Éducation Nationale Française · CM1

Calcul mental et estimation

⌚ ~130 min ▢ 14 blocs ✓ 62 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Addition et soustraction, La multiplication

I Les procédures du calcul mental

Méthode — Ajouter ou soustraire une presque-dizaine

Une presque-dizaine est un nombre proche d'une dizaine entière : $8$, $9$, $18$, $19$, $28$, $29$, $38$, $39$. On passe par la dizaine entière, puis on corrige.

Ajouter 9, 19, 29, 39 : ajouter $10$, $20$, $30$, $40$, puis soustraire $1$. $456 + 29 = 486 - 1 = 485$.
Ajouter 8, 18, 28, 38 : ajouter $10$, $20$, $30$, $40$, puis soustraire $2$. $456 + 38 = 496 - 2 = 494$.
Soustraire 9, 19, 29, 39 : soustraire $10$, $20$, $30$, $40$, puis rajouter $1$. $456 - 29 = 426 + 1 = 427$.
Soustraire 8, 18, 28, 38 : soustraire $10$, $20$, $30$, $40$, puis rajouter $2$. $456 - 38 = 416 + 2 = 418$.

C'est un choix : il convient aux nombres proches d'une dizaine. Pour les autres nombres, on choisit une autre façon : décomposer le nombre ($456 + 23 = 456 + 20 + 3$), ou poser l'opération en colonnes (section suivante).

Méthode — Décomposer pour multiplier

Les tables vont jusqu'à $10 \times 10$. Pour multiplier un nombre à deux chiffres par un nombre des tables, on le décompose en dizaines et unités.
Pour trouver $13 \times 7$ : on décompose $13$ en $10 + 3$.
On multiplie chaque partie : $10 \times 7 = 70$ et $3 \times 7 = 21$.
On ajoute les deux résultats : $70 + 21 = 91$. Donc $13 \times 7 = 91$.

Méthode — Utiliser la soustraction pour décomposer

C'est une autre façon d'utiliser la propriété distributive. C'est utile lorsqu'on multiplie par des nombres proches d'un multiple de dix (comme 8 ou 9). Pour résoudre $9 \times 8$, on peut penser à 9 comme étant $(10 - 1)$ : $$\begin{aligned}[t] \text{Total pour 9 groupes} &= (\text{Total pour 10 groupes}) - (\text{Total pour 1 groupe})\\ 9 \times 8 &= (10 \times 8) - (1 \times 8) \\ &= 80 - 8 \\ &= 72\end{aligned}$$

Méthode — La moitié de la table de 10

Chaque résultat de la table de 5 est la moitié du résultat de la table de 10 :
$10 \times 8 = 80$, et la moitié de $80$ est $40$ — donc $5 \times 8 = 40$.
Quand le nombre de dizaines est impair, on coupe les dizaines : $10 \times 7 = 70$, et $70 = 60 + 10$, donc la moitié de $70$ est $30 + 5 = 35$ — donc $5 \times 7 = 35$.
Si on oublie un résultat de la table de 5, on multiplie par $10$, puis on prend la moitié.

Compétences à pratiquer

Ajouter 8, 18, 28 ou 38

II Calculer de tête avec de grands nombres

Découverte Le chemin malin

Au marché, Hugo doit payer $47 + 9$ euros. Pas de papier, pas d'addition posée : ce serait trop lent. Il pense : $47 + 10 = 57$, et $9$ c'est un de moins que $10$, donc $57 - 1 = 56$.
Le calcul mental, c'est l'art de trouver le chemin malin : passer par les dizaines entières, les doubles et les décompositions simples au lieu de poser le calcul. Les gestes appris avant marchent maintenant sur les grands nombres.

Exemple

Calculer de tête : (a) $24\,536 + 29$ ; (b) $18\,342 - 19$ ; (c) $39\,985 + 28$ ; (d) $70\,312 - 39$.

Correction

On ne remplace que la presque-dizaine par sa dizaine entière ; le grand nombre ne change pas. Le geste est le même qu'avec de petits nombres.

(a) $29$, c'est $30$ moins $1$ : $24\,536 + 30 = 24\,566$, puis $24\,566 - 1 = \mathbf{24\,565}$.
(b) $19$, c'est $20$ moins $1$ : $18\,342 - 20 = 18\,322$, puis $18\,322 + 1 = \mathbf{18\,323}$ (on a soustrait un de trop, on le rajoute).
(c) $28$, c'est $30$ moins $2$ : $39\,985 + 30 = 40\,015$, puis $40\,015 - 2 = \mathbf{40\,013}$. En ajoutant $30$, on dépasse $40\,000$ : tous les chiffres changent, sauf celui des unités.
(d) $39$, c'est $40$ moins $1$ : $70\,312 - 40 = 70\,272$, puis $70\,272 + 1 = \mathbf{70\,273}$.

Exemple

Calculer de tête : $17 \times 5$.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 17 \times 5 &= (17 \times 10) \div 2\\ &= 170 \div 2\\ &= 85. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Ajouter et retrancher des presque-dizaines
Décomposer pour multiplier
Multiplier par 5
Choisir sa stratégie

III Estimer pour contrôler un résultat

Découverte

Un sac contient 29 billes. Pour répondre rapidement à la question « combien de billes ? », on peut dire : « environ 30 billes ».
Remplacer 29 par 30, c'est arrondir. On arrondit les nombres pour les rendre plus simples et plus faciles à utiliser.

Définition — Arrondir

Arrondir consiste à remplacer un nombre par un autre nombre proche qui est plus simple.

Proposition — L'arrondi est la borne la plus proche

Pour arrondir un nombre à la dizaine (à la centaine, au millier…), on l'encadre entre deux multiples consécutifs de $10$ (de $100$, de $1\,000$…) : son arrondi est la borne la plus proche. Un nombre exactement au milieu des deux bornes s'arrondit, par convention, à la borne supérieure.

À la centaine, $365$ est encadré par $300$ et $400$. Il est à $65$ de $300$ et à $35$ de $400$ : il est plus proche de $400$, donc $365$ arrondi à la centaine est $400$. Le chiffre à droite du chiffre cible dit dans quelle moitié de l'encadrement se trouve le nombre : de $5$ à $9$, la moitié haute (le milieu, $350$, compris) ; de $0$ à $4$, la moitié basse. C'est pourquoi la procédure d'arrondi ne regarde que ce chiffre.

Méthode — Procédure standard pour arrondir

Pour arrondir un nombre à une position donnée (la dizaine, la centaine, le millier…) :

Trouver le chiffre cible : le chiffre de la position à laquelle on arrondit.
Regarder le chiffre juste à sa droite.
Appliquer la règle :
- Si ce chiffre est 5 ou plus (5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9), arrondir au supérieur : ajouter 1 au chiffre cible.
- Si ce chiffre est 4 ou moins (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4), arrondir à l'inférieur : le chiffre cible ne change pas.
Remplacer les chiffres suivants par des zéros : chaque chiffre à droite du chiffre cible devient $0$.

Les chiffres à gauche du chiffre cible ne changent pas, sauf quand un 9 devient 10 : si le chiffre cible est $9$, en ajoutant 1 on obtient $10$ ; on écrit alors $0$ et on ajoute 1 au chiffre juste à gauche (par exemple, $9\,999$ arrondi au millier le plus proche est $10\,000$). Un nombre exactement à mi-chemin entre les deux bornes, comme $350$ entre $300$ et $400$, s'arrondit par convention au supérieur.

Exemple

Arrondir $365$ à la centaine la plus proche.

Correction

La procédure est exécutée comme suit :$$\begin{aligned}[t]&\textcolor{colordef}{\underline{3}}65 && \text{1. Le chiffre cible à la position des centaines est } \textcolor{colordef}{3}.\\ &\textcolor{colordef}{3}\textcolor{colorprop}{\underline{6}}5 && \text{2. Le chiffre à sa droite est } \textcolor{colorprop}{6}.\\ &&&\text{3. Comme } \textcolor{colorprop}{6} \ge 5, \text{ on arrondit au supérieur : } \textcolor{colordef}{3}+1 = \textcolor{olive}{4}.\\ &\textcolor{olive}{4}\textcolor{purple}{00} && \text{4. Les chiffres suivants sont remplacés par des zéros.}\end{aligned}$$ $365$ arrondi à la centaine la plus proche est donc $400$.

Méthode — Le contrôle par un ordre de grandeur

L'erreur la plus fréquente dans les calculs sur les décimaux n'est pas un chiffre faux mais une virgule mal placée — un résultat dix ou cent fois trop grand ou trop petit. Une estimation rapide permet de la repérer.

Étape 1 : Arrondir. Arrondir chaque nombre à l'unité (ou à un nombre simple proche).
Étape 2 : Estimer. Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
Étape 3 : Comparer. Comparer l'estimation avec le résultat exact : ils doivent être du même ordre de grandeur. Sinon, chercher l'erreur — le plus souvent une virgule mal placée.

Exemple

Léo pose $42{,}7 + 9{,}8$ et trouve $52{,}5$. Vérifier avec un ordre de grandeur que son résultat est vraisemblable.

Correction

$$\begin{aligned}[t] 42{,}7 + 9{,}8 &\approx 43 + 10 &&{\scriptstyle\text{(arrondi à l'unité)}}\\ &= 53 &&{\scriptstyle\text{(addition)}} \end{aligned}$$ Le résultat exact $52{,}5$ est proche de l'estimation $53$ : le résultat de Léo est vraisemblable.

Compétences à pratiquer

Arrondir à la dizaine la plus proche
Arrondir à la centaine la plus proche
Arrondir au millier le plus proche
Estimer avant de calculer
Repérer les résultats impossibles
Résoudre des problèmes de la vie quotidienne

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Estimer une somme ou une différence par arrondi
Choisir la position d'arrondi selon le contexte
Encadrer pour contrôler un résultat
Quiz