Éducation Nationale Française · Première Technologie

Géométrie dans l'espace : perspective cavalière, sections, ellipse (STD2A)

⌚ ~258 min ▢ 30 blocs ✓ 132 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Géométrie plane : figures régulières, frises, pavages (STD2A)

I Repérer dans l'espace

I.1 Coordonnées dans l'espace

Découverte

Sur la carte d'une baie, un quadrillage repère chaque point de la surface de la mer par deux nombres : l'origine $O$ est une bouée, le premier axe est orienté vers l'est, le second vers le nord, et l'unité est le mètre. Une mouette vole à $12$ m au-dessus du point $(20\,;40)$ de la carte, un bateau flotte au point $(40\,;10)$, et un plongeur nage à $8$ m sous la surface, juste sous le point $(10\,;20)$. Combien de nombres faut-il pour dire exactement où se trouvent la mouette, le bateau et le plongeur ? Que mesure le dernier nombre, et qu'ont de particulier les nombres du plongeur ?

Correction

Trois nombres. Les deux premiers repèrent le point de la carte situé juste sous l'objet ou juste au-dessus ; le troisième est sa hauteur au-dessus de la surface de la mer, mesurée sur un axe vertical passant par $O$ : $$\text{mouette } G(20\,;40\,;12), \qquad \text{bateau } B(40\,;10\,;0), \qquad \text{plongeur } D(10\,;20\,;-8).$$ Le bateau est à la surface : sa hauteur vaut $0$. Le plongeur est sous la surface : son troisième nombre est négatif, $-8$.

Définition — Repère de l'espace

Un repère de l'espace est formé d'un point $O$, l'origine, et de trois droites graduées passant par $O$, perpendiculaires deux à deux et graduées avec la même unité (un tel repère est dit orthonormé) : l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des cotes. Tout point $P$ de l'espace est repéré par un triplet ordonné de nombres, ses coordonnées, notées $P(x\,;y\,;z)$ : depuis $O$, on avance de $x$ unités le long de l'axe des abscisses, puis de $y$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées, puis de $z$ unités parallèlement à l'axe des cotes — dans le sens de la flèche pour un nombre positif, dans le sens contraire pour un nombre négatif. Le nombre $x$ est l'abscisse de $P$, $y$ son ordonnée et $z$ sa cote, aussi appelée altitude : la hauteur algébrique de $P$ par rapport au plan des deux premiers axes, positive au-dessus de ce plan et négative au-dessous. L'origine est $O(0\,;0\,;0)$.

Définition — Repère direct

Par convention, les axes d'un repère de l'espace sont placés de façon directe : lorsque le pouce de la main droite indique l'axe des abscisses et l'index l'axe des ordonnées, le majeur, tendu perpendiculairement aux deux, indique l'axe des cotes — chaque doigt dans le sens de la flèche. Vu d'en haut, depuis un point de l'axe des cotes de cote $z > 0$, le quart de tour qui amène l'axe des abscisses sur l'axe des ordonnées est alors dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Si le majeur indiquait le sens contraire, le repère serait indirect : la convention l'exclut.

Définition — Plans de coordonnées

Les axes, pris deux à deux, déterminent les trois plans de coordonnées :

le plan $(xOy)$, qui contient l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées : ses points sont ceux de cote $z = 0$ ;
le plan $(xOz)$ : les points tels que $y = 0$ ;
le plan $(yOz)$ : les points tels que $x = 0$.

Chaque axe est perpendiculaire au plan des deux autres : l'axe des cotes est perpendiculaire à toute droite du plan $(xOy)$ passant par $O$, comme un poteau vertical et les droites tracées au sol depuis son pied. Un point est sur l'axe des abscisses lorsque $y = z = 0$, sur l'axe des ordonnées lorsque $x = z = 0$, et sur l'axe des cotes lorsque $x = y = 0$.

Méthode — Placer un point dans l'espace

Les axes sont dessinés en perspective : l'axe des ordonnées horizontal, l'axe des cotes vertical, et l'axe des abscisses, qui pointe vers le lecteur, en oblique vers le bas et la gauche, avec une unité raccourcie. Pour placer le point $P(x\,;y\,;z)$ :

depuis $O$, avancer de $x$ unités le long de l'axe des abscisses — vers le lecteur lorsque $x > 0$ ;
puis de $y$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées — vers la droite lorsque $y > 0$ ;
puis de $z$ unités verticalement — vers le haut lorsque $z > 0$, vers le bas lorsque $z < 0$.

Garder les trois déplacements sur le dessin, en pointillés : un point isolé sur un dessin plat pourrait représenter une infinité de points de l'espace. Le point $P'(x\,;y\,;0)$ atteint après les deux premiers déplacements est le point du plan $(xOy)$ situé juste sous $P$ ou juste au-dessus.

Exemple

Placer les points $A(4\,;2\,;3)$ et $B(3\,;-2\,;-2)$ sur un dessin des axes en perspective.

Correction

$A(4\,;2\,;3)$ : $4$ unités vers le lecteur le long de l'axe des abscisses, puis $2$ unités vers la droite, puis $3$ unités vers le haut.
$B(3\,;-2\,;-2)$ : $3$ unités vers le lecteur, puis $2$ unités vers la gauche, puisque $y = -2$, puis $2$ unités vers le bas, puisque $z = -2$ : le point $B$ est sous le plan $(xOy)$.

Exemple

Le pavé droit $ABCDEFGH$ a son sommet $A$ à l'origine et ses arêtes $\SegmentFr{AB}$, $\SegmentFr{AD}$ et $\SegmentFr{AE}$ sur les axes, avec $AB = 4$, $AD = 5$ et $AE = 3$. Donner les coordonnées de ses huit sommets.
La pyramide $SOPQR$ a pour base le carré $OPQR$ de côté $4$ situé dans le plan $(xOy)$, avec $O$ à l'origine, $P$ sur l'axe des abscisses et $R$ sur l'axe des ordonnées ; son sommet $S$ est à $3$ unités au-dessus du centre $K$ de la base. Donner les coordonnées de $P$, $Q$, $R$, $K$ et $S$.

Correction

$A$ est l'origine : $A(0\,;0\,;0)$. Les sommets $B$, $D$ et $E$ sont sur les axes, aux distances $AB = 4$, $AD = 5$ et $AE = 3$ de $A$ : $B(4\,;0\,;0)$, $D(0\,;5\,;0)$, $E(0\,;0\,;3)$. On atteint le sommet $C$ en avançant de $4$ unités le long de l'axe des abscisses, puis de $5$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées : $C(4\,;5\,;0)$. La face du dessus $EFGH$ est juste au-dessus de la base, à la cote $3$ : $F(4\,;0\,;3)$, $G(4\,;5\,;3)$, $H(0\,;5\,;3)$.
$P(4\,;0\,;0)$, $Q(4\,;4\,;0)$ et $R(0\,;4\,;0)$. Le centre du carré est à mi-chemin sur chaque côté de longueur $4$ : $K(2\,;2\,;0)$. Le sommet est juste au-dessus de $K$, $3$ unités plus haut : $S(2\,;2\,;3)$.

Compétences à pratiquer

Situer des points sur les axes et dans les plans
Lire des coordonnées dans un solide
Placer et repérer des points dans l'espace

I.2 Distance entre deux points

Découverte

Sur la carte d'une baie, l'origine $O$ est une bouée au niveau de la mer, le premier axe est orienté vers l'est, le deuxième vers le nord, le troisième vers le haut, et l'unité est le mètre. Une mouette est en $G(20\,;40\,;12)$ et un plongeur en $D(10\,;20\,;-8)$. Quelle distance sépare la mouette du plongeur ? Pourquoi la distance entre les points $(20\,;40)$ et $(10\,;20)$ de la carte n'est-elle pas la réponse ?

Correction

La distance sur la carte ignore la différence de hauteur, $12 - (-8) = 20$ m. Deux triangles rectangles donnent la vraie distance. Depuis $D$, on avance de $10$ m vers l'est jusqu'à $E(20\,;20\,;-8)$, puis de $20$ m vers le nord jusqu'à $C(20\,;40\,;-8)$, juste sous $G$, à la profondeur du plongeur.

Le triangle $DEC$ est horizontal et rectangle en $E$, car l'est et le nord sont perpendiculaires ; le triangle $DCG$ est vertical et rectangle en $C$, car $\SegmentFr{CG}$ est vertical et $\SegmentFr{DC}$ horizontal : $$\begin{aligned}[t] DC^2 &= DE^2 + EC^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } DEC\text{)}\\ &= 10^2 + 20^2 \\ &= 500,\\ DG^2 &= DC^2 + CG^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } DCG\text{)}\\ &= 500 + 20^2 \\ &= 900. \end{aligned}$$ Donc $DG = \sqrt{900} = 30$ m, alors que la distance sur la carte n'est que de $\sqrt{500} \approx 22{,}4$ m.

Proposition — Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé de l'espace, la distance entre les points $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et $B(x_B\,;y_B\,;z_B)$ est $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}.$$

Méthode — Calculer une distance dans l'espace

Pour calculer la distance $AB$ :

écrire les trois différences de coordonnées $x_B - x_A$, $y_B - y_A$ et $z_B - z_A$ — l'ordre des deux points n'a pas d'importance, puisque $(x_A - x_B)^2 = (x_B - x_A)^2$ ;
les élever au carré et les additionner ;
prendre la racine carrée, et donner la valeur exacte, racine carrée simplifiée, avant tout arrondi.

Exemple

Soient $A(2\,;-1\,;5)$ et $B(5\,;3\,;-7)$. Calculer les distances $AB$ et $OA$, où $O$ est l'origine ; donner les valeurs exactes.

Correction

$$\begin{aligned}[t] AB &= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} && \text{(formule de la distance)}\\ &= \sqrt{(5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 + (-7 - 5)^2} && \text{(coordonnées de } A \text{ et } B\text{)}\\ &= \sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 144} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] OA &= \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 + (5 - 0)^2} && \text{(formule de la distance)}\\ &= \sqrt{4 + 1 + 25} \\ &= \sqrt{30}. \end{aligned}$$ Le nombre $30 = 2 \times 3 \times 5$ n'a pas d'autre facteur carré que $1$ : $\sqrt{30}$ ne se simplifie pas.

Compétences à pratiquer

Calculer une distance dans l'espace
Utiliser la formule de la distance

II La projection parallèle

II.1 Le théorème de Thalès

Théorème — Théorème de Thalès

Soit un triangle $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$, avec un point $\textcolor{colorprop}{D}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ et un point $\textcolor{colorprop}{E}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{C}}$, tous deux distincts de $A$.
Si la droite $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ est parallèle à la droite $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, alors les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ sont semblables : $$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Configurations de Thalès : figures clés

Chaque triangle bleu est semblable au triangle rouge.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Thalès

II.2 Projeter sur un plan parallèlement à une droite

Découverte

Par un après-midi ensoleillé, un bâton vertical $[KT]$, haut de $1$ m et planté dans un sol plat, a une ombre longue de $1{,}6$ m. Au même moment, un lampadaire vertical $[HM]$, haut de $4{,}5$ m, se dresse à quelques mètres. Le soleil est si loin que ses rayons sont considérés comme parallèles.

Quelle est la longueur de l'ombre du lampadaire ? Dans quelle direction est-elle tournée ? Où tombe exactement l'ombre du sommet $M$ du lampadaire ?

Correction

L'ombre $M'$ du sommet $M$ est le point où le rayon de soleil passant par $M$ rencontre le sol. Les deux poteaux sont verticaux et les deux rayons sont parallèles, donc les triangles $KTT'$ et $HMM'$, tous deux rectangles au sol, ont les mêmes angles : leurs côtés sont proportionnels. En notant $s$ la longueur de l'ombre du lampadaire, $$\begin{aligned} \frac{s}{4{,}5} &= \frac{1{,}6}{1} &&\text{(côtés proportionnels)}\\ s &= 4{,}5 \times 1{,}6 &&\text{(en multipliant les deux membres par } 4{,}5\text{)}\\ &= \textcolor{colorprop}{7{,}2} \text{ m}. \end{aligned}$$ L'ombre du lampadaire est tournée dans la même direction que celle du bâton : les deux ombres sont parallèles.

Tout point d'un objet donne son ombre de la même façon : suivre le rayon de soleil qui passe par ce point jusqu'à ce qu'il rencontre le sol. Cette construction est étudiée ci-dessous.

Définition — Projection sur un plan parallèlement à une droite

Soient $\mathcal{P}$ un plan et $d$ une droite qui coupe $\mathcal{P}$ en un seul point (elle n'est ni parallèle à $\mathcal{P}$ ni contenue dans ce plan). Pour tout point $M$ de l'espace, la droite passant par $M$ et parallèle à $d$ coupe alors $\mathcal{P}$ en un unique point $M'$. Le point $M'$ est l'image (ou le projeté) de $M$ par la projection sur $\mathcal{P}$ parallèlement à $d$. Une telle transformation est appelée une projection parallèle ; $\mathcal{P}$ est le plan de projection et la direction de $d$ la direction de projection. Un point de $\mathcal{P}$ est sa propre image. L'image d'une figure est l'ensemble des images de ses points.

Les ombres portées par le soleil sur un sol plat sont les images des objets par la projection sur le sol parallèlement aux rayons du soleil.

Définition — Projection orthogonale

Lorsque la direction de projection est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$, la projection parallèle est appelée la projection orthogonale sur $\mathcal{P}$ : l'image $M'$ d'un point $M$ est le pied de la perpendiculaire à $\mathcal{P}$ passant par $M$. Sinon, la projection est dite oblique.

La vue de dessus d'un objet est sa projection orthogonale sur un plan horizontal ; sa vue de face est sa projection orthogonale sur un plan vertical placé face à lui. Les ombres du soleil sont des projections obliques, sauf lorsque le soleil est exactement au zénith.

Proposition — Image d'une droite

On considère une projection sur un plan $\mathcal{P}$ parallèlement à une droite $d$, et une droite $D$.

Si $D$ est parallèle à $d$, tous ses points ont la même image : l'image de $D$ est un point.
Sinon, l'image de $D$ est une droite $D'$ du plan $\mathcal{P}$, et l'image d'un segment $[AB]$ de $D$ est le segment $[A'B']$.

Méthode — Construire une ombre au soleil

Le sol est le plan de projection et les rayons du soleil donnent la direction de projection. On suppose le soleil non situé au zénith et l'ombre $[KT']$ d'un bâton vertical $[KT]$ connue. Pour construire l'ombre $M'$ d'un point $M$ situé à la verticale d'un point $H$ du sol :

par $H$, tracer la parallèle à $(KT')$ : les ombres de tous les segments verticaux sont parallèles ;
par $M$, tracer la parallèle au rayon $(TT')$ ;
les deux droites se coupent en l'ombre $M'$ de $M$.

Pourquoi la première droite : le plan contenant $(HM)$ et parallèle aux rayons coupe le sol selon la droite passant par $H$ et parallèle à $(KT')$, et $M'$ appartient à ce plan. Un point du sol est sa propre ombre.

Exemple

Une boîte cubique $ABCDEFGH$ d'arête $2$ dm est posée sur un sol plat. À un certain moment, l'ombre de son arête verticale $[AE]$ est le segment $[AE']$ dessiné ci-dessous. Construire l'ombre de la boîte sur le sol.

Correction

La face du dessous $ABCD$ est sur le sol : elle est sa propre ombre. Pour les sommets du dessus, appliquer la méthode : par $B$, $C$ et $D$, tracer les parallèles à $(AE')$ ; par $F$, $G$ et $H$, tracer les parallèles au rayon $(EE')$. On obtient les ombres $F'$, $G'$ et $H'$.

L'ombre de la boîte est la région balayée entre le carré $ABCD$ et le quadrilatère $E'F'G'H'$. Sur ce dessin, $E'F'G'H'$ est un carré égal à $EFGH$, simplement décalé : la section suivante explique pourquoi l'ombre d'une figure horizontale sur un sol horizontal garde toujours sa forme et ses dimensions.

Compétences à pratiquer

Reconnaître une projection parallèle
Calculer des longueurs d'ombres
Construire des ombres au soleil

II.3 Ce que conserve une projection parallèle

Découverte

Un panneau publicitaire rectangulaire $ABCD$, large de $4$ m et haut de $3$ m, est dressé verticalement, son bord inférieur $[AB]$ posé sur un sol plat. Une barre verticale $[IJ]$ relie les milieux $I$ de $[AB]$ et $J$ de $[DC]$. Au soleil, l'ombre du sommet $D$ tombe au point $D'$ situé $2{,}25$ m à droite de $A$ et $3$ m en avant de la droite $(AB)$, du côté du lecteur.

Quelles caractéristiques du panneau se lisent encore sur son ombre $ABC'D'$ : les côtés parallèles, les angles droits, les longueurs des côtés, la barre au milieu, les diagonales égales ($AC = BD = 5$ m) ?

Correction

Les rayons passant par $D$ et par $C$ sont parallèles, et $D$ et $C$ sont à la même hauteur : ils atteignent le sol après le même déplacement, donc $\Vect{DD'} = \Vect{CC'}$ et $DCC'D'$ est un parallélogramme. Ainsi $D'C' = DC = 4$ m et $[D'C']$ est parallèle à $[DC]$ : $C'$ est situé $6{,}25$ m à droite de $A$, $3$ m en avant de $(AB)$. Vue de dessus, l'ombre a la vraie grandeur ci-dessous.

Conservés : les côtés opposés sont parallèles (l'ombre est un parallélogramme), et $J'$ est le milieu de $[D'C']$ : la barre tombe toujours au milieu.
Non conservés : la longueur du côté vertical $[AD]$, dont l'ombre est $[AD']$, et l'angle droit. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle de côtés $2{,}25$ et $3$, $$\begin{aligned} AD' &= \sqrt{2{,}25^2 + 3^2} &&\text{(théorème de Pythagore)}\\ &= \sqrt{14{,}0625}\\ &= \textcolor{colorprop}{3{,}75} \text{ m} \ne 3 \text{ m}, \end{aligned}$$ et $\cos \AngleFr{BAD'} = \frac{2{,}25}{3{,}75} = 0{,}6$, donc $\AngleFr{BAD'} \approx \textcolor{colorprop}{53{,}1^\circ} \ne 90^\circ$.
Non conservée : l'égalité des diagonales : $AC' = \sqrt{6{,}25^2 + 3^2} \approx 6{,}93$ m alors que $BD' = \sqrt{1{,}75^2 + 3^2} \approx 3{,}47$ m.

Une ombre conserve les parallèles et les milieux, mais ni les longueurs ni les angles : les deux énoncés suivants le disent précisément.

Proposition — Propriétés conservées par une projection parallèle

Pour des points et des droites non parallèles à la direction de projection, une projection parallèle conserve :

l'alignement : les images de points alignés sont alignées ;
le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles (ou confondues) ;
les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles : si $C$ est le point de $[AB]$ tel que $AC = t \times AB$, alors $C'$ est le point de $[A'B']$ tel que $A'C' = t \times A'B'$ ; si $[AB]$ et $[EF]$ sont parallèles avec $EF = t \times AB$, alors $E'F' = t \times A'B'$. En particulier, l'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$ ;
les points communs : un point commun à deux figures a pour image un point commun à leurs images ;
les contacts : une droite tangente à un cercle dont le plan n'est pas parallèle à la direction de projection a pour image une droite qui touche l'image du cercle en un seul point, l'image du point de contact.

Conséquence : l'image d'un parallélogramme dont le plan n'est pas parallèle à la direction de projection est un parallélogramme, et l'image de son centre est le centre de l'image.

Une projection parallèle ne conserve pas, en général, les longueurs ni les angles.

Proposition — Figures dans un plan parallèle au plan de projection

Si une figure est contenue dans un plan parallèle au plan de projection $\mathcal{P}$, son image est la même figure déplacée par une translation : ses longueurs et ses angles sont conservés. Une telle figure est représentée en vraie grandeur.

Exemple

Un treillage de jardin est un panneau rectangulaire vertical, large de $3$ m et haut de $2$ m, posé sur un sol plat, avec des lattes horizontales aux hauteurs $0{,}5$ m, $1$ m et $1{,}5$ m. À un certain moment, l'ombre $[AB']$ de son côté vertical $[AB]$ mesure $3$ m. Décrire les ombres des lattes.

Correction

Les lattes sont parallèles au bord inférieur, donc leurs ombres lui sont parallèles. Chaque latte est fixée en un point $S_1$, $S_2$, $S_3$ de $[AB]$ tel que $AS_1 = \frac{1}{4} AB$, $AS_2 = \frac{2}{4} AB$, $AS_3 = \frac{3}{4} AB$ ; les rapports sur une même droite sont conservés, donc les ombres sont sur $[AB']$ aux distances $$\begin{aligned} AS'_1 &= \tfrac{1}{4} \times 3 = 0{,}75 \text{ m}, &&\text{(rapport } \tfrac{1}{4} \text{ conservé)}\\ AS'_2 &= \tfrac{2}{4} \times 3 = 1{,}5 \text{ m}, &&\text{(rapport } \tfrac{2}{4} \text{ conservé)}\\ AS'_3 &= \tfrac{3}{4} \times 3 = 2{,}25 \text{ m}. &&\text{(rapport } \tfrac{3}{4} \text{ conservé)} \end{aligned}$$

Les ombres des lattes sont parallèles au bord inférieur et régulièrement espacées, de $0{,}75$ m mesurés le long de l'ombre d'un côté vertical : l'ombre du treillage est encore un treillage, étiré.

Exemple

Un guéridon a un plateau rond horizontal de diamètre $1{,}2$ m, situé à $0{,}75$ m au-dessus d'un sol plat et horizontal. Quelle est la forme de l'ombre du plateau sur le sol, et quelles sont ses dimensions, à tout moment d'une journée ensoleillée ?

Correction

Le plateau est dans un plan horizontal, parallèle au sol, qui est le plan de projection. D'après la proposition sur les figures dans un plan parallèle au plan de projection, son ombre est le plateau déplacé par une translation : un disque de diamètre $1{,}2$ m, quelle que soit la position du soleil. Seule sa position change : son centre $O'$ est l'ombre du centre $O$ du plateau. Sur le dessin, le plateau et son ombre paraissent tous deux aplatis, car le dessin lui-même est une projection sur un plan vertical — l'objet de la section suivante.

Compétences à pratiquer

Décider ce que conserve une projection
Utiliser la conservation des rapports
Justifier avec les propriétés conservées

III Représenter des solides

III.1 Perspective cavalière

Découverte

Voici trois dessins d'un même cube. Dans chacun d'eux, la face avant est dessinée comme un carré, les arêtes qui s'éloignent du lecteur — les arêtes fuyantes — sont parallèles, et les arêtes cachées sont en pointillés.

Sur chaque dessin, comparer la longueur d'une arête fuyante à celle d'une arête de la face avant, et trouver l'angle entre une arête fuyante et l'horizontale. Pourquoi le dessin a) paraît-il trop profond ? Qu'ont en commun les trois dessins ?

Correction

Comparée à une arête de la face avant, une arête fuyante est $1$ fois, $0{,}5$ fois et $0{,}7$ fois aussi longue, tracée à $45^\circ$, $45^\circ$ et $30^\circ$ de l'horizontale. La face avant n'est pas déformée et toutes les arêtes d'un cube sont égales : les arêtes fuyantes sont l'arête réelle multipliée par $1$, $0{,}5$ et $0{,}7$. L'œil s'attend à voir la profondeur d'un objet raccourcie : avec le coefficient $1$, le dessin a) montre une boîte plus profonde que large, alors que toutes les arêtes d'un cube sont égales. Les trois dessins ont la même structure : la face avant, parallèle à la feuille, est dessinée en vraie grandeur ; les arêtes fuyantes sont parallèles, tracées selon un même angle et raccourcies d'un même coefficient. Chacun est l'image du cube par une projection parallèle sur le plan de la feuille, avec trois directions de projection différentes. L'angle et le coefficient sont des choix libres : la définition suivante les nomme.

Définition — Perspective cavalière

On dessine un objet sur une feuille verticale placée devant lui. Les plans parallèles à la feuille sont les plans frontaux ; les droites perpendiculaires à la feuille sont les fuyantes. Une perspective cavalière de l'objet est son image par une projection sur le plan de la feuille parallèlement à une direction ni parallèle ni perpendiculaire à la feuille, ni horizontale ni parallèle à un plan vertical perpendiculaire à la feuille. Sur le dessin :

toute figure contenue dans un plan frontal apparaît en vraie grandeur ;
les fuyantes apparaissent comme des droites parallèles faisant un angle fixe $\alpha$ avec l'horizontale, l'angle de fuite, avec $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ — les directions exclues donneraient $\alpha = 0^\circ$, qui aplatit les faces horizontales, ou $\alpha = 90^\circ$, qui aplatit les faces latérales ;
toute longueur mesurée sur une fuyante est multipliée par un nombre fixe $k > 0$, le coefficient de réduction, choisi en général inférieur à $1$.

La première règle est la proposition sur les figures contenues dans un plan parallèle au plan de projection ; la deuxième et la troisième viennent de la conservation du parallélisme et des rapports sur des droites parallèles. Les choix usuels sont $\alpha = 30^\circ$ ou $45^\circ$ et $k = 0{,}5$ ou $0{,}7$. Les photographies obéissent à une autre règle, la perspective centrale, dans laquelle toutes les lignes de visée passent par l'œil : ce n'est pas une projection parallèle.

Méthode — Dessiner un pavé en perspective cavalière

Choisir l'angle de fuite $\alpha$, le coefficient $k$, et la face de l'objet à placer dans un plan frontal — celle qui porte le plus d'informations.

Dessiner la face avant en vraie grandeur (ou à l'échelle choisie).
Depuis chaque sommet, tracer une arête fuyante selon l'angle $\alpha$, de longueur $k \times$ la profondeur réelle.
Relier les extrémités : la face arrière est la face avant déplacée selon la direction des fuyantes. Tracer les arêtes cachées en pointillés : lorsque les fuyantes montent vers la droite, le lecteur voit le dessus et le côté droit, et les trois arêtes issues du sommet arrière en bas à gauche sont cachées.

Un point qui n'est pas un sommet (centre d'une face, sommet d'une pyramide, milieu d'une arête) se place grâce aux propriétés conservées — milieux, intersections de diagonales, rapports sur une droite — jamais en mesurant sur le dessin un segment ni frontal ni fuyant, comme la diagonale d'une face non frontale.

Exemple

De nombreux dessins de solides utilisent des axes $x$, $y$, $z$ tracés ainsi : l'axe des $y$ est horizontal et l'axe des $z$ vertical, tous deux avec une unité de $1$ cm ; une unité de l'axe des $x$, qui pointe vers le lecteur, est dessinée par un segment allant de $0{,}4$ cm vers la gauche et de $0{,}4$ cm vers le bas. Le plan des axes $y$ et $z$ est frontal. Déterminer l'angle de fuite et le coefficient de réduction de cette perspective.

Correction

L'axe des $x$ est perpendiculaire au plan frontal des axes $y$ et $z$ : c'est une fuyante. Son segment unité est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent $0{,}4$ cm.

Ces deux côtés sont égaux, donc le segment fait un angle de $45^\circ$ avec l'horizontale : $\alpha = \textcolor{colorprop}{45^\circ}$.
Sa longueur est la longueur dessinée d'une longueur réelle de $1$ cm : $$\begin{aligned} k &= \sqrt{0{,}4^2 + 0{,}4^2} &&\text{(théorème de Pythagore)}\\ &= 0{,}4\sqrt{2}\\ &\approx \textcolor{colorprop}{0{,}57}. \end{aligned}$$

Cette perspective est une perspective cavalière d'angle $\alpha = 45^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}4\sqrt{2} \approx 0{,}57$ ; les fuyantes sont dessinées vers le bas et la gauche parce que l'axe des $x$ pointe vers le lecteur.

Exemple

Une pyramide à base carrée $SABCD$ a une base horizontale $ABCD$, carré de côté $4$ cm, et son sommet $S$ est situé $5$ cm à la verticale au-dessus du centre $O$ de la base. La dessiner en perspective cavalière d'angle $\alpha = 30^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}5$, l'arête $[AB]$ devant.

Correction

La base est horizontale, non frontale : $[AB]$ est frontal, dessiné horizontal et long de $4$ cm ; $[AD]$ et $[BC]$ sont fuyants, dessinés à $30^\circ$ avec la longueur $0{,}5 \times 4 = 2$ cm. La base est dessinée comme un parallélogramme.
Le centre $O$ est l'intersection des diagonales : l'image de l'intersection des diagonales est l'intersection des diagonales dessinées.
La hauteur $[OS]$ est verticale, donc frontale : $S$ est placé $5$ cm à la verticale au-dessus du point $O$ dessiné.
Les arêtes issues de $D$, le sommet arrière gauche de la base, sont cachées : $[DA]$, $[DC]$ et $[DS]$ sont en pointillés.

Méthode — Utiliser un quadrillage en perspective

Un quadrillage de carrés de côté $1$ aide à dessiner des objets faits de cubes, des marches, des lettres en relief ou des meubles.

Sur un quadrillage frontal, les carrés restent des carrés de côté $1$.
Sur un quadrillage horizontal, les droites parallèles à la feuille restent horizontales et gardent leurs pas d'une unité en vraie grandeur ; les fuyantes sont tracées selon l'angle $\alpha$, à une unité l'une de l'autre le long des droites horizontales, et chaque pas sur elles mesure $k$ : chaque carré devient un parallélogramme de côtés $1$ et $k$.

Pour dessiner un objet : placer sa face la plus parlante sur un quadrillage frontal et la dessiner carreau par carreau ; tracer ensuite les arêtes fuyantes issues des sommets visibles, de longueur $k \times$ la profondeur réelle, et relier leurs extrémités ; mettre en pointillés les arêtes cachées. Pour un objet posé au sol, dessiner son empreinte sur le quadrillage horizontal, puis élever chaque sommet verticalement de sa hauteur réelle.

Exemple

Un escalier de trois marches est large de $4$ unités ; chaque marche est haute de $1$ unité et profonde de $1$ unité, et les marches montent vers la gauche. Son profil de côté est dessiné sur un quadrillage frontal. Compléter le dessin en perspective cavalière d'angle $\alpha = 45^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}5$.

Correction

La largeur de $4$ unités est fuyante : chaque arête fuyante est tracée à $45^\circ$ avec la longueur $0{,}5 \times 4 = 2$ unités. En tracer une depuis chaque sommet du profil sauf celui d'en bas à gauche, dont l'arête est cachée ; relier les extrémités pour obtenir le profil arrière, qui est le profil avant déplacé selon la direction des fuyantes. Les marches et les contremarches sont tournées vers le lecteur et sont visibles ; les arêtes du côté gauche et du dessous sont en pointillés.

Compétences à pratiquer

Lire un dessin en perspective cavalière
Calculer des longueurs réelles et dessinées
Dessiner des solides en perspective cavalière

III.2 Cylindres de révolution

Découverte

Les faces d'un cube sont planes ; beaucoup d'objets, au contraire, s'obtiennent en faisant tourner une forme plane autour d'une droite. Dans le hall d'un hôtel, un panneau de verre rectangulaire de $1{,}2$ m de large et de $2{,}2$ m de haut tourne autour de son côté vertical, fixé à un pivot.

Décrire l'espace balayé par le panneau pendant un tour complet. Que décrivent son côté vertical extérieur et son côté inférieur ? Quelle aire de sol faut-il laisser libre ?

Correction

Le panneau balaie un solide d'axe vertical, la droite du pivot : un cylindre de révolution de rayon $1{,}2$ m et de hauteur $2{,}2$ m. Dans chaque position, le côté vertical extérieur est un segment vertical de longueur $2{,}2$ m à la distance $1{,}2$ m de l'axe : ces segments forment la paroi courbe du cylindre. Le côté inférieur balaie sur le sol un disque de rayon $1{,}2$ m, dont l'aire vaut $$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= \pi r^2 &&\text{(aire d'un disque)}\\ &= \pi \times 1{,}2^2\\ &= 1{,}44\pi\\ &\approx 4{,}52 \text{ m}^2. \end{aligned}$$

Définition — Cylindre de révolution

Un cylindre de révolution est le solide engendré par un rectangle $OAA'O'$ qui fait un tour complet autour de la droite $(OO')$ qui porte l'un de ses côtés.

La droite $(OO')$ est son axe, et $h = OO'$ est sa hauteur.
Les côtés $[OA]$ et $[O'A']$ décrivent deux disques de même rayon $r = OA$, de centres $O$ et $O'$, dans des plans parallèles perpendiculaires à l'axe : les deux bases.
Le côté $[AA']$ décrit la surface latérale. Chacune de ses positions est une génératrice : un segment de longueur $h$, parallèle à l'axe, à la distance $r$ de celui-ci.

Proposition — Patron et aire latérale d'un cylindre

Découpée le long d'une génératrice et déroulée à plat, la surface latérale d'un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$ devient un rectangle de côtés $h$ et $2\pi r$. Ainsi :

son aire latérale vaut $\mathcal{A} = 2\pi r h$ ;
un patron du cylindre est ce rectangle, avec les deux disques de rayon $r$ accolés à ses deux côtés de longueur $2\pi r$.

On rappelle que son volume vaut $V = \pi r^2 h$, l'aire d'une base multipliée par la hauteur.

Exemple

Un rectangle de côtés $3$ cm et $5$ cm fait un tour complet autour de l'un de ses côtés. Décrire le cylindre obtenu lorsqu'il tourne autour d'un côté de longueur $5$ cm, puis autour d'un côté de longueur $3$ cm, et comparer leurs aires latérales et leurs volumes.

Correction

Le côté qui porte l'axe est la hauteur ; le côté qui lui est perpendiculaire est le rayon.

Autour d'un côté de longueur $5$ cm : $h = 5$ et $r = 3$, donc $\mathcal{A} = 2\pi \times 3 \times 5 = 30\pi$ cm$^2$ et $V = \pi \times 3^2 \times 5 = 45\pi$ cm$^3$.
Autour d'un côté de longueur $3$ cm : $h = 3$ et $r = 5$, donc $\mathcal{A} = 2\pi \times 5 \times 3 = 30\pi$ cm$^2$ et $V = \pi \times 5^2 \times 3 = 75\pi$ cm$^3$.

Les deux aires latérales sont égales, puisque $2\pi r h$ ne change pas quand on échange $r$ et $h$ ; les volumes ne le sont pas, puisque le rayon est élevé au carré : le cylindre plat et large contient davantage.

Compétences à pratiquer

Décrire un cylindre de révolution
Utiliser le patron d'un cylindre

III.3 Dessiner un cercle en perspective

Découverte

Un designer dessine un plateau de table rond, posé à l'horizontale, en perspective cavalière d'angle $\alpha = 45^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}5$. Le plateau n'est pas dans un plan frontal, il n'est donc pas dessiné comme un cercle. Le cercle s'inscrit exactement dans un carré : chaque côté du carré touche le cercle en son milieu.

Comment le carré est-il dessiné ? Quels points du cercle dessiné sont connus immédiatement ? Que peut-on dire d'autre de la courbe dessinée ?

Correction

Le carré est horizontal : ses côtés avant et arrière sont frontaux, dessinés en vraie grandeur, et ses deux autres côtés sont fuyants, dessinés à $45^\circ$ et réduits de moitié. Le carré devient un parallélogramme. Le cercle touche chaque côté du carré en son milieu. Les contacts et les milieux sont conservés : la courbe dessinée touche chaque côté du parallélogramme en son milieu. Ces quatre points sont connus immédiatement. De plus, le cercle est à l'intérieur du carré, donc la courbe dessinée est à l'intérieur du parallélogramme, et le centre du cercle, intersection des diagonales du carré, est dessiné à l'intersection des diagonales du parallélogramme. Quatre points ne suffisent pas pour une courbe régulière : les énoncés suivants en donnent quatre de plus.

Proposition — Image d'un cercle

Soient $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$, et $ABCD$ un carré qui lui est circonscrit : ses côtés touchent $\mathcal{C}$ en leurs milieux $I$, $J$, $K$, $L$. On considère une projection parallèle dont la direction n'est pas parallèle au plan du cercle (sinon l'image du cercle est un segment).

Si le plan du cercle est parallèle au plan de projection, l'image de $\mathcal{C}$ est un cercle de même rayon.
Sinon, l'image du carré est un parallélogramme $A'B'C'D'$ de centre $O'$, et l'image de $\mathcal{C}$ est une courbe fermée inscrite dans ce parallélogramme : elle touche chaque côté en son milieu $I'$, $J'$, $K'$, $L'$, et elle est symétrique par rapport à $O'$.

Cette courbe est une ellipse (admis) : elle ressemble à un cercle étiré dans une direction.

Proposition — Quatre points de plus sur les diagonales

Avec les mêmes notations, le cercle $\mathcal{C}$ de rayon $r$ coupe les demi-diagonales $[OA]$, $[OB]$, $[OC]$, $[OD]$ du carré en quatre points $E$, $F$, $G$, $H$ tels que $$OE = \frac{\sqrt{2}}{2} \times OA.$$ Par conséquent, sur le dessin, les quatre points $E'$, $F'$, $G'$, $H'$ de la courbe sont sur les demi-diagonales du parallélogramme, aux $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ de leur longueur à partir du centre : $O'E' = \frac{\sqrt{2}}{2} \times O'A'$.

Méthode — Dessiner un cercle en perspective par huit points

Pour dessiner un cercle de rayon $r$ contenu dans un plan qui n'est ni frontal ni parallèle à la direction de projection (dans un tel plan, le cercle serait dessiné comme un segment, sans parallélogramme) :

tracer le parallélogramme $A'B'C'D'$, image du carré circonscrit, avec ses diagonales, et marquer les milieux de ses côtés ; nommer les points de sorte que $[A'B']$ soit un côté frontal, de longueur réelle $2r$, de milieu $I'$ ;
sur $[I'A']$, construire le triangle rectangle isocèle $I'TA'$ rectangle en $T$ ; au compas, reporter la longueur $I'T = \frac{\sqrt{2}}{2} r$ depuis $I'$ sur les deux moitiés de $[A'B']$ : on obtient $U$ et $V$ ;
par $U$ et $V$, tracer les parallèles aux côtés fuyants : elles coupent les diagonales en quatre points $E'$, $F'$, $G'$, $H'$ ;
relier les huit points par une courbe régulière qui touche les côtés en leurs milieux.

Pourquoi l'étape 2 fonctionne : dans le carré en vraie grandeur, le point $E$ de la diagonale se projette sur le côté avant, parallèlement aux autres côtés, à la distance $\frac{\sqrt{2}}{2} r$ de son milieu ; cette distance est mesurée sur un côté frontal, elle est donc dessinée en vraie grandeur. Lorsque le cercle peut être placé dans un plan frontal (l'extrémité d'un tuyau, une roue vue de côté, une horloge au mur), aucune construction n'est nécessaire : il est dessiné comme un cercle.

Exemple

Dessiner en perspective cavalière, d'angle $\alpha = 45^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}5$, un tuyau : un cylindre de rayon $1{,}2$ cm et de longueur $4$ cm dont l'axe est une fuyante.

Correction

Les deux extrémités du tuyau sont des disques contenus dans des plans frontaux : elles sont dessinées comme des cercles de rayon $1{,}2$ cm. Le centre du cercle arrière est sur la fuyante passant par le centre du cercle avant, à la distance dessinée $0{,}5 \times 4 = 2$ cm, à $45^\circ$. Le contour du tuyau est formé des deux segments parallèles aux fuyantes et tangents aux deux cercles ; la partie du cercle arrière cachée par le tuyau est en pointillés.

Exemple

Dessiner en perspective cavalière, d'angle $\alpha = 45^\circ$ et de coefficient $k = 0{,}5$, une boîte de conserve : un cylindre de rayon $1{,}5$ cm et de hauteur $4$ cm posé sur une table horizontale.

Correction

Les deux bases sont des cercles horizontaux : chacune est dessinée par la méthode des huit points, dans le parallélogramme de côtés $3$ cm (frontal) et $0{,}5 \times 3 = 1{,}5$ cm (fuyant, à $45^\circ$). La base du haut est celle du bas déplacée de $4$ cm verticalement : l'axe est vertical, donc frontal. Le contour est formé des deux segments verticaux tangents aux deux courbes. Le dessus est entièrement visible ; de la courbe du bas, seule la moitié avant est visible, la moitié arrière est en pointillés.

Compétences à pratiquer

Reconnaître l'image d'un cercle
Placer les huit points
Dessiner des cercles et des cylindres

IV Les sections planes et l'ellipse

IV.1 Sections planes d'un cube

Découverte

Un designer scie un coin d'un cube de bois d'arête $6$ cm d'une seule coupe droite. La coupe passe par les trois sommets $B$, $E$ et $G$ reliés par une arête au coin $F$.

Quelle est la forme de la face plane laissée par la coupe ? Calculer les longueurs de ses côtés. Une autre coupe droite pourrait-elle laisser une face plane à quatre, cinq, voire six côtés ?

Correction

La face plane est le triangle $EBG$. Chacun de ses côtés est une diagonale d'une face du cube : $[EB]$ de la face $ABFE$, $[BG]$ de la face $BCGF$ et $[GE]$ de la face $EFGH$. Dans la face $ABFE$, le triangle $EFB$ est rectangle en $F$ : $$\begin{aligned}[t] EB^2 &= EF^2 + FB^2 &&\text{(théorème de Pythagore dans le triangle $EFB$)}\\ &= 6^2 + 6^2 &&\text{($EF = FB = 6$)}\\ &= 72, \end{aligned}$$ donc $EB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}5$ cm. Le même calcul dans les deux autres faces donne $BG = GE = 6\sqrt{2}$ cm : la coupe laisse un triangle équilatéral de côté $6\sqrt{2}$ cm. D'autres coupes droites laissent d'autres formes : un quadrilatère, un pentagone, même un hexagone, mais jamais plus de six côtés. Les règles qui suivent expliquent pourquoi, et comment tracer la coupe.

Définition — Section et trace

La section d'un solide par un plan est la figure plane formée par les points du solide situés dans ce plan. Lorsqu'un plan traverse l'intérieur d'un cube sans contenir l'une de ses faces, la section est un polygone :

chaque côté du polygone est la trace du plan sur une face du cube : le segment selon lequel le plan coupe cette face ;
chaque sommet du polygone est sur une arête du cube.

Sur un dessin en perspective, un côté situé sur une face cachée est tracé en pointillés. Sur la figure, le plan passant par les milieux de $[AB]$, $[BC]$, $[FG]$ et $[EF]$ détache l'arête $[BF]$ : la section est un rectangle, et sa trace sur la face du dessous, qui est cachée, est en pointillés.

Proposition — Règles des traces

Soit $\mathcal{P}$ un plan qui coupe un cube et ne contient aucune de ses faces.

Deux points distincts de $\mathcal{P}$ situés sur une même face déterminent la trace de $\mathcal{P}$ sur cette face : elle est portée par la droite qui les joint.
Si $\mathcal{P}$ coupe deux faces parallèles selon des segments, ses traces sur ces deux faces sont parallèles. Un plan qui ne rencontre une face qu'en un sommet n'a pas de trace sur cette face : la règle ne s'applique pas.

Méthode — Construire la section d'un cube

Le plan est donné par trois points $M$, $N$, $P$ situés sur des arêtes du cube.

Joindre deux points donnés situés sur une même face : ce segment est un côté de la section.
Sur la face parallèle à une face déjà coupée, tracer par un point connu la parallèle à la trace déjà tracée.
Lorsqu'une face ne porte qu'un seul point connu, prolonger une trace tracée sur une face voisine jusqu'à la droite qui porte l'arête commune aux deux faces, hors du cube si nécessaire. Le point obtenu est dans le plan de la section et dans le plan de la face : le joindre au point connu de la face.
Continuer face par face jusqu'à ce que le polygone se referme. Vérifier que chaque côté est sur une face et que les côtés situés sur des faces parallèles sont parallèles, puis tracer en pointillés les côtés situés sur des faces cachées.

Un point construit hors du cube à l'étape 3 n'est qu'une aide à la construction, non un sommet de la section.

Exemple

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $4$ cm ; $M$ et $N$ sont les milieux des arêtes $[EF]$ et $[FG]$. Construire la section du cube par le plan $(MNC)$ et nommer le polygone obtenu.

Correction

$M$ et $N$ sont sur la face du dessus $EFGH$ : la trace sur cette face est $[MN]$.
$N$ et $C$ sont sur la face de droite $BCGF$ : la trace sur cette face est $[NC]$.
La face du dessous $ABCD$ est parallèle à la face du dessus : la trace sur celle-ci est la parallèle à $(MN)$ passant par $C$. Or $(MN)$ est parallèle à $(EG)$, d'après le théorème des milieux dans le triangle $EFG$, et $(EG)$ est parallèle à $(AC)$, puisque $ACGE$ est un rectangle. Cette trace est donc $[CA]$.
$A$ et $M$ sont sur la face de devant $ABFE$ : le dernier côté est $[AM]$.

La section est le quadrilatère $MNCA$, dont les côtés $[MN]$ et $[CA]$ sont parallèles : c'est un trapèze. Son côté $[CA]$ est sur la face du dessous, cachée : il est en pointillés.

Exemple

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête $6$ cm ; $M$, $N$ et $P$ sont les milieux des arêtes $[AB]$, $[AE]$ et $[FG]$. Construire la section du cube par le plan $(MNP)$.

Correction

$M$ et $N$ sont sur la face de devant $ABFE$ : côté $[MN]$.
La face de droite $BCGF$ ne porte que $P$. On prolonge $(MN)$, qui est dans le plan de la face de devant, jusqu'à la droite $(BF)$, qui porte l'arête commune aux faces de devant et de droite : on obtient un point $I$, au-dessous de $B$. Le point $I$ est dans le plan $(MNP)$ et dans le plan de la face de droite, donc la trace sur la face de droite est portée par $(IP)$ : elle coupe l'arête $[BC]$ en $R$, et $[RP]$ est un côté.
La face du dessous $ABCD$ porte $M$ et $R$ : côté $[MR]$. La face du dessus $EFGH$ est parallèle à la face du dessous : sa trace est la parallèle à $(MR)$ passant par $P$, qui coupe $[EH]$ en $S$. La face de gauche $ADHE$ porte $S$ et $N$ : côté $[SN]$, et le polygone se referme.

La section est le pentagone $MRPSN$ ; la face arrière n'est pas coupée. Comme prévu, $(PS)$ est parallèle à $(MR)$ et $(SN)$ à $(RP)$ : elles sont sur des faces parallèles. Les côtés $[MR]$ et $[SN]$, sur des faces cachées, sont en pointillés.

Proposition — Formes possibles d'une section d'un cube

La section d'un cube par un plan qui traverse son intérieur sans contenir de face est un polygone à trois, quatre, cinq ou six côtés. Ses côtés situés sur des faces parallèles sont parallèles : une section pentagonale a deux paires de côtés parallèles, et une section hexagonale trois paires.

\medskip

Le plan passant par les milieux de six arêtes, comme sur la dernière figure, donne un hexagone dont les six côtés sont égaux : chacun joint les milieux de deux côtés d'une face carrée, c'est donc une demi-diagonale de cette face.

Méthode — Tracer une section en vraie grandeur

Un dessin en perspective ne conserve ni les longueurs ni les angles : le polygone dessiné sur le cube n'a pas la forme de la section. Pour tracer la section en vraie grandeur :

calculer la longueur de chaque côté dans la face qui le contient, avec le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont portés par des arêtes ;
fixer la forme du polygone : un triangle est fixé par ses trois côtés ; un polygone qui a plus de côtés est découpé en triangles par des diagonales, dont on calcule les longueurs avec le théorème de Pythagore, appliqué deux fois si besoin ; une symétrie peut remplacer une diagonale, comme pour un trapèze isocèle, qui est fixé par ses deux bases et ses côtés obliques ;
construire le polygone à la règle, à l'équerre et au compas.

Exemple

Tracer en vraie grandeur la section $MNCA$ du cube d'arête $4$ cm obtenue plus haut : $M$ et $N$ sont les milieux de $[EF]$ et $[FG]$.

Correction

Chaque côté est calculé dans sa face.

$MN$ : le triangle $MFN$ est rectangle en $F$, avec $MF = FN = 2$, donc $MN^2 = 2^2 + 2^2 = 8$ et $MN = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ cm.
$CA$ : diagonale du carré $ABCD$, donc $CA^2 = 4^2 + 4^2 = 32$ et $CA = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$ cm.
$AM$ : le triangle $AEM$ est rectangle en $E$, donc $AM^2 = AE^2 + EM^2 = 16 + 4 = 20$ et $AM = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ cm ; de même, $CN = 2\sqrt{5}$ cm dans le triangle $CGN$.

Le trapèze a deux côtés obliques égaux : il est isocèle, et la médiatrice de ses bases est un axe de symétrie. La base $[CA]$ dépasse $[MN]$ de $\dfrac{4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ de chaque côté, donc la hauteur $h$ est un côté d'un triangle rectangle d'hypoténuse $AM$ et de troisième côté $\sqrt{2}$ : $$\begin{aligned}[t] h^2 &= AM^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2 &&\text{(théorème de Pythagore)}\\ &= 20 - 2\\ &= 18, \end{aligned}$$ donc $h = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ cm. Construction : tracer $[CA]$ de longueur $5{,}66$ cm et sa médiatrice ; à la distance $4{,}24$ cm de $[CA]$, tracer le segment $[MN]$ de longueur $2{,}83$ cm, parallèle à $[CA]$ et centré sur la médiatrice ; vérifier au compas que $AM \approx 4{,}47$ cm. La figure ci-dessous est réduite.

Compétences à pratiquer

Connaître les règles des traces
Construire une section
Tracer une section en vraie grandeur

IV.2 Sections planes d'un cylindre

Découverte

Pour fabriquer un pot à crayons, un designer pose un tube de diamètre $4$ cm et de hauteur $12$ cm debout sur une table horizontale et coupe son sommet d'une coupe droite dont le plan fait un angle de $60^\circ$ avec la table et qui ne l'atteint pas.

Quelle est la forme de l'ouverture ? Quelles sont sa largeur et sa longueur ?

Correction

On regarde le tube de côté, dans la direction horizontale de la coupe. Le tube apparaît comme une bande de largeur $4$ cm et la coupe comme un segment de longueur $\ell$ qui fait un angle de $60^\circ$ avec l'horizontale. Ce segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont le côté horizontal, adjacent à l'angle, mesure $4$ cm : $$\begin{aligned}[t] \cos 60^\circ &= \frac{4}{\ell} &&\text{(cosinus dans le triangle rectangle)}\\ \ell &= \frac{4}{\cos 60^\circ}\\ &= \frac{4}{0{,}5}\\ &= 8 \text{ cm}. \end{aligned}$$

Le diamètre horizontal du tube est dans la coupe et garde sa longueur : à son plus large, l'ouverture a toujours $4$ cm de large. L'ouverture est un ovale de $8$ cm de long et de $4$ cm de large : la section ronde du tube, étirée d'un facteur $2$ dans une direction.

Proposition — Sections perpendiculaires ou parallèles à l'axe

Soit un cylindre de révolution de rayon $r$ et de hauteur $h$.

Un plan perpendiculaire à l'axe, entre les plans des deux bases, le coupe selon un disque de rayon $r$ dont le centre est sur l'axe.
Un plan parallèle à l'axe, à la distance $d$ de celui-ci avec $d \lt r$, le coupe selon un rectangle de côtés $h$ et $2\sqrt{r^2 - d^2}$. Lorsque $d = r$, le plan touche la surface latérale le long d'une génératrice ; lorsque $d \gt r$, il ne rencontre pas le cylindre.

Exemple

Un tronc, modélisé par un cylindre de révolution de diamètre $30$ cm et de longueur $2$ m, est scié dans sa longueur par un plan parallèle à son axe, à la distance $9$ cm de celui-ci. Déterminer la forme et les dimensions de la face plane obtenue.

Correction

Le rayon vaut $r = 15$ cm et $d = 9 \lt 15$ : la face plane est un rectangle de longueur $2$ m, et sa largeur vaut $$\begin{aligned}[t] KL &= 2\sqrt{r^2 - d^2} &&\text{(section parallèle à l'axe)}\\ &= 2\sqrt{15^2 - 9^2}\\ &= 2\sqrt{144}\\ &= 24 \text{ cm}. \end{aligned}$$ La face plane est un rectangle de $2$ m sur $24$ cm.

Proposition — Section oblique d'un cylindre

Un cylindre de révolution de rayon $r$ est posé, axe vertical, et un plan coupe toutes les génératrices. Les horizontales de ce plan sont ses droites parallèles aux bases, et ses lignes de plus grande pente sont ses droites perpendiculaires aux horizontales. L'angle $\theta$ entre le plan et les bases, où $0^\circ \lt \theta \lt 90^\circ$, est l'angle entre une ligne de plus grande pente et les plans des bases : vu de côté, dans la direction des horizontales du plan, le plan apparaît comme une droite qui fait l'angle $\theta$ avec les bases. En vraie grandeur, la section est le disque de rayon $r$ étiré du facteur $\dfrac{1}{\cos\theta}$ dans la direction des lignes de plus grande pente, et son bord est le cercle de rayon $r$ étiré de la même façon : sa largeur, le long d'une horizontale, vaut $2r$, et sa longueur, le long d'une ligne de plus grande pente, vaut $\dfrac{2r}{\cos\theta}$.

Méthode — Tracer en vraie grandeur une section oblique

Tracer le cercle de rayon $r$ et un diamètre $[UV]$, qui représente la direction de plus grande pente. Marquer des points sur $[UV]$, par exemple tous les centimètres, et tracer par ces points les cordes perpendiculaires à $[UV]$.
Sur une droite, tracer un segment $[U'V']$ de longueur $\dfrac{2r}{\cos\theta}$ et y placer les points marqués, avec leurs distances au milieu multipliées par $\dfrac{1}{\cos\theta}$.
Par chaque nouveau point, tracer la perpendiculaire à $[U'V']$ et reporter au compas les demi-cordes, dont les longueurs ne changent pas.
Joindre les extrémités des cordes par une courbe régulière.

$\xrightarrow{\ \times\,\frac{1}{\cos\theta}\ }$

Exemple

Un tuyau de diamètre $6$ cm est coupé par un plan qui coupe toutes les génératrices. Vue de côté, dans la direction des horizontales de la coupe, la coupe monte de $8$ cm d'un bord du tuyau à l'autre. Déterminer les dimensions de la section, puis décrire comment la tracer en vraie grandeur.

Correction

Vue de côté, la coupe est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côté horizontal $6$ et de côté vertical $8$ : $$\begin{aligned}[t] \ell^2 &= 6^2 + 8^2 &&\text{(théorème de Pythagore)}\\ &= 100, \end{aligned}$$ donc $\ell = 10$ cm. La section a $6$ cm de large et $10$ cm de long, et $\cos\theta = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ : le facteur d'étirement vaut $\dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac{5}{3}$. Pour la tracer, on prend le cercle de rayon $3$ cm et les cordes perpendiculaires à $[UV]$ aux distances $1$ et $2$ cm du centre, de demi-longueurs $\sqrt{9 - 1} \approx 2{,}83$ et $\sqrt{9 - 4} \approx 2{,}24$ cm. On les reporte aux distances $\dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ et $\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ cm du milieu d'un segment $[U'V']$ de longueur $10$ cm, de part et d'autre, et l'on joint leurs extrémités.

$\xrightarrow{\ \times\,\frac{1}{\cos\theta}\ }$

De l'ovale à l'ellipse

Le bord d'une section oblique d'un cylindre est le cercle de sa base étiré dans une direction. La même courbe apparaît chaque fois qu'un cercle est vu de biais : les bases d'un cylindre dessiné en perspective, une fenêtre ronde vue de côté et, en général, l'ombre d'une assiette ronde au soleil (une assiette parallèle à un sol plat donne une ombre ronde). Cette courbe s'appelle une ellipse. Le mot ovale désigne couramment ces formes arrondies ; un ovale tracé avec quatre arcs de cercle raccordés lui ressemble mais n'est pas une ellipse : il est fait de morceaux de cercles, alors qu'aucun morceau d'une ellipse qui n'est pas un cercle n'est un arc de cercle.

Signaler une erreur

Compétences à pratiquer

Identifier la section
Calculer une section parallèle à l'axe

IV.3 L'ellipse

Découverte

Un designer dessine le plateau d'une table ovale en étirant un plateau rond de diamètre $100$ cm dans une direction, horizontalement sur le plan : la longueur devient $160$ cm, tandis que la largeur reste de $100$ cm. Le plan utilise un repère centré au centre de la table, d'unité le centimètre.

Par quel nombre les distances horizontales à l'axe de symétrie vertical sont-elles multipliées ? Où va le point $P(30\,;40)$ du plateau rond ? Le point $(0\,;50)$ bouge-t-il ?

Correction

Le diamètre horizontal passe de $100$ à $160$ cm, donc les distances horizontales à l'axe vertical sont multipliées par $$k = \frac{160}{100} = 1{,}6,$$ tandis que les distances verticales ne changent pas. Le point $P(30\,;40)$ va en $P'(1{,}6 \times 30\,;40) = P'(48\,;40)$. Le point $(0\,;50)$ est sur l'axe vertical : sa distance à cet axe vaut $0$ et reste $0$, donc il ne bouge pas. L'ovale est l'image du cercle par cette transformation, qui multiplie une coordonnée et garde l'autre.

Définition — Affinité orthogonale

Soit $\Delta$ une droite et $k$ un nombre positif non nul. L'affinité orthogonale (ou étirement) d'axe $\Delta$ et de rapport $k$ associe à chaque point $M$ le point $M'$ de la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$, du même côté de $\Delta$ que $M$, tel que $$HM' = k \times HM,$$ où $H$ est le pied de cette perpendiculaire ; les points de $\Delta$ ne bougent pas. Dans un repère orthonormé dont le second axe est $\Delta$, elle associe au point $(x\,;y)$ le point $(kx\,;y)$.

Définition — Ellipse

Une ellipse est l'image d'un cercle par une affinité orthogonale dont l'axe $\Delta$ passe par le centre $O$ du cercle. Lorsque le cercle a pour rayon $b$ et que le rapport vaut $k \gt 1$, on pose $a = kb$. L'ellipse :

a pour centre $O$ et deux axes de symétrie : la droite $\Delta$ et la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $O$ ;
les coupe en quatre sommets : $B$ et $B'$ sur $\Delta$, à la distance $b$ de $O$, et $A$ et $A'$ sur l'autre axe, à la distance $a$ de $O$ ;
a un grand axe $[AA']$ de longueur $2a$ et un petit axe $[BB']$ de longueur $2b$ ; les nombres $a$ et $b$ sont ses demi-axes.

Le cercle est symétrique par rapport aux deux axes, et l'affinité conserve ces symétries, puisqu'elle traite de la même façon deux points symétriques par rapport à l'un ou l'autre axe. Lorsque $k \lt 1$, les rôles des deux axes sont échangés : le grand axe est porté par $\Delta$. Lorsque $k = 1$, aucun point ne bouge : l'ellipse est le cercle lui-même, l'ellipse particulière dont les deux demi-axes sont égaux. Lorsqu'on compare cercles et ellipses, le mot ellipse est réservé à une ellipse qui n'est pas un cercle ($k \neq 1$).

Retour au cylindre

Le bord de la section oblique d'un cylindre de rayon $r$, par un plan qui fait un angle $\theta$ avec les bases, est le cercle de rayon $r$ étiré de $\dfrac{1}{\cos\theta}$ : c'est une ellipse de demi-axes $b = r$ et $a = \dfrac{r}{\cos\theta}$, et l'on dit plus brièvement que la section est une ellipse. Son petit axe est un diamètre horizontal du cylindre, son grand axe suit la plus grande pente du plan de coupe.

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Proposition — Les deux cercles d'une ellipse

Soit une ellipse de centre $O$ et de demi-axes $a \gt b$. Elle est à la fois :

l'image de son petit cercle, de centre $O$ et de rayon $b$, par l'affinité d'axe $(BB')$ et de rapport $\dfrac{a}{b}$ ;
l'image de son grand cercle, de centre $O$ et de rayon $a$, par l'affinité d'axe $(AA')$ et de rapport $\dfrac{b}{a}$.

Plus précisément, si une demi-droite issue de $O$ coupe le petit cercle en $P$ et le grand cercle en $Q$, le point $M$ qui a l'abscisse de $Q$ et l'ordonnée de $P$ est sur l'ellipse, dans le repère de centre $O$ dont les axes sont ceux de l'ellipse.

Méthode — Construire une ellipse avec deux cercles

Pour construire l'ellipse de centre $O$ et de demi-axes $a \gt b$ :

tracer les deux axes, perpendiculaires en $O$, et les cercles de centre $O$ et de rayons $a$ et $b$ ;
tracer une demi-droite issue de $O$ : elle coupe le petit cercle en $P$ et le grand cercle en $Q$ ;
tracer par $Q$ la parallèle au petit axe et par $P$ la parallèle au grand axe : elles se coupent en un point $M$ de l'ellipse ;
recommencer avec des demi-droites tous les $30^\circ$, ou tous les $15^\circ$ pour plus de précision, utiliser les deux symétries, et joindre les points par une courbe régulière.

Exemple

Une ellipse a pour centre $O$ et pour demi-axes $a = 5$ cm et $b = 3$ cm. Dans le repère de centre $O$ dont les axes sont les siens, déterminer les points de l'ellipse donnés par les demi-droites à $30^\circ$ et à $60^\circ$ du grand axe, et en déduire six autres points par symétrie.

Correction

Sur la demi-droite à $30^\circ$ : $P(3\cos 30^\circ\,;3\sin 30^\circ)$ sur le petit cercle et $Q(5\cos 30^\circ\,;5\sin 30^\circ)$ sur le grand, donc $$M_1\left(5\cos 30^\circ\,;3\sin 30^\circ\right) = M_1\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\,;\frac{3}{2}\right) \approx M_1(4{,}33\,;1{,}5).$$ Sur la demi-droite à $60^\circ$ : $$M_2\left(5\cos 60^\circ\,;3\sin 60^\circ\right) = M_2\left(\frac{5}{2}\,;\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \approx M_2(2{,}5\,;2{,}6).$$ Les symétries par rapport aux deux axes changent les signes des coordonnées : $(-4{,}33\,;1{,}5)$, $(-4{,}33\,;-1{,}5)$, $(4{,}33\,;-1{,}5)$, $(-2{,}5\,;2{,}6)$, $(-2{,}5\,;-2{,}6)$ et $(2{,}5\,;-2{,}6)$ sont aussi sur l'ellipse, ainsi que les quatre sommets $(\pm 5\,;0)$ et $(0\,;\pm 3)$.

Proposition — Ce que conserve une affinité orthogonale

Une affinité orthogonale transforme une droite en une droite, et elle conserve :

le parallélisme : deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles ;
les milieux : le milieu de $[MN]$ est transformé en le milieu de $[M'N']$ ;
les contacts : une droite tangente à un cercle est transformée en une droite qui touche l'image du cercle en un seul point, l'image du point de contact : elle est tangente à l'image.

Elle ne conserve pas les longueurs, sauf dans la direction de son axe, ni les angles, lorsque $k \neq 1$.

Définition — Tangente et parallélogramme circonscrit

Une droite est tangente à une ellipse en un point $M$ lorsqu'elle passe par $M$ et n'a aucun autre point commun avec l'ellipse. Un parallélogramme est circonscrit à une ellipse lorsque ses quatre côtés sont tangents à l'ellipse.

Méthode — Construire un parallélogramme circonscrit à une ellipse

L'ellipse de demi-axes $a \gt b$ est l'image de son petit cercle par l'affinité d'axe $(BB')$ et de rapport $k = \dfrac{a}{b}$.

Tracer un carré circonscrit au petit cercle : prendre deux diamètres perpendiculaires $[PP']$ et $[QQ']$ du cercle et tracer les tangentes à leurs extrémités, perpendiculaires aux rayons.
Construire les images des quatre sommets du carré par l'affinité : multiplier leurs distances à $(BB')$ par $k$.
Ces quatre points sont les sommets d'un parallélogramme circonscrit à l'ellipse ; il touche l'ellipse aux images $P_1$, $P'_1$, $Q_1$ et $Q'_1$ de $P$, $P'$, $Q$ et $Q'$, les milieux de ses côtés.

L'affinité conserve le parallélisme, les contacts et les milieux : le carré devient un parallélogramme dont les côtés touchent l'ellipse en leurs milieux. Le carré dont les côtés sont parallèles aux axes donne le rectangle de côtés $2a$ et $2b$, qui touche l'ellipse en ses quatre sommets.

$\xrightarrow{\ k\ }$

Exemple

Une ellipse a pour demi-axes $a = 5$ cm et $b = 3$ cm. Construire un parallélogramme qui lui est circonscrit à partir du carré circonscrit à son petit cercle dont les sommets sont sur les axes, et donner les coordonnées de ses sommets et de ses points de contact.

Correction

Dans le repère de centre $O$ dont les axes sont ceux de l'ellipse, l'affinité transforme $(x\,;y)$ en $\left(\dfrac{5}{3}x\,;y\right)$. Le carré circonscrit au cercle de rayon $3$ dont les sommets sont sur les axes touche le cercle aux points $\left(\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\,;\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)$, et ses sommets, à la distance $3\sqrt{2}$ de $O$ sur les axes, sont $(\pm 3\sqrt{2}\,;0)$ et $(0\,;\pm 3\sqrt{2})$. Leurs images sont $$(\pm 5\sqrt{2}\,;0) \approx (\pm 7{,}07\,;0) \qquad \text{et} \qquad (0\,;\pm 3\sqrt{2}) \approx (0\,;\pm 4{,}24) :$$ le parallélogramme circonscrit est un losange, de diagonales $10\sqrt{2} \approx 14{,}1$ cm et $6\sqrt{2} \approx 8{,}5$ cm. Il touche l'ellipse aux images des points de contact : $$\left(\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\,;\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \approx (\pm 3{,}54\,;\pm 2{,}12),$$ les milieux de ses côtés.

$\xrightarrow{\ k\ }$

Compétences à pratiquer

Utiliser une affinité orthogonale
Calculer une section oblique
Construire une ellipse et un parallélogramme circonscrit

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

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