Géométrie plane : figures régulières, frises, pavages (STD2A)

Un carreleur a dessiné quatre carreaux et mesuré leurs côtés et leurs angles.

Carreau 1 : quatre côtés de $3$ cm, des angles de $60^\circ$ et de $120^\circ$.
Carreau 2 : quatre angles droits, des côtés de $4$ cm et de $2$ cm.
Carreau 3 : six côtés de $2$ cm, des angles égaux tour à tour à $100^\circ$ et à $140^\circ$.
Carreau 4 : six côtés de $2$ cm, six angles de $120^\circ$.

Quels carreaux ont tous leurs côtés de même longueur ? Lesquels ont tous leurs angles de même mesure ? Lesquels ont les deux ?

Côtés égaux : carreaux 1, 3 et 4.
Angles égaux : carreaux 2 et 4.
Les deux à la fois : le carreau 4 seulement.

Le carreau 1 (un losange) et le carreau 3 ont des côtés égaux mais pas des angles égaux ; le carreau 2 (un rectangle) a des angles égaux mais pas des côtés égaux. Seul le carreau 4 se présente de la même façon vu depuis n'importe lequel de ses sommets : une seule condition ne suffit pas, il faut les deux ensemble.

Définition — Polygone régulier

Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles la même mesure.

Un losange qui n'est pas un carré a des côtés égaux mais des angles différents ; un rectangle qui n'est pas un carré a des angles égaux mais des côtés différents : aucun des deux n'est régulier. Un polygone régulier à $5$, $6$, $8$, $10$ ou $12$ côtés est un pentagone, un hexagone, un octogone, un décagone ou un dodécagone régulier.

Proposition — Cercle circonscrit à un polygone régulier

Les sommets d'un polygone régulier sont sur un même cercle, le cercle circonscrit au polygone.

Définition — Éléments d'un polygone régulier

Soit $A_1A_2\ldots A_n$ un polygone régulier à $n$ côtés.

Le centre $O$ de son cercle circonscrit est le centre du polygone, et le rayon $R = OA_1$ de ce cercle est le rayon du polygone.
L'angle $\alpha = \AngleFr{A_1OA_2}$, sous lequel on voit un côté depuis le centre, est l'angle au centre du polygone.

Les segments qui joignent $O$ aux sommets découpent le polygone en $n$ triangles $OA_1A_2$, $OA_2A_3$, …, tous isocèles en $O$, puisque $OA_1 = OA_2 = \ldots = R$.

Proposition — Angle au centre et angle intérieur

Dans un polygone régulier à $n$ côtés :

l'angle au centre mesure $\textcolor{colorprop}{\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}}$ ;
chaque angle intérieur mesure $\textcolor{colorprop}{180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n} = \dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n}}$.

Exemple

Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un pentagone régulier, puis compléter le tableau pour les autres polygones réguliers.

Nombre de côtés $n$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$12$
Angle au centre	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$
Angle intérieur	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$	$?$

Pour le pentagone régulier, $n = 5$ : $$\begin{aligned}[t] \alpha &= \frac{360^\circ}{5} && \text{(angle au centre)}\\ &= 72^\circ, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] 180^\circ - \alpha &= 180^\circ - 72^\circ && \text{(angle intérieur)}\\ &= 108^\circ. \end{aligned}$$ Les deux mêmes calculs donnent le tableau :

Nombre de côtés $n$	$3$	$4$	$5$	$6$	$8$	$12$
Angle au centre	$120^\circ$	$90^\circ$	$72^\circ$	$60^\circ$	$45^\circ$	$30^\circ$
Angle intérieur	$60^\circ$	$90^\circ$	$108^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$

Plus le polygone a de côtés, plus l'angle au centre est petit et plus l'angle intérieur est grand : pour un rayon donné, le polygone se rapproche de son cercle circonscrit.

Proposition — Symétries d'un polygone régulier

Un polygone régulier à $n$ côtés, de centre $O$ :

a $n$ axes de symétrie, qui passent tous par $O$ : si $n$ est impair, chaque axe passe par un sommet et par le milieu du côté opposé ; si $n$ est pair, $\frac{n}{2}$ axes passent par deux sommets opposés et $\frac{n}{2}$ par les milieux de deux côtés opposés ;
est transformé en lui-même par les rotations de centre $O$ et d'angle $\alpha$, $2\alpha$, $3\alpha$, …, où $\alpha = \dfrac{360^\circ}{n}$ est son angle au centre ;
admet $O$ pour centre de symétrie lorsque $n$ est pair, puisque la rotation de $180^\circ$ fait alors partie de ces rotations.

L'angle au centre est la clé pour construire un polygone régulier autant que pour le reconnaître : la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ envoie le triangle $OA_1A_2$ sur $OA_2A_3$, puis sur $OA_3A_4$, et ainsi de suite autour du centre. Un triangle et une rotation suffisent pour dessiner tout le polygone.

Compétences à pratiquer

Reconnaître un polygone régulier
Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur
Justifier des propriétés d'angles et de symétries

II.3 Les triangles égaux

Définition — Triangles égaux

Deux triangles sont égaux lorsqu'on peut les superposer exactement, après avoir déplacé l'un d'eux et éventuellement l'avoir retourné. Leurs côtés sont alors égaux deux à deux, et leurs angles aussi. Les côtés et les angles qui se correspondent sont dits homologues.

Ici, $DEF$ est $ABC$ retourné : $A$ correspond à $D$, $B$ à $E$ et $C$ à $F$. Donc $AB = DE$, $BC = EF$, $CA = FD$, et les angles homologues sont égaux.

Proposition — Les trois cas d'égalité

Deux triangles sont égaux dès que l'une des conditions suivantes est vérifiée :

trois côtés : leurs trois côtés sont égaux deux à deux ;
deux côtés et l'angle compris : deux côtés sont égaux deux à deux, ainsi que l'angle formé par ces deux côtés ;
un côté et les deux angles adjacents : un côté a la même longueur dans les deux triangles, et les deux angles situés à ses extrémités sont égaux deux à deux.

Sur chaque figure, les éléments codés sont ceux qui doivent être égaux aux éléments homologues de l'autre triangle. Chaque cas reprend l'une des trois constructions d'un triangle : ces données fixent le triangle, donc deux triangles qui les partagent coïncident.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le cas d'égalité

II.4 Construire un polygone régulier

On trace un cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm, et on place un point $A$ sur ce cercle. Le compas reste ouvert au rayon, $3$ cm. Un arc de centre $A$ coupe le cercle en deux points ; on en choisit un, que l'on nomme $B$. Puis un arc de centre $B$ coupe le cercle en un nouveau point $C$, plus loin dans le même sens, et ainsi de suite autour du cercle, toujours dans le même sens.

Au bout de combien d'arcs revient-on exactement en $A$ ? Pourquoi exactement là ? Quel polygone les points forment-ils ?

Le triangle $OAB$ a trois côtés de $3$ cm, puisque $OA = OB = 3$ cm (rayons) et $AB = 3$ cm (écartement du compas) : il est équilatéral, donc $\AngleFr{AOB} = 60^\circ$. Chaque nouvel arc fait tourner le point de $60^\circ$ autour de $O$, et $$6 \times 60^\circ = 360^\circ :$$ au bout de six arcs, on revient exactement en $A$.

Les six points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ forment un hexagone régulier : ses six côtés mesurent $3$ cm, et ses six angles intérieurs mesurent $60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$, chacun formé des angles à la base de deux triangles équilatéraux. Tracés en entier, les six arcs forment un motif à six pétales.

Définition — Motif élémentaire d'un polygone régulier

Un motif élémentaire d'une figure, pour des transformations choisies, est une partie de cette figure, aussi petite que possible, à partir de laquelle on reconstruit toute la figure en appliquant ces transformations encore et encore. Plus on utilise de transformations, plus la partie est petite. Pour un polygone régulier $A_1A_2\ldots A_n$ de centre $O$ :

avec la seule rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$, le motif élémentaire est le triangle isocèle $OA_1A_2$ : on reconstruit le polygone en appliquant $n - 1$ fois cette rotation ;
avec deux symétries axiales, le motif élémentaire est le triangle rectangle $OHA_1$, où $H$ est le milieu de $\SegmentFr{A_1A_2}$ : c'est la moitié du précédent. On en prend le symétrique par rapport à la droite $\LineFr{OA_1}$, puis le symétrique de toute la figure obtenue par rapport à la droite $\LineFr{OH}$, puis de nouveau par rapport à $\LineFr{OA_1}$, et ainsi de suite : ces deux symétries, appliquées tour à tour à toute la figure obtenue, produisent les $2n$ copies du motif qui remplissent le polygone.

Méthode — Construire un polygone régulier inscrit dans un cercle

Pour construire un polygone régulier à $n$ côtés et de rayon $R$ :

tracer le cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et placer un premier sommet $A_1$ sur ce cercle ;
calculer l'angle au centre $\dfrac{360^\circ}{n}$ et le tracer au rapporteur : son second côté coupe le cercle en $A_2$ ;
prendre la longueur $A_1A_2$ au compas et la reporter sur le cercle à partir de $A_2$, toujours dans le même sens de rotation autour du cercle, sans jamais revenir au sommet précédent : chaque report donne le sommet suivant, puisque des côtés égaux sont vus de $O$ sous des angles égaux — chaque report est la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$ ;
joindre les sommets consécutifs ; le dernier report doit retomber sur $A_1$, ce qui contrôle la construction.

Exemple

Construire un pentagone régulier de rayon $3$ cm.

L'angle au centre vaut $$\begin{aligned}[t] \alpha &= \frac{360^\circ}{5} && \text{(angle au centre d'un polygone régulier à $5$ côtés)}\\ &= 72^\circ. \end{aligned}$$ Étape 1 : le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm, et un sommet $A_1$. Étape 2 : l'angle $\AngleFr{A_1OA_2} = 72^\circ$ tracé au rapporteur. Étape 3 : la longueur $A_1A_2$ reportée au compas sur le cercle donne $A_3$, $A_4$, $A_5$, et le quatrième report retombe sur $A_1$.

Méthode — Construire à la règle et au compas seulement

Certains polygones réguliers se construisent sans rapporteur, donc de façon exacte :

hexagone régulier : reporter six fois le rayon sur le cercle, puisque les triangles $OA_1A_2$, … sont équilatéraux ;
triangle équilatéral : garder un sommet sur deux de l'hexagone régulier ;
carré : tracer deux diamètres perpendiculaires (un diamètre et sa médiatrice) ;
doubler le nombre de côtés : la médiatrice d'un côté d'un polygone régulier inscrit dans le cercle passe par $O$ et coupe le cercle au milieu du petit arc qui joint les deux extrémités de ce côté ; ces nouveaux points, ajoutés aux sommets, donnent le polygone régulier qui a deux fois plus de côtés — l'octogone à partir du carré, le dodécagone à partir de l'hexagone.

Exemple

Construire à la règle et au compas seulement un octogone régulier de rayon $3$ cm, et justifier qu'il est régulier.

Étape 1 : le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ cm et deux diamètres perpendiculaires : leurs quatre extrémités sont les sommets d'un carré. Étape 2 : les médiatrices des côtés du carré, qui passent par $O$ et partagent en deux les quatre angles droits en $O$. Étape 3 : les huit points obtenus sur le cercle, joints dans l'ordre.

Chaque angle droit en $O$ est partagé en deux angles égaux : $$\begin{aligned}[t] \frac{90^\circ}{2} &= 45^\circ && \text{(la médiatrice est un axe de symétrie)}\\ &= \frac{360^\circ}{8}. \end{aligned}$$ Les huit sommets sont sur le cercle et chaque côté est vu de $O$ sous $45^\circ$ : les huit triangles de sommet $O$ sont égaux (deux côtés $R$ et l'angle compris $45^\circ$), donc les côtés sont égaux et les angles sont égaux — l'octogone est régulier.

Un polygone régulier est aussi une trame pour créer : un motif quelconque — un pétale, une feuille, une lettre — que l'on fait tourner autour de $O$ de l'angle au centre $\dfrac{360^\circ}{n}$, encore et encore, produit une rosace qui a les mêmes rotations que le polygone régulier à $n$ côtés. Ici, un pétale tourne huit fois de $45^\circ$.

Exemple

En joignant un sommet sur deux d'un pentagone régulier $ABCDE$, on trace une étoile à cinq branches, le pentagramme. Déterminer l'angle $\AngleFr{CAD}$ à chaque pointe de l'étoile.

Les angles intérieurs du pentagone régulier mesurent $108^\circ$. Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$, puisque $BA = BC$ (côtés du pentagone), donc ses angles en $A$ et en $C$ sont égaux : $$\begin{aligned}[t] \AngleFr{BAC} &= \frac{180^\circ - \AngleFr{ABC}}{2} && \text{(somme des angles du triangle isocèle $ABC$)}\\ &= \frac{180^\circ - 108^\circ}{2}\\ &= 36^\circ. \end{aligned}$$ De même, le triangle $AED$ est isocèle en $E$ et $\AngleFr{DAE} = 36^\circ$. Les diagonales $\SegmentFr{AC}$ et $\SegmentFr{AD}$ partagent l'angle intérieur en $A$ en trois angles : $$\begin{aligned}[t] \AngleFr{CAD} &= \AngleFr{BAE} - \AngleFr{BAC} - \AngleFr{DAE} && \text{(les trois angles remplissent l'angle intérieur en $A$)}\\ &= 108^\circ - 36^\circ - 36^\circ\\ &= 36^\circ. \end{aligned}$$ Chaque pointe du pentagramme mesure $36^\circ$ — par symétrie, les cinq pointes sont identiques.

Compétences à pratiquer

Déterminer les angles de construction
Construire et justifier pas à pas

III Longueurs et aires

III.1 Le théorème de Pythagore

Théorème — Théorème de Pythagore

Pour tout triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $\textcolor{colordef}{a}$ et $\textcolor{colorprop}{b}$ et dont l’hypoténuse a pour longueur $\textcolor{olive}{c}$, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit : $$ \textcolor{colordef}{a^2} + \textcolor{colorprop}{b^2} = \textcolor{olive}{c^2}. $$ Cela signifie que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Compétences à pratiquer

Utiliser le théorème de Pythagore

III.2 Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définition — Les trois rapports trigonométriques

Pour un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle, on définit les trois principaux rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. $$ \sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}. $$

Définition — Fonctions trigonométriques inverses

Dans un triangle rectangle avec un angle aigu $\theta$ : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \sin^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\right). $$ La notation $\cos^{-1}$ (lue « cosinus inverse ») désigne la fonction de la calculatrice qui retrouve l'angle à partir du rapport — ce n'est pas $\frac{1}{\cos\theta}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des côtés et des angles

III.3 Mesurer un polygone régulier

Une paysagiste pave une terrasse en forme d'hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon $3$ m. Quelle est la longueur de la bordure de la terrasse ? Quelle aire de pavés faut-il ? Et si la terrasse était un octogone régulier de rayon $3$ m, qu'est-ce qui changerait ?

L'angle au centre vaut $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$, donc les six triangles de sommet $O$, isocèles avec un angle de $60^\circ$, sont équilatéraux : chaque côté de l'hexagone mesure $3$ m, et la bordure mesure $6 \times 3 = 18$ m.

La hauteur $OH$ d'un triangle tombe au milieu $H$ de son côté, donc $HA = 1{,}5$ m, où $A$ est une extrémité de ce côté ; dans le triangle $OHA$ rectangle en $H$ : $$\begin{aligned}[t] OH^2 &= OA^2 - HA^2 && \text{(théorème de Pythagore)}\\ &= 3^2 - 1{,}5^2\\ &= 6{,}75, \end{aligned}$$ donc $OH = \sqrt{6{,}75} \approx 2{,}598$ m, et $$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= 6 \times \frac{3 \times OH}{2} && \text{(six triangles de base $3$ m et de hauteur $OH$)}\\ &\approx 6 \times \frac{3 \times 2{,}598}{2}\\ &\approx 23{,}4 \text{ m}^2. \end{aligned}$$ Pour un octogone régulier, l'angle au centre vaut $45^\circ$ : les triangles ne sont plus équilatéraux et le côté n'est plus égal au rayon. Le côté et la hauteur des triangles se calculent alors par la trigonométrie dans le triangle rectangle $OHA$.

Définition — Apothème et cercle inscrit

Soit $A_1A_2\ldots A_n$ un polygone régulier de centre $O$, et $H$ le milieu du côté $\SegmentFr{A_1A_2}$. Comme le triangle $OA_1A_2$ est isocèle en $O$, sa médiane $\SegmentFr{OH}$ est aussi sa hauteur : $\LineFr{OH}$ est perpendiculaire à $\LineFr{A_1A_2}$.

La distance $a = OH$ du centre à un côté est l'apothème du polygone ; elle est la même pour tous les côtés.
Le cercle de centre $O$ et de rayon $a$ touche chaque côté en son milieu : c'est le cercle inscrit dans le polygone.

Proposition — Côté et apothème d'un polygone régulier

Dans un polygone régulier à $n$ côtés et de rayon $R$, le côté $c$ et l'apothème $a$ valent $$\textcolor{colorprop}{c = 2R\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{a = R\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)}.$$

Proposition — Périmètre et aire d'un polygone régulier

Un polygone régulier à $n$ côtés de longueur $c$ et d'apothème $a$ a pour $$\textcolor{colorprop}{\text{périmètre } P = n \times c} \qquad \text{et} \qquad \textcolor{colorprop}{\text{aire } \mathcal{A} = n \times \frac{c \times a}{2} = \frac{P \times a}{2}}.$$

Exemple

Un octogone régulier a un rayon de $5$ cm. Calculer son côté, son apothème, son périmètre et son aire, arrondis au centième.

Ici $n = 8$, donc $\dfrac{180^\circ}{8} = 22{,}5^\circ$. $$\begin{aligned}[t] c &= 2R\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) && \text{(côté d'un polygone régulier)}\\ &= 2 \times 5 \times \sin(22{,}5^\circ)\\ &\approx 3{,}83 \text{ cm}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] a &= R\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) && \text{(apothème)}\\ &= 5 \times \cos(22{,}5^\circ)\\ &\approx 4{,}62 \text{ cm}. \end{aligned}$$ Avec les valeurs non arrondies $c \approx 3{,}8268$ cm et $a \approx 4{,}6194$ cm : $$\begin{aligned}[t] P &= n \times c && \text{(périmètre)}\\ &\approx 8 \times 3{,}8268\\ &\approx 30{,}61 \text{ cm}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= \frac{P \times a}{2} && \text{(aire)}\\ &\approx \frac{30{,}6147 \times 4{,}6194}{2}\\ &\approx 70{,}71 \text{ cm}^2. \end{aligned}$$ On n'arrondit qu'à la fin : arrondir d'abord $c$ et $a$ ($c \approx 3{,}83$, donc $P \approx 8 \times 3{,}83 = 30{,}64$, et $a \approx 4{,}62$) donnerait $\dfrac{30{,}64 \times 4{,}62}{2} \approx 70{,}78$ cm$^2$, soit sept centièmes de plus que $70{,}71$ cm$^2$.

Exemple

Une terrasse est un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon $3$ m. Calculer la longueur de sa bordure et son aire, arrondies au centième, puis donner la valeur exacte de son aire.

Ici $n = 8$ et $\dfrac{180^\circ}{8} = 22{,}5^\circ$ ; le côté vaut $c = 2R\sin(22{,}5^\circ) = 6\sin(22{,}5^\circ)$. $$\begin{aligned}[t] P &= 8 \times 6\sin(22{,}5^\circ) && \text{(périmètre $P = n \times c$)}\\ &= 48\sin(22{,}5^\circ)\\ &\approx 18{,}37 \text{ m}. \end{aligned}$$ Avec $a = 3\cos(22{,}5^\circ) \approx 2{,}7716$ m et $P \approx 18{,}3688$ m : $$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= \frac{P \times a}{2} && \text{(aire d'un polygone régulier)}\\ &\approx \frac{18{,}3688 \times 2{,}7716}{2}\\ &\approx 25{,}46 \text{ m}^2. \end{aligned}$$ Valeur exacte : dans chacun des huit triangles $OA_kA_{k+1}$, on prend $\SegmentFr{OA_k}$ pour base, $3$ m ; l'angle en $O$ mesure $45^\circ$, donc la hauteur issue de $A_{k+1}$ vaut $3\sin(45^\circ) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ m.

$$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= 8 \times \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3\sqrt{2}}{2} && \text{(huit triangles de base $3$ et de hauteur $\tfrac{3\sqrt{2}}{2}$)}\\ &= 18\sqrt{2}\\ &\approx 25{,}46 \text{ m}^2. \end{aligned}$$ L'hexagone régulier de même rayon a une bordure de $18$ m et une aire d'environ $23{,}38$ m$^2$ : avec plus de côtés, le polygone se rapproche de son cercle circonscrit, dont la circonférence vaut environ $18{,}85$ m et l'aire environ $28{,}27$ m$^2$.

Méthode — Retrouver le rayon à partir du côté

Lorsqu'on connaît le côté $c$ d'un polygone régulier à $n$ côtés, résoudre la formule du côté en $R$ : $$c = 2R\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right) \iff R = \frac{c}{2\sin\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)},$$ puis calculer l'apothème $a = R\cos\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)$, ou directement, dans le triangle rectangle $OHA_1$, $a = \dfrac{c}{2\tan\left(\dfrac{180^\circ}{n}\right)}$.

Exemple

Un logo est un pentagone régulier de côté $4$ cm. Calculer son rayon, son apothème et son aire, arrondis au centième.

Ici $n = 5$, donc $\dfrac{180^\circ}{5} = 36^\circ$. $$\begin{aligned}[t] R &= \frac{c}{2\sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)} && \text{(rayon à partir du côté)}\\ &= \frac{4}{2\sin(36^\circ)}\\ &\approx 3{,}40 \text{ cm}, \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] a &= \frac{c}{2\tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)} && \text{(apothème à partir du côté)}\\ &= \frac{4}{2\tan(36^\circ)}\\ &\approx 2{,}75 \text{ cm}. \end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t] \mathcal{A} &= \frac{P \times a}{2} && \text{(aire d'un polygone régulier)}\\ &\approx \frac{(5 \times 4) \times 2{,}7528}{2}\\ &\approx 27{,}53 \text{ cm}^2. \end{aligned}$$

Exemple

Trois polygones réguliers ont un côté et un apothème exacts, obtenus sans calculatrice. Déterminer, en fonction du rayon $R$, le côté et l'apothème du carré, de l'hexagone régulier et du triangle équilatéral.

Carré : l'angle au centre vaut $90^\circ$, donc le triangle $OA_1A_2$ est rectangle en $O$ : $$\begin{aligned}[t] c^2 &= R^2 + R^2 && \text{(théorème de Pythagore dans $OA_1A_2$)}\\ &= 2R^2, \end{aligned}$$ donc $c = R\sqrt{2}$. Dans le triangle $OHA_1$ rectangle en $H$, l'angle en $O$ mesure $45^\circ$, donc le triangle est isocèle et $a = OH = HA_1 = \dfrac{c}{2} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$.
Hexagone régulier : les six triangles de sommet $O$ sont équilatéraux, donc $c = R$ ; l'apothème est la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $R$ : $$\begin{aligned}[t] a^2 &= R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2 && \text{(théorème de Pythagore)}\\ &= \frac{3R^2}{4}, \end{aligned}$$ donc $a = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.
Triangle équilatéral $ACE$ : ses sommets sont un sommet sur deux de l'hexagone régulier $ABCDEF$. Le segment $\SegmentFr{AD}$ est un diamètre, donc le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ (théorème du triangle inscrit dans un demi-cercle), avec $AD = 2R$ et $CD = R$ : $$\begin{aligned}[t] AC^2 &= AD^2 - CD^2 && \text{(théorème de Pythagore dans $ACD$)}\\ &= 4R^2 - R^2\\ &= 3R^2, \end{aligned}$$ donc $c = R\sqrt{3}$. Le quadrilatère $OABC$ a quatre côtés égaux à $R$ : c'est un losange, et ses diagonales $\SegmentFr{AC}$ et $\SegmentFr{OB}$ se coupent perpendiculairement en leur milieu, donc la distance de $O$ à $\SegmentFr{AC}$ vaut $a = \dfrac{R}{2}$.

Compétences à pratiquer

Calculer des longueurs et des aires
Résoudre des problèmes de mesure

IV Les frises et les pavages

IV.1 La translation

Définition — Translation qui transforme A en B

Étant donnés deux points distincts $A$ et $B$, la translation qui transforme $A$ en $B$ est le glissement qui amène $A$ sur $B$.
L'image $M'$ d'un point $M$ s'obtient en déplaçant $M$

selon la direction de la droite $(AB)$,
dans le sens de $A$ vers $B$,
de la longueur $AB$.

Proposition — Propriétés de conservation

Une translation conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : l'image d'une figure est une copie identique de la figure, glissée sans tourner. En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite parallèle à celle-ci (ou confondue avec elle) ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon ;
si des points sont alignés, leurs images sont alignées aussi.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des translations

IV.2 Les vecteurs

Définition — Vecteur

Un vecteur non nul $\vec{u}$ se définit géométriquement par une direction, un sens et une longueur.

Un vecteur ne dépend pas du point de départ : deux flèches ayant la même direction, le même sens et la même longueur représentent le même vecteur.

Définition — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs non nuls $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que :$$\Vect{u} = k \Vect{v}$$ Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Compétences à pratiquer

Identifier les vecteurs

IV.3 Créer une figure par des transformations

Une créatrice textile possède un seul pochoir : un petit drapeau découpé dans du carton, qu'elle peut faire glisser, tourner ou retourner. Elle peint quatre bordures avec ce pochoir ; dans chaque bordure, chaque drapeau s'obtient à partir du précédent par une transformation de même sorte.

Pour chaque bordure 1, 2, 3 et 4, quelle sorte de transformation du plan envoie chaque drapeau sur le suivant ?

Bordure 1 : chaque drapeau glisse vers la droite, sans tourner ni se retourner : c'est une translation, toujours la même.
Bordure 2 : chaque drapeau est l'image dans un miroir du précédent : c'est la symétrie axiale d'axe la droite verticale située à mi-chemin des deux ; l'axe se déplace d'une paire de drapeaux à la suivante.
Bordure 3 : chaque drapeau est le précédent retourné tête en bas, mât de l'autre côté : c'est le demi-tour (la symétrie centrale) de centre le point situé à mi-chemin des deux, sur la ligne du milieu de la bordure ; le centre se déplace d'une paire à la suivante.
Bordure 4 : chaque drapeau est le précédent retourné par rapport à la ligne du milieu de la bordure et glissé vers la droite, toujours de la même longueur. Ni une symétrie axiale ni une translation seule ne font cela : cette nouvelle transformation, toujours la même, s'appelle une symétrie glissée.

Les bordures 1 et 4 répètent une seule transformation. Les bordures 2 et 3 s'obtiennent plus simplement à partir d'une paire de drapeaux, répétée par une translation : deux transformations les créent.

Les transformations du plan déjà rencontrées — translation, rotation, symétrie axiale et symétrie centrale (le demi-tour, qui est la rotation d'angle $180^\circ$) — déplacent une figure sans la déformer : elles conservent les longueurs, les angles et les aires. L'image d'un motif est donc une copie de même taille et de même forme. Une symétrie axiale, de plus, retourne la figure : la copie est une image dans un miroir, alors qu'une translation ou une rotation garde la figure à l'endroit.

Définition — Figure engendrée par un motif

Soit $M$ une figure, appelée le motif, et $t$ une transformation du plan. Répéter $t$ à partir de $M$, c'est tracer $M$, puis son image $t(M)$, puis l'image de $t(M)$, et ainsi de suite : $$M,\quad t(M),\quad t\big(t(M)\big),\quad \ldots$$ On peut aussi répéter la transformation réciproque (une translation en arrière, une rotation dans l'autre sens), pour que la figure s'étende dans les deux sens. La figure formée de toutes ces copies est la figure engendrée par $M$ et $t$. On peut aussi répéter deux transformations $s$ et $t$, appliquées dans n'importe quel ordre et autant de fois que nécessaire.

Méthode — Créer une rosace en répétant une rotation

Pour placer $n$ copies d'un motif $M$ régulièrement autour d'un point $O$ :

calculer l'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$ ;
tracer le motif $M$ ;
appliquer à $M$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis l'appliquer de nouveau à l'image obtenue, et ainsi de suite : $n-1$ fois en tout.

Une application de plus ramène le motif à sa position de départ : la rosace se referme. La rosace est invariante par cette rotation : la rotation la transforme en elle-même.

Exemple

Un logo doit montrer $6$ drapeaux identiques placés régulièrement autour d'un point $O$ et numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Déterminer l'angle de la rotation à répéter, puis l'angle de la rotation de centre $O$ qui envoie le drapeau $1$ sur le drapeau $3$.

L'angle de la rotation à répéter est $$\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ.$$

Le drapeau $3$ s'obtient à partir du drapeau $1$ en appliquant deux fois cette rotation : $$\begin{aligned}[t] 2 \times 60^\circ &= 120^\circ. \end{aligned}$$ La rotation de centre $O$ et d'angle $120^\circ$ envoie le drapeau $1$ sur le drapeau $3$ (les deux drapeaux sont ombrés plus foncé ; la couleur ne fait pas partie du motif).

Définition — Symétrie glissée

Soit $d$ une droite et $\Vect{u}$ un vecteur non nul parallèle à $d$. La symétrie glissée d'axe $d$ et de vecteur $\Vect{u}$ transforme une figure en deux étapes : 1. la symétrie axiale d'axe $d$ ; 2. la translation de vecteur $\Vect{u}$.

Faire d'abord la translation, puis la symétrie, donne la même image. Comme une empreinte de pas suivie de la suivante dans le sable, la copie $F'$ est retournée et déplacée le long de $d$.

Méthode — Créer une figure avec deux transformations

Pour créer une figure à partir d'un motif $M$ avec deux transformations $s$ et $t$ :

appliquer $s$ à $M$, autant de fois que nécessaire : une fois pour une symétrie axiale, ce qui donne la paire formée de $M$ et de $s(M)$ ; encore et encore pour une translation ou une rotation ;
répéter $t$ à partir de toute la figure obtenue à l'étape 1.

Des couples utiles : une symétrie axiale et une translation parallèle ou perpendiculaire à son axe (une bordure) ; deux translations de vecteurs non colinéaires, répétées chacune dans les deux sens (un papier peint) ; une symétrie d'axe passant par $O$ et la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{360^\circ}{n}$ (une rosace à axes de symétrie).

Composer deux symétries axiales

Deux symétries axiales, l'une après l'autre, donnent une transformation déjà connue. La symétrie d'axe $d_1$ suivie de la symétrie d'axe $d_2$ parallèle à $d_1$, à la distance $d$, est la translation perpendiculaire aux deux droites, de $d_1$ vers $d_2$, de longueur $2d$. Les symétries d'axes deux droites perpendiculaires, l'une après l'autre, donnent le demi-tour de centre leur point d'intersection.

Exemple

Le motif est le drapeau, tracé entre les droites verticales $x = 0$ et $x = 1$ d'un quadrillage. Appliquer la symétrie $s$ d'axe la droite $d$ d'équation $x = 1$, puis répéter la translation $t$ de $2$ unités vers la droite à partir de la paire obtenue. Décrire la bordure, puis montrer que la droite d'équation $x = 2$ est aussi un axe de symétrie de la bordure, prolongée sans fin dans les deux sens.

La paire formée du drapeau et de son image dans le miroir se répète toutes les $2$ unités : les drapeaux alternent, l'un tourné vers la droite, l'autre vers la gauche. La symétrie $s$ envoie chaque paire sur une paire, et la translation $t$ aussi : chacune transforme la bordure, prolongée sans fin, en elle-même, donc $s$ suivie de $t$ aussi. Un point $M(x\,;y)$ est envoyé par $s$ sur $(2 - x\,;y)$, car la moyenne de leurs abscisses vaut $\dfrac{x + 2 - x}{2} = 1$, sur l'axe $d$ ; puis $t$ ajoute $2$ à l'abscisse : $$\begin{aligned}[t] t\big(s(M)\big) &= t(2 - x\,;y) && \text{(symétrie d'axe } x = 1\text{)}\\ &= (4 - x\,;y) && \text{(translation de } 2 \text{ unités)}. \end{aligned}$$ Le point $(4 - x\,;y)$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $x = 2$, car la moyenne de leurs abscisses vaut $\dfrac{x + 4 - x}{2} = 2$. Donc $s$ suivie de $t$ est la symétrie d'axe la droite $x = 2$, et cette symétrie transforme la bordure en elle-même : deux transformations créent des axes qu'on n'a pas choisis, ici un à chaque unité.

Compétences à pratiquer

Reconnaître la transformation qui répète un motif
Calculer l'angle d'une rosace
Construire une figure à partir d'un motif

IV.4 Frises

Un décorateur doit reproduire la bordure peinte d'une façade, dessinée ci-dessous. La bande mesure $3$ cm de large et les drapeaux de la rangée du haut se répètent tous les $8$ cm (le dessin n'est pas à l'échelle).

Il veut découper un seul pochoir et peindre à travers, encore et encore.

Si le pochoir est seulement glissé, jamais retourné, quelle doit être sa longueur, et de combien faut-il le déplacer à chaque fois ?
Un pochoir plus court peut-il suffire s'il peut aussi être retourné ?

Tout le dessin se répète tous les $8$ cm : un pochoir de $8$ cm sur $3$ cm, portant un drapeau de la rangée du haut et un drapeau de la rangée du bas, glissé de $8$ cm à chaque fois, peint toute la bordure. Ce glissement est la translation de la bordure.
Oui. Chaque drapeau de la rangée du bas est le drapeau de la rangée du haut retourné par rapport à la ligne du milieu de la bande et glissé de $4$ cm : c'est l'image par une symétrie glissée. Un pochoir de $4$ cm sur $3$ cm portant un drapeau suffit, s'il est retourné et glissé de $4$ cm à chaque étape.

Le premier pochoir est fait de deux copies du second : c'est le plus petit pochoir possible qu'on cherche.

Définition — Frise

Une frise est une figure formée de copies d'un motif, répétées le long d'une bande : la partie du plan comprise entre deux droites parallèles choisies de sorte que la figure s'approche autant d'un bord que de l'autre ; la droite située à mi-distance des bords est la ligne médiane de la bande. La frise est invariante par une translation de vecteur non nul et parallèle à la bande : cette translation transforme la frise en elle-même. On imagine la frise prolongée sans fin dans les deux sens.

Une frise n'est pas une bande uniforme : un glissement très court ne la transforme pas en elle-même. Ainsi, parmi les translations qui laissent la frise invariante, l'une a la plus petite longueur non nulle ; son vecteur $\Vect{u}$ est le vecteur de la frise, et sa longueur est la période de la frise. Toute translation qui laisse la frise invariante a un vecteur $k\Vect{u}$, avec $k$ entier. Les copies du motif peuvent être espacées, se toucher ou former une seule ligne continue (un zigzag, une vague) : ce qui fait une frise, c'est la répétition par translation, pas les espaces.

Proposition — Motif élémentaire d'une frise

Un motif élémentaire d'une frise est un morceau de la frise, aussi petit que possible, à partir duquel on reconstruit toute la frise en appliquant, encore et encore, les transformations qui laissent la frise invariante. On utilise toutes les transformations qui laissent la frise invariante ; avec moins de transformations (les seules translations, par exemple), il faut un morceau plus grand. On le choisit avec un contour simple : un rectangle, un parallélogramme, un triangle rectangle ou un triangle isocèle. C'est le motif élémentaire d'une figure pour des transformations choisies, comme pour un polygone régulier, où ces transformations sont des rotations et des symétries axiales : la frise étend cette notion avec ses translations.

Méthode — Analyser une frise

Pour analyser une frise, chercher successivement :

le vecteur $\Vect{u}$ de la frise, et sa période ;
des axes de symétrie perpendiculaires à la bande ;
la ligne médiane de la bande comme axe de symétrie ;
des centres de demi-tour, toujours situés sur la ligne médiane ;
une symétrie glissée d'axe la ligne médiane et de vecteur $\dfrac{1}{2}\Vect{u}$.

Une symétrie glissée dont le vecteur vaut un nombre entier de périodes n'est que la symétrie d'axe la ligne médiane suivie d'une translation de la frise : elle n'apporte rien de nouveau. Aucune autre transformation ne peut laisser une frise invariante : chacune doit transformer la bande, donc sa ligne médiane, en elle-même.

Exemple

La bande ci-dessous mesure $3$ cm de large et sa période est de $3$ cm. Analyser cette frise.

Chaque drapeau revient avec la même orientation $3$ cm plus loin le long de la bande, et pas avant : le drapeau situé à mi-chemin est tourné dans l'autre sens. Le vecteur $\Vect{u}$ est parallèle à la bande, et la période est de $3$ cm.
Axes perpendiculaires : les droites verticales en pointillés, une tous les $1{,}5$ cm, à une demi-période l'une de l'autre.
La ligne médiane de la bande est un axe : la rangée du bas est l'image dans un miroir de la rangée du haut.
Chaque point où un axe vertical coupe la ligne médiane, comme $I$, est un centre de demi-tour : les deux symétries, l'une après l'autre, donnent le demi-tour.
La ligne médiane est un axe. Une symétrie glissée d'axe la ligne médiane et de vecteur $\dfrac{1}{2}\Vect{u}$, suivie de la symétrie d'axe la ligne médiane, donnerait la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\Vect{u}$, plus courte que la période : il n'y a pas de telle symétrie glissée.

Méthode — Rechercher un motif élémentaire

Tracer un rectangle de longueur la période et de largeur celle de la bande : les translations de vecteurs $k\Vect{u}$ reconstruisent toute la frise à partir de lui.
Si un axe de symétrie, un centre de demi-tour ou une symétrie glissée de la frise transforme une moitié de ce rectangle en l'autre moitié, ne garder qu'une moitié : cette transformation reconstruit l'autre.
Recommencer l'étape 2 tant que c'est possible : le dernier morceau gardé est un motif élémentaire.

Exemple

Rechercher un motif élémentaire de la bordure peinte de la façade : la bande mesure $3$ cm de large et la période est de $8$ cm.

Le rectangle de longueur $8$ cm et de largeur $3$ cm (contour gris) reconstruit la frise par les translations de vecteurs $k\Vect{u}$.
La symétrie glissée d'axe la ligne médiane et de vecteur $\dfrac{1}{2}\Vect{u}$ transforme la moitié gauche de ce rectangle en sa moitié droite. On garde la moitié gauche : un rectangle de $4$ cm sur $3$ cm (contour vert).
Aucun axe ni aucun centre de demi-tour ne coupe ce morceau en deux moitiés échangées par la frise.

Un motif élémentaire est un rectangle de $4$ cm sur $3$ cm portant un drapeau : le pochoir du problème d'ouverture.

Compétences à pratiquer

Identifier les symétries d'une frise
Calculer la période d'une frise
Rechercher un motif élémentaire d'une frise

IV.5 Pavages

Un carreleur veut couvrir un sol avec des carreaux identiques en forme de polygone régulier, posés bord à bord. Il dispose de triangles équilatéraux, de carrés, de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers. Trois pentagones posés autour d'un point $O$ donnent ceci :

Quelles formes peut-il utiliser ?

Autour de chaque coin, les carreaux doivent remplir le tour complet, $360^\circ$, sans trou ni chevauchement.

Triangles équilatéraux : $6 \times 60^\circ = 360^\circ$. Carrés : $4 \times 90^\circ = 360^\circ$. Hexagones réguliers : $3 \times 120^\circ = 360^\circ$. Ces trois formes conviennent.
Pentagones réguliers : chaque angle mesure $108^\circ$. Trois pentagones donnent $3 \times 108^\circ = 324^\circ$ et laissent un trou de $36^\circ$ ; quatre donneraient $432^\circ$, plus qu'un tour complet. Les pentagones ne conviennent pas.

Le carreleur peut utiliser des triangles, des carrés ou des hexagones, et aucun pentagone.

Définition — Pavage

Un pavage du plan est un recouvrement du plan par des figures, les tuiles, sans trou ni chevauchement : deux tuiles ne peuvent avoir en commun que des points de leurs bords. Un pavage est bord à bord lorsque deux tuiles qui se touchent ont en commun soit un côté entier, soit un seul sommet. Il est périodique lorsque deux translations de vecteurs non colinéaires le laissent invariant ; tous les pavages étudiés ici sont périodiques.

Proposition — Parallélogrammes et triangles pavent le plan

Tout parallélogramme $ABDC$ pave le plan avec les translations de vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{AC}$.
Tout triangle $ABC$ pave le plan : le demi-tour de centre le milieu $I$ de $[BC]$ le transforme en un triangle $DCB$, et les deux triangles forment le parallélogramme $ABDC$.

Angles d'un polygone

Les diagonales issues d'un sommet découpent un polygone convexe à $n$ côtés en $n - 2$ triangles, donc la somme de ses angles vaut $(n-2)\times 180^\circ$. Dans un polygone régulier, les $n$ angles sont égaux : chacun mesure $\dfrac{(n-2)\times 180^\circ}{n}$, soit $60^\circ$ pour le triangle équilatéral, $90^\circ$ pour le carré, $108^\circ$ pour le pentagone régulier et $120^\circ$ pour l'hexagone régulier.

Proposition — Pavages par un seul polygone régulier

Des polygones réguliers identiques à $n$ côtés pavent le plan bord à bord si et seulement si $n = 3$, $4$ ou $6$ : triangles équilatéraux, $6$ autour de chaque sommet ; carrés, $4$ autour de chaque sommet ; hexagones réguliers, $3$ autour de chaque sommet.

Exemple

Un sol est pavé bord à bord avec des octogones réguliers et des carrés, comme ci-dessous. Vérifier que les carreaux remplissent le tour complet autour de chaque sommet, et expliquer pourquoi le côté d'un carré est égal au côté d'un octogone.

Chaque angle d'un octogone régulier mesure $$\begin{aligned}[t] \frac{(8-2)\times 180^\circ}{8} &= \frac{1080^\circ}{8} && \text{(}6 \times 180 = 1080\text{)}\\ &= 135^\circ. \end{aligned}$$ En chaque sommet se rejoignent deux octogones et un carré : $$\begin{aligned}[t] 135^\circ + 135^\circ + 90^\circ &= 360^\circ. \end{aligned}$$ Les carreaux remplissent le tour complet. Le pavage est bord à bord, donc chaque côté d'un carré est aussi un côté entier d'un octogone : les deux côtés sont égaux.

Méthode — Analyser un pavage périodique

Trouver deux translations, aussi courtes que possible, de vecteurs non colinéaires $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$, qui laissent le pavage invariant : chaque tuile est envoyée sur une tuile de même forme et de même couleur.
Chercher des centres de rotation, avec leurs angles, et des axes de symétrie.
Pour un motif élémentaire, partir du parallélogramme construit sur $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ : les translations reconstruisent tout le pavage à partir de lui. Puis, comme pour une frise, ne garder qu'une moitié chaque fois qu'une symétrie du pavage transforme une moitié du morceau en l'autre.

Exemple

Un mur est construit avec des briques de $20$ cm de long et $10$ cm de haut ; chaque rangée est décalée d'une demi-brique. Analyser ce pavage (on ne tient pas compte des joints).

La translation de vecteur $\Vect{u}$, de $20$ cm le long d'une rangée, et la translation de vecteur $\Vect{v}$, d'une brique à la brique située au-dessus à droite ($10$ cm vers la droite et $10$ cm vers le haut), laissent le mur invariant ; leurs vecteurs ne sont pas colinéaires.
Le demi-tour dont le centre est celui d'une brique laisse le mur invariant. Les droites verticales passant par les centres et par les extrémités des briques, une tous les $10$ cm, sont des axes de symétrie, de même que la droite horizontale passant par le milieu de chaque rangée.
Le parallélogramme construit sur $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ a l'aire d'une brique, et une brique reconstruit elle aussi tout le mur par les translations de vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$. Un axe vertical coupe une brique en deux moitiés qu'il échange, puis l'axe horizontal de la rangée coupe une moitié en deux quarts : un motif élémentaire est un rectangle de $10$ cm sur $5$ cm, un quart de brique (en vert).

Méthode — Déformer une tuile

Partir d'une tuile qui pave le plan par translations, comme un carré ou un parallélogramme.

Remplacer un côté par une courbe de mêmes extrémités, qui ne se recoupe pas et ne coupe pas les autres côtés : on grignote un morceau de la tuile, ou on lui en ajoute un.
Remplacer le côté opposé par la même courbe, déplacée par la translation qui envoie le premier côté sur le côté opposé : ce qui est enlevé d'un côté est ajouté de l'autre.
Vérifier que le contour de la nouvelle tuile ne se recoupe pas : la courbe et sa copie ne se rencontrent pas et ne rencontrent pas les autres côtés, sauf aux sommets. Alors la nouvelle tuile a la même aire et pave le plan avec les mêmes translations.

Variante : remplacer la moitié d'un côté par une courbe et l'autre moitié par l'image de cette courbe par le demi-tour de centre le milieu du côté ; le contour obtenu ne doit pas non plus se recouper.

Exemple

Une designer part d'un carreau carré de côté $4$ cm. Elle découpe un demi-disque dans le côté gauche et le colle sur le côté droit, et découpe un triangle dans le côté du bas et le colle sur le côté du haut, comme l'indiquent les flèches. Expliquer pourquoi la nouvelle tuile pave encore le plan, et donner son aire.

Le demi-disque découpé à gauche est collé à droite après la translation de $4$ cm vers la droite, et le triangle découpé en bas est collé en haut après la translation de $4$ cm vers le haut. Chaque côté de la tuile est donc l'image du côté opposé par l'une des deux translations du pavage par des carrés : la bosse d'une tuile remplit l'encoche de sa voisine.

La nouvelle tuile pave le plan avec les mêmes translations que le carré. Rien n'a été ajouté ni perdu, donc son aire est celle du carré : $$\begin{aligned}[t] 4 \times 4 &= 16\ \text{cm}^2. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Décider si des carreaux s'ajustent autour d'un sommet
Calculer des angles et des nombres de carreaux
Analyser un pavage

V Les tangentes et les raccordements

V.1 La bissectrice d'un angle

Définition — Bissectrice d'un angle

Les angles considérés ici sont saillants : ils mesurent moins de $180^\circ$. La bissectrice d'un tel angle est la demi-droite, issue de son sommet, qui partage l'angle en deux angles égaux. C'est l'axe de symétrie de l'angle : en pliant le long de la bissectrice, un côté se pose exactement sur l'autre.

Méthode — Construire la bissectrice au compas

Placer la pointe du compas sur le sommet $O$ et tracer un arc qui coupe les deux côtés de l'angle, en $P$ et $Q$.
Placer la pointe du compas sur $P$ et, avec un écartement assez grand, tracer un arc à l'intérieur de l'angle. Sans changer l'écartement, la placer sur $Q$ et tracer un second arc qui coupe le premier, en $R$.
Tracer la demi-droite issue de $O$ passant par $R$. Cette demi-droite est la bissectrice : elle partage l'angle en deux angles égaux.

Compétences à pratiquer

Construire des bissectrices

V.2 Reconnaître un triangle rectangle

Théorème — Réciproque du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que ces longueurs vérifient $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est un triangle rectangle, et l'angle droit est opposé au côté le plus long, $c$.

Théorème — Contraposée du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que la somme des carrés des deux côtés les plus courts n'est pas égale au carré du côté le plus long ($a^2 + b^2 \neq c^2$), alors le triangle n'est pas un triangle rectangle.

Théorème — Triangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.

Compétences à pratiquer

Décider si un triangle est rectangle

V.3 Tangentes à un cercle

Une roue de tramway, vue de côté, est un cercle de centre $O$ et de rayon $40$ cm ; elle repose sur un rail rectiligne.

Combien de points la roue et le rail ont-ils en commun ? Où se trouve le centre $O$ par rapport au(x) point(s) commun(s), et à quelle distance du rail ?

Un seul point : le rail touche la roue sans la couper. Ce point $A$ est le point le plus bas de la roue, et le centre $O$ est juste au-dessus : le rayon $[OA]$ est vertical, donc perpendiculaire au rail, et $O$ est à $40$ cm du rail — exactement le rayon.

Tout autre point $M$ du rail est plus loin de $O$ : dans le triangle $OAM$, rectangle en $A$, l'hypoténuse $[OM]$ est plus longue que le côté $[OA]$, donc $OM \gt 40$ cm et $M$ est à l'extérieur de la roue. Une droite qui n'a qu'un point commun avec un cercle est une tangente ; le rayon qui aboutit à ce point lui est toujours perpendiculaire.

Définition — Tangente à un cercle

Soient $\mathcal{C}$ un cercle et $A$ un point de $\mathcal{C}$. Une droite est tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ lorsque son seul point commun avec $\mathcal{C}$ est $A$ ; le point $A$ est alors le point de contact. Une droite qui coupe le cercle en deux points est une sécante.

La droite $t$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $A$, la droite $s$ est une sécante, et la droite $d$ n'a aucun point commun avec $\mathcal{C}$.

Proposition — Tangente et rayon

Soient $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, et $A$ un point de $\mathcal{C}$. La droite passant par $A$ et perpendiculaire au rayon $[OA]$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $A$, et c'est la seule droite tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ : c'est la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$.

Méthode — Tracer la tangente en un point

Pour tracer la tangente au cercle de centre $O$ en son point $A$ :

tracer la droite $(OA)$ ;
tracer la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $A$, à l'équerre.

Proposition — Distance du centre à une droite

Soient $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, $d$ une droite, $H$ le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $O$, et $h = OH$ la distance de $O$ à $d$.

Si $h \gt r$, la droite $d$ et le cercle $\mathcal{C}$ n'ont aucun point commun.
Si $h = r$, la droite $d$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $H$.
Si $h \lt r$, la droite $d$ est une sécante.

En particulier, un cercle de centre $O$ est tangent à la droite $d$ exactement lorsque son rayon est égal à la distance de $O$ à $d$.

Proposition — Tangentes issues d'un point extérieur

Soient $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, et $P$ un point extérieur à $\mathcal{C}$. Exactement deux tangentes à $\mathcal{C}$ passent par $P$. Leurs points de contact $A$ et $B$ sont les points communs à $\mathcal{C}$ et au cercle de diamètre $[OP]$, et $$PA = PB = \sqrt{OP^2 - r^2}.$$ La droite $(OP)$ est un axe de symétrie de la figure : c'est la bissectrice de l'angle $\AngleFr{APB}$.

Méthode — Construire les tangentes issues d'un point

Pour construire les tangentes au cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ passant par un point $P$ extérieur :

placer le milieu $I$ de $[OP]$ ;
tracer le cercle de centre $I$ passant par $O$ — son diamètre est $[OP]$ ;
ce cercle coupe $\mathcal{C}$ aux points de contact $A$ et $B$ ;
tracer les droites $(PA)$ et $(PB)$.

Exemple

Un logo représente un cornet de glace : la boule est un disque de centre $O$ et de rayon $3$ cm, et les deux côtés rectilignes du cornet sont les tangentes à son cercle issues de la pointe $P$, avec $OP = 5$ cm.

Calculer la longueur $PA$ d'un côté du cornet, de la pointe au point de contact, puis l'angle $\AngleFr{APB}$ à la pointe, au degré près.

Le côté $(PA)$ est tangent en $A$, donc le triangle $OAP$ est rectangle en $A$ (tangente et rayon) : $$\begin{aligned}[t] PA &= \sqrt{OP^2 - OA^2} && \text{(théorème de Pythagore dans }OAP\text{)}\\ &= \sqrt{5^2 - 3^2}\\ &= \sqrt{16}\\ &= 4 \text{ cm}. \end{aligned}$$ Dans le même triangle, $\sin \AngleFr{APO} = \dfrac{OA}{OP} = \dfrac{3}{5}$, donc $\AngleFr{APO} \approx 36{,}87^\circ$. La droite $(OP)$ est la bissectrice de l'angle à la pointe : $$\begin{aligned}[t] \AngleFr{APB} &= 2 \times \AngleFr{APO} && \text{(axe de symétrie }(OP)\text{)}\\ &= 2 \times 36{,}87^\circ\\ &= 73{,}74^\circ\\ &\approx 74^\circ \end{aligned}$$

Définition — Cercles tangents

Deux cercles sont tangents en un point $T$ lorsque $T$ est leur seul point commun, le point de contact. Ils sont tangents extérieurement lorsque chaque cercle est à l'extérieur du disque limité par l'autre, sauf en $T$, et tangents intérieurement lorsque l'un des cercles est à l'intérieur du disque limité par l'autre.

Proposition — Centres de deux cercles tangents

Soient deux cercles de centres $O$ et $O'$ et de rayons $R \geq r$, tangents en $T$. Alors

les points $O$, $O'$ et $T$ sont alignés ;
la droite perpendiculaire à $(OO')$ en $T$ est tangente aux deux cercles ;
$OO' = R + r$ si les cercles sont tangents extérieurement, et $OO' = R - r$ s'ils sont tangents intérieurement.

Réciproquement, deux cercles tels que $OO' = R + r$ sont tangents extérieurement, et deux cercles tels que $OO' = R - r$ avec $R \gt r$ sont tangents intérieurement.

Compétences à pratiquer

Reconnaître des tangentes et des cercles tangents
Calculer des longueurs avec des tangentes
Construire des tangentes

V.4 Les arcs de cercle

Définition — Arc de cercle

Un arc est une partie d’un cercle entre deux de ses points ; son angle au centre $\theta$ (thêta) le mesure.

Arcs et secteurs. Sur un cercle de rayon $r$, un arc dont l'angle au centre est $\theta$, en degrés, est la fraction $\dfrac{\theta}{360}$ du cercle, et le secteur qu'il délimite est la même fraction du disque : $$\ell = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \mathcal{A} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2.$$

Compétences à pratiquer

Trouver la longueur des arcs

V.5 Raccordements

Un rail rectiligne $[AJ]$ se prolonge par un rail courbe, un arc de cercle qui part de $J$. Deux dessinateurs proposent un centre pour cet arc : $O_1$, sur la perpendiculaire à $(AJ)$ en $J$, ou $O_2$, ailleurs.

Avec quel centre un tramway passe-t-il du rail rectiligne au rail courbe sans changement brusque de direction ? Que se passe-t-il avec l'autre centre ?

En $J$, la direction du rail courbe est sa tangente, perpendiculaire au rayon qui va du centre à $J$.

Centre $O_1$. Le rayon $[O_1J]$ est perpendiculaire à $(AJ)$, donc la tangente à l'arc en $J$ est la droite $(AJ)$ elle-même : le rail courbe part dans la direction du rail rectiligne, et le tramway garde sa direction en $J$.
Centre $O_2$. Le rayon $[O_2J]$ n'est pas perpendiculaire à $(AJ)$, donc la tangente en $J$ n'est pas $(AJ)$ : la direction change brusquement en $J$, et le rail y forme un angle vif.

Deux courbes qui se suivent en un point sans y former d'angle ont la même tangente en ce point. Les concepteurs de voies ferrées et de routes vont plus loin : entre la partie rectiligne et l'arc, ils insèrent des courbes de transition le long desquelles la courbure elle-même augmente progressivement.

Définition — Raccordement

Deux courbes — segments ou arcs de cercle — qui se suivent en un point $J$, la seconde prolongeant la première au-delà de $J$ sans revenir en arrière, se raccordent en $J$, ou forment un raccordement, lorsqu'elles ont la même tangente en $J$ ; la tangente d'un segment est la droite qui le porte, et la tangente d'un arc de cercle en $J$ est la tangente à son cercle en $J$. Sinon, les deux courbes forment un angle vif en $J$.

Proposition — Conditions de raccordement

Segment et arc (figure a). Un segment $[AJ]$ et un arc de centre $O$ qui le prolonge au-delà de $J$ se raccordent en $J$ exactement lorsque le centre $O$ est sur la perpendiculaire à $(AJ)$ en $J$.
Deux arcs (figures b et c). Deux arcs de centres $O$ et $O'$ et de rayons $R \geq r$ qui se suivent en $J$ se raccordent en $J$ exactement lorsque les points $O$, $O'$ et $J$ sont alignés. Lorsque $O \neq O'$, leurs cercles sont alors tangents en $J$ : $OO' = R + r$ lorsque les centres sont de part et d'autre de $J$ et que les arcs tournent en sens contraires (un raccordement en S, b), et $OO' = R - r$ lorsque les centres sont du même côté de $J$ et que les arcs tournent dans le même sens (c).

Exemple

Dans un repère dont l'unité est le centimètre, le profil d'une poignée commence par le segment $[AJ]$, où $A(0\,;0)$ et $J(12\,;0)$, et se poursuit par un arc de centre $O$ passant par $J$. Déterminer si le segment et l'arc se raccordent en $J$ lorsque (a) $O(12\,;5)$ ; (b) $O(13\,;5)$. Dans le cas (b), calculer l'angle entre la tangente à l'arc en $J$ et la droite $(AJ)$, au dixième de degré près.

(a) Les points $J(12\,;0)$ et $O(12\,;5)$ ont la même abscisse : $(OJ)$ est verticale, alors que $(AJ)$ est l'axe horizontal. Donc $(OJ) \perp (AJ)$ : le centre est sur la perpendiculaire à $(AJ)$ en $J$, donc le segment et l'arc se raccordent en $J$. Le rayon est $OJ = 5$ cm.
(b) On teste l'angle droit en $J$ dans le triangle $AJO$ : $AJ^2 + JO^2 = 12^2 + (1^2 + 5^2) = 170$, alors que $AO^2 = 13^2 + 5^2 = 194$. Comme $170 \neq 194$, le triangle n'est pas rectangle en $J$ (contraposée du théorème de Pythagore) : la jonction forme un angle vif. La tangente en $J$ est perpendiculaire à $(OJ)$, et $(AJ)$ est perpendiculaire à la verticale passant par $J$ ; l'angle entre elles est donc égal à l'angle $\theta$ entre $(OJ)$ et la verticale. De $J$ à $O$, on se déplace de $1$ cm horizontalement et de $5$ cm vers le haut : $\tan\theta = \dfrac{1}{5}$, donc $\theta \approx 11{,}3^\circ$.

Méthode — Arrondir un angle par un arc (congé)

Pour raccorder deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes en $S$ par un arc de rayon $r$ — un congé :

tracer les parallèles à $d_1$ et à $d_2$ à la distance $r$, à l'intérieur de l'angle : elles se coupent au centre $O$ de l'arc, qui est sur la bissectrice de l'angle ;
abaisser les perpendiculaires de $O$ sur $d_1$ et sur $d_2$ : leurs pieds $J_1$ et $J_2$ sont les points de contact ;
tracer l'arc de centre $O$ de $J_1$ à $J_2$, et effacer l'angle.

Le point $O$ est à la distance $r$ des deux droites, donc le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est tangent à $d_1$ en $J_1$ et à $d_2$ en $J_2$ : l'arc se raccorde aux deux droites. Lorsque $d_1 \perp d_2$, le quadrilatère $SJ_1OJ_2$ est un carré, et les points de contact sont à la distance $r$ de $S$.

Exemple

Un carreau carré de côté $20$ cm a ses quatre coins arrondis par des congés de rayon $2$ cm. Calculer le périmètre et l'aire du carreau : donner les valeurs exactes, puis des valeurs au dixième près.

Les côtés sont perpendiculaires, donc chaque point de contact est à $2$ cm de son coin : chaque côté garde une partie rectiligne de $20 - 2 \times 2 = 16$ cm, et chaque coin devient un quart de cercle de rayon $2$ cm. Les quatre quarts de cercle forment un cercle entier : $$\begin{aligned}[t] \text{périmètre} &= 4 \times 16 + 2\pi \times 2 && \text{(quatre parties rectilignes, un cercle)}\\ &= 64 + 4\pi\\ &\approx 76{,}6 \text{ cm}. \end{aligned}$$ Chaque coin enlève un carré de côté $2$ cm et rend un quart de disque de rayon $2$ cm : $$\begin{aligned}[t] \text{aire} &= 20^2 - 4 \times 2^2 + \pi \times 2^2 && \text{(carré, coins, un disque)}\\ &= 384 + 4\pi\\ &\approx 396{,}6 \text{ cm}^2. \end{aligned}$$

Compétences à pratiquer

Calculer les dimensions de raccordements
Contrôler et construire des raccordements

V.6 Ovales et anses de panier

La ligne intérieure (la corde) d'une piste d'athlétisme est formée de deux lignes droites de longueur $80$ m et de deux demi-cercles de rayon $30$ m, dont les centres $O_1$ et $O_2$ sont les milieux des extrémités du rectangle formé par les lignes droites.

Les lignes droites et les demi-cercles se raccordent-ils ? Calculer la longueur de cette ligne, au mètre près.

À chaque jonction, le rayon du demi-cercle est porté par un petit côté du rectangle (il en est la moitié), perpendiculaire à la ligne droite : le centre est sur la perpendiculaire à la ligne droite au point de jonction, donc les quatre jonctions sont des raccordements.

$$\begin{aligned}[t] \text{longueur} &= 2 \times 80 + 2\pi \times 30 && \text{(deux lignes droites, deux demi-cercles)}\\ &= 160 + 60\pi\\ &\approx 348 \text{ m}. \end{aligned}$$ Une telle piste n'a aucune courbure le long de ses lignes droites. Une courbe fermée formée uniquement d'arcs de cercle raccordés est courbée en chacun de ses points ; l'ovale le plus simple de ce type se construit avec quatre centres.

Définition — Ovale à quatre centres

Soient $O_1O_3O_2O_4$ un losange de diagonales $[O_1O_2]$ et $[O_3O_4]$, et $r$ une longueur. Au-delà de $O_1$, soient $T_1$ et $T_3$ les points des droites $(O_3O_1)$ et $(O_4O_1)$ situés à la distance $r$ de $O_1$ ; au-delà de $O_2$, soient $T_2$ et $T_4$ les points de $(O_3O_2)$ et $(O_4O_2)$ situés à la distance $r$ de $O_2$. L'ovale à quatre centres construit sur ce losange avec le petit rayon $r$ est la courbe fermée formée de quatre arcs de cercle :

deux petits arcs, de rayon $r$, aux extrémités de l'ovale : l'arc de centre $O_1$ de $T_1$ à $T_3$, et l'arc de centre $O_2$ de $T_2$ à $T_4$ ;
deux grands arcs, sur ses flancs : l'arc de centre $O_3$ de $T_1$ à $T_2$, et l'arc de centre $O_4$ de $T_3$ à $T_4$.

Proposition — Rayon et angles des arcs d'un ovale

Dans l'ovale à quatre centres construit sur le losange $O_1O_3O_2O_4$ avec le petit rayon $r$ :

les deux grands arcs ont le même rayon, le grand rayon $R = r + O_3O_1$, où $O_3O_1$ est le côté du losange ;
les quatre arcs se raccordent ;
chaque grand arc a pour angle au centre $\alpha = \AngleFr{O_1O_3O_2}$, et chaque petit arc l'angle $180^\circ - \alpha$.

Méthode — Construire un ovale à quatre centres

Pour construire l'ovale à quatre centres construit sur un losange $O_1O_3O_2O_4$ avec le petit rayon $r$ :

tracer le losange à partir de ses diagonales, perpendiculaires et de même milieu, puis tracer les quatre droites $(O_3O_1)$, $(O_3O_2)$, $(O_4O_1)$, $(O_4O_2)$ au-delà de $O_1$ et de $O_2$ ;
tracer les petits arcs de centres $O_1$ et $O_2$ et de rayon $r$, entre ces droites ;
tracer les grands arcs de centres $O_3$ et $O_4$, de l'extrémité d'un petit arc à celle de l'autre : leur rayon est $R = r + O_3O_1$.

Exemple

Un miroir ovale est un ovale à quatre centres construit sur le losange $O_1O_3O_2O_4$ de diagonales $O_1O_2 = 30$ cm et $O_3O_4 = 40$ cm, avec le petit rayon $r = 20$ cm. Calculer le côté du losange et le grand rayon $R$, puis la largeur et la hauteur du miroir. Calculer les angles des arcs, au centième de degré près, et la longueur du bord du miroir, au centimètre près.

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu commun $M$ : $MO_1 = 15$ cm et $MO_3 = 20$ cm. $$\begin{aligned}[t] O_3O_1 &= \sqrt{15^2 + 20^2} && \text{(théorème de Pythagore dans }MO_1O_3\text{)}\\ &= 25 \text{ cm},\\ R &= r + O_3O_1 && \text{(rayon des grands arcs)}\\ &= 45 \text{ cm}. \end{aligned}$$ L'ovale est le plus large selon $(O_1O_2)$, où les petits arcs s'étendent à $20$ cm au-delà de $O_1$ et de $O_2$ ; il est le plus haut selon $(O_3O_4)$, où le grand arc de centre $O_3$ monte à $45$ cm au-dessus de $O_3$, c'est-à-dire à $45 - 20 = 25$ cm au-dessus de $M$. La largeur est $30 + 2 \times 20 = 70$ cm et la hauteur $2 \times 25 = 50$ cm. Dans le triangle rectangle $MO_3O_1$, $\tan \AngleFr{MO_3O_1} = \dfrac{15}{20}$, donc $\AngleFr{MO_3O_1} \approx 36{,}870^\circ$ et chaque grand arc a pour angle $\alpha \approx 73{,}74^\circ$ ; chaque petit arc a pour angle $180^\circ - \alpha \approx 106{,}26^\circ$. $$\begin{aligned}[t] \ell &= 2 \times \frac{73{,}74}{360} \times 2\pi \times 45 + 2 \times \frac{106{,}26}{360} \times 2\pi \times 20 && \text{(deux grands arcs, deux petits arcs)}\\ &\approx 190 \text{ cm}. \end{aligned}$$

Coupé selon la droite $(O_1O_2)$, un ovale à quatre centres donne deux moitiés, formées chacune de trois arcs raccordés ; aux extrémités de $[O_1O_2]$, le rayon des petits arcs est horizontal, donc ils partent verticalement. Lorsque le losange $O_1O_3O_2O_4$ est formé de deux triangles équilatéraux $O_1O_2O_3$ et $O_1O_2O_4$, chacun des trois arcs de la moitié supérieure a un angle de $60^\circ$ : cette moitié est une anse de panier, celle que l'on construit sur un triangle équilatéral.

Définition — Anse de panier

Un arc au-dessus d'une ouverture, formé de trois arcs de cercle raccordés, est une anse de panier, ou arc à trois centres : deux petits arcs de rayon $r$ partent verticalement des extrémités $A$ et $B$ de l'ouverture, ses naissances, et un grand arc de rayon $R$ en forme le sommet. La largeur $AB$ de l'ouverture est la portée, et la hauteur du sommet au-dessus de la droite $(AB)$ est la flèche.

Méthode — Construire une anse de panier sur un triangle équilatéral

Étant donnés la portée $[AB]$ et un petit rayon $r$ tel que $2r \lt AB$ :

placer $O_1$ et $O_2$ sur $[AB]$ tels que $AO_1 = BO_2 = r$ ;
construire le triangle équilatéral $O_1O_2O_3$ sous $(AB)$ ;
tracer les petits arcs de centres $O_1$ et $O_2$, depuis $A$ et depuis $B$ jusqu'aux droites $(O_3O_1)$ et $(O_3O_2)$, prolongées au-delà de $O_1$ et de $O_2$ : ils s'arrêtent en $T_1$ et $T_2$ ;
tracer le grand arc de centre $O_3$ de $T_1$ à $T_2$ : son rayon est $R = O_3O_1 + r$.

En $T_1$ et $T_2$, les deux centres et le point de jonction sont alignés : les jonctions sont des raccordements. En $A$, le centre $O_1$ est sur $(AB)$, donc la tangente est la verticale passant par $A$ : l'arc prolonge les murs verticaux sans angle. Le triangle est équilatéral, donc chacun des trois arcs a un angle de $60^\circ$.

Exemple

L'arche d'un pont a une portée de $10$ m. C'est une anse de panier construite sur un triangle équilatéral, avec le petit rayon $r = 3$ m. Calculer le grand rayon $R$, la flèche de l'arche, au centimètre près, et la longueur de l'arche, au centimètre près.