Éducation Nationale Française · Terminale Technologie

Fonction inverse

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 76 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombre dérivé et tangente, Fonction dérivée et variations

I Dérivée et variations

I.1 Variations et tableau de variations

Définition — Fonctions croissantes et décroissantes

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

On dit que $f$ est croissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \leq f(v)$$ Une fonction croissante conserve l'ordre.
On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous réels $u$ et $v$ de $I$ : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \geq f(v)$$ Une fonction décroissante inverse l'ordre.

Lorsque la seconde inégalité est stricte, on dit plus précisément que $f$ est strictement croissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \lt f(v)$) ou strictement décroissante sur $I$ (si $u \lt v$, alors $f(u) \gt f(v)$). Une fonction dont les images ne changent pas est constante sur $I$.

Définition — Tableau de variations

Pour résumer les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variations. Des flèches sont utilisées pour indiquer si la fonction est croissante ($\nearrow$) ou décroissante ($\searrow$). Les flèches d'un tableau de variations indiquent une monotonie stricte sur chaque intervalle ; une phase où la fonction est constante se représente par un segment horizontal.

Définition — Maximum et minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre de $I$.

On dit que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \leq f(a)$.
On dit que $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x$ de $I$ : $f(x) \geq f(a)$.

Un extrémum est soit un maximum, soit un minimum.

Compétences à pratiquer

Déterminer graphiquement des variations

I.2 La fonction dérivée

En calculant la dérivée en un point quelconque $x$ plutôt qu'en un point particulier $a$, on construit une nouvelle fonction, $f'(x)$, dont la valeur en tout $x$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ en ce point.
Le calcul de la dérivée à l'aide de cette limite est appelé la dérivation à partir de la définition.

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Définition — La fonction dérivée

La fonction dérivée de $f$, notée $f'$, est la fonction définie par :$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$, déterminer sa fonction dérivée $f'$.

Correction

On évalue la limite du taux de variation.$$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} \\ &= \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} \\ &= \dfrac{2xh+h^2}{h}\\ &= \dfrac{h(2x+h)}{h}\\ & = 2x+h \quad (\text{pour } h \neq 0)\\ &\xrightarrow[h \to 0]{ } 2x.\end{aligned}$$ Donc$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 2x $$

Compétences à pratiquer

Déterminer une dérivée à partir de la définition

I.3 Signe de la dérivée et variations

La dérivée d'une fonction, $f'$, donne la pente de la tangente en n'importe quel point de la courbe $y=f(x)$. Cela permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction est croissante là où la pente de sa tangente est positive, et décroissante là où la pente de sa tangente est négative.

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Proposition — Signe strict de la dérivée et sens de variation

Pour une fonction $f$ qui est dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ pour tout $x \in I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Méthode — Tableau de signes et de variations

Le tableau de signes de la dérivée $f'$ indique où la fonction est croissante ou décroissante. On rassemble ces informations dans un tableau de variations.

Exemple

Déterminer les variations de la fonction $f(x)=x^2$.

Correction

La dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ est $f'(x)=2x$.

La dérivée $f'(x)$ est négative sur $]-\infty\,;\,0[$, donc la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
La dérivée $f'(x)$ est positive sur $]0\,;\,+\infty[$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$.

Ceci est résumé dans le tableau de variations :

Compétences à pratiquer

Déduire les variations du signe de la dérivée

I.4 Extremums

Définition — Extremum global

Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D$.

$f$ admet un maximum global en $x=c$ si $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur maximale de $f$.
$f$ admet un minimum global en $x=c$ si $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $D$. La valeur $f(c)$ est la valeur minimale de $f$.

Définition — Extremum local

Soit $f$ une fonction.

$f$ admet un maximum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \ge f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.
$f$ admet un minimum local en $x=c$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ contenant $c$ tel que $f(c) \le f(x)$ pour tout $x$ dans $I$.

Le maximum (ou le minimum) de $f$ sur tout son intervalle de définition est dit global.

Exemple

La fonction $f(x) = \frac{x^3}{3} - x$ a un maximum local en $x=-1$ et un minimum local en $x=1$.

Définition — Point stationnaire

Un point stationnaire d'une fonction $f$ est un point $(c\,;\,f(c))$ sur la courbe où la tangente est horizontale, c'est-à-dire $f^{\prime}(c)=0$. On dit aussi point à tangente horizontale.

Proposition — Extrema locaux et points stationnaires

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$, et soit $c\in I$.Si $f$ admet un maximum local ou un minimum local en $x=c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors$$ f'(c)=0. $$

La condition $f'(x_0) = 0$ est nécessaire pour un extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable, mais elle n'est pas suffisante : pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ et pourtant $f$ n'a pas d'extremum en $0$, puisqu'elle continue de croître. Une fonction peut aussi avoir un extremum en un point où elle n'est pas dérivable ($|x|$ en $0$) ou en une borne de son intervalle ($x^2$ sur $[1\,;\,3]$ a son minimum en $1$ et son maximum en $3$) : la proposition ne concerne que les points intérieurs où $f$ est dérivable.

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Proposition — Extremum local et changement de signe de la dérivée

Soit $c$ un nombre tel que $f'(c) = 0$.

Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de positif à négatif en $x=c$, alors $f$ a un maximum local en $c$.
Si $f^{\prime}(x)$ change de signe de négatif à positif en $x=c$, alors $f$ a un minimum local en $c$.

Exemple

Déterminer les points stationnaires et leur nature de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$.

Correction

Calculer la dérivée :$$ f'(x) = x^2 - 1. $$
Déterminer les points stationnaires en résolvant $f'(x)=0$ :$$ \begin{aligned} x^2 - 1 &= 0 \\ (x-1)(x+1) &= 0.\end{aligned}$$ Les points stationnaires sont en $x=-1$ et $x=1$.
Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ :
La dérivée $f'(x)=x^2-1$ est une parabole tournée vers le haut avec des racines en $-1$ et $1$. Elle est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.
Dresser le tableau de variations et déterminer la nature des points :
- En $x=-1$, le signe de $f'(x)$ change de $+$ à $-$. Il y a donc un maximum local en $x=-1$.$$f(-1) = \frac{2}{3}.$$
- En $x=1$, le signe de $f'(x)$ change de $-$ à $+$. Il y a donc un minimum local en $x=1$.$$f(1) = -\frac{2}{3}.$$

Compétences à pratiquer

Déterminer et classer des extremums

I.5 Optimisation

L'optimisation est l'une des applications les plus importantes du calcul différentiel. Elle consiste à trouver la plus grande ou la plus petite valeur qu'une fonction puisse prendre sous certaines conditions. Dans de nombreux problèmes, cela revient à rechercher le maximum ou le minimum global de cette fonction sur un domaine donné.

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Définition — Optimisation

L'optimisation est le processus de recherche d'une valeur maximale ou minimale d'une fonction, appelée fonction objectif, soumise à un ensemble de contraintes. La solution qui réalise cette valeur est appelée la solution optimale.

Méthode — Résolution de problèmes d'optimisation

Modéliser : Identifier la quantité à optimiser et l'exprimer comme une fonction d'une seule variable, par exemple $f(x)$. Utiliser les contraintes données pour éliminer les autres variables. Déterminer les valeurs possibles de $x$ (le domaine de définition retenu compte tenu du contexte).
Dériver : Calculer la dérivée première de la fonction, $f'(x)$.
Déterminer les points stationnaires : Résoudre l'équation $f'(x)=0$ dans le domaine.
Tester et justifier : Utiliser le signe de la dérivée (tableau de signes de $f'$, tableau de variations) pour décider si chaque point stationnaire est un maximum local, un minimum local ou aucun des deux.
Vérifier les bornes : Si le domaine est un intervalle fermé $[a\,;\,b]$, calculer les valeurs de la fonction aux points stationnaires ainsi qu'aux bornes, $f(a)$ et $f(b)$, pour obtenir l'extremum global sur cet intervalle.
Conclusion : Énoncer clairement la réponse finale dans le contexte du problème, en incluant les unités.

Exemple

Un rectangle a un périmètre de 12 cm. Déterminer ses dimensions pour maximiser l'aire.

Correction

Modèle : Soit la longueur $x$ et la largeur $y$. Le périmètre est $2x+2y=12$, donc $x+y=6$ et $y=6-x$. L'aire est $$A(x) = x(6-x) = 6x-x^2.$$ Puisque les longueurs doivent être positives, $x\geq 0$ et $y=6-x\geq 0 \implies x\leq 6$. Le domaine est donc $x \in [0 ; 6]$.
Dérivée : $$A'(x) = 6-2x.$$
Point stationnaire : $$A'(x)=0 \implies 6-2x=0 \implies x=3.$$
Justification : signe de $A'$. $A'(x) = 6 - 2x$ est positif pour $x < 3$ et négatif pour $x > 3$, donc $A$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ et décroissante sur $[3\,;\,6]$ : $x = 3$ donne le maximum de $A$.
Vérifier les bornes : Le domaine est $[0 ; 6]$. On vérifie l'aire au point critique et aux bornes :
- $A(0) = 0$
- $A(3) = 9$
- $A(6) = 0$
L'aire est donc maximale pour $x=3$.
Conclusion : L'aire est maximale pour une longueur de $x=3$ cm. La largeur est $y=6-3=3$ cm. Le rectangle d'aire maximale est donc un carré de 3 cm de côté, avec une aire de $9\text{ cm}^2$.

Compétences à pratiquer

Vérifier la méthode
Résoudre un problème d'optimisation
Résoudre des problèmes en contexte : coûts, bénéfices et mesures

II La fonction inverse

II.1 Étude de la fonction inverse

Une livraison coûte $60$ euros, quel que soit le nombre $q$ d'articles commandés. Répartie sur les articles, elle ajoute $\dfrac{60}{q}$ euros à chacun : $12$ euros pour $5$ articles, $3$ euros pour $20$, $0{,}60$ euro pour $100$. Plus il y a d'articles, plus la part est petite — mais elle n'atteint jamais zéro. C'est la forme de la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$, et elle apparaît chaque fois qu'un montant fixe se répartit sur une quantité : un prix unitaire, un coût moyen.

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Définition — Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}^*$ (tous les réels non nuls) par $f(x) = \frac{1}{x}$.

Ensemble de définition : $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, noté aussi $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.
Forme : Une courbe appelée hyperbole.

Proposition — La fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition

La fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est définie pour $x \neq 0$.

$x$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$	$1$	$10$	$100$	$1\,000$
$\dfrac{1}{x}$	$1\,000$	$100$	$10$	$1$	$0{,}1$	$0{,}01$	$0{,}001$

Pour de grandes valeurs de $x$, $\dfrac{1}{x}$ est un nombre positif petit, aussi proche de $0$ que l'on veut : la courbe se rapproche de plus en plus de l'axe des abscisses sans jamais l'atteindre.
Pour des valeurs positives de $x$ proches de $0$, $\dfrac{1}{x}$ est un nombre positif grand, aussi grand que l'on veut : la courbe monte le long de l'axe des ordonnées sans jamais l'atteindre.
Du côté négatif, il se passe la même chose avec des valeurs négatives : $\dfrac{1}{-1\,000} = -0{,}001$ et $\dfrac{1}{-0{,}001} = -1\,000$.

Les deux axes sont appelés les asymptotes de la courbe (une hyperbole) : la courbe s'en rapproche sans cesse, de chaque côté, aussi loin que l'on regarde.

Proposition — Dérivée de la fonction inverse

Pour tout $x \neq 0$, la fonction inverse est dérivable et $$\textcolor{colorprop}{\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}}.$$ La dérivée est négative pour tout $x \neq 0$ : la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et sur $]0\,;\,+\infty[$ (pas sur leur réunion : $f(-1) = -1 \lt 1 = f(1)$).

Preuve

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation. Pour $x \neq 0$ et $h \neq 0$ assez petit pour que $x + h \neq 0$, $$\begin{aligned}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \\ &= \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} &&\text{(dénominateur commun)} \\ &= \dfrac{-h}{h\,x(x+h)} \\ &= -\dfrac{1}{x(x+h)}.\end{aligned}$$ Quand $h$ se rapproche de $0$, $x + h$ se rapproche de $x$ et le taux de variation de $-\dfrac{1}{x \times x} = -\dfrac{1}{x^2}$. Comme $x^2 \gt 0$, cette dérivée est négative.

Compétences à pratiquer

Déterminer les images et les antécédents
Comparer
Estimer l'ordre de grandeur d'un inverse
Lire la courbe et le signe
Calculer la dérivée par le taux de variation

II.2 Fonctions avec un terme inverse : prix unitaire et coût moyen

Méthode — Étudier une fonction $x \mapsto ax + b + \dfrac{c}{x}$

Les étapes ci-dessous, écrites pour $x \mapsto ax + b + \dfrac{c}{x}$, valent pour toute somme d'une fonction polynôme de degré au plus $3$ et d'un multiple $\dfrac{c}{x}$ de la fonction inverse ($c \neq 0$) : seules la dérivée et son numérateur changent.

Ensemble de définition : $x \neq 0$ ; dans un contexte, souvent $]0\,;\,+\infty[$ ou un intervalle $]0\,;\,M]$.
Dérivée : dériver terme à terme, avec $\left(\dfrac{c}{x}\right)' = -\dfrac{c}{x^2}$ ; pour $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x}$, $f'(x) = a - \dfrac{c}{x^2}$ ; pour $f(x) = P(x) + \dfrac{c}{x}$ avec $P$ un polynôme, $f'(x) = P'(x) - \dfrac{c}{x^2}$.
Une seule fraction : écrire la dérivée sur le dénominateur $x^2$ : $f'(x) = \dfrac{ax^2 - c}{x^2}$, ou $\dfrac{x^2 P'(x) - c}{x^2}$. Comme $x^2 \gt 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de son numérateur, un polynôme dont la forme factorisée est donnée ou obtenue à partir d'une racine évidente.
Tableau de variations : signe du numérateur, variations de $f$, valeurs aux points stationnaires.
Bornes de l'ensemble de définition : près de $0$, le terme $\dfrac{c}{x}$ prend des valeurs énormes et impose son signe (le signe de $c$ à droite de $0$, le signe contraire à gauche) ; pour $x$ grand, $\dfrac{c}{x}$ est négligeable et $f(x)$ est proche de la partie polynomiale, $ax + b$ ou $P(x)$ — la courbe se rapproche de sa représentation. La différence $f(x) - (ax + b) = \dfrac{c}{x}$ garde le signe de $c$ : la courbe reste d'un côté de la droite et s'en rapproche.
Tracé : la courbe, la représentation de la partie polynomiale, les points stationnaires.

Exemple

Soit $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ pour $x \gt 0$.

Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
Décrire le comportement de $f$ près de $0$ et pour de grandes valeurs de $x$, puis tracer la courbe.

Correction

$\begin{aligned}[t]f'(x) &= 1 - \dfrac{4}{x^2} \\ &= \dfrac{x^2 - 4}{x^2} \\ &= \dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}\end{aligned}$
Pour $x \gt 0$, $x + 2 \gt 0$ et $x^2 \gt 0$ : $f'(x)$ a le signe de $x - 2$, négatif sur $]0\,;\,2[$, nul en $2$, positif sur $]2\,;\,+\infty[$. Le minimum est $f(2) = 2 + 2 = 4$.
Près de $0$, $\dfrac{4}{x}$ est énorme, donc $f(x)$ est énorme : la courbe monte le long de l'axe des ordonnées. Pour $x$ grand, $\dfrac{4}{x}$ est proche de $0$, donc $f(x)$ est proche de $x$ : la courbe se rapproche de la droite $y = x$.

Définition — Coût moyen

Lorsque produire $q$ unités coûte $C(q)$ au total ($q \gt 0$), le coût moyen est le coût d'une unité $$C_M(q) = \dfrac{C(q)}{q}.$$ Si le coût total est $C(q) = aq^2 + bq + c$, avec un coût fixe $c$ payé même pour $q$ proche de $0$, alors $$C_M(q) = aq + b + \dfrac{c}{q} :$$ le coût fixe réparti sur les $q$ unités est le terme en inverse. De même, acheter $q$ articles à $p$ euros l'un avec des frais fixes $F$ donne un prix unitaire $p + \dfrac{F}{q}$.

Exemple

Le coût journalier d'un atelier pour $q$ unités, en euros, est $C(q) = q^2 + 20q + 900$, pour $0 \lt q \leq 100$.

Exprimer le coût moyen $C_M(q)$.
Calculer $C_M'(q)$ et vérifier que $C_M'(q) = \dfrac{(q - 30)(q + 30)}{q^2}$.
Dresser le tableau de variations de $C_M$ et donner la production qui rend le coût moyen minimal, avec ce coût minimal.
Interpréter : pourquoi le coût moyen est-il élevé pour une petite production, et de nouveau élevé pour une grande ?

Correction

$C_M(q) = \dfrac{q^2 + 20q + 900}{q} = q + 20 + \dfrac{900}{q}$.
$\begin{aligned}[t]C_M'(q) &= 1 - \dfrac{900}{q^2} \\ &= \dfrac{q^2 - 900}{q^2} \\ &= \dfrac{(q-30)(q+30)}{q^2}\end{aligned}$
Pour $q \gt 0$, le signe de $C_M'(q)$ est celui de $q - 30$ : $C_M$ décroît sur $]0\,;\,30]$ et croît sur $[30\,;\,100]$. Le coût moyen minimal est atteint pour $30$ unités : $C_M(30) = 30 + 20 + 30 = 80$ euros par unité.
Pour une petite production, le coût fixe $900$ se partage entre peu d'unités : le terme $\dfrac{900}{q}$ est grand ($C_M(5) = 205$). Pour une grande production, le terme $q$, qui croît avec la quantité (heures supplémentaires, usure), l'emporte ($C_M(100) = 129$). Entre les deux, à $30$ unités, les deux effets s'équilibrent.

Exemple

Un conteneur fermé à base carrée doit contenir un volume de $8$ m$^3$. Déterminer les dimensions qui minimisent l'aire totale du conteneur.

Correction

Modèle : Soit $x$ le côté de la base carrée et $h$ la hauteur. La contrainte de volume donne $$x^2 h = 8 \implies h = \frac{8}{x^2}.$$ La surface se compose de la base, du couvercle et des quatre faces latérales : $$S = 2x^2 + 4xh = 2x^2 + 4x \cdot \frac{8}{x^2} = 2x^2 + \frac{32}{x}.$$ Le domaine est $x \in\ ]0\ ;\ +\infty[$ — un intervalle ouvert : il n'y a pas de bornes à vérifier, la justification doit donc venir des variations.
Dérivée : $$S'(x) = 4x - \frac{32}{x^2} = \frac{4x^3 - 32}{x^2}.$$
Point stationnaire : $S'(x) = 0 \iff 4x^3 = 32 \iff x^3 = 8 \iff x = 2$.
Tester et justifier : le signe de $S'(x)$ est celui de $4x^3 - 32$ : négatif pour $0 < x < 2$, positif pour $x > 2$. Donc $S$ décroît sur $]0\ ;\ 2]$ et croît sur $[2\ ;\ +\infty[$ : le tableau de variations montre que $x = 2$ donne le minimum global sur tout le domaine — aucune vérification aux bornes n'est possible, et aucune n'est nécessaire.
Conclusion : $x = 2$ m et $h = \frac{8}{4} = 2$ m : le conteneur optimal est un cube de côté $2$ m, d'aire totale $S(2) = 2(4) + \frac{32}{2} = 24$ m$^2$.

Compétences à pratiquer

Dériver une combinaison avec la fonction inverse
Étudier une fonction avec un terme en inverse
Problèmes : coût moyen, prix unitaire et clôture minimale

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Problèmes
Quiz

\(x\)	\(0{,}001\)	\(0{,}01\)	\(0{,}1\)	\(1\)	\(10\)	\(100\)	\(1\,000\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(1\,000\)	\(100\)	\(10\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)