Éducation Nationale Française · CM1

La résolution de problèmes

⌚ ~106 min ▢ 11 blocs ✓ 40 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Calcul mental et estimation, Les expressions : nommer, calculer, écrire, Addition et soustraction, La multiplication, La division

I Résoudre un problème

Méthode — Les quatre étapes d'un problème

Ce sont les étapes déjà connues (comprendre l'histoire, dessiner le modèle, choisir l'opération, résoudre et vérifier) ; elles prennent ici un nom court. Tout problème se résout avec les mêmes quatre étapes.

Comprendre : raconter à nouveau l'histoire avec ses propres mots. Que sait-on ? Que cherche-t-on ?
Modéliser : choisir le dessin que l'histoire demande — un schéma en barres (des parties et un tout, deux barres pour une comparaison, des groupes égaux pour une multiplication), ou un tableau ou un arbre quand il faut compter ou lister les cas.
Calculer : le modèle montre l'opération. De tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.
Répondre et vérifier : écrire la réponse avec son mot (cahiers, euros, rangées), puis se demander : est-ce possible ? Une partie ne dépasse jamais le tout ; un écart ne dépasse jamais la plus grande quantité ; le tout n'est jamais plus petit qu'une de ses parties.

Si la vérification échoue, l'erreur est dans l'une des trois premières étapes : relire l'histoire, puis le modèle, puis le calcul.

Méthode — Le modèle ne change pas, les nombres grandissent

Avec des nombres jusqu'à $10\,000$, un problème en une étape se lit exactement comme avec de plus petits nombres.

Parties-tout : si le tout est inconnu, on additionne les parties ; si une partie est inconnue, on soustrait.
Comparaison : deux quantités sont comparées. Pour trouver la plus grande, on ajoute l'écart ; pour la plus petite, on le soustrait ; pour l'écart, on soustrait la plus petite de la plus grande.
Lire le modèle, pas les mots : « de plus » dans l'histoire ne veut pas dire « additionner ». Le modèle montre qui en a le plus, et l'opération suit le modèle.
Ce qui change, c'est seulement le calcul : de tête quand les nombres le permettent, sinon l'opération se pose en colonne.

Méthode — D'abord la quantité manquante, puis le tout

Quand un problème de comparaison demande le tout, une étape ne suffit pas : la seconde quantité manque.

Étape 1 — trouver la quantité manquante. Dessiner les deux barres et regarder le modèle, pas les mots : si la quantité manquante est la plus grande, on ajoute l'écart ; si c'est la plus petite, on le soustrait.
Étape 2 — additionner les deux quantités pour obtenir le tout.
L'accolade à droite du modèle montre ce qui est demandé : elle couvre les deux barres.
Le piège : l'écart ne s'ajoute jamais au tout. Il ne sert qu'à construire la seconde barre.

Méthode — Quatre de plus ou quatre fois plus ?

Deux petits mots changent tout dans une comparaison.

« quatre de plus » ajoute : la quantité augmente de quatre. C'est une addition, et le modèle montre deux barres avec un petit écart.
« quatre fois plus » répète : la quantité est prise quatre fois. C'est une multiplication, et le modèle montre quatre barres égales.
« quatre fois moins » partage : la quantité est découpée en quatre parts égales. C'est une division.
Pour choisir, se demander : l'histoire ajoute-t-elle quelque chose, ou répète-t-elle la quantité ? Avec $32$ : quatre de plus donne $36$, quatre fois plus donne $128$, quatre fois moins donne $8$.

Méthode — Trois questions, un seul modèle

Dans un problème de groupes égaux, trois nombres se rencontrent : le nombre de groupes, la valeur d'un groupe et le tout. Deux sont donnés, le troisième est cherché. Le modèle en barres montre toujours la même image — un tout découpé en groupes égaux — et seule la place du « ? » change.

Le tout est inconnu : on multiplie le nombre de groupes par la valeur d'un groupe.
La valeur d'un groupe est inconnue : on divise le tout par le nombre de groupes.
Le nombre de groupes est inconnu : on divise le tout par la valeur d'un groupe.
Les deux divisions viennent de la même multiplication : $\textcolor{colordef}{6} \times \textcolor{colorprop}{12}=\textcolor{olive}{72}$ donne à la fois $72 \div 6 = 12$ et $72 \div 12 = 6$.

Méthode — Un tableau pour deux ensembles, un arbre pour trois

Certains problèmes demandent combien de couples on peut former, sans rien ajouter ni rien partager.

Deux ensembles : on dessine un tableau, une ligne par objet du premier ensemble, une colonne par objet du second. Chaque case est un choix possible, et le nombre de cases est le produit des deux nombres.
Trois ensembles : on dessine un arbre. De chaque branche du premier ensemble part une branche par objet du second, puis une branche par objet du troisième. Le nombre de branches finales est le produit des trois nombres.
Le tableau et l'arbre ne donnent pas seulement le nombre : ils montrent toutes les solutions, et c'est ainsi que la réponse se vérifie.

Méthode — Une étape à la fois

Un problème mixte demande plusieurs opérations, et elles ne sont pas de la même sorte.

Trouver d'abord les nombres cachés. Chaque nombre dont la question a besoin mais que l'histoire ne donne pas est une étape à lui seul.
Écrire chaque étape avec son mot : « $24$ places aux grandes tables », et pas seulement « $24$ ». C'est ainsi qu'on vérifie une étape avant de commencer la suivante.
Puis combiner : la dernière étape se lit dans l'histoire comme la première — additionner si les quantités sont réunies, soustraire si l'une est retirée de l'autre, multiplier si une quantité est répétée, diviser si elle est partagée.
Vérifier à la fin : la réponse doit être possible pour toute l'histoire, pas seulement pour le dernier calcul.

Compétences à pratiquer

Cette réponse est-elle possible ?

II Problèmes de comparaison et à étapes

Compétences à pratiquer

Comparer avec « de plus » ou « de moins »
Comparer avec « fois plus » ou « fois moins »
Résoudre des problèmes à plusieurs questions

III Chercher toutes les possibilités

Découverte

Avec les trois chiffres $2$, $5$ et $7$, combien de nombres de trois chiffres peut-on écrire en utilisant chaque chiffre une seule fois ? On demande la liste, pas seulement le compte.

Correction

Comprendre : chaque nombre utilise les trois chiffres une fois. Deux nombres écrits avec les mêmes chiffres dans un ordre différent sont deux nombres différents.
Modéliser : on se donne un ordre — le plus petit chiffre d'abord. On fixe le premier chiffre, puis on place les deux qui restent dans les deux ordres.
Calculer : en commençant par $2$ : $257$, $275$. Par $5$ : $527$, $572$. Par $7$ : $725$, $752$. Cela fait $3$ débuts de $2$ nombres chacun : $3 \times 2 = 6$.
Répondre et vérifier : il y a $\mathbf{6}$ nombres. Aucun n'apparaît deux fois, et aucun ne manque : tous les débuts ont été pris, et pour chaque début les deux chiffres restants ont été échangés.

Méthode — Lister sans oublier ni répéter

Dénombrer les cas dit combien il y en a. Ici, ce sont les cas eux-mêmes que l'on demande, et compter ne suffit plus : il faut les lister.

Choisir un ordre et ne plus en changer : le plus petit d'abord, ou l'ordre alphabétique, ou la plus grosse pièce d'abord. N'importe quel ordre convient ; c'est d'en changer en cours de route qui fait perdre un cas.
Fixer le premier choix, puis épuiser : le premier choix étant tenu, écrire tous les cas qu'il permet. Passer au premier choix suivant seulement ensuite.
Garder la trace : un arbre, une branche par premier choix, ou un tableau, une ligne par premier choix.
Contrôler deux fois : à chaque niveau, tous les choix permis ont été écrits — c'est cela qui rend la liste complète ; et aucun cas n'apparaît deux fois.

Un cas écrit deux fois vient le plus souvent d'un ordre quitté — ou d'un cas recopié une seconde fois ; un cas manquant, d'un choix oublié à l'un des niveaux.

Exemple — Payer avec des pièces

De combien de façons peut-on payer $7~\Euro$ avec des pièces de $2~\Euro$ et des pièces de $1~\Euro$ ? Lister les façons.

Correction

Comprendre : une façon, c'est un nombre de pièces de $2~\Euro$ et un nombre de pièces de $1~\Euro$ qui font $7~\Euro$ ensemble.
Modéliser : l'ordre choisi est le nombre de pièces de $2~\Euro$, du plus grand au plus petit. Trois pièces de $2~\Euro$ font $6~\Euro$, et quatre en feraient $8~\Euro$ : c'est trop. Ce nombre va donc de $3$ à $0$.

Pièces de $2~\Euro$ Pièces de $1~\Euro$ Total

$3$ $1$ $7~\Euro$

$2$ $3$ $7~\Euro$

$1$ $5$ $7~\Euro$

$0$ $7$ $7~\Euro$
Calculer : chaque ligne est une façon, et le tableau a $4$ lignes.
Répondre et vérifier : il y a $\mathbf{4}$ façons. Chaque ligne fait bien $7~\Euro$, et le nombre de pièces de $2~\Euro$ diminue d'une à chaque ligne sans jamais en sauter : rien ne manque, rien n'est répété.

Exemple — Un chiffre qui ne peut pas commencer

Avec les chiffres $0$, $4$ et $9$, chacun utilisé une fois, lister les nombres de trois chiffres que l'on peut écrire.

Correction

Comprendre : un nombre de trois chiffres ne peut pas commencer par $0$ — $049$, c'est $49$, un nombre de deux chiffres.
Modéliser : l'ordre choisi est le premier chiffre, et seuls $4$ et $9$ peuvent commencer.
Calculer : en commençant par $4$ : $409$, $490$. Par $9$ : $904$, $940$.
Répondre et vérifier : il y a $\mathbf{4}$ nombres. On en attendait six avec trois chiffres libres, et les deux qui commencent par $0$ ont été retirés : $6 - 2 = 4$. Les deux comptes concordent.

Compétences à pratiquer

Lister tous les cas
Avec un tableau ou un arbre

IV Choisir le meilleur

Découverte

Un cahier coûte $3~\Euro$, et un lot de cinq cahiers coûte $12~\Euro$. Une classe a besoin de $12$ cahiers. Quel est le prix le plus bas à payer, et pourquoi aucune autre façon ne peut-elle faire mieux ?

Correction

Comprendre : la contrainte est au moins $12$ cahiers ; le critère est le prix le plus bas. En acheter plus de $12$ est permis si cela coûte moins cher.

Modéliser : les cas sont listés dans l'ordre du nombre de lots, de $0$ à $3$ — trois lots donnent déjà $15$ cahiers, un quatrième ne sert à rien.

Lots	À l'unité	Cahiers	Prix
$0$	$12$	$12$	$36~\Euro$
$1$	$7$	$12$	$12 + 21 = 33~\Euro$
$2$	$2$	$12$	$24 + 6 = 30~\Euro$
$3$	$0$	$15$	$36~\Euro$

Calculer : les quatre prix sont $36~\Euro$, $33~\Euro$, $30~\Euro$ et $36~\Euro$.
Répondre et vérifier : le prix le plus bas est $\mathbf{30}~\Euro$, avec deux lots et deux cahiers à l'unité. Aucune autre façon ne fait mieux. À partir de quatre lots, on paie $48~\Euro$ pour des cahiers dont on n'a pas besoin : le prix ne fait que croître. Et pour chaque nombre de lots retenu, acheter un cahier de plus à l'unité n'ajoute que $3~\Euro$, donc la ligne contient déjà la façon la moins chère d'atteindre douze.

Méthode — Trouver le meilleur choix

Certains problèmes ne demandent pas une solution, mais la meilleure. La réponse ne se trouve pas en essayant au hasard : elle se trouve en n'oubliant aucun cas.

Nommer la contrainte et le critère : ce qui doit être respecté (au moins $12$ cahiers, tous les élèves transportés) et ce qu'il faut rendre le plus petit ou le plus grand possible (le prix, le nombre de cars).
Lister tous les cas possibles, dans l'ordre : c'est la recherche organisée. On fait varier un choix de sa plus petite valeur à sa plus grande, et le reste suit.
Arrêter la liste là où elle devient inutile : au-delà d'une certaine valeur, la contrainte est déjà dépassée et le critère ne fait qu'empirer. Dire pourquoi il empire fait partie de la réponse — un car de plus transporte plus et coûte plus, donc en essayer cinq ne sert à rien dès que quatre suffisent.
Comparer, puis justifier : annoncer le meilleur cas, et dire pourquoi aucun autre ne fait mieux — parce que tous les cas utiles ont été examinés, et que ceux qu'on a laissés de côté ne peuvent être que pires.

Une réponse « la meilleure » sans cette dernière phrase n'est pas finie : elle dit ce qu'on a trouvé, pas que rien de mieux n'existe.

Exemple — Combien de cars ?

Un car transporte $50$ élèves. L'école emmène $180$ élèves en sortie. Combien de cars faut-il au minimum ?

Correction

Comprendre : la contrainte est tous les élèves sont transportés ; le critère est le moins de cars possible.
Modéliser : on essaie le nombre de cars dans l'ordre, du plus petit : $3$ cars transportent $150$ élèves, $4$ cars en transportent $200$.
Calculer : $3 \times 50 = 150$, et $150 < 180$ : trois cars laissent $30$ élèves à terre. $4 \times 50 = 200$, et $200$ est plus grand que $180$.
Répondre et vérifier : il faut $\mathbf{4}$ cars. Aucun nombre plus petit ne convient, puisque trois ne suffisent déjà pas — et le quatrième car ne transporte que $30$ élèves, ce qui est normal : c'est le dernier.

En acheter plus est parfois moins cher, parfois non. Dans le problème des cahiers, trois lots donnent $15$ cahiers pour $36~\Euro$ alors que deux lots et deux cahiers à l'unité en donnent exactement $12$ pour $30~\Euro$ : ici, en acheter plus coûte plus cher. Dans d'autres problèmes c'est l'inverse — un lot peut donner quelques articles de plus pour moins cher. Le moyen de le savoir est de mettre le cas dans la liste et de le calculer — jamais de décider d'avance qu'en acheter plus coûte moins, ni le contraire.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Le prix le plus bas
Le moins possible

V Une seule expression pour tout le problème

Découverte

Pour le cinéma, Léa achète $3$ places à $8~\Euro$ chacune et une boisson à $3~\Euro$. Peut-on écrire le coût total en une seule expression, puis le calculer ?

Correction

Les places coûtent $3 \times 8$ et la boisson ajoute $3$ : en une seule expression, $$(3 \times 8) + 3 = 24 + 3 = 27.$$ Le coût total est $27~\Euro$. Les parenthèses montrent que le produit se calcule d'abord. Écrire toute l'histoire en une seule expression, c'est la méthode de cette section.

Méthode — Procédure de résolution de problèmes

Les quatre étapes d'un problème restent les mêmes ; à l'étape « Modéliser », le plan s'écrit maintenant en une seule expression, au lieu d'un calcul par étape.

Comprendre : lire le problème et identifier la question et ce qui est donné.
Modéliser : déterminer les opérations nécessaires, et dans quel ordre, puis les écrire en une seule expression, avec des parenthèses partout où il en faut pour que les calculs se fassent dans l'ordre voulu.
Calculer : effectuer les calculs de l'expression.
Répondre et vérifier : écrire la phrase qui répond à la question, puis se poser la question habituelle — est-ce possible ?

Exemple

Trois amis partagent à parts égales le prix d'une pizza à $18~\Euro$ et d'une boisson à $6~\Euro$. Déterminer combien paie chacun.

Correction

Application des quatre étapes :

1. Comprendre : on réunit les deux prix, puis on partage le total en $3$ parts égales.
2. Modéliser : en une seule expression, $(18 + 6) \div 3$. Le partage porte sur tout le total : la somme se calcule d'abord, elle se met donc entre parenthèses. ($18 + (6 \div 3)$ ne partagerait que la boisson.)
3. Calculer : $$\begin{aligned}[t] (18 + 6) \div 3 &= 24 \div 3 && \text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 8. \end{aligned}$$
4. Répondre et vérifier : chacun paie $8~\Euro$. Vérification : $3 \times 8 = 24$, le prix total.

Compétences à pratiquer

Résoudre avec une seule expression
Écrire une seule expression

VI Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Mener la recherche jusqu'au bout
Quiz

Pièces de \(2~\Euro\)	Pièces de \(1~\Euro\)	Total
\(3\)	\(1\)	\(7~\Euro\)
\(2\)	\(3\)	\(7~\Euro\)
\(1\)	\(5\)	\(7~\Euro\)
\(0\)	\(7\)	\(7~\Euro\)

Lots	À l'unité	Cahiers	Prix
\(0\)	\(12\)	\(12\)	\(36~\Euro\)
\(1\)	\(7\)	\(12\)	\(12 + 21 = 33~\Euro\)
\(2\)	\(2\)	\(12\)	\(24 + 6 = 30~\Euro\)
\(3\)	\(0\)	\(15\)	\(36~\Euro\)