n = n^2\)	\(1\)	\(100\)	\(10\,201\)	\(1\,000\,000\)
\(w_n = (-1)^n\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)
\(t_n = 0{,}5^n\)	\(0{,}5\)	\(\approx 0{,}001\)	\(\approx 4 \times 10^{-31}\)	\(\approx 0\)

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n+v_n)\)	\(\ell+\ell'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	FI	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n\)	\(\ell\)	\(\ell \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n\)	\(\ell'\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n)\)	\(\ell\ell'\)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	\(\pm\infty\) (règle des signes)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell\)	\(\ell\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(\ell' \neq 0\)	\(\pm\infty\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\ell'>0\)	\(\ell'<0\)	\(\pm\infty\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(\frac{\ell}{\ell'}\)	\(0\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI

\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(\ell>0\) ou \(+\infty\)	\(\ell<0\) ou \(-\infty\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n \)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(+\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\) en restant \(-\)	\(0\)
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} \)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	FI