Éducation Nationale Française · CM1

La multiplication

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 94 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Les nombres décimaux

I La multiplication

Définition — Multiplication

La multiplication est une façon rapide de montrer une addition répétée du même nombre. On peut représenter l'idée de « $\textcolor{colordef}{\text{quatre}}$ fois $\textcolor{colorprop}{\text{trois}}$ égale $\textcolor{olive}{\text{douze}}$ » de nombreuses manières :

Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
En groupes : $$\textcolor{colordef}{4}\text{ groupes de }\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
En addition répétée :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
Avec des cubes :
Avec un modèle partie-tout :

Proposition — Propriété commutative

La multiplication est commutative : changer l'ordre des nombres ne change pas le résultat. Des cubes rangés en rangées et en colonnes forment une grille : on peut la compter par colonnes ou par rangées.

Proposition — Toutes les tables de multiplication de 1 à 10

Cette grille montre toutes les tables de 1 à 10 en un seul endroit. Pour trouver un produit comme $7 \times 8$, on repère la ligne du 7 et la colonne du 8 : le résultat se trouve dans la case où elles se croisent. La grille se lit aussi à rebours : pour $7 \times \square = 42$, on suit la ligne du 7 jusqu'à $42$, puis on remonte en haut de sa colonne : $6$. Donc $7 \times 6 = 42$.

$\times$	$\textcolor{colorprop}{1}$	$\textcolor{colorprop}{2}$	$\textcolor{colorprop}{3}$	$\textcolor{colorprop}{4}$	$\textcolor{colorprop}{5}$	$\textcolor{colorprop}{6}$	$\textcolor{colorprop}{7}$	$\textcolor{colorprop}{8}$	$\textcolor{colorprop}{9}$	$\textcolor{colorprop}{10}$
$\textcolor{colordef}{1}$	$\textcolor{olive}{1}$	$\textcolor{olive}{2}$	$\textcolor{olive}{3}$	$\textcolor{olive}{4}$	$\textcolor{olive}{5}$	$\textcolor{olive}{6}$	$\textcolor{olive}{7}$	$\textcolor{olive}{8}$	$\textcolor{olive}{9}$	$\textcolor{olive}{10}$
$\textcolor{colordef}{2}$	$\textcolor{olive}{2}$	$\textcolor{olive}{4}$	$\textcolor{olive}{6}$	$\textcolor{olive}{8}$	$\textcolor{olive}{10}$	$\textcolor{olive}{12}$	$\textcolor{olive}{14}$	$\textcolor{olive}{16}$	$\textcolor{olive}{18}$	$\textcolor{olive}{20}$
$\textcolor{colordef}{3}$	$\textcolor{olive}{3}$	$\textcolor{olive}{6}$	$\textcolor{olive}{9}$	$\textcolor{olive}{12}$	$\textcolor{olive}{15}$	$\textcolor{olive}{18}$	$\textcolor{olive}{21}$	$\textcolor{olive}{24}$	$\textcolor{olive}{27}$	$\textcolor{olive}{30}$
$\textcolor{colordef}{4}$	$\textcolor{olive}{4}$	$\textcolor{olive}{8}$	$\textcolor{olive}{12}$	$\textcolor{olive}{16}$	$\textcolor{olive}{20}$	$\textcolor{olive}{24}$	$\textcolor{olive}{28}$	$\textcolor{olive}{32}$	$\textcolor{olive}{36}$	$\textcolor{olive}{40}$
$\textcolor{colordef}{5}$	$\textcolor{olive}{5}$	$\textcolor{olive}{10}$	$\textcolor{olive}{15}$	$\textcolor{olive}{20}$	$\textcolor{olive}{25}$	$\textcolor{olive}{30}$	$\textcolor{olive}{35}$	$\textcolor{olive}{40}$	$\textcolor{olive}{45}$	$\textcolor{olive}{50}$
$\textcolor{colordef}{6}$	$\textcolor{olive}{6}$	$\textcolor{olive}{12}$	$\textcolor{olive}{18}$	$\textcolor{olive}{24}$	$\textcolor{olive}{30}$	$\textcolor{olive}{36}$	$\textcolor{olive}{42}$	$\textcolor{olive}{48}$	$\textcolor{olive}{54}$	$\textcolor{olive}{60}$
$\textcolor{colordef}{7}$	$\textcolor{olive}{7}$	$\textcolor{olive}{14}$	$\textcolor{olive}{21}$	$\textcolor{olive}{28}$	$\textcolor{olive}{35}$	$\textcolor{olive}{42}$	$\textcolor{olive}{49}$	$\textcolor{olive}{56}$	$\textcolor{olive}{63}$	$\textcolor{olive}{70}$
$\textcolor{colordef}{8}$	$\textcolor{olive}{8}$	$\textcolor{olive}{16}$	$\textcolor{olive}{24}$	$\textcolor{olive}{32}$	$\textcolor{olive}{40}$	$\textcolor{olive}{48}$	$\textcolor{olive}{56}$	$\textcolor{olive}{64}$	$\textcolor{olive}{72}$	$\textcolor{olive}{80}$
$\textcolor{colordef}{9}$	$\textcolor{olive}{9}$	$\textcolor{olive}{18}$	$\textcolor{olive}{27}$	$\textcolor{olive}{36}$	$\textcolor{olive}{45}$	$\textcolor{olive}{54}$	$\textcolor{olive}{63}$	$\textcolor{olive}{72}$	$\textcolor{olive}{81}$	$\textcolor{olive}{90}$
$\textcolor{colordef}{10}$	$\textcolor{olive}{10}$	$\textcolor{olive}{20}$	$\textcolor{olive}{30}$	$\textcolor{olive}{40}$	$\textcolor{olive}{50}$	$\textcolor{olive}{60}$	$\textcolor{olive}{70}$	$\textcolor{olive}{80}$	$\textcolor{olive}{90}$	$\textcolor{olive}{100}$

Proposition — La règle « Placer un zéro »

Pour multiplier un nombre à un chiffre par un multiple de 10 compris entre 10 et 90, on le multiplie par le chiffre des dizaines, puis on place un zéro à la fin du résultat. $\begin{aligned}\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{1}&=\textcolor{olive}{3}\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}&=\textcolor{olive}{6 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{3}&=\textcolor{olive}{9 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{4}&=\textcolor{olive}{12 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}&=\textcolor{olive}{15 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{6}&=\textcolor{olive}{18 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{7}&=\textcolor{olive}{21 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{8}&=\textcolor{olive}{24 }\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{9}&=\textcolor{olive}{27 }\\\end{aligned}$ $\quad \rightarrow \quad$ $\begin{aligned}\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{1}0&=\textcolor{olive}{3}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}0&=\textcolor{olive}{6}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{3}0&=\textcolor{olive}{9}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{4}0&=\textcolor{olive}{12}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}0&=\textcolor{olive}{15}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{6}0&=\textcolor{olive}{18}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{7}0&=\textcolor{olive}{21}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{8}0&=\textcolor{olive}{24}0\\\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{9}0&=\textcolor{olive}{27}0\\\end{aligned}$

Pour multiplier par un multiple de 100, multiplier par le nombre de centaines, puis placer deux zéros à la fin : pour $9\times200$, $9 \times 2 = 18$, donc $9\times200=1\,800$.

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Méthode — La colonne avec retenues

Pour calculer $23 \times 7$, la procédure est la suivante :

Étape 1 : Aligner les nombres. Placer les nombres verticalement, en alignant les chiffres par valeur de position.
Étape 2 : Multiplier le chiffre des unités. $$\textcolor{colordef}{3} \text{ unités} \times \textcolor{colordef}{7} = 21 \text{ unités} = \textcolor{olive}{2} \text{ dizaines} + \textcolor{colorprop}{1} \text{ unité}$$ Ce résultat est composé de $\textcolor{colorprop}{1}$ unité et de $\textcolor{olive}{2}$ dizaines. Écrire le $\textcolor{colorprop}{1}$ dans la colonne des unités du résultat. Reporter le $\textcolor{olive}{2}$ dans la colonne des dizaines.
Étape 3 : Multiplier le chiffre des dizaines et ajouter la retenue. $$\textcolor{colordef}{2} \text{ dizaines} \times \textcolor{colordef}{7} + \textcolor{olive}{2} \text{ dizaines (retenue)} = 14 \text{ dizaines} + \textcolor{olive}{2} \text{ dizaines} = \textcolor{colorprop}{16} \text{ dizaines}$$ Écrire $\textcolor{colorprop}{16}$ dizaines — le $\textcolor{colorprop}{6}$ dans la colonne des dizaines et le $\textcolor{colorprop}{1}$ dans celle des centaines (pas de retenue : plus rien à calculer).
Résultat : $23 \times 7 = 161$.

Méthode — Multiplication en colonne par un nombre à deux chiffres

Pour calculer $23 \times 37$ :

Étape 1 : Aligner les nombres verticalement par valeur de position.
Étape 2 : Multiplier par le chiffre des unités. Multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des unités du nombre du bas (7) : $\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{7}=\textcolor{colorprop}{161}$.
Étape 3 : Multiplier par le chiffre des dizaines.
- D'abord, placer un $\textcolor{olive}{0}$ de position dans la colonne des unités de la deuxième ligne. C'est parce que l'on multiplie maintenant par le chiffre des dizaines ($\textcolor{colordef}{3}$, qui représente 30). Ce zéro décale la réponse d'une position vers la gauche.
- Ensuite, multiplier le nombre du haut (23) par le chiffre des dizaines ($\textcolor{colordef}{3}$). Calculer $\textcolor{colordef}{23}\times\textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{69}$ et l'écrire à gauche du zéro de position.
Étape 4 : Additionner les produits partiels. Additionner les résultats des étapes 2 et 3 : $\textcolor{colordef}{161}+\textcolor{colordef}{690}=\textcolor{colorprop}{851}$
Résultat : $23 \times 37 = 851$.

Méthode — Les doubles pour multiplier : par 4 et par 8

$\times 4$ = le double du double ; $\times 8$ = trois doubles de suite.
Doubler, comme dans la table de 4, marche maintenant sur les grands nombres. Pour doubler un nombre, on double chaque partie : $52 = 50 + 2$, donc son double est $100 + 4 = 104$.

Compétences à pratiquer

Multiplier de 1 à 10
Multiplier par les multiples de 100
Multiplier des nombres à 3 chiffres par des nombres à 2 chiffres
Multiplier par 4 : le double du double
Multiplier par 8 : trois doubles
Multiplier des nombres à 3 chiffres par 4 et par 8

II Multiplier par des dizaines et des centaines

Proposition — Regrouper les facteurs

Pour multiplier trois nombres, on peut commencer par multiplier deux d'entre eux, n'importe lesquels : le produit ne change pas. Les parenthèses indiquent la multiplication que l'on fait en premier : $$(3 \times 2) \times 5 = 3 \times (2 \times 5) = 30$$ L'ordre de deux facteurs n'a pas d'importance non plus ($2 \times 5 = 5 \times 2$). Donc on peut prendre trois facteurs dans n'importe quel ordre et les regrouper comme on veut. Pour calculer vite, chercher d'abord deux facteurs dont le produit est $10$, $20$ ou $100$.
C'est aussi pour cela que, pour multiplier par $30$, on peut multiplier par $3$, puis par $10$ : $$4 \times 30 = 4 \times (3 \times 10) = (4 \times 3) \times 10 = 12 \times 10 = 120$$

Méthode — Multiplier par des dizaines et des centaines

Un facteur comme $30$ ou $200$ se décompose : $30 = 3 \times 10$, $200 = 2 \times 100$. Pour multiplier par des dizaines ou des centaines, on décompose ce facteur, on multiplie d'abord les petits nombres (les facteurs peuvent s'échanger et se regrouper), puis on multiplie par $10$ ou $100$ : $$30 \times 4 = 3 \times 4 \times 10 = 120 \qquad 6 \times 200 = 6 \times 2 \times 100 = 1\,200$$

Exemple

Calculer de tête : $40 \times 7$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 40 \times 7 &= 4 \times 7 \times 10\\ &= 28 \times 10\\ &= 280. \end{aligned}$$

Exemple

Calculer de tête : $7 \times 200$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 7 \times 200 &= 7 \times 2 \times 100\\ &= 14 \times 100\\ &= 1\,400. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Multiplier les multiples de 10 par un chiffre
Regrouper les facteurs pour calculer
Facteurs ronds
Problèmes avec facteurs ronds

III Poser des multiplications de plus grands nombres

Exemple — Multiplier par un nombre à trois chiffres

Calculer $326\times 254$ en colonne.

Correction

Multiplier $326$ par chaque chiffre de $254$, une ligne par chiffre, puis additionner les lignes.

Le chiffre des unités $4$ : $326\times 4=1\,304$. C'est la première ligne.
Le chiffre des dizaines $5$ vaut $50$ : placer un zéro de position $\textcolor{olive}{0}$, puis écrire $326\times 5=1\,630$ à sa gauche. La deuxième ligne est $326\times 50=16\,300$.
Le chiffre des centaines $2$ vaut $200$ : placer deux zéros de position $\textcolor{olive}{00}$, puis écrire $326\times 2=652$ à leur gauche. La troisième ligne est $326\times 200=65\,200$.
Additionner les trois produits partiels, alignés selon leur rang.

$$\begin{aligned}[t] 326\times 254 &= 326\times 4+326\times 50+326\times 200 && {\scriptstyle\left(254=4+50+200\right)} \\ &= 1\,304+16\,300+65\,200 \\ &= 82\,804 \end{aligned}$$ Ordre de grandeur : $326$ est proche de $300$ et $254$ est proche de $250$, et $300\times 250=75\,000$. Le résultat $82\,804$ est du même ordre.
Donc $326\times 254=82\,804$.

Compétences à pratiquer

Multiplier des nombres à 3 chiffres par des nombres à 2 ou 3 chiffres

IV Multiplier les décimaux par 10

Quand on multiplie un nombre par 10, il devient 10 fois plus grand. Cela signifie que chaque chiffre se déplace d'une position vers la gauche dans le tableau de numération. Un raccourci simple est de déplacer la virgule vers la droite.

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Méthode — Déplacer la virgule pour multiplier

Pour multiplier par 10, 100 ou $1\,000$, il faut déplacer la virgule vers la droite du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

Multiplier par 10 (1 zéro) $\rightarrow$ déplacer de 1 rang vers la droite.
Multiplier par 100 (2 zéros) $\rightarrow$ déplacer de 2 rangs vers la droite.
Multiplier par 1000 (3 zéros) $\rightarrow$ déplacer de 3 rangs vers la droite.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Exemple

Calculer $10\times 5{,}24 $

Correction

Compétences à pratiquer

Multiplier par 10

V Diviser les décimaux par 10

Quand on divise un nombre par 10, il devient 10 fois plus petit. Cela signifie que chaque chiffre se déplace d'une position vers la droite. Le raccourci est de déplacer la virgule vers la gauche.

Signaler une erreur

Méthode — Déplacer la virgule pour diviser

Pour diviser par 10, 100 ou $1\,000$, il faut déplacer la virgule vers la gauche du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

Diviser par 10 (1 zéro) $\rightarrow$ déplacer de 1 rang vers la gauche.
Diviser par 100 (2 zéros) $\rightarrow$ déplacer de 2 rangs vers la gauche.
Diviser par 1000 (3 zéros) $\rightarrow$ déplacer de 3 rangs vers la gauche.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Exemple

Calculer $23{,}2\div 10$

Correction

Compétences à pratiquer

Diviser par 10

VI Multiplier un décimal par un entier

Méthode — Multiplication posée

Étape 1 : Ignorer les virgules. Écrire le calcul comme si les nombres étaient des entiers. Il n'est pas nécessaire d'aligner les virgules.
Étape 2 : Multiplier. Effectuer la multiplication comme avec des nombres entiers.
Étape 3 : Compter les chiffres après la virgule. Compter les chiffres après la virgule de chaque facteur et additionner ces nombres (un facteur entier n'en apporte aucun).
Étape 4 : Placer la virgule. Dans la réponse, placer la virgule de manière à avoir le même nombre de chiffres après la virgule que celui compté à l'étape 3.

Exemple

Calculer $3{,}45 \times 3$.

Correction

On ignore la virgule : $345 \times 3 = 1035$. Le facteur $3{,}45$ a $2$ chiffres après la virgule, donc on place la virgule à $2$ chiffres depuis la droite : $$3{,}45 \times 3 = \textbf{10{,}35}$$ Pourquoi ça marche : $3{,}45$, c'est $345$ centièmes, donc $3{,}45 \times 3 = 1035$ centièmes $= 10{,}35$.

Compétences à pratiquer

Multiplier un décimal par un entier

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Expliquer les produits partiels
Retrouver les chiffres manquants d'une multiplication par un nombre à deux chiffres
Résoudre des problèmes à étapes avec la multiplication posée
Quiz

\(\times\)	\(\textcolor{colorprop}{1}\)	\(\textcolor{colorprop}{2}\)	\(\textcolor{colorprop}{3}\)	\(\textcolor{colorprop}{4}\)	\(\textcolor{colorprop}{5}\)	\(\textcolor{colorprop}{6}\)	\(\textcolor{colorprop}{7}\)	\(\textcolor{colorprop}{8}\)	\(\textcolor{colorprop}{9}\)	\(\textcolor{colorprop}{10}\)
\(\textcolor{colordef}{1}\)	\(\textcolor{olive}{1}\)	\(\textcolor{olive}{2}\)	\(\textcolor{olive}{3}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{5}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{7}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)
\(\textcolor{colordef}{2}\)	\(\textcolor{olive}{2}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{14}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)
\(\textcolor{colordef}{3}\)	\(\textcolor{olive}{3}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{15}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{21}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{27}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)
\(\textcolor{colordef}{4}\)	\(\textcolor{olive}{4}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{28}\)	\(\textcolor{olive}{32}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)
\(\textcolor{colordef}{5}\)	\(\textcolor{olive}{5}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{15}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{25}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{35}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{45}\)	\(\textcolor{olive}{50}\)
\(\textcolor{colordef}{6}\)	\(\textcolor{olive}{6}\)	\(\textcolor{olive}{12}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{42}\)	\(\textcolor{olive}{48}\)	\(\textcolor{olive}{54}\)	\(\textcolor{olive}{60}\)
\(\textcolor{colordef}{7}\)	\(\textcolor{olive}{7}\)	\(\textcolor{olive}{14}\)	\(\textcolor{olive}{21}\)	\(\textcolor{olive}{28}\)	\(\textcolor{olive}{35}\)	\(\textcolor{olive}{42}\)	\(\textcolor{olive}{49}\)	\(\textcolor{olive}{56}\)	\(\textcolor{olive}{63}\)	\(\textcolor{olive}{70}\)
\(\textcolor{colordef}{8}\)	\(\textcolor{olive}{8}\)	\(\textcolor{olive}{16}\)	\(\textcolor{olive}{24}\)	\(\textcolor{olive}{32}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{48}\)	\(\textcolor{olive}{56}\)	\(\textcolor{olive}{64}\)	\(\textcolor{olive}{72}\)	\(\textcolor{olive}{80}\)
\(\textcolor{colordef}{9}\)	\(\textcolor{olive}{9}\)	\(\textcolor{olive}{18}\)	\(\textcolor{olive}{27}\)	\(\textcolor{olive}{36}\)	\(\textcolor{olive}{45}\)	\(\textcolor{olive}{54}\)	\(\textcolor{olive}{63}\)	\(\textcolor{olive}{72}\)	\(\textcolor{olive}{81}\)	\(\textcolor{olive}{90}\)
\(\textcolor{colordef}{10}\)	\(\textcolor{olive}{10}\)	\(\textcolor{olive}{20}\)	\(\textcolor{olive}{30}\)	\(\textcolor{olive}{40}\)	\(\textcolor{olive}{50}\)	\(\textcolor{olive}{60}\)	\(\textcolor{olive}{70}\)	\(\textcolor{olive}{80}\)	\(\textcolor{olive}{90}\)	\(\textcolor{olive}{100}\)