Éducation Nationale Française · Seconde
Variations et extremums
I
Les variations d'une fonction
Définition — Fonctions croissantes et décroissantes
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). - On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous réels \(u\) et \(v\) de \(I\) : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \leq f(v)$$ Une fonction croissante conserve l'ordre.
- On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous réels \(u\) et \(v\) de \(I\) : $$\text{si } u \leq v, \text{ alors } f(u) \geq f(v)$$ Une fonction décroissante inverse l'ordre.
Définition — Tableau de variations
Pour résumer les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variations. Des flèches sont utilisées pour indiquer si la fonction est croissante (\(\nearrow\)) ou décroissante (\(\searrow\)). Les flèches d'un tableau de variations indiquent une monotonie stricte sur chaque intervalle ; une phase où la fonction est constante se représente par un segment horizontal. Exemple
La fonction \(f\) est définie sur \([-2 ; 1]\) par sa courbe représentative ci-dessous. Dresser son tableau de variations. 
La fonction est croissante de \(x=-2\) à \(x=-1\), puis décroissante de \(x=-1\) à \(x=1\). 
Compétences à pratiquer
- Identifier les variations sur des intervalles donnés
- Comparer des valeurs à l'aide des tableaux de variations
- Dresser le tableau de variations
- Déterminer graphiquement des variations
II
Les variations des fonctions affines
Définition — Fonction affine
Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : $$f(x) = ax + b$$ où \(a\) et \(b\) sont des constantes (nombres réels) et \(x\) est la variable. - La constante \(a\) est appelée le coefficient directeur (ou la pente). Elle représente le taux de variation constant de la fonction : de combien \(f(x)\) change lorsque \(x\) augmente de 1.
- La constante \(b\) est appelée l'ordonnée à l'origine. Elle représente la valeur initiale de la fonction, c'est-à-dire la valeur de \(f(0)\) lorsque \(x = 0\).
Proposition — Variations d'une fonction affine
Soit \(f\) la fonction affine définie sur \(\R\) par \(f(x) = mx + p\). - Si \(m \gt 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(\R\).
- Si \(m \lt 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\R\).
- Si \(m = 0\), alors \(f\) est constante sur \(\R\).
Soient \(u\) et \(v\) deux réels avec \(u \lt v\). On compare \(f(u)\) et \(f(v)\) par le signe de leur différence : $$f(v) - f(u) = (mv + p) - (mu + p) = m(v - u)$$ Comme \(u \lt v\), on a \(v - u \gt 0\) : le signe de la différence est celui de \(m\).
- Si \(m \gt 0\), alors \(f(v) - f(u) \gt 0\), donc \(f(u) \lt f(v)\) : l'ordre est conservé, \(f\) est strictement croissante sur \(\R\).
- Si \(m \lt 0\), alors \(f(v) - f(u) \lt 0\), donc \(f(u) \gt f(v)\) : l'ordre est renversé, \(f\) est strictement décroissante sur \(\R\).
- Si \(m = 0\), alors \(f(v) = f(u)\) : la fonction est constante.
Proposition — Le taux d'accroissement
Soit \(f(x) = mx + p\) une fonction affine. Pour tous réels \(x_1\) et \(x_2\) tels que \(x_1 < x_2\) : $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m$$ Le coefficient \(m\) est le taux d'accroissement de \(f\) : chaque fois que \(x\) augmente de \(1\), la valeur \(f(x)\) varie de \(m\). Pour la droite \(y = mx + p\), ce nombre est exactement la pente (le coefficient directeur) : pente, coefficient directeur et taux d'accroissement désignent le même nombre \(m\).
D'après la démonstration précédente, \(f(x_2) - f(x_1) = m(x_2 - x_1)\) pour tous réels \(x_1\) et \(x_2\). Si \(x_1 \neq x_2\), en divisant les deux membres par \(x_2 - x_1 \neq 0\) : $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m$$
Exemple
Soit \(f\) définie sur \(\R\) par \(f(x) = 3x - 1\). - Donner les variations de \(f\).
- Calculer \(\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}\) et vérifier que l'on obtient le coefficient de \(x\).
- Le coefficient de \(x\) est \(m = 3 \gt 0\) : d'après la proposition, \(f\) est strictement croissante sur \(\R\).
- \(f(4) = 3 \times 4 - 1 = 11\) et \(f(1) = 3 \times 1 - 1 = 2\), donc : $$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{11 - 2}{3} = \frac{9}{3} = 3 = m$$ Chaque fois que \(x\) augmente de \(1\), la valeur \(f(x)\) augmente de \(3\).
La technique de la différence ne sert pas que pour les fonctions affines : les variations des fonctions de référence — carré, racine carrée, cube, inverse — se démontrent toutes par elle. Leurs propositions et démonstrations sont énoncées au répertoire des fonctions de référence : le carré factorise \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)\), la racine passe par la quantité conjuguée, l'inverse réduit au même dénominateur. Comparer par la différence : c'est toujours le même geste.
Compétences à pratiquer
- Déterminer les variations d'une fonction affine
- Calculer un taux d'accroissement
- Démontrer par la différence
III
Maximum et minimum
Définition — Maximum et minimum
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un nombre de \(I\). - On dit que \(f(a)\) est le maximum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\) de \(I\) : \(f(x) \leq f(a)\).
- On dit que \(f(a)\) est le minimum de \(f\) sur \(I\) si pour tout \(x\) de \(I\) : \(f(x) \geq f(a)\).
Exemple
La fonction \(f\) est définie sur \([-2\,;\,1]\) par sa courbe représentative ci-dessous. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-2\,;\,1]\), et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints.
Le point le plus haut de la courbe est \((-1\,;\,3)\) : le maximum de \(f\) est \(3\), atteint en \(x = -1\). Le point le plus bas est le bord droit \((1\,;\,-1)\) : le minimum de \(f\) est \(-1\), atteint en \(x = 1\) (le bord gauche ne donne que \(f(-2) = 2\)).
Compétences à pratiquer
- Identifier des extrémums
- Appliquer la définition des extrémums
- Déterminer des extrémums à partir d'un tableau de variations
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre
- Problèmes
- Quiz
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