Éducation Nationale Française · Première Enseignement scientifique

Variation linéaire : suites arithmétiques et fonctions affines

⌚ ~178 min ▢ 20 blocs ✓ 82 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Généralités sur les fonctions, Variations et extremums

I Les suites

I.1 La notion de suite

En mathématiques, une suite est plus qu'un simple motif : c'est une liste ordonnée de nombres où chaque nombre a une position spécifique (sa place dans la liste). Pour travailler efficacement avec les suites, on utilise une notation spéciale pour distinguer la position d'un terme de sa valeur.

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Définition — Suite numérique

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, appelés termes. On utilise la notation $u_n$ pour décrire un terme de la suite.

L'indice $n$ indique la position du terme (commençant souvent à $n=0$). L'indice $n$ prend généralement des valeurs entières : $0,1,2,\dots$
$u_n$ représente la valeur du terme à cette position spécifique.

Ainsi, $u_0$ est la valeur du terme à la position $0$, $u_1$ est la valeur à la position $1$, et ainsi de suite.

Indice ($n$)	0	1	2	$\dots$
Terme ($u_n$)	$u_0$	$u_1$	$u_2$	$\dots$

Exemple

Étant donné la suite définie par le tableau ci-dessous, déterminer la valeur du terme $u_4$.

$n$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$u_n$	3	5	7	9	11	13	$\dots$

Correction

Pour obtenir $u_4$, on regarde dans le tableau la colonne où l'indice est $n=4$. La valeur dans la ligne en dessous est $11$.
Donc $u_4 = 11$.
Cette suite commence à $u_0$, donc $u_4$ est son cinquième terme. Une suite peut aussi commencer à $u_1$ : son premier terme est alors $u_1$, et $u_4$ est son quatrième terme.

Deux notations pour le même terme

Une suite est une fonction dont la variable est un entier naturel : à chaque indice $n$, elle associe le terme de rang $n$. C'est pourquoi le terme s'écrit aussi $u(n)$, avec la notation habituelle des fonctions. Par exemple, si $u(n)$ est la population d'une ville $n$ années après une année de référence, alors $u(0)$ est la population l'année de référence, $u(1)$ la population un an plus tard, $u(2)$ deux ans plus tard, et $u(n + 1) - u(n)$ est l'augmentation pendant l'année qui suit l'année $n$. Les deux notations désignent le même objet : $u(n)$ et $u_n$ sont le même terme, et $u(n + 1) = u_{n+1}$. La notation fonctionnelle $u(n)$ garde sous les yeux qu'une suite est une fonction et se lit naturellement quand la suite modélise une grandeur année après année ; la notation indicielle $u_n$ est plus légère et c'est celle qu'emploie le reste de ce chapitre. Un tableur affiche les termes dans une colonne, un par ligne ; l'application « suites » d'une calculatrice et une fonction u(n) écrite en Python emploient la notation fonctionnelle.

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Compétences à pratiquer

Lire les termes d'une suite dans un tableau

I.2 La formule explicite

Définition — Formule explicite

Une formule explicite définit directement le $n$-ième terme d'une suite, $u_n$, en fonction de sa position $n$.$$u_n = f(n)$$

Remarque

L'avantage principal est que cela permet de calculer n'importe quel terme de la suite directement, sans avoir d'abord à calculer tous les termes précédents un par un.

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Exemple

On considère la suite définie par la formule explicite : $$u_n = 3n + 2$$ Calculer $u_{100}$.

Correction

Pour déterminer la valeur de $u_{100}$, on remplace $n$ par 100 dans la formule explicite : $$\begin{aligned}[t] u_{100} &= 3(100) + 2 \\ &= 300 + 2 \\ &= \boldsymbol{302} \end{aligned}$$ On n'a pas eu besoin de connaître les termes précédents de la suite.

Représentation graphique d'une suite

Une suite associe à chaque entier $n$ (à partir de son rang initial) un réel $u_n$ : c'est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou sur les entiers $n \ge n_0$). Comme une fonction, une suite peut se représenter, de deux façons.

Sur une droite graduée : on place les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, …\ comme des points d'une droite graduée.
Dans un repère : on représente la suite par les points de coordonnées $(n\,;\,u_n)$, c'est-à-dire le point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $u_0$, le point d'abscisse $1$ et d'ordonnée $u_1$, et ainsi de suite.

Comme $n$ ne prend que des valeurs entières, la représentation graphique d'une suite est un ensemble de points isolés, pas une courbe : on ne relie pas les points.

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Exemple

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n - 1$.
Représenter les cinq premiers termes de $(u_n)$ sur une droite graduée, puis dans un repère.

Correction

Les cinq premiers termes sont $u_0 = -1$, $u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 5$ et $u_4 = 7$.

Dans un repère, on place les points $(0\,;\,-1)$, $(1\,;\,1)$, $(2\,;\,3)$, $(3\,;\,5)$ et $(4\,;\,7)$, sans les relier.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une formule explicite

I.3 La définition par récurrence

Découverte

On considère une suite dont le premier terme est $2$ et où chaque terme est obtenu en ajoutant $3$ au terme précédent. Les termes sont :

Ici, la suite est indexée à partir de $n=0$ : $u_0 = 2$, $u_1 = 5$, $u_2 = 8$, $u_3 = 11$, etc. On peut décrire la relation entre les termes en utilisant une notation formelle :

$5 = 2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_1 = u_0\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{0+1} = u_0+3$
$8 = 5\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_2 = u_1\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{1+1} = u_1+3$
$11 = 8\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_3 = u_2\textcolor{colordef}{+3} \longrightarrow u_{2+1} = u_2+3$

Ce motif montre que n'importe quel terme $u_{n+1}$ peut être trouvé en ajoutant $3$ au terme précédent $u_n$. On peut généraliser cette relation en une règle (valable pour tout entier $n \ge 0$) : $$u_{n+1} = u_n + 3$$

Définition — Définition par récurrence

Une définition par récurrence d'une suite comprend deux parties :

Le premier terme (ou terme initial), noté par exemple $u_0$ ou $u_1$. C'est le point de départ.
La règle de récurrence (ou relation de récurrence), qui est une formule exprimant le terme suivant, $u_{n+1}$, en fonction du terme courant, $u_n$, pour tout entier $n$ concerné (par exemple $n \ge 0$ ou $n \ge 1$).

Une fois ces deux éléments connus, on peut calculer tous les termes de la suite pas à pas.

Exemple

Une suite est définie par récurrence par :

$u_1 = 5$ (Le premier terme est $5$).
$u_{n+1} = u_n + 3$ (La règle est d'ajouter $3$ au terme précédent, pour tout entier $n \ge 1$).

Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction

On construit la suite étape par étape en utilisant la définition par récurrence.

$1^{\text{er}}$ terme : Le terme de départ est donné : $\boldsymbol{u_1 = 5}$.
$2^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=1$. $\boldsymbol{u_2} = u_1 + 3 = 5 + 3 = \textbf{8}$.
$3^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=2$. $\boldsymbol{u_3} = u_2 + 3 = 8 + 3 = \textbf{11}$.
$4^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=3$. $\boldsymbol{u_4} = u_3 + 3 = 11 + 3 = \textbf{14}$.
$5^{\text{e}}$ terme : On utilise la règle avec $n=4$. $\boldsymbol{u_5} = u_4 + 3 = 14 + 3 = \textbf{17}$.

$$5 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 8 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 11 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\;+3\;}} 14 \textcolor{olive}{\xrightarrow{\,+3\,}} 17$$ Les cinq premiers termes sont : $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $17$.

Compétences à pratiquer

Calculer des termes avec une relation de récurrence
Modéliser des situations réelles par des suites

II Les suites arithmétiques

II.1 Motifs évolutifs

Découverte

Pour une fête, on aligne des tables carrées. Une table seule reçoit $4$ personnes, une par côté. Quand on colle des tables, les côtés collés ne reçoivent plus personne.

$\;,\quad$

$\;,\; \dots$

Compter les places sur chaque figure et compléter le tableau.

Nombre de tables 1 2 3 4

Nombre de places $4$ $?$ $?$ $?$
Décrire la règle en mots : on commence avec combien de places, et on en ajoute combien par table supplémentaire ?
Combien de personnes peuvent s'asseoir sur une rangée de $10$ tables ?
Et sur une rangée de $100$ tables ? Compter une à une devient déraisonnable : trouver une formule qui donne le nombre de places pour n'importe quel nombre $n$ de tables.

Correction

Chaque table supplémentaire supprime deux côtés collés et apporte deux nouvelles places de front : le compte grandit de $2$ à chaque fois. $4 \xrightarrow{\;+2\;} 6 \xrightarrow{\;+2\;} 8 \xrightarrow{\;+2\;} 10$
La règle est : on commence avec $4$ places et on ajoute $2$ places par table supplémentaire.
De $4$ tables à $10$ tables, il y a $6$ tables de plus, donc $6 \times 2 = 12$ places de plus : les $10$ places des $4$ tables plus les $12$ nouvelles donnent $10 + 12 = 22$ places.
On regarde la structure d'une rangée de $n$ tables : chaque table offre $2$ places (une au-dessus, une au-dessous), et les $2$ bouts de la rangée offrent chacun une place de plus. Le nombre de places est donc $$\mathbf{2 \times n + 2}.$$ Contrôle avec le tableau : pour $n = 4$, $2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10$ (on fait d'abord la multiplication). $\checkmark$
Pour $100$ tables, la formule répond en une ligne : $2 \times 100 + 2 = 202$ places.

Méthode — Déterminer la formule de la figure $n$

Compléter le tableau pour les premières figures et dire la règle en mots : on commence avec ..., on ajoute ... à chaque fois.
Regarder la structure : où les nouveaux bâtonnets ou points se placent-ils dans le dessin ? Qu'apporte chaque nouvelle figure ?
Écrire le compte de la figure $n$ : exprimer ce que l'on voit avec $n$ — tant par case plus le départ, ou tant de branches de $n$ moins le centre partagé. Dans une formule, on écrit $2n$ pour $2 \times n$, et $3n + 4$ pour $3 \times n + 4$.
Contrôler : la formule doit redonner tous les nombres du tableau.

La formule part du numéro $n$ de la figure, pas du nombre précédent : pour $1$ ; $4$ ; $7$ ; … la règle d'un terme au suivant est « $+\,3$ », et la formule à partir du numéro est $3 \times n - 2$.

Exemple

Ce motif de points en « T » grandit à chaque figure.

$\quad,\quad$

$\quad,\; \dots$ Trouver une formule donnant le nombre de points de la figure $n$, la contrôler, puis l'utiliser pour la figure $10$.

Correction

Tableau et règle : les nombres de points sont $1\,;\,4\,;\,7\,;\,\dots$ — on commence avec $1$ point et on ajoute $3$ points à chaque fois.

Numéro de la figure 1 2 3

Nombre de points 1 4 7
Structure : le « T » a $3$ branches (gauche, droite, bas) de $n$ points chacune, et elles partagent le point central — compté $3$ fois au lieu de $1$.
Formule : $3$ branches de $n$ points, moins le centre compté deux fois de trop : $$\mathbf{3 \times n - 2}.$$
Contrôle : $n = 2$ donne $3 \times 2 - 2 = 4$ $\checkmark$ ; $n = 3$ donne $3 \times 3 - 2 = 7$ $\checkmark$.
Pour la figure $10$ : $3 \times 10 - 2 = 28$ points.

Compétences à pratiquer

Utiliser la structure d'un motif

II.2 Définition et terme général

Une suite arithmétique est un type fondamental de suite qui suit une règle de récurrence. Elle est définie par un terme de départ et une variation constante entre deux termes consécutifs.

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Découverte

On considère une suite arithmétique avec un premier terme $u_1 = 5$ et une raison arithmétique $r = 3$.
On peut écrire les premiers termes en ajoutant 3 de manière répétée :

$u_1 = 5$
$u_2 = 5 + 3$
$u_3 = 5 + 3 + 3$
$u_4 = 5 + 3 + 3 + 3$

On réécrit cela en utilisant la multiplication pour voir le motif :

$u_1 = 5 + \textcolor{colordef}{0} \times 3$
$u_2 = 5 + \textcolor{colordef}{1} \times 3$
$u_3 = 5 + \textcolor{colordef}{2} \times 3$
$u_4 = 5 + \textcolor{colordef}{3} \times 3$

Le motif est : pour trouver le $n$-ième terme ($u_n$), on part de $u_1$ et on ajoute la raison $r$ exactement $\textcolor{colordef}{(n-1)}$ fois. Cela donne la formule explicite :$$u_n = u_1 + (n-1)r$$ On peut trouver $u_{10}$ directement :$$u_{10} = u_1 + (10-1)r = 5 + (9 \times 3) = 5 + 27 = 32$$ C'est beaucoup plus rapide que de calculer chaque terme un par un.

Définition — Suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chaque terme après le premier est obtenu en ajoutant une valeur constante au terme précédent. Cette constante est appelée la raison, notée $r$.

Définition par récurrence : La règle pour trouver le terme suivant à partir du précédent est :$$u_{n+1} = u_n + r$$
Formule explicite : On peut aussi trouver n'importe quel terme directement en utilisant sa position, $n$.
- Si la suite commence par $u_1$ : $$u_n = u_1 + (n-1)r$$
- Si la suite commence par $u_0$ : $$u_n = u_0 + nr$$

Proposition — Terme général d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Pour tout entier naturel $n$ : $u_n = u_0 + nr$.
Si la suite commence à $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$.
Plus généralement, pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Exemple

Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$.

Calculer $u_{20}$.
Une autre suite arithmétique $(v_n)$ a pour raison $3$ et vérifie $v_5 = 17$. Calculer $v_{12}$.

Correction

D'après la proposition, $u_{20} = u_0 + 20r = 5 + 20 \times 3 = 65$.
En partant de $v_5$ : $v_{12} = v_5 + (12 - 5) \times 3 = 17 + 21 = 38$.

Compétences à pratiquer

Identifier la règle de récurrence
Étudier une suite arithmétique
Déterminer le rang d'un terme
Résoudre un problème de seuil
Modéliser avec des suites arithmétiques
Déterminer la formule à partir de deux termes

II.3 Le sens de variation

Définition — Suites croissantes et décroissantes

Soit $(u_n)$ une suite.

La suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \ge u_n}$.
La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout $n \ge n_0$, on a $\boldsymbol{u_{n+1} \le u_n}$.
Une suite qui est soit croissante, soit décroissante est dite monotone.

Remarque

Comme pour les fonctions, si l'on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes, on parle d'une suite strictement croissante ou strictement décroissante.
Certaines suites ne sont pas monotones, par exemple la suite $(u_n)$ définie par $u_n = (-1)^n$, qui alterne entre $1$ et $-1$.

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Proposition — Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.

Si $r \gt 0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
Si $r \lt 0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
Si $r = 0$, alors $(u_n)$ est constante.

Compétences à pratiquer

Déterminer le sens de variation

III Les fonctions affines

III.1 La fonction affine

Définition — Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : $$f(x) = ax + b$$ où $a$ et $b$ sont des constantes (nombres réels) et $x$ est la variable.

La constante $a$ est appelée le coefficient directeur (ou la pente). Elle représente le taux de variation constant de la fonction : de combien $f(x)$ change lorsque $x$ augmente de 1.
La constante $b$ est appelée l'ordonnée à l'origine. Elle représente la valeur initiale de la fonction, c'est-à-dire la valeur de $f(0)$ lorsque $x = 0$.

Exemple

L'accès à une piscine coûte un droit d'entrée fixe de 12 $\Euro$, plus 5 $\Euro$ par heure passée sur place. On note $P(x)$ le prix total pour $x$ heures à la piscine. Écrire une formule donnant $P(x)$ en fonction de $x$.

Correction

Le prix total, $P(x)$, est la somme du droit d'entrée fixe et du coût variable, qui dépend du nombre d'heures, $x$.
On peut écrire cela sous forme d'équation : $$ P(x) = (\text{Droit d'entrée fixe}) + (\text{Coût par heure}) \times (\text{Nombre d'heures}) $$ En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $$ \begin{aligned}[t] P(x) &= \underbrace{12}_{\text{Droit d'entrée fixe}} + \underbrace{5 \times x}_{\text{Coût pour } x \text{ heures}} \\ &= 12 + 5x \end{aligned} $$ La formule est donc $\boldsymbol{P(x) = 5x + 12}$. C'est une fonction affine de coefficient directeur $5$ et d'ordonnée à l'origine $12$.

Compétences à pratiquer

Modéliser des situations par des fonctions affines

III.2 La droite d'une fonction affine

Proposition — Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite d'équation $y = ax + b$.

La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,b)$ : c'est l'ordonnée à l'origine.
La pente $a$ est définie comme le rapport entre le déplacement vertical ($\boldsymbol{\Delta y}$) et le déplacement horizontal ($\boldsymbol{\Delta x}$) entre deux points quelconques de la droite : $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x}. $$ Pour deux points $(x_1\,;\,y_1)$ et $(x_2\,;\,y_2)$ de la droite (avec $x_1 \neq x_2$), on peut écrire : $$ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. $$

Exemple

Pour la fonction $f(x)=0{,}5x+1$, tracer sa représentation graphique.

Correction

La fonction est $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 1$.

Identifier l'ordonnée à l'origine : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$. On place donc un premier point en $(0\,;\,1)$.
Utiliser la pente : la pente est $a = \dfrac{1}{2}$. Cela signifie que $$ a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1}{2}, $$ donc pour chaque déplacement horizontal de $2$ unités vers la droite, on monte de $1$ unité. Depuis $(0\,;\,1)$, on se déplace de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut pour obtenir un deuxième point en $(2\,;\,2)$.
Tracer la droite : on trace une droite passant par ces deux points et on la prolonge des deux côtés.

Méthode — Déterminer une fonction affine par deux points

Pour déterminer la fonction affine $f(x) = ax + b$ dont la droite passe par deux points donnés $A(x_A \,; y_A)$ et $B(x_B \,; y_B)$ :

Calculer la pente : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (la variation de $y$ divisée par la variation de $x$), ce qui suppose $x_A \neq x_B$.
Déterminer $b$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des points dans $y = ax + b$ et en résolvant l'équation obtenue, d'inconnue $b$.
Contrôler la formule avec l'autre point.

Exemple

Déterminer la fonction affine dont la droite passe par $A(1 \,; 5)$ et $B(3 \,; 11)$.

Pente : $a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Ordonnée à l'origine : on remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ : $5 = 3 \times 1 + b$, donc $b = 2$.
Formule : $f(x) = 3x + 2$. $\quad$ Contrôle avec $B$ : $f(3) = 9 + 2 = 11$ — correct.

Compétences à pratiquer

Déterminer la fonction à partir de sa droite
Tracer la droite d'une fonction affine

III.3 Le sens et la raideur d'une droite

Proposition — Lire les paramètres sur la droite

Soit $f(x) = ax + b$ une fonction affine et $\mathcal{D}$ sa droite.

Le signe de $a$ donne le sens : si $\textcolor{colorprop}{a > 0}$ la droite monte de gauche à droite, si $\textcolor{colorprop}{a < 0}$ elle descend, et si $a = 0$ elle est horizontale.
La grandeur de $a$ donne la raideur : plus $a$ est loin de $0$, plus $\mathcal{D}$ est raide. Deux droites de même $a$ sont parallèles.
Le nombre $b$ est la hauteur à laquelle $\mathcal{D}$ coupe l'axe des ordonnées. Changer $b$ fait glisser la droite vers le haut ou vers le bas sans jamais changer sa direction.

$\quad$

À gauche, trois droites partagent le même $b$ : elles coupent toutes l'axe des ordonnées au même point, et seule leur direction diffère. À droite, trois droites partagent le même $a$ : elles sont parallèles, et seule leur hauteur diffère.

Compétences à pratiquer

Reconnaître le sens d'une droite

III.4 Lire une fonction affine sur sa droite

Méthode — Lire une fonction affine sur sa droite

Lire $b$ d'abord : regarder le point où la droite coupe l'axe des ordonnées — sa hauteur est $b$.
Lire ensuite $a$ : depuis ce point, avancer d'une unité vers la droite et lire de combien la droite est montée. Cette montée est $a$ — comptée négativement si la droite est descendue.
Écrire $f(x) = ax + b$, puis contrôler sur un second point : choisir un autre $x$ de la droite, calculer $f(x)$ et vérifier que la droite passe bien par ce point.

La même lecture marche à l'envers : $a$ et $b$ étant donnés, on peut prévoir l'allure — le sens par le signe de $a$, la raideur par sa grandeur, la hauteur par $b$ — sans placer un seul point.

Exemple

La droite ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction affine $f$.

Lire $b$ sur le graphique.
Déterminer $a$.
Donner l'expression de $f(x)$.
Sans rien tracer, dire en quoi la droite de $g(x) = -3x - 2$ diffère de celle de $f$.

Correction

La droite coupe l'axe des ordonnées à la hauteur $-2$, donc $b = -2$.
La droite passe aussi par le point $(3 ; 4)$. Entre les deux points marqués, $x$ a augmenté de $3$ et $y$ de $4 - (-2) = 6$, donc $$a = \dfrac{6}{3} = 2.$$
Donc $f(x) = 2x - 2$. Contrôle en $x = 1$ : $f(1) = 2 \times 1 - 2 = 0$, et la droite coupe bien l'axe des abscisses en $x = 1$.
Les deux droites ont le même $b$, elles coupent donc l'axe des ordonnées au même point $(0 ; -2)$. Mais $g$ a $a = -3$ : sa droite descend au lieu de monter, et comme $3 > 2$ elle est plus raide que celle de $f$.

Compétences à pratiquer

Lire les paramètres sur un graphique

III.5 Variations et taux d'accroissement

Proposition — Variations d'une fonction affine

Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x) = mx + p$.

Si $m \gt 0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\R$.
Si $m \lt 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
Si $m = 0$, alors $f$ est constante sur $\R$.

Proposition — Le taux d'accroissement

Soit $f(x) = mx + p$ une fonction affine. Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$ : $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m$$ Le coefficient $m$ est le taux d'accroissement de $f$ : chaque fois que $x$ augmente de $1$, la valeur $f(x)$ varie de $m$. Pour la droite $y = mx + p$, ce nombre est exactement la pente (le coefficient directeur) : pente, coefficient directeur et taux d'accroissement désignent le même nombre $m$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x - 1$.

Donner les variations de $f$.
Calculer $\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}$ et vérifier que l'on obtient le coefficient de $x$.

Correction

Le coefficient de $x$ est $m = 3 \gt 0$ : d'après la proposition, $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$f(4) = 3 \times 4 - 1 = 11$ et $f(1) = 3 \times 1 - 1 = 2$, donc : $$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{11 - 2}{3} = \frac{9}{3} = 3 = m$$ Chaque fois que $x$ augmente de $1$, la valeur $f(x)$ augmente de $3$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les variations d'une fonction affine
Calculer un taux d'accroissement

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

Indice (\(n\))	0	1	2	\(\dots\)
Terme (\(u_n\))	\(u_0\)	\(u_1\)	\(u_2\)	\(\dots\)

\(n\)	0	1	2	3	4	5	\(\dots\)
\(u_n\)	3	5	7	9	11	13	\(\dots\)

Nombre de tables	1	2	3	4
Nombre de places	\(4\)	\(?\)	\(?\)	\(?\)