Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Coniques et raccordements (STD2A)

⌚ ~138 min ▢ 15 blocs ✓ 64 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Géométrie plane : figures régulières, frises, pavages (STD2A), Géométrie dans l'espace : perspective cavalière, sections, ellipse (STD2A), Nombre dérivé et tangente, Fonction dérivée et variations, Fonction inverse

I Sections d'un cône

I.1 Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définition — Les trois rapports trigonométriques

Pour un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle, on définit les trois principaux rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. $$ \sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}. $$

Définition — Fonctions trigonométriques inverses

Dans un triangle rectangle avec un angle aigu $\theta$ : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \sin^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\right). $$ La notation $\cos^{-1}$ (lue « cosinus inverse ») désigne la fonction de la calculatrice qui retrouve l'angle à partir du rapport — ce n'est pas $\frac{1}{\cos\theta}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des côtés et des angles

I.2 L'ellipse

Définition — Affinité orthogonale

Soit $\Delta$ une droite et $k$ un nombre positif non nul. L'affinité orthogonale (ou étirement) d'axe $\Delta$ et de rapport $k$ associe à chaque point $M$ le point $M'$ de la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$, du même côté de $\Delta$ que $M$, tel que $$HM' = k \times HM,$$ où $H$ est le pied de cette perpendiculaire ; les points de $\Delta$ ne bougent pas. Dans un repère orthonormé dont le second axe est $\Delta$, elle associe au point $(x\,;y)$ le point $(kx\,;y)$.

Définition — Ellipse

Une ellipse est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale dont l'axe $\Delta$ passe par le centre $O$ du cercle. Lorsque le cercle a pour rayon $b$ et que le rapport vaut $k \gt 1$, on pose $a = kb$. L'ellipse :

a pour centre $O$ et deux axes de symétrie : la droite $\Delta$ et la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $O$ ;
les coupe en quatre sommets : $B$ et $B'$ sur $\Delta$, à la distance $b$ de $O$, et $A$ et $A'$ sur l'autre axe, à la distance $a$ de $O$ ;
a un grand axe $[AA']$ de longueur $2a$ et un petit axe $[BB']$ de longueur $2b$ ; les nombres $a$ et $b$ sont ses demi-axes.

Le cercle est symétrique par rapport aux deux axes, et l'affinité conserve ces symétries, puisqu'elle traite de la même façon deux points symétriques par rapport à l'un ou l'autre axe. Lorsque $k \lt 1$, les rôles des deux axes sont échangés : le grand axe est porté par $\Delta$. Lorsque $k = 1$, aucun point ne bouge : l'ellipse est le cercle lui-même, l'ellipse particulière dont les deux demi-axes sont égaux. Lorsqu'on compare cercles et ellipses, le mot ellipse est réservé à une ellipse qui n'est pas un cercle ($k \neq 1$).

Proposition — Les deux cercles d'une ellipse

Soit une ellipse de centre $O$ et de demi-axes $a \gt b$. Elle est à la fois :

l'image de son petit cercle, de centre $O$ et de rayon $b$, par l'affinité d'axe $(BB')$ et de rapport $\dfrac{a}{b}$ ;
l'image de son grand cercle, de centre $O$ et de rayon $a$, par l'affinité d'axe $(AA')$ et de rapport $\dfrac{b}{a}$.

Plus précisément, si une demi-droite issue de $O$ coupe le petit cercle en $P$ et le grand cercle en $Q$, le point $M$ qui a l'abscisse de $Q$ et l'ordonnée de $P$ est sur l'ellipse, dans le repère de centre $O$ dont les axes sont ceux de l'ellipse.

Proposition — Ce que conserve une affinité orthogonale

Une affinité orthogonale transforme une droite en une droite, et elle conserve :

le parallélisme : deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles ;
les milieux : le milieu de $[MN]$ est transformé en le milieu de $[M'N']$ ;
les contacts : une droite tangente à un cercle est transformée en une droite qui touche l'image du cercle en un seul point, l'image du point de contact : elle est tangente à l'image.

Elle ne conserve pas les longueurs, sauf dans la direction de son axe, ni les angles, lorsque $k \neq 1$.

Compétences à pratiquer

Utiliser une affinité orthogonale

I.3 Coordonnées et distance dans l'espace

Définition — Repère de l'espace

Un repère de l'espace est formé d'un point $O$, l'origine, et de trois droites graduées passant par $O$, perpendiculaires deux à deux et graduées avec la même unité (un tel repère est dit orthonormé) : l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des cotes. Tout point $P$ de l'espace est repéré par un triplet ordonné de nombres, ses coordonnées, notées $P(x\,;y\,;z)$ : depuis $O$, on avance de $x$ unités le long de l'axe des abscisses, puis de $y$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées, puis de $z$ unités parallèlement à l'axe des cotes — dans le sens de la flèche pour un nombre positif, dans le sens contraire pour un nombre négatif. Le nombre $x$ est l'abscisse de $P$, $y$ son ordonnée et $z$ sa cote, aussi appelée altitude : la hauteur algébrique de $P$ par rapport au plan des deux premiers axes, positive au-dessus de ce plan et négative au-dessous. L'origine est $O(0\,;0\,;0)$.

Proposition — Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé de l'espace, la distance entre les points $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ est $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$

Compétences à pratiquer

Calculer une distance dans l'espace

I.4 Sections planes d'un cône de révolution

Découverte

Une lampe est suspendue devant un mur. Son abat-jour est un tube ouvert en haut et en bas : la lumière part de l'ampoule $B$ vers le haut et vers le bas, à l'intérieur d'un cône d'axe la verticale passant par $B$, dont les rayons font un angle de $45^\circ$ avec cette verticale. L'ampoule est à $0{,}5$ m du mur, et $H$ est le point du mur juste en face d'elle. Sur le mur apparaissent deux zones éclairées, limitées par des courbes (vue de face du mur ; l'échelle est dessinée sur la figure).

Quelle est la forme du bord de la lumière au plafond, qui est horizontal ? Pourquoi le bord de la lumière sur le mur est-il courbe, et pourquoi est-il formé de deux morceaux séparés ?

Correction

Le bord de la lumière est formé des rayons du bord du cône, qui font tous l'angle $45^\circ$ avec la verticale passant par $B$ : un point du bord situé à une hauteur $z$ au-dessus ou au-dessous de $B$ est à la distance horizontale $|z|$ de cette verticale (l'angle vaut $45^\circ$).

Au plafond, tous les points du bord sont à la même hauteur $z$, donc à la même distance $z$ de la verticale : le bord est sur un cercle dont le centre est juste au-dessus de $B$ (lorsque le mur est plus proche de ce centre que le rayon, il arrête la lumière, et seul un arc du cercle est éclairé).
Sur le mur, on considère un point du bord situé à la distance horizontale $x$ de $H$. Sa distance horizontale à la verticale passant par $B$ vaut, d'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle horizontal de côtés $0{,}5$ et $x$, $\sqrt{x^2 + 0{,}5^2}$. C'est aussi la hauteur $|z|$ : $|z| = \sqrt{x^2 + 0{,}25}$. Juste en face de l'ampoule ($x = 0$), le bord est à $0{,}5$ m au-dessus et au-dessous de $H$ ; plus loin sur le côté, $\sqrt{x^2 + 0{,}25}$ augmente, donc le bord monte (et descend) : il est courbe.
La lumière qui monte donne le morceau du haut, la lumière qui descend donne le morceau du bas ; entre les deux, les points tels que $|z| \lt 0{,}5$ ne reçoivent pas de lumière.

Le plafond et le mur sont deux plans qui coupent le même cône de lumière : la courbe obtenue dépend de la position du plan. Cette section étudie ces courbes.

Définition — Cône de révolution

Soient $S$ un point, $\Delta$ une droite passant par $S$ et $\alpha$ un angle tel que $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$. Le cône de révolution de sommet $S$, d'axe $\Delta$ et de demi-angle au sommet $\alpha$ est la surface formée de toutes les droites passant par $S$ qui font l'angle $\alpha$ avec $\Delta$ ; ces droites sont ses génératrices. Le sommet sépare le cône en deux nappes.

Le cône plein (le solide limité par une partie d'une nappe et par un disque) est un autre objet ; ici, le cône est la surface entière, prolongée de part et d'autre du sommet, comme la lumière d'une lampe ouverte aux deux bouts.

Proposition — Section perpendiculaire à l'axe

Un plan perpendiculaire à l'axe d'un cône de révolution de demi-angle au sommet $\alpha$, à la distance $h \gt 0$ du sommet, coupe le cône selon un cercle dont le centre est sur l'axe et dont le rayon vaut $h \tan(\alpha)$.

Preuve

Soient $P$ le plan et $O$ son point d'intersection avec l'axe, de sorte que $SO = h$ (vue de côté ci-dessous : le plan de la figure contient l'axe, et $P$ y apparaît comme une droite). Soit $M$ un point du cône situé dans $P$ : il est sur une génératrice, et le triangle $SOM$ est rectangle en $O$, puisque l'axe est perpendiculaire à $P$. Dans ce triangle, l'angle en $S$ vaut $\alpha$ : $$\begin{aligned}[t] OM &= SO \times \tan(\alpha) && \text{(tangente dans le triangle rectangle }SOM\text{)}\\ &= h \tan(\alpha). \end{aligned}$$

Ainsi, tout point de la section est sur le cercle de $P$ de centre $O$ et de rayon $h \tan(\alpha)$. Réciproquement, un point $M$ de ce cercle donne un triangle $SOM$ rectangle en $O$ tel que $\tan(\AngleFr{OSM}) = \dfrac{OM}{SO} = \tan(\alpha)$, donc $\AngleFr{OSM} = \alpha$ : la droite $(SM)$ est une génératrice et $M$ est sur le cône.

Le même cône coupé par des plans de plus en plus inclinés vers l'axe : une suite de figures fixes remplace l'animation d'un logiciel de géométrie dynamique. Le plan découpe d'abord un cercle, puis une ellipse de plus en plus allongée, puis une parabole lorsqu'il devient parallèle à une génératrice (tracée en bleu), puis une hyperbole lorsqu'il atteint aussi la nappe inférieure (ici un plan parallèle à l'axe). Chaque plan monte vers la droite : comparer sa pente à celle des génératrices.

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Un plan passant par le sommet ne donne que le sommet, une génératrice ou deux génératrices : ces cas ne sont pas des coniques.

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Définition — Conique

Une conique est une courbe obtenue en coupant un cône de révolution par un plan qui ne passe pas par son sommet.

Proposition — Les quatre sortes de coniques

On coupe un cône de révolution de sommet $S$, d'axe $\Delta$ et de demi-angle au sommet $\alpha$ par un plan $P$ qui ne passe pas par $S$. Dans une vue de côté dont le plan contient $\Delta$ et est perpendiculaire à $P$, le plan $P$ apparaît comme une droite ; on note $\theta$ l'angle entre cette droite et l'axe ($0^\circ \leqslant \theta \leqslant 90^\circ$). La section est :

un cercle lorsque $\theta = 90^\circ$ ($P$ perpendiculaire à l'axe) ;
une ellipse lorsque $\alpha \lt \theta \lt 90^\circ$ : $P$ coupe toutes les génératrices, sur une seule nappe, et la courbe est fermée ;
une parabole lorsque $\theta = \alpha$ : $P$ est parallèle à une seule génératrice, et la courbe est une seule branche ouverte ;
une hyperbole lorsque $0^\circ \leqslant \theta \lt \alpha$ : $P$ est parallèle à deux génératrices et coupe les deux nappes, et la courbe a deux branches.

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Ces résultats sont admis, sauf le cercle, établi par la proposition « Section perpendiculaire à l'axe » ; la proposition « Parabole et hyperbole sur un cône » vérifie la parabole et l'hyperbole sur un exemple.

Méthode — Reconnaître la section d'un cône

Pour trouver la sorte de courbe selon laquelle un plan $P$, ne passant pas par le sommet, coupe un cône de révolution de demi-angle au sommet $\alpha$ :

tracer une vue de côté, dans un plan qui contient l'axe et qui est perpendiculaire à $P$ : l'axe, les deux génératrices à l'angle $\alpha$ de part et d'autre, et le plan $P$ vu comme une droite ;
déterminer l'angle $\theta$ entre cette droite et l'axe ;
comparer $\theta$ à $\alpha$ et à $90^\circ$ : cercle si $\theta = 90^\circ$, ellipse si $\alpha \lt \theta \lt 90^\circ$, parabole si $\theta = \alpha$, hyperbole si $\theta \lt \alpha$.

Lorsqu'une seule nappe est présente (un projecteur, un abat-jour ouvert d'un seul côté), une hyperbole ne montre qu'une de ses branches.

Exemple

Un projecteur $B$ envoie un cône de lumière de demi-angle au sommet $20^\circ$ sur un sol horizontal. Son axe fait avec le sol un angle de $70^\circ$ (dessin a), puis de $20^\circ$ (dessin b), puis de $10^\circ$ (dessin c). Déterminer, dans chaque cas, la sorte de courbe qui limite la zone éclairée au sol.

Correction

Le plan des dessins contient l'axe et est perpendiculaire au sol : c'est une vue de côté, et l'angle $\theta$ entre le sol et l'axe est l'angle donné. Ici $\alpha = 20^\circ$ et une seule nappe est éclairée.

a) $\theta = 70^\circ$ : $20^\circ \lt 70^\circ \lt 90^\circ$, le bord de la zone éclairée est une ellipse.
b) $\theta = 20^\circ = \alpha$ : le bord supérieur du faisceau est parallèle au sol et ne l'atteint jamais ; le bord est une parabole, et la zone éclairée n'est pas bornée.
c) $\theta = 10^\circ \lt 20^\circ$ : le bord est une branche d'hyperbole ; l'autre branche serait éclairée par une lumière envoyée vers l'arrière, que le projecteur n'émet pas.

Trois de ces courbes sont déjà connues.

Une ellipse est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale (un cercle étiré dans une direction).
La courbe d'une fonction du second degré $x \mapsto ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) est une parabole.
La courbe d'une fonction $x \mapsto \dfrac{k}{x}$ ($k \neq 0$), comme la fonction inverse, est une hyperbole : ses deux branches sont de part et d'autre de $0$.

La proposition « Parabole et hyperbole sur un cône » vérifie, sur un cône de demi-angle au sommet $45^\circ$, que les sections appelées parabole et hyperbole sont bien de telles courbes.

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Proposition — Parabole et hyperbole sur un cône

Dans un repère orthonormé de l'espace, on coupe le cône de sommet $O$, d'axe $(Oz)$ et de demi-angle au sommet $45^\circ$ par deux plans. Le plan $P_2$ d'équation $y = 2$ est formé des points dont la deuxième coordonnée vaut $2$ : il est parallèle au plan $(xOz)$, qui contient l'axe. Le plan $P_1$ d'équation $z = x + 2$ est formé des points $(x\,;y\,;x + 2)$ : il contient toutes les parallèles à $(Oy)$ passant par ses points, et il monte de $1$ quand $x$ augmente de $1$, c'est-à-dire à $45^\circ$.

Le plan $P_1$ d'équation $z = x + 2$, parallèle à la génératrice $x = z$, $y = 0$, le coupe selon une courbe dont la vue de dessus (sa projection sur le plan horizontal) est la courbe $x = \dfrac{y^2}{4} - 1$ ; dans le plan $P_1$ lui-même, dans un repère orthonormé de ce plan, la section a pour équation $X = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\,Y^2$ : c'est encore la courbe d'une fonction du second degré, une parabole. La vue de dessus ne la montre pas en vraie grandeur : elle raccourcit les longueurs dans le sens de la pente de $P_1$ et conserve celles qui sont parallèles à $(Oy)$.
Le plan $P_2$ d'équation $y = 2$, parallèle à l'axe, le coupe selon la courbe $z^2 - x^2 = 4$ de ce plan : ses points $M$ sont dans les deux angles opposés formés par les droites $z = x$ et $z = -x$ de ce plan qui contiennent sa droite verticale $x = 0$, et le produit des distances de $M$ à ces deux droites vaut $2$, exactement comme les points de la courbe de $x \mapsto \dfrac{2}{x}$, situés dans les deux quadrants où $x$ et $y$ ont le même signe, par rapport aux deux axes : une hyperbole.

Preuve

L'équation du cône. Un point $M(x\,;y\,;z)$ est à la distance $\sqrt{x^2 + y^2}$ de l'axe $(Oz)$. Il est sur le cône exactement lorsque cette distance vaut $|z| \tan(45^\circ) = |z|$ (comme pour la section circulaire), c'est-à-dire lorsque $x^2 + y^2 = z^2$. Le plan $P_1$. Ses points vérifient $z = x + 2$, donc les points de la section vérifient $$\begin{aligned}[t] x^2 + y^2 &= (x + 2)^2 && \text{(en remplaçant }z\text{ par }x + 2\text{)}\\ x^2 + y^2 &= x^2 + 4x + 4 && \text{(en développant)}\\ y^2 &= 4x + 4 && \text{(en retranchant }x^2\text{)} \end{aligned}$$ c'est-à-dire $x = \dfrac{y^2}{4} - 1$ : vue de dessus, la projection de la section est la courbe d'une fonction du second degré de $y$. Dans le plan $P_1$, on prend l'origine $V(-1\,;0\,;1)$, le premier axe selon la ligne de plus grande pente, de direction $(1\,;0\,;1)$, et le second axe parallèle à $(Oy)$ : ce repère de $P_1$ est orthonormé. Le point de la section situé au-dessus de $(x\,;y)$ a pour coordonnées $X = \sqrt{2}\,(x + 1)$ (une distance horizontale $x + 1$ parcourue sur une pente à $45^\circ$ est $\sqrt{2}$ fois plus longue : hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle) et $Y = y$. Donc $$\begin{aligned}[t] X &= \sqrt{2}\,(x + 1) && \text{(coordonnée selon la pente)}\\ &= \sqrt{2} \times \dfrac{y^2}{4} && \text{(}x + 1 = \dfrac{y^2}{4}\text{)}\\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{4}\,Y^2 && \text{(}Y = y\text{)} \end{aligned}$$ Dans le plan de coupe, la section est la courbe d'une fonction du second degré : une parabole. Le plan $P_2$. Ses points vérifient $y = 2$, donc $x^2 + 4 = z^2$, c'est-à-dire $z^2 - x^2 = 4$, avec les coordonnées $x$ et $z$ du plan $P_2$. Alors $z^2 = x^2 + 4 \gt x^2$, donc $|z| \gt |x|$ : $M$ est dans les deux angles opposés formés par les droites $z = x$ et $z = -x$ de $P_2$ qui contiennent sa droite verticale $x = 0$, au-dessus des deux droites ou au-dessous des deux. La distance de $M(x\,;z)$ à la droite $z = x$ est sa distance verticale $|z - x|$ à cette droite multipliée par $\cos(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (triangle rectangle isocèle) ; de même, sa distance à la droite $z = -x$ vaut $\dfrac{\sqrt{2}}{2}|z + x|$. Leur produit vaut $$\begin{aligned}[t] \dfrac{\sqrt{2}}{2}|z - x| \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}|z + x| &= \dfrac{1}{2}|z^2 - x^2| && \text{(}(z - x)(z + x) = z^2 - x^2\text{)}\\ &= \dfrac{1}{2} \times 4 && \text{(}z^2 - x^2 = 4\text{)}\\ &= 2. \end{aligned}$$ Pour la courbe de $x \mapsto \dfrac{2}{x}$, les distances d'un point $(x\,;y)$ aux deux axes sont $|x|$ et $|y|$, leur produit $|xy|$ vaut $2$, et le point est dans les quadrants où $x$ et $y$ ont le même signe : la section est la même courbe, placée de sorte que ses deux axes soient les droites $z = x$ et $z = -x$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une section de cône
Calculer dans un cône de révolution
Décrire une section et justifier

II Tangentes et raccordements

II.1 Nombre dérivé et tangente

Définition — La dérivée en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$. Lorsque la limite du taux de variation ci-dessous existe et est un nombre réel, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$, notée $f'(a)$ :$$ \textcolor{colordef}{f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}} $$ Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point $(a\,;\,f(a))$. C'est aussi le taux de variation instantané de $f$ en $a$.
Lorsque cette limite n'existe pas, ou est infinie, $f$ n'est pas dérivable en $a$ : la courbe n'admet pas en ce point de tangente de pente finie.

Proposition — Équation de la tangente

On suppose que $f$ est dérivable en $x=a$ et que la tangente n'est pas verticale. L'équation de la tangente à la courbe $y=f(x)$ au point $(a\,;\,f(a))$ est donnée par :$$\textcolor{colorprop}{y = f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$$

On suppose ici que $f'(a)$ existe et est finie.

Compétences à pratiquer

Écrire l'équation d'une tangente à partir de $f(a)$ et de $f'(a)$

II.2 Tangente à une conique

Découverte

Un jet d'eau suit la parabole d'équation $y = -0{,}5x^2 + 2x$ (en mètres, $x$ horizontal, $y$ vertical). Un sculpteur veut une tige droite qui touche le jet au point $A(1\,;1{,}5)$ sans le traverser, pour prolonger son mouvement. Les points $M_1$, $M_2$, $M_3$ du jet ont pour abscisses $3$, $2$ et $1{,}5$.

Calculer les coefficients directeurs des droites $(AM_1)$, $(AM_2)$ et $(AM_3)$, puis de la droite $(AM)$ pour le point $M$ du jet d'abscisse $1{,}1$. Vers quel coefficient directeur ces droites tendent-elles ? En déduire la direction de la tige.

Correction

Avec $f(x) = -0{,}5x^2 + 2x$, le coefficient directeur de $(AM)$ pour le point $M$ d'abscisse $m$ vaut $\dfrac{f(m) - f(1)}{m - 1}$ :

abscisse de $M$	$3$	$2$	$1{,}5$	$1{,}1$
$f(m)$	$1{,}5$	$2$	$1{,}875$	$1{,}595$
coefficient directeur de $(AM)$	$0$	$0{,}5$	$0{,}75$	$0{,}95$

En général, pour le point $M$ d'abscisse $1 + h$ ($h \neq 0$), $f(1 + h) = 1{,}5 + h - 0{,}5h^2$, donc le coefficient directeur de $(AM)$ vaut $\dfrac{h - 0{,}5h^2}{h} = 1 - 0{,}5h$. Lorsque $M$ se rapproche de $A$, $h$ se rapproche de $0$ et le coefficient directeur se rapproche de $1$ : les droites $(AM)$ tendent vers la droite $T$ passant par $A$ de coefficient directeur $1$, c'est-à-dire $y = x + 0{,}5$. Cette valeur est le nombre dérivé de $f$ en $1$ : $f'(x) = -x + 2$, donc $f'(1) = 1$. La tige doit suivre $T$ : elle monte à $45^\circ$, comme l'eau en $A$. Elle ne traverse pas le jet : $f(x) - (x + 0{,}5) = -0{,}5x^2 + x - 0{,}5 = -0{,}5(x - 1)^2 \leqslant 0$, donc le jet reste sous la tige et ne la touche qu'en $A$.

Définition — Tangente à une conique

Soient $\mathcal{C}$ une conique et $A$ un point de $\mathcal{C}$. Pour un point $M$ de $\mathcal{C}$ distinct de $A$, la droite $(AM)$ est une sécante. Lorsque $M$ se déplace sur $\mathcal{C}$ en se rapprochant de plus en plus de $A$, d'un côté ou de l'autre, les sécantes $(AM)$ tendent vers une droite passant par $A$ : c'est la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$, leur position limite.

C'est la même définition que pour la tangente à la courbe d'une fonction.

Les dérivées utiles

Dérivées utilisées pour les tangentes et les raccordements de courbes de fonctions : $(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b$, $(ax^3)' = 3ax^2$, et $\left(\dfrac{k}{x}\right)' = -\dfrac{k}{x^2}$ pour $x \neq 0$.

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Proposition — Équation d'une ellipse

Dans un repère orthonormé, soient $a \gt 0$ et $b \gt 0$. L'affinité orthogonale d'axe $(Ox)$ et de rapport $k = \dfrac{b}{a}$ envoie le point $(x\,;y)$ sur le point $(x\,;ky)$, et elle transforme une droite en une droite. L'image du cercle de centre $O$ et de rayon $a$ est l'ellipse de centre $O$, de demi-axes $a$ et $b$, dont les sommets sont $(a\,;0)$, $(-a\,;0)$, $(0\,;b)$ et $(0\,;-b)$, et dont une équation est $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1.$$ C'est l'ellipse vue comme un cercle étiré dans une direction, en choisissant $(Ox)$ comme axe de l'affinité et le cercle de rayon $a$ comme cercle étiré : le cercle est aplati si $b \lt a$ ($k \lt 1$) et allongé si $b \gt a$ ($k \gt 1$). De même, l'ellipse de centre $\Omega(x_0\,;y_0)$, de mêmes demi-axes, parallèles aux axes, a pour équation $\dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$.

Proposition — Tangente à une parabole ou à une hyperbole

Soit $f$ la fonction $x \mapsto ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), dont la courbe est une parabole, ou la fonction $x \mapsto \dfrac{k}{x}$ ($k \neq 0$), dont la courbe est une hyperbole. La tangente à cette conique en son point d'abscisse $x_0$ est la tangente à la courbe de $f$ : son coefficient directeur vaut $f'(x_0)$ et son équation est $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Preuve

Pour un point $M$ de la courbe d'abscisse $x_0 + h$ ($h \neq 0$), le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ est le taux de variation $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$. Lorsque $M$ se rapproche de $A$, $h$ se rapproche de $0$, et ce taux de variation se rapproche de $f'(x_0)$ : les sécantes tendent vers la droite passant par $A$ de coefficient directeur $f'(x_0)$. La position limite des sécantes, qui définit la tangente à la conique, est donc la tangente à la courbe de $f$.

Méthode — Déterminer la tangente à une parabole ou à une hyperbole

Pour déterminer la tangente à la courbe de $f : x \mapsto ax^2 + bx + c$ ou de $f : x \mapsto \dfrac{k}{x}$ en son point d'abscisse $x_0$ :

calculer $f(x_0)$, l'ordonnée du point de contact ;
calculer la dérivée $f'(x)$, puis le coefficient directeur $f'(x_0)$ ;
écrire l'équation $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ et la réduire sous la forme $y = mx + p$.

Exemple

Déterminer une équation de la tangente à la parabole $y = 0{,}25x^2 - x + 2$ en son point $A$ d'abscisse $4$, puis de la tangente à l'hyperbole $y = \dfrac{4}{x}$ en son point $B$ d'abscisse $2$.

Correction

La parabole. Soit $f(x) = 0{,}25x^2 - x + 2$. Alors $f(4) = 4 - 4 + 2 = 2$ et $f'(x) = 0{,}5x - 1$, donc $f'(4) = 1$. $$\begin{aligned}[t] y &= f'(4)(x - 4) + f(4) && \text{(équation de la tangente)}\\ &= 1 \times (x - 4) + 2\\ &= x - 2. \end{aligned}$$ L'hyperbole. Soit $g(x) = \dfrac{4}{x}$. Alors $g(2) = 2$ et $g'(x) = -\dfrac{4}{x^2}$, donc $g'(2) = -1$. $$\begin{aligned}[t] y &= g'(2)(x - 2) + g(2) && \text{(équation de la tangente)}\\ &= -1 \times (x - 2) + 2\\ &= -x + 4. \end{aligned}$$

Proposition — Tangente à une ellipse

Soit $\mathcal{E}$ l'image du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $a$ par l'affinité orthogonale d'axe la droite $(Ox)$ et de rapport $k = \dfrac{b}{a}$, dans un repère orthonormé : $\mathcal{E}$ est l'ellipse de centre $O$ de demi-axes $a$ et $b$. Le point $M$ de $\mathcal{E}$ est l'image du point $M'$ de $\mathcal{C}$ de même abscisse, du même côté de $(Ox)$.

La tangente à $\mathcal{E}$ en $M$ est l'image de la tangente à $\mathcal{C}$ en $M'$.
Lorsque la tangente à $\mathcal{C}$ en $M'$ coupe l'axe $(Ox)$ en un point $T$, la tangente à $\mathcal{E}$ en $M$ est la droite $(TM)$.
En un sommet de $\mathcal{E}$, la tangente est perpendiculaire à l'axe de l'ellipse qui passe par ce sommet.

Preuve

L'affinité transforme une droite en une droite, le cercle $\mathcal{C}$ en $\mathcal{E}$, un point $N'$ de $\mathcal{C}$ en un point $N$ de $\mathcal{E}$, et lorsque $N'$ se rapproche de $M'$, $N$ se rapproche de $M$. Ainsi, la sécante $(M'N')$ de $\mathcal{C}$ est transformée en la sécante $(MN)$ de $\mathcal{E}$, et la position limite des premières, la tangente à $\mathcal{C}$ en $M'$, est transformée en la position limite des secondes, la tangente à $\mathcal{E}$ en $M$. Les points de l'axe $(Ox)$ ne bougent pas : $T$ est sa propre image, donc l'image de la droite $(TM')$ est la droite passant par $T$ et $M$. Au sommet $(a\,;0)$, la tangente à $\mathcal{C}$ est la droite verticale $x = a$ (perpendiculaire au rayon) ; l'affinité la conserve, puisqu'elle ne déplace les points que verticalement. Au sommet $(0\,;b)$, image de $(0\,;a)$, la tangente à $\mathcal{C}$ est la droite horizontale $y = a$, dont l'image est la droite horizontale $y = b$. Les deux autres sommets sont symétriques.

Méthode — Construire la tangente à une ellipse en un point

Pour construire la tangente en un point $M$, qui n'est pas un sommet, de l'ellipse de centre $O$ de demi-axes $a$ selon $(Ox)$ et $b$ :

tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $a$ ;
tracer la perpendiculaire à $(Ox)$ passant par $M$ : elle coupe $(Ox)$ en $H$ et le cercle en $M'$, du même côté que $M$ ;
tracer la tangente à $\mathcal{C}$ en $M'$, perpendiculaire à $(OM')$ : elle coupe $(Ox)$ en $T$ ;
tracer la droite $(TM)$ : c'est la tangente à l'ellipse en $M$.

Pour calculer l'abscisse $t$ de $T$ : dans le triangle $OM'T$, rectangle en $M'$, le théorème de Pythagore donne $t^2 = a^2 + M'T^2$, où $M'T^2 = (t - x_0)^2 + y'^2$ avec $M'(x_0\,;y')$ ; après développement, $t^2$ disparaît et il reste une équation du premier degré en $t$.

Exemple

L'ellipse $\mathcal{E}$ a pour centre $O$ et pour demi-axes $a = 5$ selon $(Ox)$ et $b = 3$ ; son point $M$ a pour abscisse $4$ et pour ordonnée $1{,}8$, et $M'(4\,;3)$ est le point du cercle de centre $O$ et de rayon $5$ situé au-dessus de $M$. Déterminer le point $T$ et le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{E}$ en $M$.

Correction

Le point $M'$ est sur le cercle : $4^2 + 3^2 = 25 = 5^2$. Soit $T(t\,;0)$ avec $t \gt 4$. Le triangle $OM'T$ est rectangle en $M'$ (tangente et rayon), et $M'T^2 = (t - 4)^2 + 3^2$ : $$\begin{aligned}[t] t^2 &= 5^2 + (t - 4)^2 + 3^2 && \text{(théorème de Pythagore dans }OM'T\text{)}\\ t^2 &= 25 + t^2 - 8t + 16 + 9 && \text{(en développant)}\\ 8t &= 50 && \text{(en retranchant }t^2\text{, puis en ajoutant }8t\text{)}\\ t &= 6{,}25. && \text{(en divisant par }8\text{)} \end{aligned}$$ Ainsi $T(6{,}25\,;0)$, et le coefficient directeur de la tangente $(TM)$ vaut $$\begin{aligned}[t] \dfrac{1{,}8 - 0}{4 - 6{,}25} &= \dfrac{1{,}8}{-2{,}25}\\ &= -0{,}8. \end{aligned}$$ La tangente a pour équation $y = -0{,}8(x - 6{,}25)$, c'est-à-dire $y = -0{,}8x + 5$.

Pour une ellipse, ou une hyperbole qui n'est pas donnée comme la courbe d'une fonction $x \mapsto \dfrac{k}{x}$, la tangente en un point n'est pas calculée ici : lorsqu'elle est nécessaire, son équation est donnée, et il suffit de vérifier que le point est dessus et d'utiliser son coefficient directeur.

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Compétences à pratiquer

Reconnaître une tangente
Calculer l'équation d'une tangente
Construire et justifier des tangentes

II.3 Raccordements de courbes

Découverte

Le profil d'un toboggan est formé de trois morceaux (en mètres) : la partie droite $y = -x + 3$ pour $0 \leqslant x \leqslant 2$, l'arc de parabole $y = 0{,}25(x - 4)^2$ pour $2 \leqslant x \leqslant 4$, et le sol $y = 0$ pour $x \geqslant 4$.

Les morceaux se rejoignent-ils en $J$ et en $K$ ? L'enfant y change-t-il brusquement de direction, ou le profil tourne-t-il sans angle ?

Correction

Soit $f(x) = 0{,}25(x - 4)^2$, donc $f'(x) = 0{,}5(x - 4)$.

En $J$, $x = 2$ : la partie droite donne $y = -2 + 3 = 1$ et la parabole $f(2) = 0{,}25 \times 4 = 1$ : les morceaux se rejoignent en $J(2\,;1)$. La partie droite a pour coefficient directeur $-1$, et $f'(2) = 0{,}5 \times (-2) = -1$ : la tangente à la parabole en $J$ est la droite de la partie droite.
En $K$, $x = 4$ : $f(4) = 0$, la hauteur du sol, et $f'(4) = 0$, le coefficient directeur du sol.

À chaque jonction, les deux morceaux ont le même point et la même tangente : l'enfant garde la même direction en passant d'un morceau au suivant, le profil n'a pas d'angle. De telles jonctions sont des raccordements.

Définition — Raccordement de deux courbes

Deux arcs de courbes qui se suivent en un point $J$, le second prolongeant le premier au-delà de $J$ sans revenir en arrière, se raccordent en $J$, ou forment un raccordement, lorsqu'ils ont la même tangente en $J$. Sinon, la jonction en $J$ forme un angle vif.

La tangente d'un segment est la droite qui le porte ; la tangente d'un arc de conique en $J$ est la tangente à la conique en $J$.

Proposition — Raccordement de deux courbes de fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle contenant $a$ et dérivables en $a$ (par exemple des fonctions polynômes, ou des fonctions $x \mapsto \dfrac{k}{x}$ avec $a \neq 0$). La courbe de $f$ tracée pour $x \leqslant a$ et la courbe de $g$ tracée pour $x \geqslant a$ se raccordent en leur point d'abscisse $a$ exactement lorsque $f(a) = g(a)$ (même point) et $f'(a) = g'(a)$ (même tangente).

Méthode — Déterminer des paramètres pour un raccordement

Pour choisir les coefficients inconnus d'une courbe afin qu'elle se raccorde à une autre en leur point d'abscisse $a$ :

écrire la condition « même point » : $f(a) = g(a)$ ;
calculer les dérivées et écrire la condition « même tangente » : $f'(a) = g'(a)$ ;
résoudre les deux équations obtenues : lorsqu'elles ont une solution, elle donne les coefficients inconnus (avec un seul coefficient inconnu, une équation le donne et l'autre doit être vérifiée) ; lorsqu'elles n'en ont pas, aucun raccordement de cette forme n'existe ;
vérifier les deux conditions avec les valeurs trouvées.

Exemple

Un logo est dessiné avec le segment de la droite $y = 2x - 1$ pour $0 \leqslant x \leqslant 1$, suivi d'un arc de la parabole $y = ax^2 + c$ pour $x \geqslant 1$. Déterminer $a$ et $c$ pour que les deux morceaux se raccordent au point d'abscisse $1$.

Correction

Soient $f(x) = 2x - 1$ et $g(x) = ax^2 + c$, donc $f'(x) = 2$ et $g'(x) = 2ax$.

Même tangente : $g'(1) = f'(1)$ donne $2a = 2$, donc $a = 1$.
Même point : $g(1) = f(1)$ donne $a + c = 1$, donc $c = 0$.

L'arc est la parabole $y = x^2$. Vérification : en $x = 1$, les deux morceaux donnent $y = 1$ et les deux coefficients directeurs valent $2$.

Exemple

Un typographe relie un trait horizontal à la hauteur $0$ (pour $x \leqslant 0$) à un trait horizontal à la hauteur $1$ (pour $x \geqslant 1$) par la courbe de $f(x) = ax^3 + bx^2$ pour $0 \leqslant x \leqslant 1$. Déterminer $a$ et $b$ pour que les trois morceaux se raccordent.

Correction

Ici $f'(x) = 3ax^2 + 2bx$. En $x = 0$ : $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$, la hauteur et le coefficient directeur du premier trait, quels que soient $a$ et $b$. En $x = 1$, le second trait a pour hauteur $1$ et pour coefficient directeur $0$ : $$\begin{aligned}[t] f(1) &= a + b = 1 && \text{(même point)}\\ f'(1) &= 3a + 2b = 0 && \text{(même tangente)} \end{aligned}$$ La première équation donne $b = 1 - a$ ; en remplaçant dans la seconde, $3a + 2 - 2a = 0$, donc $a = -2$ et $b = 3$. La courbe est $f(x) = -2x^3 + 3x^2$ : vérification, $f(1) = -2 + 3 = 1$ et $f'(1) = -6 + 6 = 0$.

Exemple

Un arc de l'hyperbole $y = \dfrac{4}{x}$ est tracé pour $x \geqslant 2$. Déterminer l'équation du segment, tracé pour $0 \leqslant x \leqslant 2$, qui s'y raccorde en son point d'abscisse $2$.

Correction

Le segment doit être porté par la tangente à l'hyperbole au point $J$ d'abscisse $2$. Avec $g(x) = \dfrac{4}{x}$ : $g(2) = 2$ et $g'(x) = -\dfrac{4}{x^2}$, donc $g'(2) = -1$. La tangente est $y = -(x - 2) + 2$, c'est-à-dire $y = -x + 4$ : le segment va de $(0\,;4)$ à $J(2\,;2)$.

Proposition — Raccordements avec des arcs de cercle et d'ellipse

Un arc de cercle de centre $O$ et un autre arc de courbe qui se suivent en $J$ se raccordent lorsque la tangente à l'autre courbe en $J$ est perpendiculaire au rayon $[OJ]$ ; deux arcs de cercle se raccordent lorsque leurs centres sont alignés avec $J$.
Aux deux extrémités d'un axe d'une ellipse, ses tangentes sont perpendiculaires à cet axe : une demi-ellipse coupée selon un axe se raccorde à deux segments perpendiculaires à cet axe qui partent de ses extrémités et la prolongent.

Exemple

Vue de dessus, une allée de jardin tourne à gauche le long d'un arc du cercle de centre $O_1(0\,;0)$ et de rayon $3$, puis tourne à droite le long d'un arc du cercle de centre $O_2(6\,;8)$ et de rayon $7$ (en mètres) : une allée en S. Vérifier que les deux arcs se rejoignent en $J(1{,}8\,;2{,}4)$ et qu'ils s'y raccordent.

Correction

$O_1J = \sqrt{1{,}8^2 + 2{,}4^2} = \sqrt{9} = 3$ et $O_2J = \sqrt{(6 - 1{,}8)^2 + (8 - 2{,}4)^2} = \sqrt{17{,}64 + 31{,}36} = \sqrt{49} = 7$ : $J$ est sur les deux cercles. Les vecteurs $\Vect{O_1J}(1{,}8\,;2{,}4)$ et $\Vect{O_1O_2}(6\,;8)$ vérifient $\Vect{O_1J} = 0{,}3\,\Vect{O_1O_2}$ : les points $O_1$, $J$ et $O_2$ sont alignés, et $J$ est entre les deux centres. Les deux arcs ont la même tangente en $J$, la perpendiculaire à $(O_1O_2)$ : ils se raccordent. Les centres étant de part et d'autre de $J$, l'allée tourne d'un côté, puis de l'autre : un S.

Exemple

Une porte de $2$ m de large a deux montants verticaux de $2$ m de haut, surmontés d'une demi-ellipse de centre $(0\,;2)$, de demi-axes $1$ m (horizontal) et $0{,}6$ m (vertical), dans un repère dont l'unité est le mètre.

Expliquer pourquoi l'arc et les montants se raccordent en $A$ et $A'$, puis comparer la hauteur de la porte avec celle d'une porte de même largeur surmontée d'un demi-cercle.

Correction

Les points $A(1\,;2)$ et $A'(-1\,;2)$ sont les extrémités de l'axe horizontal de l'ellipse : les tangentes y sont perpendiculaires à cet axe, c'est-à-dire verticales. Les montants sont des segments verticaux qui aboutissent en $A$ et $A'$ et prolongent l'arc vers le bas : l'arc et les montants ont la même tangente en $A$ et en $A'$, ils se raccordent. Le haut de l'arc est à la hauteur $2 + 0{,}6 = 2{,}6$ m. Un demi-cercle de diamètre $2$ m a pour rayon $1$ m et se raccorde lui aussi aux montants, mais la porte atteint alors $2 + 1 = 3$ m : l'arc elliptique est $0{,}4$ m plus bas, ce qui explique son emploi pour les ouvertures larges et basses.

Exemple

Le profil d'un pied de lampe suit l'ellipse d'équation $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ (en dm) de son sommet $(5\,;0)$ à son point $M(4\,;1{,}8)$, puis une tige droite de $M$ jusqu'au point $R$ de l'axe $x = 0$. La tangente à cette ellipse en $M$ est donnée : $y = -0{,}8x + 5$. Vérifier que $M$ est sur l'ellipse, puis déterminer $R$ pour que la tige prolonge l'arc sans angle.

Correction

$\dfrac{4^2}{25} + \dfrac{1{,}8^2}{9} = \dfrac{16}{25} + \dfrac{3{,}24}{9} = 0{,}64 + 0{,}36 = 1$ : $M$ est sur l'ellipse, et $-0{,}8 \times 4 + 5 = 1{,}8$ : $M$ est sur la droite donnée. La tige se raccorde à l'arc lorsqu'elle est portée par la tangente en $M$ : en $x = 0$, $y = 5$, donc $R(0\,;5)$.

Compétences à pratiquer

Examiner une jonction
Déterminer des paramètres de raccordement
Concevoir un profil sans angle

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

abscisse de \(M\)	\(3\)	\(2\)	\(1{,}5\)	\(1{,}1\)
\(f(m)\)	\(1{,}5\)	\(2\)	\(1{,}875\)	\(1{,}595\)
coefficient directeur de \((AM)\)	\(0\)	\(0{,}5\)	\(0{,}75\)	\(0{,}95\)