Éducation Nationale Française · Première Enseignement scientifique

Variation exponentielle : suites géométriques et fonctions exponentielles

⌚ ~162 min ▢ 18 blocs ✓ 74 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines, Puissances et racines, Proportions et évolutions

I Les suites géométriques

I.1 Définition et terme général

Une suite géométrique est un autre type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et un facteur multiplicatif constant : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre.

Signaler une erreur

Découverte

On considère une suite géométrique avec un premier terme $u_1 = 2$ et une raison géométrique $q = 3$.
On peut écrire les premiers termes en multipliant par 3 de manière répétée :

$u_1 = 2$
$u_2 = 2 \times 3$
$u_3 = 2 \times 3 \times 3$
$u_4 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$

On réécrit cela en utilisant des exposants pour voir le motif :

$u_1 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{0}}$
$u_2 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{1}}$
$u_3 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{2}}$
$u_4 = 2 \times 3^{\textcolor{colordef}{3}}$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on multiplie par la raison $q$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 \times q^{10-1} = 2 \times 3^9 = 2 \times 19\,683 = 39\,366$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé la raison de la suite, notée $q$.

Définition par récurrence : Le terme suivant s'obtient à partir du précédent par :$$u_{n+1} = q \times u_n$$
Formule explicite : On peut aussi calculer directement n'importe quel terme à partir de son rang $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 \times q^{n-1}$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Exemple

Une suite géométrique a pour premier terme $u_1 = 2$ et pour raison géométrique $q = 2$.
Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

La règle de récurrence est $u_{n+1} = u_n \times 2$. On commence avec $u_1 = 2$ et on applique la règle de manière répétée.

$u_1 = \boldsymbol{2}$ (donné)
$u_2 = 2 \times u_1 = 2 \times 2 = \boldsymbol{4}$
$u_3 = 2 \times u_2 = 2 \times 4 = \boldsymbol{8}$
$u_4 = 2 \times u_3 = 2 \times 8 = \boldsymbol{16}$
$u_5 = 2 \times u_4 = 2 \times 16 = \boldsymbol{32}$

Les cinq premiers termes sont : $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$.

Proposition — Terme général d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 \times q^n$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ avec $n \geq p$ : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $q = 2$.

Calculer $u_{10}$.
Une autre suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $2$ et vérifie $v_4 = 24$. Calculer $v_7$.

Correction

D'après la proposition, $u_{10} = u_0 \times q^{10} = 3 \times 2^{10} = 3 \times 1024 = 3072$.
En partant de $v_4$ : $v_7 = v_4 \times 2^{7-4} = 24 \times 8 = 192$.

Compétences à pratiquer

Étudier une suite géométrique
Modéliser avec des suites géométriques
Déterminer le rang d'un terme
Déterminer la formule à partir de deux termes

I.2 Le sens de variation

Proposition — Sens de variation d'une suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 > 0$ et de raison $q > 0$.

Si $q > 1$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $q = 1$, alors $(u_n)$ est constante.

Remarque

Si $u_0 < 0$, le facteur $u_0 q^n$ est strictement négatif et tous les signes s'inversent : le sens de variation est le contraire de celui ci-dessus (par exemple $u_0 = -4$, $q = 3$ donne $-4$, $-12$, $-36$, …, une suite strictement décroissante).
Si $q < 0$, $q^n$ change de signe à chaque rang, et $u_{n+1} - u_n$ aussi : la suite n'est pas monotone (par exemple $u_0 = 1$, $q = -2$ donne $1$, $-2$, $4$, $-8$, …).

Signaler une erreur

Exemple

Donner le sens de variation des suites suivantes.

$(u_n)$ arithmétique de raison $r = -2$.
$(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 1{,}2$.
$(w_n)$ géométrique de premier terme $w_0 = -4$ et de raison $q = 3$.

Correction

$r = -2 \lt 0$ : $(u_n)$ est strictement décroissante.
$v_0 = 5 \gt 0$ et $q = 1{,}2 \gt 1$ : $(v_n)$ est strictement croissante.
$q = 3 \gt 1$ mais $w_0 = -4 \lt 0$ : les variations sont inversées, $(w_n)$ est strictement décroissante ($-4$, $-12$, $-36$, …).

Compétences à pratiquer

Déterminer le sens de variation

I.3 Les évolutions en pourcentage constant

Une somme d'argent est placée à un taux fixe de $3\pourcent$ par an : chaque année, les intérêts sont ajoutés au compte, puis génèrent eux-mêmes des intérêts l'année suivante (intérêts composés). Pourquoi une telle situation se modélise-t-elle par une suite géométrique ? Chaque année, la somme n'augmente pas d'un montant fixe, mais d'une fraction fixe d'elle-même :$$\text{nouvelle somme} = \text{ancienne somme} + \frac{3}{100} \times \text{ancienne somme} = \text{ancienne somme} \times 1{,}03.$$ Ainsi, d'une année à la suivante, on multiplie par le même facteur $1{,}03$. C'est exactement la relation de récurrence d'une suite géométrique, $u_{n+1} = 1{,}03\,u_n$, dont la forme explicite est $u_n = u_0 \times 1{,}03^n$. Le même raisonnement vaut pour toute évolution en pourcentage constant de $t\pourcent$ par période, de facteur $1 + \dfrac{t}{100}$ — une population croissant à taux constant, une voiture perdant de la valeur chaque année.

Signaler une erreur

Méthode — Modéliser une évolution en pourcentage constant

Pour une grandeur évoluant d'un taux fixe de $t\pourcent$ à chaque période, à partir de $u_0$ :

Le taux $t$ est signé : $t > 0$ pour une croissance, $-100 < t < 0$ pour une décroissance (une baisse de $100\,\pourcent$ ou plus n'est pas une évolution en pourcentage d'une quantité strictement positive).
Dans tous les cas, la raison est le coefficient multiplicateur $\;q = 1 + \dfrac{t}{100}$ : $+5\pourcent$ donne $t = 5$ et $q = 1{,}05$ ; $-15\pourcent$ donne $t = -15$ et $q = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$.
Après $n$ périodes : $\;u_n = u_0\, q^n$.

Exemple — Intérêts composés

Un capital de $1000~\Euro$ est placé à un taux d'intérêt annuel fixe de $5\pourcent$. Quelle est sa valeur après $3$ ans ?

Correction

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0{,}05 = 1{,}05$ : les montants annuels forment donc une suite géométrique :$$\begin{aligned}[t] u_1 &= 1000 \times 1{,}05 \\ u_2 &= (1000 \times 1{,}05) \times 1{,}05 = 1000 \times 1{,}05^2 \\ u_3 &= 1000 \times 1{,}05^3. \end{aligned}$$ Ainsi $u_n = u_0\, q^n$ avec $u_0 = 1000$ et $q = 1{,}05$, et$$u_3 = 1000 \times 1{,}05^3 = 1000 \times 1{,}157625 \approx 1157{,}63~\Euro.$$

Exemple — Dépréciation

Une voiture achetée $20\,000~\Euro$ perd $15\pourcent$ de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après $4$ ans ?

Correction

La valeur diminue de $15\pourcent$ chaque année, donc $t = -15$ et le multiplicateur est $q = 1 + \dfrac{t}{100} = 1 + \dfrac{-15}{100} = 0{,}85$, d'où $u_n = 20\,000 \times 0{,}85^n$.$$u_4 = 20\,000 \times 0{,}85^4 = 20\,000 \times 0{,}52200625 \approx 10\,440{,}13~\Euro.$$

Compétences à pratiquer

Calculer avec une évolution en pourcentage constant
Résoudre un problème de seuil

II Les fonctions exponentielles

II.1 La racine n-ième

Définition — Racine n-ième

Le concept de racine peut être généralisé. Pour un entier naturel $n \ge 1$, la racine n-ième d'un nombre réel $a$, notée $\sqrt[n]{a}$, est un nombre qui, élevé à la puissance $n$, donne $a$, choisi ainsi : pour $n$ impair, c'est l'unique nombre réel dont la puissance $n$-ième vaut $a$ ; pour $n$ pair, elle n'existe que si $a \ge 0$, et c'est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$. Lorsqu'elle existe, $$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a.$$ Les règles pour leurs ensembles de définition dépendent du fait que l'indice $n$ est pair ou impair.

Racines paires (ex. $\sqrt[2]{a}, \sqrt[4]{a}, \dots$) : une racine paire d'un nombre strictement négatif n'est pas un nombre réel. Pour $n$ pair, $\sqrt[n]{a}$ n'est définie que pour $\boldsymbol{a \ge 0}$, et désigne le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$ (ex. $\sqrt[4]{16} = 2$, pas $-2$).
Racines impaires (ex. $\sqrt[3]{a}, \sqrt[5]{a}, \dots$) : une racine impaire est définie pour tous les nombres réels $a$.

Compétences à pratiquer

Calculer des racines n-ièmes

II.2 Les exposants rationnels

Définition — Exposant rationnel

Pour un nombre $a>0$ et des entiers strictement positifs $m$ et $n$, $$\begin{aligned} a^{\frac{1}{2}} &= \sqrt{a}, \\ a^{\frac{1}{n}} &= \sqrt[n]{a}, \\ a^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Écrire des racines avec des exposants

II.3 La fonction $x \mapsto a^x$

Des expressions comme $a^n$ ont un sens quand l'exposant $n$ est un entier (les racines donnent des exposants fractionnaires). La fonction exponentielle, écrite $f(x) = a^x$, étend ce concept à un exposant $x$ réel quelconque.
Ce chapitre présente les caractéristiques clés et les courbes de ces fonctions, et la façon dont elles modélisent des phénomènes du monde réel impliquant une croissance ou une décroissance rapide, tels que la dynamique des populations et les intérêts composés.

Signaler une erreur

Définition — Fonction exponentielle

La fonction exponentielle a la forme $f(x)=a^x$, où la base $a$ est une constante strictement positive et $a \neq 1$.

Proposition — Caractéristiques clés du graphe de $y\equal a^x$

Toutes les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = a^x$ partagent plusieurs caractéristiques graphiques clés :

Ensemble de définition : l'ensemble des nombres réels, $\mathbb{R} = ]-\infty\,;\,+\infty[$.
Ensemble image : L'ensemble image est l'ensemble des nombres réels strictement positifs, $]0\,;\,+\infty[$.
Asymptote horizontale : La courbe a pour asymptote horizontale l'axe des abscisses ($y=0$). La fonction s'approche de cette droite mais ne la touche jamais.
Ordonnée à l'origine : La courbe passe toujours par le point $(0\,;\,1)$, car $a^0 = 1$ pour toute base $a$ valide.
Forme générale : La forme de la courbe est déterminée par la valeur de la base, $a$ :
- Si $\boldsymbol{a > 1}$, la fonction montre une croissance exponentielle et est croissante.
- Si $\boldsymbol{0 < a < 1}$, la fonction montre une décroissance exponentielle et est décroissante.

$\quad$

Proposition — Propriétés algébriques de $x \mapsto a^x$

Soit $a \gt 0$. Les règles des puissances entières restent vraies pour tout exposant réel ; ces propriétés sont admises. Pour tous réels $x$ et $y$ et tout entier relatif $n$ :

$\textcolor{colorprop}{a^{x+y} = a^x \times a^y}$ ;
$\textcolor{colorprop}{a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}}$, et en particulier $\textcolor{colorprop}{a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}}$ ;
$\textcolor{colorprop}{a^{nx} = \left(a^x\right)^n}$.

Elles servent à transformer des écritures numériques ou littérales — les mêmes gestes qu'avec des exposants entiers.

Exemple

Écrire chaque expression sous la forme d'une seule puissance, ou d'un nombre.

$2^{1{,}5} \times 2^{0{,}5}$
$\dfrac{5^{x+1}}{5^{x}}$
$\left(1{,}05^{x}\right)^{12}$
$\dfrac{1}{2^{x}}$

Correction

$\begin{aligned}[t]2^{1{,}5} \times 2^{0{,}5} &= 2^{1{,}5 + 0{,}5} &&\text{(produit : on ajoute les exposants)}\\ &= 2^{2}\\ &= 4\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\dfrac{5^{x+1}}{5^{x}} &= 5^{(x+1) - x} &&\text{(quotient : on soustrait les exposants)}\\ &= 5^{1}\\ &= 5\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\left(1{,}05^{x}\right)^{12} &= 1{,}05^{12x} &&\text{(} a^{nx} = (a^x)^n \text{ avec } n = 12\text{)}\end{aligned}$
$\begin{aligned}[t]\dfrac{1}{2^{x}} &= 2^{-x} &&\text{(} a^{-x} = \tfrac{1}{a^x}\text{)}\end{aligned}$

Compétences à pratiquer

Lire et esquisser des fonctions exponentielles
Calculer des valeurs d'une fonction exponentielle
Utiliser les propriétés algébriques de $x \mapsto a^x$

II.4 Relation affine ou exponentielle

De nombreux schémas de croissance et de décroissance dans le monde réel peuvent être modélisés par des fonctions affines ou exponentielles. La clé pour les distinguer est de comprendre comment la quantité change à intervalles réguliers.

Les relations affines impliquent un changement additif. La même quantité est ajoutée ou soustraite à chaque pas de temps. C'est le cas d'une épargne de $50\,\Euro$ chaque mois.
Les relations exponentielles impliquent un changement multiplicatif. La quantité est multipliée par le même facteur à chaque pas de temps. C'est le cas d'une population qui double chaque année.

Cette différence fondamentale peut être identifiée mathématiquement en vérifiant s'il existe une différence constante ou un rapport constant.

Signaler une erreur

Proposition — Identifier une relation affine ou exponentielle

Pour un ensemble de données où la variable indépendante ($x$) augmente par intervalles constants :

Si la différence entre les valeurs consécutives de la variable dépendante ($y$) est constante, un modèle affine convient aux données.
Si les valeurs de $y$ sont non nulles et si le rapport des valeurs consécutives de $y$ est constant et différent de $1$, un modèle exponentiel convient aux données.

Un tableau ne montre que quelques valeurs : il montre qu'un modèle est compatible avec elles. La démonstration ci-dessous établit le sens inverse : une relation affine donne toujours une différence constante, et une relation exponentielle un rapport constant.

Méthode — Analyser les données d'un tableau

Pour déterminer si une relation est affine ou exponentielle à partir d'un tableau de valeurs :

S'assurer que les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant.
Vérifier si la différence est constante : Calculer la différence entre les valeurs de $y$ consécutives ($y_2 - y_1$, $y_3 - y_2$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est affine.
Vérifier si le rapport est constant : Si la différence n'est pas constante, calculer le rapport des valeurs de $y$ consécutives ($\frac{y_2}{y_1}$, $\frac{y_3}{y_2}$, etc.). Si cette valeur est constante, la relation est exponentielle.

Exemple

On considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	5	8	11	14

La relation est-elle affine ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
On vérifie si la différence entre les valeurs de $y$ consécutives est constante :

$y_2 - y_1 = 8 - 5 = \boldsymbol{3}$
$y_3 - y_2 = 11 - 8 = \boldsymbol{3}$
$y_4 - y_3 = 14 - 11 = \boldsymbol{3}$

Comme la différence est constante, la relation est affine.$$\begin{aligned}x: &\ 0 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 1 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 2 & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} & 3\\ y: &\ 5 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 8 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 11 & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;+3\;}} & 14\\ \end{aligned}$$

Exemple

On considère la relation représentée par ce tableau :

$x$	0	1	2	3
$y$	2	6	18	54

La relation est-elle affine ou exponentielle ?

Correction

Les valeurs de $x$ augmentent d'un pas constant de 1.
D'abord, on vérifie si la différence est constante : $6-2=4$, mais $18-6=12$. La différence n'est pas constante, donc la relation n'est pas affine.
Ensuite, on vérifie si le rapport des valeurs de $y$ consécutives est constant :

$\frac{y_2}{y_1} = \frac{6}{2} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_3}{y_2} = \frac{18}{6} = \boldsymbol{3}$
$\frac{y_4}{y_3} = \frac{54}{18} = \boldsymbol{3}$

Comme le rapport est constant, la relation est exponentielle.$$\begin{aligned}x: &\ 0\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 1\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 2\ & \textcolor{colordef}{\xrightarrow{\;+1\;}} &\ 3 \\ y: &\ 2\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 6\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 18\ & \textcolor{colorprop}{\xrightarrow{\;\times 3\;}} &\ 54 \\ \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître une relation affine ou exponentielle dans un tableau
Reconnaître une relation affine ou exponentielle dans la vie courante

III Taux d'évolution moyen et modèles exponentiels

III.1 Les évolutions successives et réciproques

Proposition — Formule du coefficient multiplicateur global

Si une grandeur subit plusieurs évolutions successives, le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution.

Si $t_1\,\pourcent$ et $t_2\,\pourcent$ sont deux taux d'évolution successifs, le taux global $t\,\pourcent$ est tel que :$$1 + \frac{t}{100} = \left(1 + \frac{t_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{t_2}{100}\right)$$

Exemple

Le prix d'un objet subit une hausse de $8\,\pourcent$ puis une nouvelle hausse de $10\,\pourcent$. Déterminer le taux d'évolution global.

Correction

Les coefficients multiplicateurs sont $CM_1 = 1{,}08$ et $CM_2 = 1{,}10$.$$\begin{aligned} CM_{global} &= 1{,}08 \times 1{,}10 = 1{,}188 \\ 1 + \frac{t}{100} &= 1{,}188 \\ \frac{t}{100} &= 0{,}188 \\ t &= 18{,}8\end{aligned}$$ Le prix de l'objet a augmenté de $18{,}8\,\pourcent$.

Proposition — Formule de l'évolution réciproque

L'évolution réciproque est l'évolution qui permet de revenir à la valeur initiale $V_0$ après une évolution vers $V_1$.
Elle existe dès que $CM \neq 0$, c'est-à-dire $t \neq -100$ : une baisse de $100\pourcent$ amène la quantité à zéro, et aucune multiplication n'en revient.

Son coefficient multiplicateur est l'inverse du coefficient multiplicateur initial : $\boldsymbol{CM' = \frac{1}{CM}}$.
Le taux d'évolution réciproque $t'$ est tel que : $\boldsymbol{1 + \frac{t'}{100} = \frac{1}{1 + \frac{t}{100}}}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des évolutions successives et réciproques

III.2 Le taux d'évolution moyen

Définition — Taux d'évolution moyen

Lorsqu'une grandeur subit $n$ évolutions successives ($n \geq 1$, chacune de coefficient multiplicateur strictement positif : une évolution n'amène jamais une grandeur positive à zéro ou au-dessous), le taux d'évolution moyen est le taux $t_m$ de l'évolution unique qui, répétée $n$ fois, produit la même évolution globale. Son coefficient $CM_m = 1 + \dfrac{t_m}{100}$ est le coefficient multiplicateur moyen.

Proposition — Calcul du taux moyen

Si le coefficient multiplicateur global de $n$ évolutions successives est $CM$ (un nombre strictement positif, produit de coefficients strictement positifs), alors le coefficient multiplicateur moyen est la racine $n$-ième de $CM$ : $$\textcolor{colorprop}{CM_m = \sqrt[n]{CM} = CM^{1/n}} \qquad \text{et} \qquad t_m = \left(CM^{1/n} - 1\right) \times 100.$$ Répéter $n$ fois une évolution multiplie par $CM_m^{\,n}$ ; le coefficient moyen est le nombre dont la puissance $n$-ième est le coefficient global. À la calculatrice, $CM^{1/n}$ s'obtient avec la touche puissance (exposant $1/n$) ou la touche racine.

Exemple

Le loyer d'un appartement a augmenté de $44\,\pourcent$ en deux ans. Calculer le taux d'augmentation annuel moyen.
La population d'une ville a augmenté de $33{,}1\,\pourcent$ en trois ans. Calculer le taux de croissance annuel moyen et le contrôler.

Correction

Le coefficient global est $CM = 1 + \dfrac{44}{100} = 1{,}44$ pour $n = 2$ évolutions. Le coefficient moyen est $CM_m = \sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, donc $t_m = (1{,}2 - 1) \times 100 = 20$ : le loyer a augmenté de $20\,\pourcent$ par an en moyenne. (Et non $22\,\pourcent$, la moitié de $44$ : deux hausses de $22\,\pourcent$ multiplieraient par $1{,}22^2 = 1{,}4884$, une hausse globale de $48{,}84\,\pourcent$.)
$CM = 1{,}331$ pour $n = 3$ évolutions : $CM_m = 1{,}331^{1/3} = 1{,}1$, donc $t_m = 10$ : la population a augmenté de $10\,\pourcent$ par an en moyenne. Contrôle : $1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331$.

Pourquoi pas la moyenne des taux

Le taux moyen n'est pas, en général, la moyenne arithmétique des taux (les deux coïncident seulement quand les taux successifs sont tous égaux). Un prix qui augmente de $50\,\pourcent$ puis baisse de $50\,\pourcent$ a deux taux dont la moyenne est $0\,\pourcent$, mais son coefficient global est $1{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75$ : le prix a baissé de $25\,\pourcent$, et le taux moyen sur les deux évolutions est $t_m = \left(\sqrt{0{,}75} - 1\right) \times 100\,\pourcent \approx -13{,}4$, c'est-à-dire $-13{,}4\,\pourcent$ par évolution. Les taux ne s'additionnent pas parce que les évolutions se multiplient — c'est pourquoi la moyenne se prend sur les coefficients, avec une racine de leur produit, et non sur les taux, avec une somme.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Calculer un taux d'évolution moyen

III.3 Les modèles exponentiels

Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser des grandeurs qui changent par un facteur multiplicatif constant sur des intervalles de temps égaux. Ce principe fondamental les distingue des fonctions affines, qui changent par une différence constante (addition ou soustraction).
Il existe deux principaux types de modèles exponentiels :

Croissance exponentielle : La quantité augmente par un facteur constant supérieur à 1. On observe ce phénomène dans la croissance démographique et les intérêts composés.
Décroissance exponentielle : La quantité diminue par un facteur constant compris entre 0 et 1. On observe ce phénomène dans la désintégration radioactive et la dépréciation des actifs.

Ces modèles peuvent être discrets, se produisant par étapes distinctes (par ex., des intérêts composés annuellement), ou continus, se produisant de manière fluide dans le temps (par ex., la croissance bactérienne).

Signaler une erreur

Définition — Modèle général pour la croissance et la décroissance exponentielle

Une relation exponentielle est décrite par la fonction :$$ A(t) = A_0 \times R^t $$ où :

$A(t)$ est la quantité au temps $t$.
$A_0$ est la quantité initiale (la quantité à $t=0$).
$R$ est le facteur de croissance ou de décroissance constant par unité de temps, avec $R > 0$ : $R = 1 + r$ pour une croissance au taux $r$, $R = 1 - r$ pour une décroissance au taux $r$.
$t$ est le temps écoulé.

La fonction $A(t) = A_0 \times R^t$ est une fonction $k \times a^x$, avec $k = A_0$ et $a = R$.

Exemple

La population de renards, $P$, dans une zone spécifiée, $t$ années après le début de l'observation, est modélisée par l'équation : $P(t)=300(1{,}25)^t$.

Combien de renards y a-t-il initialement ?
Quel est le taux de croissance annuel en pourcentage ?
Combien de renards y a-t-il après 5 ans ?

Correction

La population initiale correspond à $t=0$. $$P(0) = 300(1{,}25)^0 = 300 \times 1 = \boldsymbol{300} \text{ renards}$$
Le facteur de croissance est $R=1{,}25$. Comme $R = 1+r$, on a $1{,}25 = 1+r$, ce qui donne $r=0{,}25$.
Le taux de croissance annuel est de $\boldsymbol{25\pourcent}$.
On remplace $t=5$ dans l'équation. La population devant être un nombre entier, on arrondit à l'unité. $$P(5) = 300(1{,}25)^5 \approx 915{,}52... \approx \boldsymbol{916} \text{ renards}$$

Compétences à pratiquer

Modéliser des situations réelles par des fonctions exponentielles

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	5	8	11	14

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	2	6	18	54