Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Perspective centrale (STD2A)

⌚ ~146 min ▢ 16 blocs ✓ 71 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Géométrie dans l'espace : perspective cavalière, sections, ellipse (STD2A), Coniques et raccordements (STD2A)

I Le théorème de Thalès et les triangles semblables

Théorème — Théorème de Thalès

Soit un triangle $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$, avec un point $\textcolor{colorprop}{D}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ et un point $\textcolor{colorprop}{E}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{C}}$, tous deux distincts de $A$.
Si la droite $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ est parallèle à la droite $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, alors les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ sont semblables : $$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Configurations de Thalès : figures clés

Chaque triangle bleu est semblable au triangle rouge.

Proposition — Similitude par angle-angle pour les triangles

Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Thalès

II La projection parallèle

Définition — Projection sur un plan parallèlement à une droite

Soient $\mathcal{P}$ un plan et $d$ une droite qui coupe $\mathcal{P}$ en un seul point (elle n'est ni parallèle à $\mathcal{P}$ ni contenue dans ce plan). Pour tout point $M$ de l'espace, la droite passant par $M$ et parallèle à $d$ coupe alors $\mathcal{P}$ en un unique point $M'$. Le point $M'$ est l'image (ou le projeté) de $M$ par la projection sur $\mathcal{P}$ parallèlement à $d$. Une telle transformation est appelée une projection parallèle ; $\mathcal{P}$ est le plan de projection et la direction de $d$ la direction de projection. Un point de $\mathcal{P}$ est sa propre image. L'image d'une figure est l'ensemble des images de ses points.

Les ombres portées par le soleil sur un sol plat sont les images des objets par la projection sur le sol parallèlement aux rayons du soleil.

Proposition — Propriétés conservées par une projection parallèle

Pour des points et des droites non parallèles à la direction de projection, une projection parallèle conserve :

l'alignement : les images de points alignés sont alignées ;
le parallélisme : deux droites parallèles ont des images parallèles (ou confondues) ;
les rapports de longueurs sur une même droite ou sur des droites parallèles : si $C$ est le point de $[AB]$ tel que $AC = t \times AB$, alors $C'$ est le point de $[A'B']$ tel que $A'C' = t \times A'B'$ ; si $[AB]$ et $[EF]$ sont parallèles avec $EF = t \times AB$, alors $E'F' = t \times A'B'$. En particulier, l'image du milieu de $[AB]$ est le milieu de $[A'B']$ ;
les points communs : un point commun à deux figures a pour image un point commun à leurs images ;
les contacts : une droite tangente à un cercle dont le plan n'est pas parallèle à la direction de projection a pour image une droite qui touche l'image du cercle en un seul point, l'image du point de contact.

Conséquence : l'image d'un parallélogramme dont le plan n'est pas parallèle à la direction de projection est un parallélogramme, et l'image de son centre est le centre de l'image.

Une projection parallèle ne conserve pas, en général, les longueurs ni les angles.

Proposition — Figures dans un plan parallèle au plan de projection

Si une figure est contenue dans un plan parallèle au plan de projection $\mathcal{P}$, son image est la même figure déplacée par une translation : ses longueurs et ses angles sont conservés. Une telle figure est représentée en vraie grandeur.

Compétences à pratiquer

Calculer des longueurs d'ombres

III La projection centrale

Découverte

La nuit, une petite lampe $L$ est fixée au sommet d'un poteau vertical $[HL]$, haut de $3$ m, planté dans un sol plat. Deux bâtons verticaux $[KT]$ et $[VU]$, hauts tous deux de $1$ m, se dressent à $2$ m et à $4$ m du pied $H$ du poteau, dans deux directions différentes. La lampe est si petite que tous ses rayons partent du seul point $L$.

Déterminer la longueur de l'ombre de chaque bâton. Au soleil, deux bâtons verticaux égaux ont des ombres égales et parallèles : est-ce encore le cas ici ?

Correction

L'ombre $T'$ du sommet $T$ est le point où le rayon $(LT)$ rencontre le sol. Le poteau et le bâton sont verticaux : ils sont dans un même plan vertical, qui contient le rayon $(LT)$ ; le point $T'$ est donc sur la droite $(HK)$, au-delà de $K$. Dans le triangle $HLT'$, le segment $[KT]$ est parallèle à $[HL]$ (tous deux sont verticaux). En notant $s = KT'$, le théorème de Thalès donne $$\begin{aligned} \frac{KT'}{HT'} &= \frac{KT}{HL} &&\text{(théorème de Thalès)}\\ \frac{s}{2 + s} &= \frac{1}{3}\\ 3s &= 2 + s\\ s &= \textcolor{colorprop}{1} \text{ m}. \end{aligned}$$ Le même calcul pour le second bâton donne $\frac{s'}{4 + s'} = \frac{1}{3}$, donc $s' = \textcolor{colorprop}{2}$ m.

Les deux ombres ne sont pas égales : plus un bâton est loin de la lampe, plus son ombre est longue. Elles ne sont pas parallèles non plus : chacune est portée par une droite passant par le pied $H$ du poteau, comme les rayons d'une roue. Les rayons d'une petite lampe ne sont pas parallèles, ils partent tous d'un même point.

Définition — Projection centrale

Soient $\mathcal{P}$ un plan et $O$ un point qui n'appartient pas à $\mathcal{P}$. Pour un point $M$ distinct de $O$ tel que la droite $(OM)$ coupe $\mathcal{P}$, l'image de $M$ est le point $M'$ où $(OM)$ coupe $\mathcal{P}$. Cette transformation est la projection centrale sur $\mathcal{P}$ de centre $O$. Un point de $\mathcal{P}$ est sa propre image. Le centre $O$, et tout point $M$ tel que $(OM)$ est parallèle à $\mathcal{P}$, n'ont pas d'image. L'image d'une figure est l'ensemble des images de ses points.

L'ombre portée sur un sol plat par une petite lampe est l'image de la partie de l'objet plus basse que la lampe par la projection centrale sur le sol de centre la lampe. Au soleil, les rayons sont parallèles : l'ombre est alors l'image par une projection parallèle, dont les droites ont toutes la même direction au lieu de passer par un même point.

Méthode — Construire une ombre à la lumière d'une lampe

Une petite lampe $L$ se trouve au-dessus du point $H$ d'un sol plat, et un segment vertical $[KT]$, moins haut que la lampe, est posé sur le sol en $K$. Pour construire l'ombre de $[KT]$ :

tracer la droite $(HK)$ sur le sol ;
tracer le rayon $(LT)$ ;
leur point d'intersection est l'ombre $T'$ de $T$, et l'ombre du segment est $[KT']$.

Pourquoi cela marche : les droites $(HL)$ et $(KT)$ sont toutes deux verticales, donc elles sont dans un même plan vertical. Ce plan contient le rayon $(LT)$ et coupe le sol selon $(HK)$ : le point où le rayon atteint le sol est sur $(HK)$, et le rayon l'atteint bien car $T$ est plus bas que $L$. L'ombre de n'importe quel point $M$ plus bas que la lampe s'obtient de la même façon, à partir du segment vertical qui joint $M$ au sol.

Exemple

Une petite lampe est fixée à $3{,}2$ m au-dessus du point $H$ d'une place plate. Un enfant haut de $1{,}2$ m se tient à $2{,}5$ m de $H$. Déterminer la longueur de l'ombre de l'enfant, puis sa longueur quand l'enfant se tient à $5$ m de $H$.

Correction

Comme dans la méthode, l'ombre est portée par la droite qui va de $H$ aux pieds de l'enfant. En notant $s$ la longueur de l'ombre, le théorème de Thalès dans le plan vertical de la lampe et de l'enfant donne $$\begin{aligned} \frac{s}{2{,}5 + s} &= \frac{1{,}2}{3{,}2} = \frac{3}{8} &&\text{(théorème de Thalès)}\\ 8s &= 7{,}5 + 3s\\ 5s &= 7{,}5\\ s &= \textcolor{colorprop}{1{,}5} \text{ m}. \end{aligned}$$ À $5$ m de $H$ : $\frac{s'}{5 + s'} = \frac{3}{8}$, donc $8s' = 15 + 3s'$ et $s' = \textcolor{colorprop}{3}$ m. Quand la distance au pied de la lampe double, l'ombre double : ici l'ombre vaut toujours les $\frac{3}{5}$ de cette distance.

Définition — Dessin en perspective centrale

Un observateur regarde une scène d'un seul œil $O$, qui ne bouge pas. Le dessin se fait sur un plan vertical placé entre l'œil et les objets, le tableau. Le dessin en perspective centrale d'un objet est son image par la projection centrale sur le tableau de centre $O$. Vocabulaire :

le point principal $P$ est le pied de la perpendiculaire au tableau passant par $O$ ; la droite $(OP)$ est la ligne de visée principale, et $d = OP$ est la distance principale (distance de l'œil au tableau) ;
la ligne de terre est la droite où le tableau coupe le sol ;
la ligne d'horizon est la droite horizontale du tableau passant par $P$ : elle est à la hauteur de l'œil.

Un point du tableau est dessiné à sa place, en vraie grandeur. Un appareil photo fonctionne de la même manière : le centre de la projection est le centre optique de son objectif. Le capteur est derrière l'objectif, à une certaine distance de lui ; l'image qu'il reçoit est le dessin sur un tableau placé à la même distance devant l'objectif, retourné par un demi-tour (tête en bas). Sa taille dépend de cette distance : une photographie est un dessin en perspective centrale.

Exemple

Un œil $O$ est à $h = 1{,}5$ m au-dessus du sol, à la distance $d = 2$ m du tableau. Un point $M$ du sol se trouve à $y = 3$ m derrière le tableau et à $x = 1{,}2$ m à droite de la ligne de visée principale $(OP)$. Déterminer où son image $M'$ est dessinée : sa hauteur $Y$ au-dessus de la ligne de terre et sa distance $X$ à droite de la verticale passant par $P$.

Correction

Vue de côté. Le rayon $(OM)$ descend de l'œil, haut de $1{,}5$ m, jusqu'à $M$, situé $2 + 3 = 5$ m plus loin. Le tableau, vertical, est parallèle à la verticale de $O$ et se trouve à $3$ m de $M$. D'après le théorème de Thalès, $$\begin{aligned} \frac{Y}{1{,}5} &= \frac{3}{5} &&\text{(théorème de Thalès)}\\ Y &= \textcolor{colorprop}{0{,}9} \text{ m}. \end{aligned}$$ Vue de dessus. Le rayon va de $O$ à $M$, avec $1{,}2$ m d'écart latéral sur $5$ m de profondeur ; le tableau le coupe après $2$ m de profondeur : $$\begin{aligned} \frac{X}{1{,}2} &= \frac{2}{5} &&\text{(théorème de Thalès)}\\ X &= \textcolor{colorprop}{0{,}48} \text{ m}. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Reconnaître une projection centrale
Calculer des ombres à la lumière d'une lampe
Placer l'image d'un point
Construire des ombres à la lumière d'une lampe

IV Ce que conserve une projection centrale

Découverte

Un sol fait de carreaux carrés égaux est dessiné en perspective centrale ; un carreau est grisé.

Sur le dessin, les lignes du carrelage sont-elles encore des droites ? Les carreaux sont-ils encore des carrés, tous de même taille ? Les côtés des carreaux qui sont parallèles en réalité sont-ils encore parallèles sur le dessin ?

Correction

Les lignes du carrelage sont encore dessinées comme des droites.
Les carreaux ne sont ni des carrés ni de même taille : plus un carreau est loin, plus il est dessiné petit. Le carreau grisé est dessiné en trapèze dont les angles ne sont pas droits.
Les côtés parallèles à la ligne de terre sont encore dessinés parallèles (et horizontaux). Les côtés qui s'éloignent de l'œil ne sont plus parallèles : prolongés, ils se rencontrent tous en un même point $P$ de la ligne d'horizon.

Une projection centrale conserve certaines propriétés et en perd d'autres : cette section les trie.

Proposition — Image d'une droite

On considère la projection centrale sur un plan $\mathcal{P}$ de centre $O$, et une droite $\delta$.

Si $\delta$ passe par $O$, tous ses points qui ont une image ont la même image : un seul point.
Sinon, les images des points de $\delta$ sont sur une même droite $\delta'$ de $\mathcal{P}$ : les images de points alignés sont alignées. La projection centrale conserve l'alignement.

Si $\delta$ est dans le plan passant par $O$ et parallèle à $\mathcal{P}$, aucun de ses points n'a d'image, et il n'y a rien à dessiner.

Proposition — Points communs et contacts

Si deux figures ont un point commun $M$ qui a une image, leurs images ont le point commun $M'$ : l'image d'un point d'intersection est un point d'intersection des images.
Si une droite qui ne passe pas par $O$ est tangente en $M$ à une courbe qui n'est pas dans un plan passant par $O$, l'image de la droite est tangente à l'image de la courbe en $M'$ (admis) : une projection centrale conserve les contacts.

Proposition — Propriétés non conservées

Une projection centrale ne conserve pas, en général : les longueurs, les milieux, les rapports de longueurs, les angles et le parallélisme.

Exemple

Un carreau carré $ABCD$ de $1$ m de côté est posé sur le sol ; son côté $[AB]$ est sur la ligne de terre et son côté $[AD]$ s'éloigne perpendiculairement au tableau. L'œil est à $1{,}5$ m de haut, à $d = 2$ m du tableau, juste en face de $[AD]$. On note $I$ le milieu de $[AD]$. Le dessin $A'B'C'D'$ du carreau et l'image $I'$ se calculent avec une vue de côté et une vue de dessus.

Montrer que $I'$ n'est pas le milieu $J$ de $[A'D']$, et que le dessin ne conserve ni les longueurs ni le parallélisme.

Correction

Les points $A$ et $B$ sont dans le tableau : $A' = A$, $B' = B$. Un point du sol à la profondeur $y$, juste en face de l'œil, est dessiné à la hauteur $Y = 1{,}5 \times \frac{y}{y + 2}$ (vue de côté et théorème de Thalès) : $$\begin{aligned} D' &: \ Y = 1{,}5 \times \frac{1}{3} = 0{,}5 \text{ m} &&(y = 1)\\ I' &: \ Y = 1{,}5 \times \frac{0{,}5}{2{,}5} = \textcolor{colorprop}{0{,}3} \text{ m} &&(y = 0{,}5). \end{aligned}$$ Le milieu $J$ de $[A'D']$ est à la hauteur $0{,}25$ m : $I' \neq J$, le milieu n'est pas conservé. La longueur $A'D' = 0{,}5$ m n'est pas $AD = 1$ m. Le point $C'$ est à la hauteur $0{,}5$ m et à $1 \times \frac{2}{3} \approx 0{,}67$ m de $(A'D')$ (vue de dessus), alors que $B'$ est à $1$ m : $(B'C')$ n'est pas parallèle à $(A'D')$, bien que $(BC) \parallel (AD)$.

Définition — Plan frontal

Un plan parallèle au tableau est appelé un plan frontal ; une figure contenue dans un plan frontal est dite frontale.

Proposition — Figures d'un plan frontal

Soit $\mathcal{Q}$ un plan frontal qui ne passe pas par $O$, à la distance $d' \gt 0$ du centre $O$, le tableau $\mathcal{P}$ étant à la distance $d$. L'image d'une figure de $\mathcal{Q}$ est la même figure réduite ou agrandie dans le rapport $k = \frac{d}{d'}$ : toute longueur est multipliée par $k$, et les angles, le parallélisme, les milieux et les rapports de longueurs sont conservés. Dans un plan frontal, la forme est conservée. C'est le cas quand $\mathcal{Q}$ et le tableau sont du même côté de l'œil, comme pour tout objet que l'œil regarde ; pour un plan situé de l'autre côté de l'œil, l'image est de plus retournée par un demi-tour, comme sur le capteur d'un appareil photo. Contrairement à la perspective cavalière, où une figure frontale est dessinée en vraie grandeur, la perspective centrale la réduit ou l'agrandit dans le rapport $k = \frac{d}{d'}$ : plus le plan est loin, plus le dessin est petit.

Preuve

On admet ce résultat de géométrie dans l'espace : un plan qui coupe deux plans parallèles les coupe selon deux droites parallèles. Soient $M$ et $N$ deux points de $\mathcal{Q}$, et $M'$, $N'$ leurs images. Le plan $OMN$ coupe les plans parallèles $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{P}$ selon les droites parallèles $(MN)$ et $(M'N')$. Dans le triangle $OMN$, le théorème de Thalès donne $$\frac{M'N'}{MN} = \frac{OM'}{OM}.$$ Ce rapport ne dépend pas de $M$ : soient $H$ et $H'$ les points où la perpendiculaire aux deux plans passant par $O$ coupe $\mathcal{Q}$ et $\mathcal{P}$, de sorte que $OH = d'$ et $OH' = d$. Le plan $OHM$ coupe les plans parallèles selon les droites parallèles $(HM)$ et $(H'M')$, et le théorème de Thalès dans le triangle $OHM$ donne $\frac{OM'}{OM} = \frac{OH'}{OH} = \frac{d}{d'}$. Toute longueur est donc multipliée par $k = \frac{d}{d'}$. Deux triangles dont les côtés sont proportionnels ont les mêmes angles : les angles sont conservés ; des droites parallèles de $\mathcal{Q}$ ont des images parallèles, et un milieu, qui partage un segment en deux longueurs égales, a pour image le milieu de l'image.

Exemple

Une affiche large de $1{,}2$ m et haute de $0{,}8$ m est fixée sur un mur parallèle au tableau, à $6$ m de l'œil. Le tableau est à $0{,}5$ m de l'œil. Déterminer les dimensions du dessin de l'affiche et vérifier qu'il a les mêmes proportions.

Correction

Le mur est un plan frontal : le dessin est l'affiche réduite dans le rapport $$\begin{aligned} k &= \frac{0{,}5}{6} = \frac{1}{12} &&\text{(plan frontal)}\\ \text{largeur} &= \frac{1{,}2}{12} = \textcolor{colorprop}{0{,}1} \text{ m} = 10 \text{ cm}\\ \text{hauteur} &= \frac{0{,}8}{12} \approx \textcolor{colorprop}{0{,}067} \text{ m} \approx 6{,}7 \text{ cm}. \end{aligned}$$ Le dessin est un rectangle, et largeur $\div$ hauteur $= \frac{1{,}2}{0{,}8} = 1{,}5$ en réalité comme sur le dessin : les proportions sont conservées.

Compétences à pratiquer

Décider ce que conserve une projection centrale
Utiliser les plans frontaux
Justifier avec les propriétés conservées ou perdues

V Points de fuite et ligne d'horizon

Découverte

Une voie ferrée rectiligne est dessinée en perspective centrale depuis le milieu de la voie, en regardant le long de la voie : le tableau est vertical et perpendiculaire aux rails, et l'œil est à $1{,}6$ m au-dessus du sol.

En réalité, les deux rails sont parallèles. Sur le dessin, vers quel point vont-ils ? À quelle hauteur se trouve ce point ?

Correction

Les rails dessinés se rapprochent de plus en plus et vont vers un point $P$, qu'ils n'atteignent jamais. Un point $M$ d'un rail très éloigné est vu dans une direction très proche de celle des rails ; la droite $(OM)$ se rapproche alors de la droite passant par l'œil et parallèle aux rails, qui est horizontale et perpendiculaire au tableau. Cette droite coupe le tableau au point principal $P$, à la hauteur de l'œil : $\textcolor{colorprop}{1{,}6}$ m au-dessus du sol, sur la ligne d'horizon.

Définition — Point de fuite d'une droite

Soit $\delta$ une droite qui n'est pas parallèle au tableau et ne passe pas par l'œil $O$. Le point de fuite de $\delta$ est le point $F$ où la droite passant par l'œil $O$ et parallèle à $\delta$ coupe le tableau.

Aucun point de $\delta$ n'a pour image $F$, mais plus un point $M$ de $\delta$ est loin, plus son image $M'$ se rapproche de $F$ : le dessin de $\delta$ file vers $F$.

Proposition — Images de droites parallèles

On considère des droites parallèles qui ne passent pas par l'œil $O$.

Si elles ne sont pas parallèles au tableau, les droites qui portent leurs images, prolongées au besoin, passent toutes par leur point de fuite commun $F$ : elles sont concourantes en $F$, bien qu'aucun point des droites données n'ait $F$ pour image.
Si elles sont parallèles au tableau, leurs images leur sont parallèles, donc parallèles entre elles. En particulier, avec un tableau vertical, les droites verticales sont dessinées verticales.

Définition — Point de fuite principal et points de distance

Les droites perpendiculaires au tableau ont pour point de fuite le point principal $P$ : c'est le point de fuite principal.
Les droites horizontales qui font un angle de $45^\circ$ avec le tableau ont leurs points de fuite sur la ligne d'horizon, à la distance $d$ de $P$ de part et d'autre : ces deux points $D_1$ et $D_2$ sont les points de distance.

Sur un sol de carreaux carrés dont les côtés sont parallèles et perpendiculaires au tableau, les côtés fuyants vont vers $P$ et les diagonales vont vers $D_1$ ou vers $D_2$. En effet, la droite passant par $O$ à $45^\circ$ du tableau forme avec $[OP]$ un triangle rectangle dont les deux autres angles mesurent $45^\circ$ : il est isocèle, donc $PD_1 = OP = d$.

Définition — Ligne de fuite et ligne d'horizon

Soit $\mathcal{Q}$ un plan non parallèle au tableau. Sa ligne de fuite est la droite où le plan passant par $O$ et parallèle à $\mathcal{Q}$ coupe le tableau ; elle contient les points de fuite de toutes les droites de $\mathcal{Q}$ non parallèles au tableau. La ligne de fuite des plans horizontaux est la ligne d'horizon : la droite horizontale du tableau à la hauteur de l'œil, passant par $P$. Les points de fuite de toutes les droites horizontales non parallèles au tableau sont sur elle.

Exemple

L'œil regarde droit dans un couloir dont le sol et le plafond sont plats et les murs verticaux ; le tableau est vertical et perpendiculaire aux murs. Déterminer les lignes de fuite du sol, du plafond et du mur de gauche. Une rampe fixée sur le mur de gauche monte régulièrement en s'éloignant : où est son point de fuite ?

Correction

Le sol et le plafond sont horizontaux : leur ligne de fuite est la ligne d'horizon.
Le plan passant par $O$ et parallèle au mur de gauche est vertical et perpendiculaire au tableau ; il contient la ligne de visée principale $(OP)$, donc il coupe le tableau selon la verticale de $P$ : c'est la ligne de fuite du mur de gauche.
La rampe est une droite du mur de gauche qui n'est pas parallèle au tableau : son point de fuite est sur la ligne de fuite du mur, sur la verticale de $P$, au-dessus de $P$ puisque la rampe monte en s'éloignant.

Proposition — Points à la hauteur de l'œil

Avec un tableau vertical, tout point situé à la hauteur de l'œil qui a une image est dessiné sur la ligne d'horizon.

Exemple

Une boîte posée sur le sol est dessinée en perspective centrale avec un tableau vertical ; aucune de ses faces n'est parallèle au tableau. Ses arêtes verticales sont dessinées verticales.

Construire la ligne d'horizon du dessin.

Correction

Les arêtes horizontales de la boîte ont deux directions, et aucune n'est parallèle au tableau. Les arêtes dessinées de la première direction, prolongées, se coupent en leur point de fuite $F_1$ ; celles de la seconde direction se coupent en $F_2$. Les deux directions sont horizontales, donc $F_1$ et $F_2$ sont sur la ligne d'horizon : c'est la droite $(F_1F_2)$, qui doit être horizontale, ce qui vérifie le dessin.

La ligne d'horizon coupe l'arête verticale avant au point de cette arête qui se trouve à la hauteur de l'œil : les points à la hauteur de l'œil sont dessinés sur la ligne d'horizon.

Méthode — Construire l'image d'un milieu

L'image d'un milieu n'est pas le milieu de l'image. Pour trouver les images des milieux des côtés d'un rectangle $ABCD$ dessiné en $A'B'C'D'$ :

tracer les diagonales $[A'C']$ et $[B'D']$ : elles se coupent en l'image $\Omega'$ du centre $\Omega$ du rectangle (l'image d'un point d'intersection est le point d'intersection des images) ;
par $\Omega'$, tracer l'image de la droite passant par $\Omega$ et parallèle à $(AD)$ : elle va vers le point de fuite de $(AD)$, ou elle est parallèle à $(A'D')$ si $(AD)$ est parallèle au tableau ;
cette droite coupe $[A'B']$ et $[D'C']$ en les images $I'$ et $J'$ de leurs milieux ; faire de même avec la direction de $(AB)$ pour obtenir $K'$ et $L'$.

Compétences à pratiquer

Reconnaître les points de fuite et l'horizon
Placer des points de fuite
Trouver l'horizon et des milieux sur un dessin

VI Dessiner en perspective centrale

Découverte

Sur une toile de fond de théâtre, un décorateur peint un sol de carreaux carrés de $1$ m de côté qui semble prolonger la scène. La toile est le tableau ; l'œil du spectateur est à $1{,}5$ m au-dessus du sol et à $3$ m de la toile. La première rangée de carreaux commence au pied de la toile. À quelles hauteurs au-dessus du pied de la toile faut-il peindre les lignes qui ferment les trois premières rangées ? Sont-elles régulièrement espacées ?

Correction

Une ligne du sol à la profondeur $y$ derrière la toile est peinte à la hauteur $Y = 1{,}5 \times \frac{y}{y + 3}$ (vue de côté et théorème de Thalès, comme pour l'image d'un point) : $$\begin{aligned} y = 1 &: \ Y = 1{,}5 \times \frac{1}{4} = \textcolor{colorprop}{0{,}375} \text{ m}\\ y = 2 &: \ Y = 1{,}5 \times \frac{2}{5} = \textcolor{colorprop}{0{,}6} \text{ m}\\ y = 3 &: \ Y = 1{,}5 \times \frac{3}{6} = \textcolor{colorprop}{0{,}75} \text{ m}. \end{aligned}$$ Les écarts, $0{,}375$ m, puis $0{,}225$ m, puis $0{,}15$ m, sont de plus en plus petits : les rangées ne sont pas régulièrement espacées, et toutes les lignes restent sous la ligne d'horizon, à $1{,}5$ m. La méthode suivante les trace sans aucun calcul.

Méthode — Dessiner un carrelage

Le sol est fait de carreaux carrés dont les côtés sont parallèles et perpendiculaires au tableau, et son bord avant est sur la ligne de terre.

Tracer la ligne de terre et y marquer les coins des carreaux, en vraie grandeur (la ligne de terre est dans le tableau). Tracer la ligne d'horizon à la hauteur de l'œil, le point principal $P$ et le point de distance $D_1$, à la distance $d$ de $P$.
Joindre chaque marque à $P$ : ce sont les côtés des carreaux qui s'éloignent de l'œil.
Tracer la droite qui va de la première marque $A$ à $D_1$ : c'est la diagonale dessinée du carrelage qui part de $A$. Elle coupe les droites de l'étape 2 en des coins de carreaux ; par chacun de ces points, tracer une droite horizontale : ce sont les rangées.

Pourquoi cela marche : les côtés perpendiculaires au tableau vont vers le point de fuite principal $P$ ; la diagonale passant par $A$ fait $45^\circ$ avec le tableau et va vers le point de distance $D_1$ ; les côtés parallèles à la ligne de terre sont parallèles au tableau, donc dessinés horizontaux.

Méthode — Dessiner une boîte dont une face est dans le tableau

Une boîte (un pavé droit) est posée sur le sol ; sa face avant, dont l'arête du bas est $[AB]$, est dans le tableau, donc elle est dessinée en vraie grandeur. Pour dessiner la boîte avec la profondeur $L$ :

dessiner la face avant en vraie grandeur, la ligne d'horizon, $P$ et le point de distance $D_1$ du côté de $B$ ;
joindre les sommets de la face avant à $P$ : ce sont les arêtes fuyantes ;
placer le point $E$ de la ligne de terre tel que $BE = L$, du côté de $A$ ; la droite $(ED_1)$ coupe $(BP)$ en l'image $C'$ du sommet arrière ;
par $C'$, dessiner la face arrière avec des droites horizontales et verticales ; dessiner les arêtes cachées en pointillés.

Pourquoi cela marche : la droite horizontale du sol qui passe par $E$ et par le sommet arrière fait $45^\circ$ avec le tableau (elle avance de $L$ en largeur comme en profondeur), donc elle va vers le point de distance $D_1$ ; la face arrière est frontale, donc dessinée en rectangle.

Méthode — Dessiner un segment vertical de hauteur donnée

Un segment vertical $[MS]$ de hauteur $H$ est posé sur le sol en un point $M$ dessiné en $M'$. Pour le dessiner :

tracer la droite $(PM')$ ; elle coupe la ligne de terre en $K$ ;
en $K$, tracer le segment vertical $[KK_1]$ de hauteur $H$, en vraie grandeur (il est dans le tableau) ;
la droite $(K_1P)$ coupe la verticale de $M'$ en $S'$ : le segment dessiné est $[M'S']$.

Pourquoi cela marche : la droite $(PM')$ est l'image de la droite du sol passant par $M$ et perpendiculaire au tableau, qui coupe le tableau en $K$. Les segments $[KK_1]$ et $[MS]$ sont verticaux, de même hauteur $H$ : $KMSK_1$ est un rectangle, donc $(K_1S)$ est elle aussi perpendiculaire au tableau et son image va vers $P$.

Exemple

Une pyramide a une base carrée $ABCD$ de $2{,}4$ m de côté posée sur le sol, le côté $[AB]$ sur la ligne de terre, et son sommet $S$ est à $3$ m au-dessus du centre $\Omega$ de la base. Décrire comment la dessiner en perspective centrale, l'œil étant à $1{,}6$ m de haut et à $3$ m du tableau.

Correction

La base est le fond d'une boîte dont une face est dans le tableau : dessiner $[AB]$ en vraie grandeur, joindre $A$ et $B$ à $P$, et obtenir le côté arrière avec le point de distance ($BE = 2{,}4$ m).
Les diagonales de la base dessinée se coupent en l'image $\Omega'$ du centre.
Le sommet est sur la verticale de $\Omega$, à $3$ m de haut : tracer la verticale de $\Omega'$ et obtenir $S'$ avec un segment vertical de $3$ m en vraie grandeur sur la ligne de terre.
Joindre $S'$ aux quatre sommets de la base ; les arêtes cachées sont en pointillés.

Exemple

Une tente a la forme d'un prisme dont les bases sont des triangles isocèles : le triangle avant $ABS_1$, avec $AB = 2{,}4$ m sur la ligne de terre et le sommet $S_1$ à la hauteur $1{,}6$ m, est dans le tableau, et la tente est profonde de $2$ m. La ligne d'horizon, le point principal $P$ et le point de distance $D_1$ sont donnés. Décrire comment dessiner la tente en perspective centrale.

Correction

Le triangle avant est dans le tableau : le dessiner en vraie grandeur.
Les arêtes qui s'éloignent de l'œil sont perpendiculaires au tableau : joindre $A$, $B$ et $S_1$ à $P$.
Placer $E$ sur la ligne de terre tel que $BE = 2$ m, du côté de $A$ : la droite $(ED_1)$ coupe $(BP)$ en l'image $C'$ du sommet arrière situé derrière $B$, comme pour une boîte.
Le triangle arrière est frontal, donc dessiné avec la même forme : par $C'$, l'horizontale coupe $(AP)$ en l'autre sommet arrière, et le sommet arrière $S_2'$ est l'intersection de $(S_1P)$ et de la verticale passant par le milieu de la base arrière.
Les arêtes cachées sont en pointillés.

Exemple

Une boîte en forme de cube, d'arête $1$ m, est posée sur le sol. Elle est dessinée en perspective centrale à deux points de fuite : son arête verticale avant $[AA_1]$ est dans le tableau, elle est donc dessinée en vraie grandeur (à l'échelle du dessin), et ses arêtes horizontales vont vers les points de fuite $F_1$ et $F_2$ de la ligne d'horizon. Le sommet $A$ est sur la ligne de terre, les sommets $B$ et $D$ de la base sont donnés, et la ligne d'horizon coupe la droite $(AA_1)$ au point $I$, avec $AI = 1{,}6 \times AA_1$. Comme dans toute la section, un point du dessin garde le nom du point de la boîte qu'il représente.

Compléter le dessin de la boîte.
Déterminer la hauteur de l'œil au-dessus du sol.

Correction

Les arêtes du haut issues de $A_1$ sont parallèles aux arêtes de la base $[AB]$ et $[AD]$ : elles ont les mêmes points de fuite ; tracer $(A_1F_1)$ et $(A_1F_2)$. Les arêtes verticales sont parallèles au tableau, elles sont donc dessinées verticales : les verticales de $B$ et de $D$ coupent ces droites en $B_1$ et $D_1$. Les arêtes arrière sont parallèles aux arêtes avant : $(B_1F_2)$ et $(D_1F_1)$ se coupent au sommet arrière du haut $C_1$, et $(BF_2)$ et $(DF_1)$ au sommet arrière du bas $C$. La ligne d'horizon, à la hauteur de l'œil, passe au-dessus de $A_1$ : l'œil est plus haut que le dessus de la boîte, donc la face supérieure et les deux faces avant sont visibles, et les trois arêtes issues de $C$ sont cachées, donc en pointillés.
L'arête $[AA_1]$ est dans le tableau : sur le dessin, $AA_1$ représente la longueur réelle $1$ m. Le point $I$ est lui aussi dans le tableau, et la ligne d'horizon est à la hauteur de l'œil : $$\begin{aligned} \text{hauteur de l'œil} &= AI = 1{,}6 \times AA_1 &&\text{(ligne d'horizon à la hauteur de l'œil)}\\ &= 1{,}6 \times 1 = \textcolor{colorprop}{1{,}6} \text{ m} &&\text{(} AA_1 \text{ représente } 1 \text{ m)}. \end{aligned}$$

Méthode — Esquisser un cylindre ou un cône

Un cylindre ou un cône de révolution d'axe vertical s'esquisse dans une boîte à base carrée dans laquelle il s'emboîte exactement.

Dessiner la boîte. Le cercle de base touche les quatre côtés du carré de base en leurs milieux : construire leurs images avec les diagonales, comme dans la méthode qui construit l'image d'un milieu.
Tracer un ovale régulier passant par ces quatre points et y touchant chaque côté du carré dessiné (les contacts sont conservés).
Pour un cylindre, faire de même sur la face supérieure, puis tracer les deux verticales qui touchent les deux ovales. Pour un cône, placer le sommet au-dessus de l'image du centre, puis tracer les deux droites issues du sommet qui touchent l'ovale de base ; si le sommet est dessiné à l'intérieur de l'ovale, le cône est vu de dessus et son contour est l'ovale seul.

L'ovale est l'image du cercle ; c'est en fait une ellipse (admis), mais son centre n'est pas l'image du centre du cercle. Un cercle horizontal situé à la hauteur de l'œil, l'œil étant à l'extérieur du cercle, est dessiné en segment de la ligne d'horizon, et non en ovale ; si l'œil était à l'intérieur du cercle, son image couvrirait toute la ligne d'horizon.

Lire une photographie ou un tableau

Une photographie prise avec un appareil tenu droit (capteur vertical), ou une peinture construite en perspective, se lit avec les mêmes outils :

les droites horizontales dessinées d'une même direction se coupent en un point de fuite ; deux tels points donnent la ligne d'horizon, qui indique la hauteur de l'œil ou de l'appareil ;
les personnes debout sur un même sol plat dont les yeux sont à la hauteur de l'appareil ont les yeux sur la ligne d'horizon ;
des droites parallèles de la scène qui restent parallèles sur l'image, comme les verticales, sont parallèles au tableau.

Les peintres de la Renaissance construisaient leurs tableaux de carrelages et de bâtiments avec le point de fuite principal et les points de distance, comme dans les méthodes ci-dessus.

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Compétences à pratiquer

Calculer dans un dessin en perspective
Dessiner des carrelages et des solides

VII Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
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