Épreuves indépendantes et variables aléatoires

Répéter l'épreuve. On répète maintenant \(n\) fois la même épreuve de Bernoulli, les répétitions étant identiques (la probabilité du succès est \(p\) à chaque épreuve) et indépendantes (quels que soient les résultats des épreuves précédentes, la probabilité de succès à la suivante reste \(p\)) — cette répétition est aussi appelée schéma de Bernoulli. Une issue de l'expérience entière est une liste de \(n\) lettres \(S\) ou \(E\), une par épreuve, et l'arbre de l'expérience a \(2^n\) chemins : \(4\) pour deux épreuves, \(8\) pour trois, \(16\) pour quatre. Par indépendance, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités écrites sur ses branches : un chemin à \(k\) succès et \(n - k\) échecs, dans n'importe quel ordre, a pour probabilité \(p^k (1 - p)^{n - k}\).

Un événement est un ensemble d'issues et sa probabilité un nombre. Beaucoup de questions sur une expérience aléatoire portent sur un nombre attaché à chaque issue plutôt que sur un événement : le gain d'un jeu, le nombre de « face » en trois lancers, la somme de deux dés. Ce nombre n'est pas fixé d'avance, il dépend de l'issue que le hasard produit ; c'est ce que la définition suivante fixe sous le nom de variable aléatoire.

Une fois la variable définie, on met souvent les issues de côté pour ne garder que ce que \(X\) produit : ses valeurs, chacune avec la probabilité de l'événement « \(X\) prend cette valeur ». Consigner ces probabilités, dans un tableau ou par une formule, c'est ce que la définition suivante appelle la loi de probabilité de \(X\). Les issues reviennent chaque fois qu'une telle probabilité doit être calculée.

L'espérance d’une variable aléatoire \(X\) est la « moyenne des valeurs si l’on répète l’expérience de nombreuses fois ». Elle est calculée en prenant toutes les valeurs possibles, en multipliant chacune par sa probabilité, et en les additionnant — c'est-à-dire une moyenne pondérée où les probabilités servent de poids.

Quand \(X\) est le gain net d'un joueur, mise déduite, \(E(X)\) est le gain moyen par partie sur un grand nombre de parties. Un jeu est équitable quand \(E(X) = 0\) : en moyenne, le joueur ne gagne ni ne perd. Si \(E(X) > 0\), le jeu favorise le joueur ; si \(E(X) < 0\), il favorise l'organisateur. Avec \(G\) le gain brut et \(m\) la mise, \(X = G - m\) : \(G - m\) prend chaque valeur de \(G\) diminuée de \(m\), donc sa moyenne pondérée diminue de \(m\), et \(E(X) = E(G) - m\). Le jeu est équitable quand la mise est égale à l'espérance du gain brut.

Une épreuve de Bernoulli produit une variable aléatoire : \(X = 1\) si l'épreuve est un succès, \(X = 0\) si c'est un échec. Sa loi est la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), la probabilité de succès.

Ici, \(25\) échantillons aléatoires de taille \(n = 100\) ont été prélevés dans une population où \(p = 0{,}5\). Chaque point est la fréquence observée dans un échantillon ; la bande est l'intervalle de fluctuation \(\left[\,p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\,\right] = [\,0{,}4\,;\,0{,}6\,]\). Environ \(95\pourcent\) des échantillons tombent dans la bande — ici \(24\) sur \(25\). Le point qui en sort n'est pas une anomalie : sur \(25\) échantillons, environ une sortie est attendue.

L'intervalle de fluctuation \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) donne une première règle pour juger une fréquence observée, la même pour tout \(p\). Une simulation en donne une plus fine, mesurée sur le modèle lui-même : un ordinateur tire des centaines d'échantillons en une seconde. Les fréquences observées forment alors une série statistique, qui a une moyenne, proche de \(p\), et un écart-type comme n'importe quelle autre série. L'écart-type mesure à quelle distance de leur moyenne, donc de \(p\), les fréquences tombent d'ordinaire : il devient l'unité dans laquelle on juge l'écart entre une fréquence observée et \(p\).

La même simulation, menée avec \(p = 0{,}5\) pour plusieurs tailles \(n\), donne les écarts-types suivants.

\(n\)	\(25\)	\(100\)	\(400\)	\(1\,600\)
\(s\)	\(0{,}099\)	\(0{,}051\)	\(0{,}025\)	\(0{,}013\)
\(1/\sqrt{n}\)	\(0{,}2\)	\(0{,}1\)	\(0{,}05\)	\(0{,}025\)

Chaque fois que \(n\) est multiplié par \(4\), \(s\) est à peu près divisé par \(2\) : les points de coordonnées \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,s\right)\) sont presque alignés avec l'origine. Une simulation donne des valeurs approchées, mais la régularité est nette : pour un \(p\) donné, la dispersion est de l'ordre de \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Pour diviser la dispersion par environ \(k\), il faut multiplier la taille de l'échantillon par \(k^2\) : un sondage dix fois plus précis coûte cent fois plus de réponses. Pour \(p = 0{,}5\), le tableau donne \(s \approx 0{,}5 \times \dfrac{1}{\sqrt{n}}\), donc \(2s \approx \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) : l'intervalle \([p - 2s\,;\,p + 2s]\) est alors l'intervalle de fluctuation. La fluctuation ne disparaît jamais, si grand que soit l'échantillon ; mais la dispersion diminue, donc la fréquence observée reste de plus en plus proche de \(p\) — c'est ce qu'énonce la section suivante.