Éducation Nationale Française · ECGappliquées 2

Comparaison de fonctions et développements limités

⌚ ~67 min ▢ 8 blocs ✓ 33 exercices ➣ Prérequis : Limites et continuité, Dérivation, Compléments sur les suites et les séries

Ce cours étudie le comportement local d'une fonction au voisinage d'un point en deux temps. D'abord, deux relations comparent les fonctions en un point $x_0$ (un réel ou $\pm\infty$) : la négligeabilité $f = o(g)$, qui signifie « $f$ est négligeable devant $g$ près de $x_0$ », formalisée par $f/g \to 0$ ; et l'équivalence $f \sim g$, qui signifie « $f$ et $g$ ont la même taille près de $x_0$ », formalisée par $f/g \to 1$. Les croissances comparées vues l'année précédente sont reformulées dans ce langage, et l'équivalence se révèle compatible avec le produit, le quotient et l'élévation à une puissance entière — mais pas avec l'addition, ni avec la composition par $\ln$ ou $\exp$ (par exemple en $+\infty$, $x + 1 \sim x$ mais $e^{x+1} = e\cdot e^x$ n'est pas équivalent à $e^x$, car le rapport tend vers $e \ne 1$). Ensuite, le développement limité (DL) affine l'équivalence : il remplace $f$ au voisinage d'un point par un polynôme de degré au plus $2$ plus une correction négligeable, $f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + o\bigl((x-x_0)^2\bigr)$. On donne les développements de $e^x$, $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$ en $0$, on énonce la formule de Taylor-Young (admise), et on lit l'allure locale d'un graphe sur son développement. Conventions : $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$ ; $f, g$ sont des fonctions réelles définies au voisinage du point de base $x_0$ ; pour un quotient, on suppose toujours la fonction de comparaison au dénominateur non nulle sur un voisinage épointé de $x_0$, afin que le quotient ait un sens. Tous les développements limités sont pris à l'ordre au plus $2$.

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I Comparaison asymptotique des fonctions en un point

I.1 Négligeabilité des fonctions en un point

L'histoire des fonctions est calquée sur celle des suites, avec un ajustement pratique : au lieu d'une queue « non nulle à partir d'un certain rang », on demande à la fonction de comparaison $g$ d'être non nulle sur un voisinage épointé du point de base $x_0$. Le point de base est un réel ou $\pm\infty$.

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Définition — Négligeabilité des fonctions en un point réel

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$, et soient $f, g$ des fonctions à valeurs réelles définies sur un voisinage épointé $V \setminus \{x_0\}$ de $x_0$, avec $g(x) \ne 0$ sur ce voisinage. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $x_0$, et on note $$f \underset{x_0}{=} o(g) \quad \text{ou} \quad f(x) \underset{x \to x_0}{=} o(g(x)),$$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0.$$ Lorsque seul un côté de $x_0$ est dans le domaine de $f$ et $g$ (typique en $x \to 0^+$ avec $\ln x$ ou $\sqrt{x}$), la même définition s'utilise avec la limite latérale $x \to x_0^+$ ou $x \to x_0^-$.

Exemple

En $x_0 = 0$ : $x^2 = o(x)$ car $x^2 / x = x \to 0$. Symétriquement, $x = o(x^2)$ est faux en $0$ car $x / x^2 = 1/x$ n'admet pas de limite bilatérale en $0$ (les limites à gauche et à droite valent $-\infty$ et $+\infty$), donc le quotient ne tend pas vers $0$.

Exemple

En $x_0 = 0^+$ : $x = o(\sqrt{x})$ (côté droit uniquement — $\sqrt{x}$ exige $x \ge 0$). En effet $x / \sqrt{x} = \sqrt{x} \to 0$ lorsque $x \to 0^+$.

Définition — Négligeabilité à l'infini

Soient $f, g$ à valeurs réelles définies sur $\,]A, +\infty[$ pour un certain $A$, avec $g(x) \ne 0$ sur cet intervalle. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ en $+\infty$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0,$$ et on note $f \underset{+\infty}{=} o(g)$. Le cas $-\infty$ est symétrique, avec un domaine $\,]-\infty, -A[$.

Proposition — Croissances comparées en $0^+$ et $+\infty$

Soient $a > 0$ et $b \in \mathbb{R}$.

En $0^+$ : $x^a |\ln x|^b \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0$, ce qui équivaut à $|\ln x|^b \underset{0^+}{=} o(x^{-a})$. La valeur absolue est nécessaire puisque $\ln x < 0$ sur $\,]0, 1[$ et les puissances réelles d'un nombre négatif ne sont pas définies.
En $+\infty$ : $\dfrac{(\ln x)^b}{x^a} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$, ce qui équivaut à $(\ln x)^b \underset{+\infty}{=} o(x^a)$ (pas de valeur absolue : $\ln x > 0$ pour $x > 1$).

Énoncé admis (conséquence de la croissance comparée des suites par la substitution $t = \ln x$, hors du strict cadre de ce chapitre ; la version substituée est établie dans le chapitre Suites).

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Proposition — Croissance comparée avec l'exponentielle

Soit $a \ge 0$.

Polynôme contre exponentielle en $+\infty$ : pour $b > 0$, $$\frac{|x|^a}{e^{bx}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0, \quad \text{c'est-à-dire} \quad |x|^a \underset{+\infty}{=} o(e^{bx}).$$ L'exponentielle $e^{bx}$ (avec $b > 0$) domine toute puissance de $|x|$.
Décroissance exponentielle en $+\infty$ : pour $b < 0$, $|x|^a e^{bx} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. De façon équivalente, pour $a > 0$, $e^{bx} \underset{+\infty}{=} o\!\left(|x|^{-a}\right)$ : la décroissance exponentielle $e^{bx}$ bat toute puissance négative de $|x|$.
Exponentielle en $-\infty$ : par le changement de variable $y = -x$, les deux cas précédents se transposent en $|x|^a e^{bx} \to 0$ quand $x \to -\infty$ pour $b > 0$, et $|x|^a e^{bx} \to +\infty$ pour $b < 0$ (donc $|x|^a \underset{-\infty}{=} o(e^{bx})$ pour $a > 0$, $b < 0$).

Énoncé admis (conséquence de la croissance comparée des suites $n^a = o(q^n)$ via le lien entre limites de fonctions et de suites, et la continuité de $|x|^a e^{bx}$).

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Exemple

$\ln x \underset{0^+}{=} o\!\left(1/\sqrt{x}\right)$ : en $0^+$, avec $a = 1/2$ et $b = 1$, la proposition donne $x^{1/2} |\ln x| \to 0$, c'est-à-dire $|\ln x| / x^{-1/2} \to 0$, donc $\ln x = o(x^{-1/2})$ en $0^+$.
$\ln x \underset{+\infty}{=} o(x)$ : en $+\infty$, $a = 1$, $b = 1$.
$x^{100} \underset{+\infty}{=} o(e^x)$ : en $+\infty$, $a = 100$, $b = 1 > 0$.
$e^{-x} \underset{+\infty}{=} o\!\left(1/x^{100}\right)$ : en $+\infty$, $a = 100$, $b = -1 < 0$.

Compétences à pratiquer

Calculer des négligeabilités simples en un point
Appliquer les croissances comparées en $\pm\infty$ et $0^+$

I.2 Équivalence des fonctions en un point

L'équivalence de fonctions est l'analogue direct de l'équivalence des suites : le quotient tend vers $1$ et non vers $0$. Le lien $f \sim g \iff f = g + o(g)$ se transporte, et les règles de compatibilité aussi.

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Définition — Équivalence des fonctions en un point

Soient $x_0 \in \mathbb{R}$ (ou $x_0 = \pm\infty$), et $f, g$ des fonctions réelles non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$ (resp. sur un voisinage de $+\infty$ / $-\infty$). On dit que $f$ est équivalente à $g$ en $x_0$, et on note $$f \underset{x_0}{\sim} g \quad \text{ou} \quad f(x) \underset{x \to x_0}{\sim} g(x),$$ lorsque $$\frac{f(x)}{g(x)} \xrightarrow[x \to x_0]{} 1.$$

Proposition — Relation d'équivalence

Sur l'ensemble des fonctions réelles non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$, $\underset{x_0}{\sim}$ est réflexive, symétrique et transitive.

Preuve

L'argument est la transposition en mode fonction de la preuve par suites.

Réflexivité. Sur un voisinage épointé, $f(x) / f(x) = 1 \to 1$, donc $f \underset{x_0}{\sim} f$.
Symétrie. Si $f / g \to 1$, alors $g / f = 1 / (f / g) \to 1 / 1 = 1$ par la règle du quotient pour les limites de fonctions, sur un voisinage épointé éventuellement plus petit où $f$ reste non nulle (ce qui est vrai puisque le quotient $f/g \to 1 \ne 0$ force $f$ à être non nulle sur un voisinage épointé plus petit).
Transitivité. $f / h = (f / g) \cdot (g / h) \to 1 \cdot 1 = 1$.

Proposition — Lien entre équivalence et négligeabilité

Soient $f, g$ des fonctions réelles avec $g$ non nulle sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors $$f \underset{x_0}{\sim} g \quad \iff \quad f \underset{x_0}{=} g + o(g).$$

Preuve

Sur le voisinage épointé, $$\frac{f(x) - g(x)}{g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} - 1.$$

$(\Rightarrow)$ Si $f \underset{x_0}{\sim} g$, alors $f/g \to 1$, donc $(f - g)/g \to 0$, c'est-à-dire $f - g \underset{x_0}{=} o(g)$.
$(\Leftarrow)$ Si $f - g \underset{x_0}{=} o(g)$, alors $(f - g)/g \to 0$, donc $f/g = 1 + (f - g)/g \to 1$, c'est-à-dire $f \underset{x_0}{\sim} g$.

Exemple

En $x_0 = 0$, les équivalents classiques suivants proviennent des limites vues au lycée en Terminale :

$\sin x \underset{0}{\sim} x$, puisque $\sin(x)/x \to 1$ en $0$ (lycée Terminale).
$\ln(1 + x) \underset{0}{\sim} x$, puisque $\ln(1+x)/x \to 1$ en $0$ (dérivée de $\ln$ en $1$).
$e^x - 1 \underset{0}{\sim} x$, puisque $(e^x - 1)/x \to 1$ en $0$ (dérivée de $\exp$ en $0$).

Ces trois équivalents servent toute l'année ; leurs raffinements d'ordre $2$ ($\cos x - 1 \sim -x^2/2$, $\sqrt{1+x} - 1 \sim x/2$, etc.) relèvent du chapitre ultérieur Formules de Taylor et développements limités et ne sont pas utilisés ici.

Exemple

En $x_0 = +\infty$, un polynôme $P(x) = a_d x^d + a_{d-1} x^{d-1} + \dots + a_0$ avec $a_d \ne 0$ vérifie $P(x) \underset{+\infty}{\sim} a_d x^d$. En factorisant, $$P(x) = a_d x^d \left( 1 + \frac{a_{d-1}}{a_d x} + \dots + \frac{a_0}{a_d x^d} \right),$$ et le facteur entre parenthèses tend vers $1$ quand $x \to +\infty$.

Compétences à pratiquer

Calculer des équivalents en $0$ avec les limites du lycée

I.3 Compatibilité avec le produit, le quotient, la puissance ; PAS l'addition

La compatibilité pour les fonctions est la transcription verbatim du cas des suites : produit, quotient, puissance passent ; l'addition échoue. Les preuves se lisent depuis la même algèbre du quotient.

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Proposition — Compatibilité avec le produit, le quotient, la puissance

Supposons $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $\varphi \underset{x_0}{\sim} \psi$, où les fonctions de comparaison $g, \psi$ sont non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors :

produit : $f \varphi \underset{x_0}{\sim} g \psi$ ;
quotient : si de plus $\varphi$ et $\psi$ sont non nulles sur un voisinage épointé de $x_0$, alors $\dfrac{f}{\varphi} \underset{x_0}{\sim} \dfrac{g}{\psi}$ ;
puissance : pour $\alpha \in \mathbb{R}$, si $f$ et $g$ sont strictement positives sur un voisinage épointé de $x_0$, alors $f^\alpha \underset{x_0}{\sim} g^\alpha$. Pour un entier $\alpha = k \in \mathbb{Z}$, la stricte positivité n'est pas requise (toute fonction non nulle de signe constant convient).

Preuve

Les cas du produit et du quotient résultent de l'algèbre des limites de fonctions sur le voisinage épointé : $(f \varphi)/(g \psi) = (f/g)(\varphi/\psi) \to 1 \cdot 1 = 1$, et analogue pour le quotient. Pour la puissance entière, récurrence comme dans le cas des suites. Pour la puissance réelle, la continuité de $x \mapsto x^\alpha$ en $1$ (de Fonctions usuelles) appliquée au quotient positif $f/g \to 1$ donne $(f/g)^\alpha \to 1$, c'est-à-dire $f^\alpha / g^\alpha \to 1$.

L'addition n'est PAS compatible avec l'équivalence

Même piège que pour les suites. Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $\varphi \underset{x_0}{\sim} \psi$, il est généralement faux que $f + \varphi \underset{x_0}{\sim} g + \psi$. Contre-exemple en $x_0 = +\infty$ : $$f(x) = x^2 + 2x \underset{+\infty}{\sim} x^2 = g(x), \qquad \varphi(x) = -x^2 + x \underset{+\infty}{\sim} -x^2 = \psi(x).$$ Alors $f(x) + \varphi(x) = 3x$, non nul à partir d'un certain rang, tandis que $g(x) + \psi(x) = x^2 + (-x^2) = 0$. Donc l'équivalent « attendu » $0$ n'est même pas un membre de droite valide selon notre convention — la règle d'addition échoue. Comme pour les suites, l'échec est structurel et persiste même sans cancellation à droite ; lorsqu'on cherche un équivalent d'une somme, factoriser le terme dominant de la somme, et se méfier quand les deux termes sont du même ordre.

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Méthode — Équivalent d'une somme de fonctions

Pour trouver un équivalent de $f + \varphi$ en $x_0$ :

Comparer $f$ et $\varphi$ près de $x_0$ (utiliser les croissances comparées du Négligeabilité des fonctions en un point).
Si l'un domine strictement l'autre (par exemple $\varphi \underset{x_0}{=} o(f)$) : factoriser le plus grand, $f + \varphi = f \cdot (1 + \varphi/f)$, et vérifier que $\varphi/f \to 0$. Conclure $f + \varphi \underset{x_0}{\sim} f$.
Si $f$ et $\varphi$ sont du même ordre en $x_0$ : des cancellations peuvent se produire (notamment quand $\varphi/f \to -1$, faisant tendre $f + \varphi$ vers $0$ plus vite qu'attendu). Une analyse séparée est nécessaire — voir Formules de Taylor et développements limités.

Exemple

En $+\infty$, trouver un équivalent de $h(x) = e^x + x^{100}$.

Correction

Comparons $e^x$ et $x^{100}$ en $+\infty$ : par la croissance comparée, $x^{100} \underset{+\infty}{=} o(e^x)$, donc $e^x$ domine. Factorisons : $$h(x) = e^x \left( 1 + \frac{x^{100}}{e^x} \right),$$ et le facteur entre parenthèses tend vers $1 + 0 = 1$. D'où $h(x) \underset{+\infty}{\sim} e^x$.

Exemple

En $+\infty$, trouver un équivalent de $h(x) = \sqrt{x^2 + x}$.

Correction

À l'intérieur de la racine, factorisons $x^2$ (dominant) : $x^2 + x = x^2 \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$. Pour $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$ et le facteur entre parenthèses est positif, donc $$h(x) = x \sqrt{1 + \tfrac{1}{x}}.$$ La fonction $y \mapsto \sqrt{y}$ est continue en $1$ de valeur $1$, et $1 + 1/x \to 1$ en $+\infty$, donc $\sqrt{1 + 1/x} \to 1$ (limite d'une composée, Limites et continuité). Par suite $h(x) \underset{+\infty}{\sim} x$.

Méthode — Substitution dans les équivalents

Soit $f \underset{y_0}{\sim} g$, où $g$ est non nulle sur un voisinage épointé de $y_0$. Soit $u$ une fonction avec $u(x) \to y_0$ quand $x \to x_0$, et supposons $u(x) \ne y_0$ sur un voisinage épointé de $x_0$. Alors $$f(u(x)) \underset{x \to x_0}{\sim} g(u(x)).$$ L'hypothèse « épointée » est essentielle : elle force $g(u(x)) \ne 0$ près de $x_0$ (pour que le quotient $f(u(x))/g(u(x))$ ait un sens). Admis à ce stade et utilisé avec prudence ; le traitement complet au premier ordre est développé dans Formules de Taylor et développements limités.

Exemple

En $0$, calculer un équivalent de $\sin(3x^2)$. On pose $u(x) = 3x^2 \to 0$ quand $x \to 0$, avec $u(x) \ne 0$ pour $x \ne 0$ (condition épointée satisfaite). Depuis $\sin y \underset{0}{\sim} y$, par substitution $$\sin(3 x^2) \underset{0}{\sim} 3 x^2.$$

Compétences à pratiquer

Calculer des limites par des équivalents
Éviter le piège de l'addition (fonctions)

II Développements limités en $0$

II.1 Définition et unicité

Un développement limité (DL) remplace une fonction au voisinage d'un point par un polynôme de petit degré plus une correction négligeable. C'est un raffinement de l'équivalence : l'équivalence ne garde que le terme dominant, tandis qu'un DL à l'ordre $2$ garde les termes constant, linéaire et quadratique. À ce niveau, on travaille uniquement à l'ordre $1$ ou à l'ordre $2$, au voisinage d'un point de base $x_0$. On définit d'abord le DL et on énonce son unicité ; on lit ensuite les DL des fonctions usuelles et on s'en sert pour décrire l'allure locale d'un graphe. Dans toute cette section, $f$ est définie sur un intervalle $I$, $x_0$ étant un point intérieur de $I$ (la limite $x \to x_0$ est donc bilatérale).

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Définition — Développement limité à l'ordre $1$ ou $2$

Soit $f$ une fonction réelle définie sur un voisinage d'un point $x_0$, et soit $n \in \{1, 2\}$. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $x_0$ (abrégé $\mathrm{DL}_n(x_0)$) s'il existe des réels $a_0, a_1, \dots, a_n$ tels que, sur un voisinage de $x_0$, $$f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + \dots + a_n (x - x_0)^n + o\bigl((x - x_0)^n\bigr).$$ Concrètement, à l'ordre $1$ et à l'ordre $2$ : $$f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + o(x - x_0), \qquad f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + o\bigl((x - x_0)^2\bigr).$$ Le polynôme $a_0 + a_1 (x - x_0) + \dots + a_n (x - x_0)^n$ est la partie régulière du développement. De façon équivalente, on peut écrire le reste sous la forme $(x - x_0)^n \varepsilon(x)$ avec $\varepsilon(x) \to 0$ quand $x \to x_0$.

Exemple

Un polynôme est son propre développement limité. Par exemple, en $x_0 = 0$, la fonction $f(x) = 1 + 2x + 5x^2$ a déjà la forme d'une partie régulière de degré $2$, donc son $\mathrm{DL}_2(0)$ est $f(x) = 1 + 2x + 5x^2 + o(x^2)$ (le reste vaut exactement $0$). À l'ordre $1$, on ne garde que les termes jusqu'au degré $1$ et on absorbe le reste : $f(x) = 1 + 2x + o(x)$ (car $5x^2 = o(x)$).

Proposition — DL à l'ordre $1$ et dérivabilité

Soit $f$ définie sur un voisinage de $0$ (avec $0$ inclus). Alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_1(0)$ de constante $f(0)$ si et seulement si $f$ est dérivable en $0$, et dans ce cas $$f(x) = f(0) + f'(0) x + o(x).$$

Preuve

On démontre les deux implications.

($\Leftarrow$) Supposons $f$ dérivable en $0$. Par définition de la dérivée, $$\frac{f(x) - f(0)}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} f'(0),$$ donc $\frac{f(x) - f(0)}{x} - f'(0) \xrightarrow[x \to 0]{} 0$. En multipliant par $x$, $f(x) - f(0) - f'(0) x = o(x)$, c'est-à-dire $f(x) = f(0) + f'(0) x + o(x)$, qui est un $\mathrm{DL}_1(0)$ de constante $f(0)$.
($\Rightarrow$) Supposons $f(x) = a_0 + a_1 x + o(x)$ avec $a_0 = f(0)$. Alors pour $x \ne 0$ proche de $0$, $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{a_1 x + o(x)}{x} = a_1 + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} a_1.$$ Donc $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0) = a_1$.

Proposition — Unicité du développement limité

Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $1$ (resp. à l'ordre $2$) en $x_0$, alors ses coefficients sont uniques : il n'existe qu'un seul choix de $a_0, a_1$ (resp. $a_0, a_1, a_2$) pour lequel le développement est vrai.

Preuve

On traite l'ordre $2$ ; l'ordre $1$ est le même argument avec $a_2 = b_2 = 0$. Posons $h = x - x_0$. Supposons que $f$ ait deux développements, donc sur un voisinage de $x_0$, $$a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + o(h^2) = b_0 + b_1 h + b_2 h^2 + o(h^2).$$ On extrait les coefficients un à un en faisant $h \to 0$.

Faisons $h \to 0$ : tout terme avec un facteur $h$ tend vers $0$, donc $a_0 = b_0$.
Retranchons $a_0 = b_0$, puis divisons par $h$ (pour $h \ne 0$) : $a_1 + a_2 h + o(h) = b_1 + b_2 h + o(h)$. Faisons $h \to 0$ : $a_1 = b_1$.
Retranchons $a_1 = b_1$, puis divisons à nouveau par $h$ : $a_2 + o(1) = b_2 + o(1)$. Faisons $h \to 0$ : $a_2 = b_2$.

Donc les coefficients coïncident.

Compétences à pratiquer

Reconnaître un DL à l'ordre $1$ ou $2$

II.2 Formule de Taylor-Young et DL usuels en $0$

La formule de Taylor-Young garantit qu'une fonction assez régulière admet un développement limité, et elle en donne les coefficients directement à partir des dérivées au point de base. On l'énonce à l'ordre $1$ et à l'ordre $2$ et on l'admet (sa démonstration repose sur des outils hors de portée de ce cours). Appliquée aux trois fonctions usuelles $e^x$, $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$, elle fournit la courte table des développements usuels en $0$ à garder en mémoire.

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Proposition — Taylor-Young à l'ordre $1$ ou $2$ — admis

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$ et soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $x_0$.

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur un voisinage de $x_0$, alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_1(x_0)$ : $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0).$$
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un voisinage de $x_0$, alors $f$ admet un $\mathrm{DL}_2(x_0)$ : $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o\bigl((x - x_0)^2\bigr).$$

Résultat admis.

Méthode — Calculer un DL à l'ordre $1$ ou $2$ par Taylor-Young

Pour une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x_0$, pour écrire son $\mathrm{DL}_2(x_0)$ :

Calculer les valeurs $f(x_0)$, $f'(x_0)$ et $f''(x_0)$.
Assembler la partie régulière $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2$.
Ajouter le reste $+\, o\bigl((x - x_0)^2\bigr)$.

Pour un $\mathrm{DL}_1(x_0)$, on s'arrête après $f'(x_0)$ et on ajoute $+\, o(x - x_0)$.

Exemple

Calculer le $\mathrm{DL}_2(0)$ de $f(x) = e^x$ par Taylor-Young.

Correction

L'exponentielle est sa propre dérivée, donc $f(0) = f'(0) = f''(0) = e^0 = 1$. Par Taylor-Young à l'ordre $2$ en $0$, $$\begin{aligned} e^x &= f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) && \text{(Taylor-Young à l'ordre $2$ en $0$)} \\ &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2). \end{aligned}$$

Proposition — Développements limités usuels en $0$ (à connaître par cœur)

En $x_0 = 0$, les trois fonctions usuelles admettent les développements limités suivants à l'ordre $1$ et à l'ordre $2$ (pour la puissance, $\alpha \in \mathbb{R}$) : $$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + o(x), & e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2), \\ \ln(1 + x) &= x + o(x), & \ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + o(x^2), \\ (1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + o(x), & (1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + o(x^2). \end{aligned}$$ Résultat admis (chaque ligne est le développement de Taylor-Young à l'ordre $1$ / $2$ de la fonction correspondante, dont les deux premières dérivées en $0$ sont connues).

Exemple

La ligne d'ordre $2$ de $(1+x)^\alpha$ se spécialise utilement :

$\alpha = \tfrac{1}{2}$ donne $\sqrt{1 + x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + o(x^2)$, car $\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \dfrac{(1/2)(-1/2)}{2} = -\dfrac{1}{8}$.
$\alpha = -1$ donne $\dfrac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 + o(x^2)$, car $\dfrac{(-1)(-2)}{2} = 1$.

Méthode — Lire un DL usuel à l'ordre $1$ ou $2$

Reconnaître la fonction parmi $e^x$, $\ln(1 + x)$, $(1 + x)^\alpha$ en $0$.
Lire l'ordre demandé ($1$ ou $2$) directement dans la table usuelle.
Ajouter $+\, o(x)$ à l'ordre $1$, ou $+\, o(x^2)$ à l'ordre $2$.

Compétences à pratiquer

Lire un DL usuel à l'ordre $1$ ou $2$

II.3 Allure locale du graphe

Un développement limité à l'ordre $2$ décrit précisément le graphe de $f$ au voisinage de son point de base. La partie d'ordre $1$ $a_0 + a_1(x - x_0)$ est l'équation de la tangente en $x_0$ ; le terme suivant $a_2 (x - x_0)^2$ mesure l'écart de la courbe à cette tangente. Lorsque $a_2 \ne 0$, le signe de $a_2$ indique si le graphe est au-dessus ou en dessous de sa tangente près de $x_0$.

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Proposition — Position par rapport à la tangente

Supposons que $f$ admette en $x_0$ un $\mathrm{DL}_2(x_0)$ de la forme $$f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + o\bigl((x - x_0)^2\bigr), \qquad a_2 \ne 0.$$ Comme le développement est valable sur un voisinage contenant $x_0$, en posant $x = x_0$ on obtient $a_0 = f(x_0)$, et la partie d'ordre $1$ montre que $f$ est dérivable en $x_0$ avec $a_1 = f'(x_0)$ ; ainsi $\tau(x) = a_0 + a_1(x - x_0)$ est bien la tangente au graphe de $f$ en $x_0$. Alors, sur un voisinage de $x_0$ :

si $a_2 > 0$, le graphe de $f$ reste au-dessus de sa tangente ;
si $a_2 < 0$, le graphe de $f$ reste en dessous de sa tangente.

Preuve

Posons $h = x - x_0$. En retranchant la tangente, $$f(x) - \tau(x) = a_2 h^2 + o(h^2) = a_2 h^2 \left( 1 + \varepsilon(h) \right), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0.$$ Pour $h$ assez proche de $0$, $|\varepsilon(h)| < \tfrac{1}{2}$, donc $1 + \varepsilon(h) > \tfrac{1}{2} > 0$ ; ainsi $f(x) - \tau(x)$ a le même signe que $a_2 h^2$. Comme $h^2 \ge 0$ (et $h^2 > 0$ pour $x \ne x_0$), le signe de $a_2 h^2$ est celui de $a_2$ près de $x_0$ : positif si $a_2 > 0$ (graphe au-dessus de la tangente), négatif si $a_2 < 0$ (graphe en dessous).

Méthode — Situer le graphe par rapport à sa tangente

Écrire le $\mathrm{DL}_2(x_0)$ de $f$ (par Taylor-Young ou la table usuelle).
Lire la tangente $\tau(x) = a_0 + a_1(x - x_0)$ sur la partie d'ordre $1$.
Regarder le signe de $a_2$ : si $a_2 > 0$ le graphe est au-dessus de la tangente, si $a_2 < 0$ en dessous.

Exemple

Déterminer la position du graphe de $f(x) = e^x$ par rapport à sa tangente en $0$.

Correction

D'après la table usuelle à l'ordre $2$, $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$. La tangente en $0$ est $\tau(x) = 1 + x$, et le coefficient d'ordre $2$ est $a_2 = \dfrac{1}{2} > 0$. Par la Proposition, le graphe de $e^x$ reste au-dessus de sa tangente $y = 1 + x$ sur un voisinage de $0$.

Compétences à pratiquer

Situer le graphe par rapport à sa tangente