Éducation Nationale Française · Première Technologie

Fonctions, taux de variation et second degré

⌚ ~226 min ▢ 26 blocs ✓ 110 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Variations et extremums

I Taux de variation

I.1 Variations d'une fonction affine

Définition — Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme : $$f(x) = ax + b$$ où $a$ et $b$ sont des constantes (nombres réels) et $x$ est la variable.

La constante $a$ est appelée le coefficient directeur (ou la pente). Elle représente le taux de variation constant de la fonction : de combien $f(x)$ change lorsque $x$ augmente de 1.
La constante $b$ est appelée l'ordonnée à l'origine. Elle représente la valeur initiale de la fonction, c'est-à-dire la valeur de $f(0)$ lorsque $x = 0$.

Proposition — Variations d'une fonction affine

Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x) = mx + p$.

Si $m \gt 0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\R$.
Si $m \lt 0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
Si $m = 0$, alors $f$ est constante sur $\R$.

Proposition — Le taux d'accroissement

Soit $f(x) = mx + p$ une fonction affine. Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1 < x_2$ : $$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = m$$ Le coefficient $m$ est le taux d'accroissement de $f$ : chaque fois que $x$ augmente de $1$, la valeur $f(x)$ varie de $m$. Pour la droite $y = mx + p$, ce nombre est exactement la pente (le coefficient directeur) : pente, coefficient directeur et taux d'accroissement désignent le même nombre $m$.

Exemple

Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 3x - 1$.

Donner les variations de $f$.
Calculer $\dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}$ et vérifier que l'on obtient le coefficient de $x$.

Correction

Le coefficient de $x$ est $m = 3 \gt 0$ : d'après la proposition, $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$f(4) = 3 \times 4 - 1 = 11$ et $f(1) = 3 \times 1 - 1 = 2$, donc : $$\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{11 - 2}{3} = \frac{9}{3} = 3 = m$$ Chaque fois que $x$ augmente de $1$, la valeur $f(x)$ augmente de $3$.

Compétences à pratiquer

Déterminer les variations d'une fonction affine
Calculer un taux d'accroissement

I.2 Taux de variation et fonctions monotones

On considère deux points $A$ et $B$ sur la courbe d'une fonction $f$. La droite $(AB)$ est appelée une sécante à la courbe. Sa pente mesure de combien $f$ varie, en moyenne, entre les abscisses de $A$ et de $B$ : c'est le taux de variation de $f$.

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Définition — Taux de variation

Le taux de variation d'une fonction $f$ entre deux points $A(a\,;\,f(a))$ et $B(b\,;\,f(b))$ (avec $a \neq b$) est la pente de la droite sécante $(AB)$.$$ \textcolor{colordef}{\text{Taux de variation} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}} $$

Exemple

Soit $f(x) = x^2$.

Calculer le taux de variation de $f$ entre $1$ et $3$, et l'interpréter avec la sécante.
Calculer le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $2$.

Correction

$f(1) = 1$ et $f(3) = 9$, donc $$ \dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{9-1}{2} = 4. $$ La sécante passant par $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,9)$ a pour pente $4$ : entre $x = 1$ et $x = 3$, $f(x)$ augmente en moyenne de $4$ quand $x$ augmente de $1$.
$f(-1) = 1$ et $f(2) = 4$, donc $$ \dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} = \dfrac{4-1}{3} = 1. $$

Définition — Fonction monotone

Une fonction $f$ est monotone sur un intervalle $I$ si elle est croissante sur $I$ ou décroissante sur $I$ : sur $I$, elle ne change jamais de sens.

Proposition — Fonctions monotones et signe du taux de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tous nombres distincts $a$ et $b$ de $I$, $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \geq 0$.
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si, pour tous nombres distincts $a$ et $b$ de $I$, $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq 0$.

Autrement dit, $f$ est monotone sur $I$ exactement quand ses taux de variation sur $I$ sont tous positifs ou nuls, ou tous négatifs ou nuls : aucune sécante ne descend, ou aucune sécante ne monte.

Exemple

Soit $f(x) = x^2$.

Montrer que, pour tous nombres distincts $a$ et $b$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est $a + b$.
En déduire que $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ et décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
Le taux de variation de $f$ entre $-1$ et $3$ est positif. La fonction $f$ est-elle monotone sur $[-1\,;\,3]$ ?

Correction

$\begin{aligned}[t]\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} &= \dfrac{b^2-a^2}{b-a} \\ &= \dfrac{(b-a)(b+a)}{b-a} \\ &= a+b\end{aligned}$
Si $a$ et $b$ sont deux nombres distincts de $[0\,;\,+\infty[$, alors $a + b \gt 0$ : tous les taux de variation sont positifs, donc $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Si $a$ et $b$ sont deux nombres distincts de $]-\infty\,;\,0]$, alors $a + b \lt 0$ : tous les taux de variation sont négatifs, donc $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$.
Entre $-1$ et $3$ le taux de variation vaut $-1 + 3 = 2$, mais entre $-1$ et $0$ il vaut $-1 + 0 = -1$. Les taux de variation sur $[-1\,;\,3]$ n'ont pas tous le même signe : $f$ n'est pas monotone sur $[-1\,;\,3]$. Un taux de variation positif ne prouve pas que $f$ est croissante : la propriété les demande tous.

Compétences à pratiquer

Calculer un taux de variation à partir d'une expression ou d'un graphique
Modéliser avec le taux de variation
Relier la monotonie et le signe du taux de variation
Calculer des taux de variation et décider de la monotonie

II Fonctions polynômes de degré 2

II.1 Définition et coefficients

Les fonctions affines ont pour courbes des droites. Viennent ensuite les fonctions du second degré : des fonctions contenant un terme en $x^2$, dont les courbes sont des courbes symétriques appelées paraboles. En mathématiques et en sciences, les fonctions du second degré modélisent, par exemple, la trajectoire d'un ballon lancé ou la forme d'une antenne parabolique. On apprend à reconnaître ces fonctions, à tracer leurs courbes et à résoudre les équations associées.

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Une fonction quadratique est un polynôme de degré deux. Sa caractéristique principale est le terme en $x^2$, ce qui la distingue d'une fonction affine.

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Définition — Fonction quadratique

Une fonction polynôme du second degré, aussi appelée fonction quadratique ou trinôme, est une fonction qui peut s'écrire sous la forme $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres réels et $\boldsymbol{a \neq 0}$.

Exemple

Pour $f(x) = x^2 - 3x + 1$, calculer $f(2)$.

Correction

$\begin{aligned}[t]f(2) &= (2)^2 - 3(2) + 1 \\&= 4 - 6 + 1 \\&= -1\end{aligned}$

Compétences à pratiquer

Identifier les coefficients sous la forme développée
Reconnaître des fonctions polynômes de degré 2
Calculer des images

II.2 La parabole : axe de symétrie et sommet

Proposition — La parabole et son axe de symétrie

La courbe d'une fonction polynôme de degré 2, $f(x) = ax^2 + bx + c$, est une parabole.

Axe de symétrie : la parabole a un axe de symétrie vertical. Deux points de la parabole de même ordonnée sont symétriques par rapport à cet axe : si $f(u) = f(v)$ avec $u \neq v$, l'axe est la droite $x = \dfrac{u+v}{2}$, qui passe par le milieu de leurs abscisses.
Sommet : le point de la parabole situé sur l'axe. C'est le point le plus bas si la parabole est tournée vers le haut, et le point le plus haut si elle est tournée vers le bas.
Ordonnée à l'origine : le nombre $f(0) = c$ ; la parabole coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,c)$.
Racines : les nombres $x$ tels que $f(x) = 0$, aussi appelés zéros de $f$ ; ce sont les abscisses des points où la parabole rencontre l'axe des abscisses. Deux tels points ont la même ordonnée $0$, donc, pour deux racines $x_1$ et $x_2$, l'axe est $x = \dfrac{x_1+x_2}{2}$.

Exemple

Esquisser le graphe de $f(x) = x^2 - x - 1$.

Correction

Un tableau de valeurs est

$x$	$-2$	$-1$	0	1	2
$y$	5	1	$-1$	$-1$	1

Le coefficient $a$ dans $ax^2+bx+c$ contrôle si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Pour voir cela de manière interactive, on peut utiliser l'animation GeoGebra à https://www.geogebra.org/m/gn3c2sqe.

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Proposition — Orientation de la parabole

Pour toute fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Si $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut (s'ouvre vers le haut) et a une valeur minimale à son sommet. .
Si $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas (s'ouvre vers le bas) et a une valeur maximale à son sommet. .

Méthode — Trouver l'axe de symétrie et le sommet sans formule

La symétrie de la parabole donne son axe à partir de l'expression $f(x) = ax^2 + bx + c$ elle-même, sans rien à retenir : deux points de la parabole de même ordonnée sont symétriques par rapport à l'axe, donc l'axe passe par le milieu de leurs abscisses.

Résoudre $f(x) = c$ : la constante $c$ disparaît et $x$ se met en facteur, donc l'équation a la solution $0$ et une seconde solution — les deux points de la parabole à la hauteur $c$ (l'ordonnée à l'origine et son image miroir).
Prendre le milieu des deux solutions : l'axe de symétrie est la droite verticale qui passe par ce milieu.
Calculer le sommet : son abscisse est celle de l'axe, son ordonnée est la valeur de $f$ en ce point.

Tout autre couple de points de même ordonnée convient aussi : pour $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, les racines $x_1$ et $x_2$ donnent toutes deux $y = 0$, donc l'axe est $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Si l'expression n'a pas de terme en $x$, comme $f(x) = ax^2 + c$, l'équation $f(x) = c$ a la seule solution $0$ : la parabole est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, puisque $f(-x) = f(x)$, et son sommet est $(0\,;\,c)$.

Exemple

Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$. Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de sa parabole sans aucune formule, puis donner ses variations.
Soit $g(x) = 3(x - 1)(x - 5)$. Déterminer son axe de symétrie et son sommet.

Correction

Ici $c = 3$. On résout $f(x) = 3$ : $2x^2 - 8x + 3 = 3$ donne $2x^2 - 8x = 0$, c'est-à-dire $2x(x - 4) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 4$. Les points $(0\,;\,3)$ et $(4\,;\,3)$ de la parabole ont la même ordonnée : l'axe de symétrie est la droite $x = \dfrac{0 + 4}{2} = 2$. Le sommet a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $f(2) = 2 \times 4 - 16 + 3 = -5$ : c'est le point $(2\,;\,-5)$. Comme $a = 2 > 0$, la parabole est tournée vers le haut : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$ et croissante sur $[2\,;\,+\infty[$, avec le minimum $-5$ en $x = 2$.
Les racines de $g$ sont $1$ et $5$ (les facteurs s'y annulent), deux points de la parabole à la hauteur $0$ : l'axe est $x = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$, et le sommet est $(3\,;\,g(3)) = (3\,;\,3 \times 2 \times (-2)) = (3\,;\,-12)$.

Trois formes, trois lectures

L'expression d'une fonction polynôme de degré 2 dit, d'un coup d'œil, certaines caractéristiques de sa parabole.

$f(x) = ax^2$ : la parabole a son sommet à l'origine et l'axe des ordonnées pour axe de symétrie ; $a$ fixe le sens (vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$) et l'ouverture.
$f(x) = ax^2 + c$ : la même parabole décalée verticalement de $c$ ; le sommet est $(0\,;\,c)$ et l'axe est toujours l'axe des ordonnées.
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : la parabole rencontre l'axe des abscisses en $x_1$ et $x_2$ — elle le traverse quand $x_1 \neq x_2$, et ne fait que le toucher, en son sommet, quand $x_1 = x_2$ ; l'axe de symétrie est à mi-chemin, $x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$.

Dans la forme générale $ax^2 + bx + c$, l'ordonnée à l'origine $c$, le sens (le signe de $a$) et l'ouverture (la taille de $a$) se lisent directement ; l'axe et le sommet viennent de la méthode ci-dessus.

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Compétences à pratiquer

Analyser la parabole de base
Déterminer le sens de la parabole à partir du signe de $a$
Déterminer l'axe et le sommet sans formule
Tracer une parabole et dresser son tableau de variations

III Forme factorisée : racines et signe

III.1 La forme factorisée et les racines

Définition — Forme factorisée

La forme factorisée d'une fonction quadratique, lorsqu'elle existe, est :$$f(x) = a(x-p)(x-q) $$ où $a, p,$ et $q$ sont des nombres réels et $\boldsymbol{a \neq 0}$.

Méthode — Convertir de la forme factorisée à la forme développée

Pour passer de la forme factorisée à la forme développée, développer les parenthèses et regrouper les termes semblables.

Exemple

Convertir $f(x) = 2(x-3)(x-1)$ sous forme développée.

Correction

$$ \begin{aligned}f(x) &=2(x-3)(x-1)\\ &= 2(x^2 - x - 3x + 3) \\ &= 2(x^2 - 4x + 3) \\ &= \boldsymbol{2x^2 - 8x + 6}\end{aligned} $$

Méthode — Vérifier une racine et factoriser connaissant une racine

Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ une fonction polynôme de degré 2. Une racine lue sur un graphique, trouvée dans un tableau de valeurs ou simplement devinée n'est qu'une conjecture tant qu'elle n'est pas vérifiée.

Vérifier la racine : $x_1$ est racine de $f$ quand $f(x_1) = 0$. Remplacer et calculer.
Écrire la forme factorisée avec la seconde racine inconnue : une fonction polynôme de degré 2 qui a une racine $x_1$ peut s'écrire $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, avec le même $a$ que dans la forme développée (admis ; la seconde racine $x_2$ peut être égale à $x_1$ ; la Définition ci-dessus note les racines $p$ et $q$).
Déterminer $x_2$ avec le terme constant : en développant $a(x - x_1)(x - x_2)$, le terme constant est $a x_1 x_2$, qui doit être égal à $c$. Résoudre $a x_1 x_2 = c$.
Contrôler en développant la forme factorisée.

Si la racine connue est $x_1 = 0$, alors $c = 0$ et $x$ est un facteur commun : $f(x) = x(ax + b)$.

Exemple

Soit $f(x) = 2x^2 - 2x - 12$. Sa courbe semble couper l'axe des abscisses en $x = 3$.

Vérifier que $3$ est racine de $f$.
Factoriser $f(x)$.
Donner les deux racines de $f$.

Correction

$\begin{aligned}[t]f(3) &= 2 \times 3^2 - 2 \times 3 - 12 \\ &= 18 - 6 - 12 \\ &= 0\end{aligned}$
Donc $3$ est racine de $f$.
Comme $3$ est racine et $a = 2$, $f(x) = 2(x - 3)(x - x_2)$. Le terme constant de ce produit est $2 \times 3 \times x_2 = 6x_2$, et le terme constant de $f$ est $-12$ : $$\begin{aligned}6x_2 &= -12 \\ x_2 &= -2\end{aligned}$$ Donc $f(x) = 2(x - 3)(x + 2)$. Contrôle : $$\begin{aligned}2(x - 3)(x + 2) &= 2(x^2 + 2x - 3x - 6) \\ &= 2(x^2 - x - 6) \\ &= 2x^2 - 2x - 12\end{aligned}$$
Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul : les racines de $f$ sont $3$ et $-2$.

Compétences à pratiquer

Convertir de la forme factorisée à la forme développée
Déterminer la seconde racine connaissant une racine

III.2 Lire la parabole sur la forme factorisée

Proposition — Caractéristiques clés de la forme factorisée

La courbe d'une fonction du second degré $f(x)=a(x-p)(x-q)$ est une parabole avec :

Orientation : Déterminée par le signe de $a$.
- Si $a > 0$, tournée vers le haut.
- Si $a < 0$, tournée vers le bas.
Racines : La courbe coupe ou touche l'axe des abscisses en $(p\,;\,0)$ et $(q\,;\,0)$.
- Si $p \neq q$, il y a deux points d'intersection distincts avec l'axe des abscisses.
- Si $p=q$, il n'y a qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses, $(p\,;\,0)$, qui est aussi le sommet. La courbe touche l'axe des abscisses en ce point.
Axe de symétrie : La droite $x = \frac{p+q}{2}$.
Sommet : Le point $(\frac{p+q}{2}\,;\,f(\frac{p+q}{2}))$.

Compétences à pratiquer

Lire les caractéristiques sur la forme factorisée
Esquisser une parabole à partir de sa forme factorisée

III.3 Le signe d'un produit

Lorsqu'une inéquation implique un produit de facteurs, comme $(x-2)(x-1) > 0$, on ne peut pas simplement isoler $x$. On doit plutôt déterminer où l'expression est positive ou négative. Le tableau de signes est un outil utilisé pour organiser cette analyse.

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Proposition — Signe d'une expression affine

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a \neq 0$. L'expression $ax + b$ s'annule en $x_0 = -\dfrac{b}{a}$ ; elle est du signe de $a$ pour $x \gt -\dfrac{b}{a}$, et du signe contraire pour $x \lt -\dfrac{b}{a}$.

Méthode — Construire un tableau de signes

Pour créer le tableau de signes d'une expression factorisée :

Chercher les valeurs de $x$ qui annulent chaque facteur : ce sont les valeurs critiques, les seuls points où l'expression peut changer de signe.
Créer le tableau : écrire ces valeurs par ordre croissant sur la première ligne du tableau, puis chaque facteur sur une ligne séparée à gauche, avec l'expression complète sur la dernière ligne.
Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles délimités par ces valeurs. Un facteur du premier degré $(x-a)$ est négatif pour $xa$ et nul pour $x=a$. Pour un facteur affine général $ax+b$, on utilise la proposition ci-dessus : il est du signe de $a$ après son zéro $-\frac{b}{a}$, du signe contraire avant.
Déterminer le signe de l'expression complète dans chaque intervalle en multipliant les signes des facteurs de cette colonne.

Exemple

Résoudre l'inéquation $(x-2)(x-1) \ge 0$.

Correction

Valeurs critiques : Les facteurs sont $(x-1)$ et $(x-2)$.
- $x-1=0 \implies x=1$
- $x-2=0 \implies x=2$
Construire le tableau de signes :
Conclusion : L'inéquation demande $(x-1)(x-2) \ge 0$, ce qui signifie que le produit doit être positif ou nul. D'après la dernière ligne du tableau, cela se produit lorsque $x \le 1$ ou $x \ge 2$. En notation d'intervalle : $x \in ]-\infty ; 1] \cup [2 ; +\infty[$.

Compétences à pratiquer

Identifier le tableau de signes d'une expression
Compléter des tableaux de signes de trinômes factorisés
Vérifier une racine et factoriser

IV Résoudre graphiquement et par balayage

IV.1 Résoudre graphiquement

Méthode — Résoudre graphiquement

Pour résoudre des équations et des inéquations à l'aide des courbes de $f$ et $g$ :

Pour $f(x) = k$ : Tracer la droite horizontale $y = k$. Les solutions sont les abscisses de ses points d'intersection avec la courbe de $f$ — c'est-à-dire les antécédents de $k$ par $f$.
Pour $f(x) = g(x)$ : Repérer les points d'intersection des deux courbes. Les solutions sont les abscisses ($x$) de ces points.
Pour $f(x) < g(x)$ : Déterminer les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est située en dessous de la courbe de $g$.
Pour $f(x) > g(x)$ : Déterminer les intervalles de $x$ pour lesquels la courbe de $f$ est située au-dessus de la courbe de $g$.

Pour une inégalité large ($\leq$ ou $\geq$), les abscisses des points d'intersection font partie des solutions. On écrit l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

Exemple

Les fonctions $f$ et $g$ sont représentées ci-dessous. Résoudre $f(x) = g(x)$ et $f(x) \leq g(x)$.

Correction

Équation $f(x) = g(x)$ : Les courbes se coupent aux points d'abscisses $x = -1$ et $x = 2$. L'ensemble des solutions est $\boldsymbol{S = \{-1 ; 2\}}$.
Inéquation $f(x) \leq g(x)$ : La courbe de $f$ est en dessous ou touche celle de $g$ entre les deux points d'intersection. L'ensemble des solutions est l'intervalle $\boldsymbol{S = [-1 ; 2]}$.

Compétences à pratiquer

Résoudre graphiquement $f(x) \equal k$ ou $f(x) < k$
Déterminer des antécédents par lecture graphique

IV.2 Le balayage

Définition — Encadrer

Encadrer un nombre, c'est donner deux nombres entre lesquels il se trouve, et la différence des deux est l'amplitude de l'encadrement. Un nombre sans écriture décimale exacte, comme le côté d'un carré d'aire $2$, se connaît par des encadrements d'amplitude de plus en plus petite : chaque nouvelle décimale de son écriture est un encadrement dix fois plus fin. Un algorithme qui encadre ne donne pas le nombre ; il donne deux nombres et la promesse que la réponse est entre eux.

Définition — Le balayage

Le balayage avance d'un point de départ vers la réponse, par pas de taille fixée, et s'arrête au premier point où un test change de réponse. Il s'emploie sous une hypothèse, sans laquelle il ne conclut rien : la grandeur testée varie toujours dans le même sens, si bien que le test change de réponse une seule fois sur l'intervalle parcouru. Sous cette hypothèse la réponse cherchée est entre le dernier point d'avant le changement et le premier d'après, donc l'encadrement obtenu a l'amplitude d'un pas. Rien n'est deviné : l'algorithme ne fait que marcher et tester.

Méthode — Encadrer par balayage

Nommer le test qui change de réponse au nombre cherché, et un point de départ où il répond d'une façon.
Choisir le pas : c'est l'amplitude de l'encadrement obtenu, donc un pas de $0{,}1$ donne une décimale, un pas de $0{,}01$ en donne deux.
Avancer pas à pas tant que le test garde sa première réponse.
Lire l'encadrement : le premier point où le test a changé, et celui d'avant.
Balayer avec des entiers quand le pas est décimal : compter les pas dans un compteur entier et diviser une seule fois à la fin, jamais ajouter le pas à lui-même.

Exemple

Le nombre $\sqrt{2}$ est entre $1$ et $2$. Exécuter à la main l'algorithme ci-dessous et donner ce qu'il affiche. Le compteur k compte des dixièmes, donc le test k $\times$ k < 200 demande si le carré de k dixièmes est inférieur à $2$.

k ← 10
Tant que k × k < 200
    k ← k + 1
Fin Tant que
Afficher k - 1
Afficher k

Correction

Instruction	$k$	$k \times k < 200$	Affichage
départ	$10$
tour 1	$11$	$100 < 200$ vrai
tour 2	$12$	$121 < 200$ vrai
tour 3	$13$	$144 < 200$ vrai
tour 4	$14$	$169 < 200$ vrai
tour 5	$15$	$196 < 200$ vrai
fin	$15$	$225 < 200$ faux
Afficher $k - 1$	$15$		$14$
Afficher $k$	$15$		$15$

Il affiche 14 puis 15, qui lus comme des dixièmes donnent $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$. Cinq tours, un par dixième parcouru de $1$ à $1{,}5$. La boucle se termine pour la raison que toute boucle doit nommer : le variant est le nombre entier k, qui croît de un à chaque tour pendant que la condition maintient son carré sous $200$, et un nombre entier ne peut pas croître indéfiniment sous une borne. L'encadrement a l'amplitude d'un pas, un dixième, soit exactement une décimale de $\sqrt{2}$.

Exemple

Qu'affiche le programme suivant ?

k = 10
while k * k < 200:
    k = k + 1
print((k - 1) / 10)
print(k / 10)

Correction

1.4
1.5

Le même algorithme, écrit dans l'autre registre, avec la division reportée à l'affichage : la boucle compte en dixièmes entiers et les deux divisions n'ont lieu qu'une fois chacune, à la fin. Les deux registres écrivent leurs décimaux avec un point, puisqu'une virgule y sépare déjà les arguments d'un appel ; seule la prose d'une page française les écrit avec une virgule.

Compétences à pratiquer

Prédire
Balayer à la main
Traduire

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

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\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	0	1	2
\(y\)	5	1	\(-1\)	\(-1\)	1

Instruction	\(k\)	\(k \times k < 200\)	Affichage
départ	\(10\)
tour 1	\(11\)	\(100 < 200\) vrai
tour 2	\(12\)	\(121 < 200\) vrai
tour 3	\(13\)	\(144 < 200\) vrai
tour 4	\(14\)	\(169 < 200\) vrai
tour 5	\(15\)	\(196 < 200\) vrai
fin	\(15\)	\(225 < 200\) faux
Afficher \(k - 1\)	\(15\)		\(14\)
Afficher \(k\)	\(15\)		\(15\)