Éducation Nationale Française · Première Enseignement scientifique
Modélisation quadratique
I
Fonctions polynômes de degré 2
Les fonctions affines ont pour courbes des droites. Viennent ensuite les fonctions du second degré : des fonctions contenant un terme en \(x^2\), dont les courbes sont des courbes symétriques appelées paraboles. En mathématiques et en sciences, les fonctions du second degré modélisent, par exemple, la trajectoire d'un ballon lancé ou la forme d'une antenne parabolique. On apprend à reconnaître ces fonctions, à tracer leurs courbes et à résoudre les équations associées.
Une fonction quadratique est un polynôme de degré deux. Sa caractéristique principale est le terme en \(x^2\), ce qui la distingue d'une fonction affine.
Définition — Fonction quadratique
Une fonction polynôme du second degré, aussi appelée fonction quadratique ou trinôme, est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où \(a, b\) et \(c\) sont des nombres réels et \(\boldsymbol{a \neq 0}\). Exemple
Pour \(f(x) = x^2 - 3x + 1\), calculer \(f(2)\).
\(\begin{aligned}[t]f(2) &= (2)^2 - 3(2) + 1 \\&= 4 - 6 + 1 \\&= -1\end{aligned}\)
Compétences à pratiquer
- Identifier les coefficients sous la forme développée
- Reconnaître des fonctions polynômes de degré 2
- Calculer des images
II
La parabole : axe de symétrie et sommet
Proposition — Parabole et ses caractéristiques clés
Le graphe d'une fonction quadratique \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole. Ses caractéristiques clés sont : - Axe de symétrie : Une droite verticale qui divise la parabole en deux images miroirs. Son équation est \(x = -\frac{b}{2a}\).
- Sommet : Le point où la parabole change de direction. C'est le point minimum si la parabole est ouverte vers le haut, et le point maximum si elle est ouverte vers le bas. Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie. Ses coordonnées sont \(\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).
- Ordonnée à l'origine : Le nombre \(f(0)\) ; la courbe coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,f(0))\).
- Abscisses à l'origine : Les nombres \(x\) tels que \(f(x) = 0\), appelés aussi les racines ou les zéros de la fonction ; la courbe rencontre l'axe des abscisses aux points \((x\,;\,0)\) — elle le traverse lorsqu'il y a deux racines distinctes, elle ne fait que le toucher, en son sommet, lorsque les deux racines sont confondues.
Exemple
Esquisser le graphe de \(f(x) = x^2 - x - 1\).
Un tableau de valeurs est
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
| \(y\) | 5 | 1 | \(-1\) | \(-1\) | 1 |
Le coefficient \(a\) dans \(ax^2+bx+c\) contrôle si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Pour voir cela de manière interactive, on peut utiliser l'animation GeoGebra à https://www.geogebra.org/m/gn3c2sqe.
Proposition — Orientation de la parabole
Pour toute fonction du second degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) : - Si \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut (s'ouvre vers le haut) et a une valeur minimale à son sommet.
. - Si \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas (s'ouvre vers le bas) et a une valeur maximale à son sommet.
.
Méthode — Trouver l'axe de symétrie et le sommet sans formule
La symétrie de la parabole donne son axe à partir de l'expression \(f(x) = ax^2 + bx + c\) elle-même, sans rien à retenir : deux points de la parabole de même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe, donc l'axe passe par le milieu de leurs abscisses. - Résoudre \(f(x) = c\) : la constante \(c\) disparaît et \(x\) se met en facteur, donc l'équation a la solution \(0\) et une seconde solution — les deux points de la parabole à la hauteur \(c\) (l'ordonnée à l'origine et son image miroir).
- Prendre le milieu des deux solutions : l'axe de symétrie est la droite verticale qui passe par ce milieu.
- Calculer le sommet : son abscisse est celle de l'axe, son ordonnée est la valeur de \(f\) en ce point.
Exemple
- Soit \(f(x) = 2x^2 - 8x + 3\). Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de sa parabole sans aucune formule, puis donner ses variations.
- Soit \(g(x) = 3(x - 1)(x - 5)\). Déterminer son axe de symétrie et son sommet.
- Ici \(c = 3\). On résout \(f(x) = 3\) : \(2x^2 - 8x + 3 = 3\) donne \(2x^2 - 8x = 0\), c'est-à-dire \(2x(x - 4) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 4\). Les points \((0\,;\,3)\) et \((4\,;\,3)\) de la parabole ont la même ordonnée : l'axe de symétrie est la droite \(x = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\). Le sommet a pour abscisse \(2\) et pour ordonnée \(f(2) = 2 \times 4 - 16 + 3 = -5\) : c'est le point \((2\,;\,-5)\). Comme \(a = 2 > 0\), la parabole est tournée vers le haut : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,2]\) et croissante sur \([2\,;\,+\infty[\), avec le minimum \(-5\) en \(x = 2\).
- Les racines de \(g\) sont \(1\) et \(5\) (les facteurs s'y annulent), deux points de la parabole à la hauteur \(0\) : l'axe est \(x = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\), et le sommet est \((3\,;\,g(3)) = (3\,;\,3 \times 2 \times (-2)) = (3\,;\,-12)\).
Trois formes, trois lectures
L'expression d'une fonction polynôme de degré 2 dit, d'un coup d'œil, certaines caractéristiques de sa parabole.
- \(f(x) = ax^2\) : la parabole a son sommet à l'origine et l'axe des ordonnées pour axe de symétrie ; \(a\) fixe le sens (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)) et l'ouverture.
- \(f(x) = ax^2 + c\) : la même parabole décalée verticalement de \(c\) ; le sommet est \((0\,;\,c)\) et l'axe est toujours l'axe des ordonnées.
- \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) : la parabole rencontre l'axe des abscisses en \(x_1\) et \(x_2\) — elle le traverse quand \(x_1 \neq x_2\), et ne fait que le toucher, en son sommet, quand \(x_1 = x_2\) ; l'axe de symétrie est à mi-chemin, \(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\).
Compétences à pratiquer
- Analyser la parabole de base
- Déterminer le sens de la parabole à partir du signe de \(a\)
- Déterminer l'axe et le sommet sans formule
- Tracer des paraboles et dresser leur tableau de variations
- Déterminer des antécédents par lecture graphique
III
La forme factorisée
Définition — Forme factorisée
La forme factorisée d'une fonction quadratique, lorsqu'elle existe, est :$$f(x) = a(x-p)(x-q) $$ où \(a, p,\) et \(q\) sont des nombres réels et \(\boldsymbol{a \neq 0}\). Méthode — Convertir de la forme factorisée à la forme développée
Pour passer de la forme factorisée à la forme développée, développer les parenthèses et regrouper les termes semblables. Exemple
Convertir \(f(x) = 2(x-3)(x-1)\) sous forme développée.
$$ \begin{aligned}f(x) &=2(x-3)(x-1)\\
&= 2(x^2 - x - 3x + 3) \\
&= 2(x^2 - 4x + 3) \\
&= \boldsymbol{2x^2 - 8x + 6}\end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Développer une forme factorisée
IV
Les racines et la parabole
Proposition — Caractéristiques clés de la forme factorisée
La courbe d'une fonction du second degré \(f(x)=a(x-p)(x-q)\) est une parabole avec : - Orientation : Déterminée par le signe de \(a\).
- Si \(a > 0\), tournée vers le haut.
- Si \(a < 0\), tournée vers le bas.
- Si \(a > 0\), tournée vers le haut.
- Racines : La courbe coupe ou touche l'axe des abscisses en \((p\,;\,0)\) et \((q\,;\,0)\).
- Si \(p \neq q\), il y a deux points d'intersection distincts avec l'axe des abscisses.
- Si \(p=q\), il n'y a qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses, \((p\,;\,0)\), qui est aussi le sommet. La courbe touche l'axe des abscisses en ce point.
- Axe de symétrie : La droite \(x = \frac{p+q}{2}\).
- Sommet : Le point \((\frac{p+q}{2}\,;\,f(\frac{p+q}{2}))\).
Compétences à pratiquer
- Lire les caractéristiques sur la forme factorisée
- Esquisser une parabole à partir de sa forme factorisée
V
Le tableau de signes
Lorsqu'une inéquation implique un produit de facteurs, comme \((x-2)(x-1) > 0\), on ne peut pas simplement isoler \(x\). On doit plutôt déterminer où l'expression est positive ou négative. Le tableau de signes est un outil utilisé pour organiser cette analyse.
Proposition — Signe d'une expression affine
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a \neq 0\). L'expression \(ax + b\) s'annule en \(x_0 = -\dfrac{b}{a}\) ; elle est du signe de \(a\) pour \(x \gt -\dfrac{b}{a}\), et du signe contraire pour \(x \lt -\dfrac{b}{a}\). 
Méthode — Construire un tableau de signes
Pour créer le tableau de signes d'une expression factorisée : - Chercher les valeurs de \(x\) qui annulent chaque facteur : ce sont les valeurs critiques, les seuls points où l'expression peut changer de signe.
- Créer le tableau : écrire ces valeurs par ordre croissant sur la première ligne du tableau, puis chaque facteur sur une ligne séparée à gauche, avec l'expression complète sur la dernière ligne.
- Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles délimités par ces valeurs. Un facteur du premier degré \((x-a)\) est négatif pour \(x
- Déterminer le signe de l'expression complète dans chaque intervalle en multipliant les signes des facteurs de cette colonne.
Exemple
Résoudre l'inéquation \((x-2)(x-1) \ge 0\). - Valeurs critiques : Les facteurs sont \((x-1)\) et \((x-2)\).
- \(x-1=0 \implies x=1\)
- \(x-2=0 \implies x=2\)
- Construire le tableau de signes :
- Conclusion : L'inéquation demande \((x-1)(x-2) \ge 0\), ce qui signifie que le produit doit être positif ou nul. D'après la dernière ligne du tableau, cela se produit lorsque \(x \le 1\) ou \(x \ge 2\). En notation d'intervalle : \(x \in ]-\infty ; 1] \cup [2 ; +\infty[\).
Compétences à pratiquer
- Identifier le tableau de signes d'une expression
- Compléter des tableaux de signes de trinômes factorisés
VI
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
Aller à la section