Éducation Nationale Française · Seconde

Multiples, diviseurs et démonstrations

⌚ ~66 min ▢ 6 blocs ✓ 28 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les ensembles de nombres

I Multiples et diviseurs

Définition — Relations de divisibilité

On dit qu'un entier naturel non nul $b$ divise un entier naturel $a$ si $a$ peut être obtenu en multipliant $b$ par un entier naturel $k$ : $$ a = k \times b $$ En d'autres termes, le nombre $a$ apparaît dans la table de multiplication de $b$.
On peut également utiliser les formulations suivantes :

$b$ est un diviseur de $a$
$a$ est divisible par $b$
$a$ est un multiple de $b$

Exemple

On considère les nombres $10$ et $5$.
Puisqu'on peut écrire $\textcolor{olive}{10} = \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{5}$, on peut dire que :

$\textcolor{colordef}{5}$ divise $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{colordef}{5}$ est un diviseur de $\textcolor{olive}{10}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est divisible par $\textcolor{colordef}{5}$.
$\textcolor{olive}{10}$ est un multiple de $\textcolor{colordef}{5}$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des multiples
Reconnaître des diviseurs

II Fractions irréductibles

Définition — Nombres premiers entre eux

Deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun positif est $1$, c'est-à-dire si $PGCD(a\,;\,b) = 1$.
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible exactement lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Exemple

Les nombres $8$ et $15$ sont-ils premiers entre eux ? Et les nombres $8$ et $20$ ?

Correction

Les diviseurs de $8$ sont $1\,;\,2\,;\,4\,;\,8$. Les diviseurs de $15$ sont $1\,;\,3\,;\,5\,;\,15$. Le seul diviseur commun est $1$, donc $PGCD(8\,;\,15) = 1$ : les nombres $8$ et $15$ sont premiers entre eux (et la fraction $\frac{8}{15}$ est irréductible).
Les diviseurs de $20$ sont $1\,;\,2\,;\,4\,;\,5\,;\,10\,;\,20$ : les nombres $8$ et $20$ ont pour diviseurs communs $1$, $2$ et $4$, donc $PGCD(8\,;\,20) = 4 \neq 1$ : ils ne sont pas premiers entre eux (et $\frac{8}{20}$ se simplifie en $\frac{2}{5}$).

Compétences à pratiquer

Écrire une fraction sous forme irréductible

III L'atelier des démonstrations

Définition — Nombres pairs et impairs

Soit $n$ un entier relatif.

$n$ est pair s'il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 2k$.
$n$ est impair s'il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 2k + 1$.

Tout entier est soit pair, soit impair, et jamais les deux.

Proposition — Somme de deux multiples

Soit $a$ un entier non nul. La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.

Preuve

Soient $x$ et $y$ deux multiples de $a$ : il existe des entiers relatifs $k$ et $k'$ tels que $x = ka$ et $y = k'a$. Alors $$\begin{aligned} x + y &= ka + k'a &&\text{(définitions de } x \text{ et } y\text{)}\\ &= (k + k')a &&\text{(factorisation par } a\text{)} \end{aligned}$$ Comme $k + k'$ est un entier relatif, $x + y$ est un multiple de $a$. Par exemple, $35$ et $63$ sont des multiples de $7$, et $35 + 63 = 98 = 7 \times 14$.

Méthode — Prouver des propriétés sur les entiers

Pour prouver des propriétés sur les nombres entiers, on utilise des définitions algébriques formelles. Par exemple,

Un entier est pair s'il peut s'écrire sous la forme $2k$ (où $k$ est un entier).
Un entier est impair s'il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ (où $k$ est un entier).

En substituant ces formes dans une expression et en simplifiant, on peut montrer que le résultat a la propriété voulue.

Exemple

Démontrer que le produit de deux entiers impairs est un entier impair.

Correction

Soient $a$ et $b$ deux entiers impairs.
Il existe des entiers $k$ et $m$ tels que $ a = 2k+1 \quad \text{et} \quad b = 2m+1$.$$\begin{aligned}ab &= (2k+1)(2m+1) \\ &= 4km + 2k + 2m + 1 &&\text{(développement)}\\ &= 2(2km + k + m) + 1 &&\text{(factorisation par $2$)}\end{aligned}$$ Puisque $(2km + k + m)$ est un entier, le produit $ab$ est de la forme $2(\text{entier}) + 1$.
Donc le produit $ab$ est un entier impair.

Proposition — Le carré d'un entier impair

Si $n$ est un entier impair, alors $n^2$ est impair.

Preuve

Soit $n$ un entier impair : il existe un entier $k$ tel que $n = 2k + 1$. Alors $$\begin{aligned}[t] n^2 &= (2k+1)^2 \\ &= 4k^2 + 4k + 1 && \text{(développement du carré)}\\ &= 2\,(2k^2 + 2k) + 1. && \text{(mise en facteur de $2$)} \end{aligned}$$ Le nombre $K = 2k^2 + 2k$ est un entier, et $n^2 = 2K + 1$ : par définition, $n^2$ est impair.

Proposition — Irrationalité de $\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

Preuve

On suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel. Alors $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ où $\frac{p}{q}$ est une fraction irréductible.
En élevant au carré de chaque côté : $2 = \frac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$.
Cela implique que $p^2$ est pair, donc $p$ doit être pair — en effet, si $p$ était impair, son carré serait impair. On pose $p = 2k$.
En remplaçant : $(2k)^2 = 2q^2 \implies 4k^2 = 2q^2 \implies 2k^2 = q^2$.
Cela implique que $q^2$ est pair, donc $q$ doit être pair. Si $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ils ont un facteur commun de 2, ce qui contredit le fait que la fraction est irréductible.
Ainsi, $\sqrt{2}$ ne peut pas être rationnel.

Compétences à pratiquer

Démontrer avec les entiers pairs et impairs
Démontrer l'irrationalité d'une racine

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre
Quiz