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\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Éducation Nationale Française · CM1

La division

⌚ ~146 min ▢ 16 blocs ✓ 80 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections
I La division
Définition — Division
La division est le processus de partage d'un total en groupes égaux. On utilise le signe de division (\(\div\)) pour écrire une égalité de division.
On peut montrer « \(\textcolor{olive}{\text{six}}\) divisé par \(\textcolor{colordef}{\text{trois}}\) égale \(\textcolor{colorprop}{\text{deux}}\) » de plusieurs manières :
  • Avec des nombres : $$\textcolor{olive}{6}\div \textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{2}$$
  • En groupes :
    Partager \(\textcolor{olive}{6}\) en \(\textcolor{colordef}{3}\) groupes égaux donne \(\textcolor{colorprop}{2}\) dans chaque groupe
  • Deux questions, une seule division :
    La même division \(\textcolor{olive}{6}\div \textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{2}\) répond à deux questions différentes.
    • Partage : \(\textcolor{olive}{6}\) gâteaux sont partagés entre \(\textcolor{colordef}{3}\) enfants. Chaque enfant en reçoit \(\textcolor{colorprop}{2}\) — la réponse est un nombre de gâteaux.
    • Groupement : \(\textcolor{olive}{6}\) gâteaux sont rangés dans des boîtes de \(\textcolor{colorprop}{3}\). On remplit \(\textcolor{colordef}{2}\) boîtes — la réponse est un nombre de boîtes.
  • Avec des cubes :
    Illustration
  • Avec un modèle partie-tout :
    Illustration
Proposition — Le lien entre la multiplication et la division
La multiplication et la division sont des opérations inverses. Cela signifie que l'une « défait » l'autre.
Illustration
La famille d'opérations pour \(\textcolor{colordef}{3}\), \(\textcolor{colorprop}{2}\) et \(\textcolor{olive}{6}\) est : $$\begin{aligned}[t] \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} &= \textcolor{olive}{6} \\ \textcolor{colorprop}{2} \times \textcolor{colordef}{3} &= \textcolor{olive}{6} \end{aligned} \qquad \qquad \begin{aligned}[t] \textcolor{olive}{6} \div \textcolor{colordef}{3} &= \textcolor{colorprop}{2} \\ \textcolor{olive}{6} \div \textcolor{colorprop}{2} &= \textcolor{colordef}{3} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
  • Diviser des objets également en groupes
  • Calculer des divisions
II Division sans reste
Définition — Dividende, diviseur et quotient
Dans une division — l'opération inverse de la multiplication, qui cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre — les trois nombres ont un nom :
  • Le dividende : le nombre qui est divisé.
  • Le diviseur : le nombre par lequel on divise le dividende.
  • Le quotient : le résultat de la division.
L'opération est indiquée par le symbole de division (\(\div\)).$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} \div \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} = \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}$$ Par exemple, l'égalité de multiplication \(\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}\) correspond à :$$\underbrace{\textcolor{olive}{6}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}} $$ La division peut être représentée de plusieurs manières :
  • Forme numérique : $$\textcolor{olive}{6}\div \textcolor{colordef}{3}=\textcolor{colorprop}{2}$$
  • En mots :
    \(\textcolor{olive}{\text{Six}}\) divisé par \(\textcolor{colordef}{\text{trois}}\) égale \(\textcolor{colorprop}{\text{deux}}\).
  • Modèle en grille :
    Illustration
Compétences à pratiquer
  • Calculer des divisions
  • Calculer des divisions avec de grands diviseurs
III Division avec reste
Définition — Division euclidienne
Dans la division d'un nombre entier par un autre (différent de \(0\)), le reste est ce qui reste une fois les groupes égaux formés.
  • Le reste vaut \(0\) ou plus, et il est toujours plus petit que le diviseur : sinon on pourrait encore former un groupe.
  • Si le reste est \(0\), la division est exacte.
Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont liés par une égalité, l'identité euclidienne :$$\textcolor{olive}{\text{Dividende}} = \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} + \textcolor{orange}{\text{Reste}}$$ La division euclidienne peut être représentée de plusieurs manières :
  • En mots :
    \(\textcolor{olive}{\text{Sept}}\) divisé par \(\textcolor{colordef}{\text{trois}}\) égale \(\textcolor{colorprop}{\text{deux}}\), avec un reste de \(\textcolor{orange}{\text{un}}\)
  • Phrase de division :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}} \div \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} = \divionRemainderFr{\underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}}}{\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}}$$
  • Identité euclidienne :$$\underbrace{\textcolor{olive}{7}}_{\textcolor{olive}{\text{Dividende}}}= \underbrace{\textcolor{colordef}{3}}_{\textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}} \times \underbrace{\textcolor{colorprop}{2}}_{\textcolor{colorprop}{\text{Quotient}}} +\underbrace{\textcolor{orange}{1}}_{\textcolor{orange}{\text{Reste}}}$$
  • Modèle en groupes :
    Illustration
  • Algorithme de la division posée :
    Illustration
Compétences à pratiquer
  • Diviser des cubes avec des restes
  • Diviser des nombres avec des restes
  • Écrire les multiplications avec restes de cubes
  • Écrire les multiplications avec restes
IV Division posée

La division posée est une méthode organisée pour résoudre les problèmes de division. L'idée principale est de trouver combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
  • Cas 1 : Une division exacte
    Pour résoudre \(\textcolor{olive}{12} \div \textcolor{colordef}{4}\), on se demande : « Combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) est-il contenu dans \(\textcolor{olive}{12}\) ? »
    Grâce aux tables de multiplication, on sait que \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{olive}{12}\). \(\textcolor{colordef}{4} \) est contenu \(\textcolor{colorprop}{3}\) fois dans \(\textcolor{olive}{12}\).
    La réponse est \(\textcolor{colorprop}{3}\).
  • Cas 2 : Une division avec un reste
    Pour résoudre \(\textcolor{olive}{13} \div \textcolor{colordef}{4}\), on se demande : « Combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) est-il contenu dans \(\textcolor{olive}{13}\), sans dépasser ? »
    • \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = 12\) (Cela convient)
    • \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{4} = 16\) (C'est trop grand)
    Donc, \(\textcolor{colordef}{4}\) est contenu \(\textcolor{colorprop}{3}\) fois dans \(\textcolor{olive}{13}\). La quantité restante est le reste : \(\textcolor{olive}{13} - 12 = \textcolor{orange}{1}\).
    La réponse est \(\textcolor{colorprop}{3}\) avec un reste de \(\textcolor{orange}{1}\).

Méthode — L'algorithme de la division posée : une étape
Pour faire une division avec reste, comme \(\textcolor{olive}{13} \div \textcolor{colordef}{4}\), suivre ces étapes :
  • Poser : écrire le dividende (\(\textcolor{olive}{13}\)) à gauche de la potence et le diviseur (\(\textcolor{colordef}{4}\)) à sa droite, au-dessus du trait horizontal ; le quotient s'écrira sous ce trait.
    Illustration
  • Diviser : Dans \(\textcolor{olive}{13}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ? On sait que :\(\begin{aligned}\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}&=\boxed{12}\ (\leq\,\textcolor{olive}{13}),\\\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}&=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).\end{aligned}\)
    On écrit \(\textcolor{colorprop}{3}\) dans la potence, sous le diviseur, et \(12\) sous \(\textcolor{olive}{13}\).
    Illustration
  • Soustraire : Soustraire 12 de 13 pour trouver le reste. \(13 - 12 = \textcolor{orange}{1}\).
    Illustration
  • Réponse : \(\textcolor{olive}{13} \div \textcolor{colordef}{4} = \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{3}}{\textcolor{orange}{1}}\) et \(\textcolor{olive}{13} = \textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{orange}{1}\).
Méthode — L'algorithme de la division posée : plusieurs étapes
Pour faire une division avec reste, comme \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}\), suivre ces étapes :
  • Poser : écrire le dividende (\(\textcolor{olive}{130}\)) à gauche de la potence et le diviseur (\(\textcolor{colordef}{4}\)) à sa droite, au-dessus du trait horizontal ; le quotient s’écrira sous ce trait.
    Illustration
  • Diviser la première partie : \(1\) est plus petit que \(4\) : on commence par \(13\) dizaines. Dans \(\textcolor{olive}{13}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\boxed{12}\ (\le \textcolor{olive}{13}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{4}=\cancel{16}\ (> \textcolor{olive}{13}).$$ On écrit \(\textcolor{colorprop}{3}\) dans la potence, sous le diviseur, et \(12\) sous \(13\).
    Illustration
  • Abaisser : On soustrait \(\textcolor{olive}{13}-12=\textcolor{olive}{1}\) puis on abaisse le chiffre suivant (\(0\)) pour obtenir \(\textcolor{olive}{10}\).
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  • Diviser le nouveau nombre (10) : Dans \(\textcolor{olive}{10}\), combien de fois \(\textcolor{colordef}{4}\) ?$$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{2}=\boxed{8}\ (\le \textcolor{olive}{10}),\qquad\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\cancel{12}\ (> \textcolor{olive}{10}).$$ On écrit \(\textcolor{colorprop}{2}\) dans la potence, à droite du \(\textcolor{colorprop}{3}\), on pose \(8\) sous \(10\), puis on soustrait.
    Illustration
  • Recommencer : abaisser, diviser, soustraire, jusqu'à ce que tous les chiffres du dividende aient été utilisés. Ici, il ne reste plus de chiffre après le \(0\) : \(\textcolor{orange}{2}\) est le reste.
  • Réponse : \(\textcolor{olive}{130} \div \textcolor{colordef}{4}= \divionRemainderFr{\textcolor{colorprop}{32}}{\textcolor{orange}{2}}\) et \(\textcolor{olive}{130}=\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{32}+\textcolor{orange}{2}\).
Exemple
Calculer \(823\div 4\) en posant la division.

Avant de diviser : \(4\times 200=800\le 823\) et \(4\times 300=1\,200>823\), donc le quotient est entre \(200\) et \(300\) : il a trois chiffres.
  • Dans \(8\), combien de fois \(4\) ? \(4\times 2=8\) : on écrit \(2\) au quotient, puis \(8-8=0\).
  • On abaisse le \(2\) : le nouveau nombre est \(2\), plus petit que le diviseur \(4\) ; dans \(2\), il y a \(0\) fois \(4\) : on écrit \(0\) au quotient, puis \(2-0=2\).
  • On abaisse le \(3\) : le nouveau nombre est \(23\). \(4\times 5=20\le 23\) et \(4\times 6=24>23\) : on écrit \(5\) au quotient, puis \(23-20=3\).
Illustration
Donc \(823\div 4=\divionRemainderFr{205}{3}\), et \(823=4\times 205+3\). Le \(0\) garde la place des dizaines : sans lui, le quotient se lirait \(25\), et \(4\times 25+3=103\), pas \(823\).
Chaque fois que le nouveau nombre est plus petit que le diviseur, on écrit \(0\) au quotient, puis on abaisse le chiffre suivant ; s'il ne reste plus de chiffre, ce nombre est le reste (\(843\div 4=\divionRemainderFr{210}{3}\)).

Compétences à pratiquer
  • Calculer une division posée en une étape
  • Calculer une division posée en deux étapes
  • Calculer une division posée en trois étapes
  • Calculer une division posée avec un zéro au quotient
V Deux représentations de la division
Méthode — Les deux modèles de la division
La division répond à deux types de questions. Quand le total ne se répartit pas exactement, on note un reste.
  • Partage. Le nombre de groupes est connu ; on cherche la taille de chaque groupe (et ce qu’il reste).$$\textcolor{olive}{\text{total}} \div \textcolor{colordef}{\text{nombre de groupes}}= \textcolor{colorprop}{\text{taille de chaque groupe}} \text{ avec un } \textcolor{orange}{\text{reste}}.$$ Exemple : 13 biscuits sont partagés entre 3 amis.$$\textcolor{olive}{\text{13 biscuits}} \div \textcolor{colordef}{\text{3 amis}}= \textcolor{colorprop}{\text{4 biscuits par ami}} \text{ avec un reste de } \textcolor{orange}{\text{1 biscuit}}.$$
  • Groupement. La taille de chaque groupe est connue ; on cherche combien de groupes complets on peut former (et ce qu’il reste).$$\textcolor{olive}{\text{total}} \div \textcolor{colorprop}{\text{taille de chaque groupe}}= \textcolor{colordef}{\text{nombre de groupes}} \text{ avec un } \textcolor{orange}{\text{reste}}.$$ Exemple : on met 13 biscuits dans des sachets de 4 biscuits.$$\textcolor{olive}{\text{13 biscuits}} \div \textcolor{colorprop}{\text{4 biscuits par sachet}}= \textcolor{colordef}{\text{3 sachets}} \text{ avec un reste de } \textcolor{orange}{\text{1 biscuit}}.$$
Compétences à pratiquer
  • Trouver le nombre par groupe ou le nombre de groupes avec le reste
VI Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Vérifier une division avec l'identité euclidienne
  • Raisonner sur les restes
  • Résoudre des problèmes de partage avec reste
  • Quiz