Compléments sur les suites et les séries

La première relation exprime qu'une suite est très petite devant une autre à l'infini. L'image quotidienne : \(1/n^2\) est très petit devant \(1/n\), et \(n\) est très petit devant \(n^2\). On rend cela précis par un unique quotient.

Deux habitudes de lecture comptent. D'abord, le symbole « \(=\) » dans « \(u_n = o(v_n)\) » n'est pas une vraie égalité mais une relation : « \(o(v_n)\) » ne désigne pas un objet fixé, mais désigne une suite négligeable devant \((v_n)\). Ensuite, la condition « \(v_n\) non nul à partir d'un certain rang » est intégrée à la définition pour que le quotient \(u_n / v_n\) soit défini à partir d'un certain rang ; on n'écrit jamais \(u_n = o(0)\).

La seconde relation dit que deux suites ont la même taille à l'infini : l'essentiel de \(u_n\) est capturé par \(v_n\), à un facteur multiplicatif tendant vers \(1\) près. C'est l'outil de travail pour les estimations asymptotiques : dès qu'on connaît le terme dominant, on connaît l'équivalent.

L'équivalence se comporte bien vis-à-vis des trois opérations multiplicatives : produit, quotient, et élévation à une puissance. Elle ne se comporte pas bien vis-à-vis de l'addition : c'est le piège le plus fréquent du chapitre, qu'on martèle par des contre-exemples explicites.

Mise en garde cruciale. Si \(u_n \sim v_n\) et \(a_n \sim b_n\), il est généralement faux que \(u_n + a_n \sim v_n + b_n\). Deux illustrations, conçues pour que les deux sommes \(u_n + a_n\) et \(v_n + b_n\) soient non nulles à partir d'un certain rang (sans artifice de somme nulle). \medskip \noindentContre-exemple 1. Prenons \(u_n = n^2 + 2n \sim n^2\) (factoriser \(n^2\), le facteur \(1 + 2/n \to 1\)) et \(a_n = -n^2 + n \sim -n^2\) (factoriser \(-n^2\)). Posons \(v_n = n^2\), \(b_n = -n^2\). Alors $$u_n + a_n = 3n, \qquad v_n + b_n = 0.$$ La somme de gauche vaut \(3n\), non nulle à partir d'un certain rang ; la somme de droite s'annule, et l'énoncé « \(u_n + a_n \sim v_n + b_n\) » n'a pas de sens selon notre convention (la suite de comparaison de droite doit être non nulle à partir d'un certain rang). La règle d'addition échoue. \medskip \noindentContre-exemple 2 (les deux sommes non nulles à partir d'un certain rang). Prenons \(u_n = n^2 + 2n \sim n^2\) et \(a_n = -n^2 \sim -n^2\). Alors $$u_n + a_n = 2n, \qquad v_n + b_n = n^2 + (-n^2) = 0.$$ Même défaut : même en choisissant les équivalents « attendus » \(v_n = n^2\), \(b_n = -n^2\), la somme de droite s'annule tandis que celle de gauche vaut \(2n\). Pour exhiber un couple où les deux sommes sont non nulles à partir d'un certain rang, prenons plutôt \(u_n = 2 n^2 \sim n^2\) (avec \(v_n = n^2\) : \(u_n / v_n = 2\), et non \(\to 1\) — donc \(2 n^2 \sim n^2\) serait faux). Le défaut est structurel : sous la définition par quotient, les seuls équivalents de \(n^2\) sont les suites de la forme \(n^2 (1 + \varepsilon_n)\) avec \(\varepsilon_n \to 0\), et additionner deux tels couples est précisément ce qui ne commute pas avec \(\sim\). La conclusion fiable : la somme des équivalents ne donne pas l'équivalent de la somme, même en l'absence de cancellation — il faut toujours revenir à la factorisation du terme dominant. \medskip \noindentLeçon pratique. Pour traiter une somme \(u_n + a_n\) dont chaque morceau a son propre équivalent, ne pas sommer les équivalents. Au contraire, factoriser le terme dominant de la somme (après avoir déterminé lequel de \(u_n\), \(a_n\) domine) et étudier le reste. Le cas dangereux est quand \(u_n\) et \(a_n\) sont du même ordre : des cancellations peuvent se produire, et une analyse séparée (par exemple Formules de Taylor et développements limités, plus tard) est alors nécessaire.

Quatre familles de suites ont une forme close : les suites arithmétiques et géométriques, déjà connues, les suites arithmético-géométriques, qui les combinent, et les récurrences linéaires d'ordre deux. Une forme close donne \(u_n\) comme une formule en \(n\), de sorte que n'importe quel terme se calcule directement et que les propriétés de la suite se lisent sur la formule. Les démonstrations des formes closes n'emploient que la récurrence et l'algèbre : aucune limite n'est nécessaire, et le comportement de ces suites pour \(n\) grand est une question pour la limite.

La suite arithmético-géométrique est le cas particulier \(f(x) = a x + b\) du schéma général \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est une fonction réelle quelconque : on se donne une valeur initiale \(u_0\), et chaque terme s'obtient à partir du précédent en appliquant \(f\). En dehors du cas affine, il n'y a en général pas de formule close pour \(u_n\) ; la question naturelle n'est pas « que vaut \(u_n\) ? » mais « la suite \((u_n)\) converge-t-elle, et vers quelle limite ? ». Pour cela, il faut deux ingrédients : le terme \(u_n\) doit rester dans une zone où \(f\) est définie (un intervalle stable), et il faut identifier une limite candidate. L'outil clé est la notion de point fixe.

Lecture cruciale. Le théorème dit : si \((u_n)\) converge, alors la limite est l'un des points fixes de \(f\). Il ne dit pas que \((u_n)\) converge. Les points fixes sont donc les seules limites possibles — les valeurs candidates — mais la convergence elle-même doit être établie par un argument séparé (le plus souvent la monotonie jointe au théorème de la limite monotone, voir ci-dessous). Une suite récurrente peut très bien diverger même lorsque \(f\) admet des points fixes.

Le mécanisme est intuitif : une fonction \(f\) croissante préserve l'ordre des termes consécutifs. Si \(u_1 \ge u_0\), en appliquant \(f\) croissante on obtient \(u_2 = f(u_1) \ge f(u_0) = u_1\), et ainsi de suite par récurrence — la suite continue de monter. Une fois la monotonie connue, le théorème de la limite monotone de première année tranche la convergence : une suite monotone qui reste dans un intervalle stable borné \(I\) est bornée, donc converge ; sa limite, d'après le théorème ci-dessus, est alors un point fixe de \(f\) situé dans \(I\). C'est le schéma classique en trois temps consigné dans la Méthode ci-dessous.

À partir d'une suite réelle \((u_n)\), l'objet naturel est la somme courante \(S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n\). La question « que signifie la somme infinie \(u_0 + u_1 + \dots\) ? » est exactement la question « la suite \((S_n)\) a-t-elle une limite ? ». C'est tout le contenu de la définition ci-dessous. L'image : empiler des briques de hauteur \(u_k\), et \(S_n\) est la hauteur de la pile après \(n + 1\) briques.

Deux réflexes de notation comptent. D'abord, \(\sum u_k\) désigne la suite des sommes partielles ; ce n'est pas un nombre, même lorsque la série converge. Le nombre, c'est \(\sum_{k=0}^{+\infty} u_k\), avec la borne \(+\infty\) explicite, et cette notation s'emploie uniquement après avoir établi la convergence. Ensuite, l'indice de départ est parfois \(0\), parfois \(1\) (la série harmonique \(\sum 1/n\) commence à \(n = 1\) pour éviter de diviser par zéro), parfois \(2\) ou plus. La nature de la série ne dépend pas de l'indice de départ — voir la Proposition ci-dessous — mais la valeur de la somme oui.

Deux faits gratuits avant d'aborder les familles concrètes. Le premier est une condition nécessaire de convergence — un détecteur de divergence gratuit. Le second est la linéarité de l'algèbre des séries convergentes, héritée de l'algèbre des limites de suites.

Crucial. La réciproque est fausse : \(u_n \to 0\) n'implique pas que \(\sum u_k\) converge. Le contre-exemple canonique est la série harmonique \(\sum_{n \ge 1} 1/n\) : on a bien \(1/n \to 0\), pourtant la série diverge (démonstration au Séries de Riemann, cas \(\alpha = 1\) du théorème de Riemann). La condition \(u_n \to 0\) est donc nécessaire, mais pas suffisante. Pour décider la nature d'une série dont le terme général tend vers \(0\), il faut l'un des critères de comparaison du section 3.

Important. Si \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) divergent toutes deux, alors on ne peut rien dire en général sur \(\sum (u_k + v_k)\) — elle peut diverger, converger ou converger trivialement. Illustration canonique : prendre \(u_n = 1/n\) et \(v_n = -1/n\) (\(n \ge 1\)). Les deux séries \(\sum u_k\) et \(\sum v_k\) divergent (série harmonique), mais \(u_n + v_n = 0\), donc \(\sum (u_k + v_k) = \sum 0\) converge trivialement avec somme \(0\).

La série convergente la plus simple est celle dont la somme partielle se réduit à deux termes : presque tout se simplifie au milieu, ne laissant que les extrémités. Ce « télescopage » est la seconde technique directe — au côté de la série géométrique du Série géométrique et ses deux premières séries dérivées — pour calculer des sommes à la main.

La série de Riemann \(\sum 1/n^\alpha\), indexée par un unique paramètre réel \(\alpha\), est l'échelle canonique à laquelle on compare les séries à termes positifs. Son seuil de convergence est \(\alpha = 1\) : elle converge si et seulement si \(\alpha > 1\), et le cas frontière \(\alpha = 1\) est la série harmonique divergente. La démonstration en \(\alpha > 1\) repose sur la comparaison de \(\sum 1/k^\alpha\) avec l'intégrale \(\int_1^n \mathrm{d}t/t^\alpha\), application standard de l'intégration sur un segment.

Le cadre le plus simple est celui où le terme général est de signe constant. Lorsque \(u_n \ge 0\) à partir d'un certain rang, la suite des sommes partielles \((S_n)\) est croissante, et le théorème de la limite monotone tranche tout : soit \((S_n)\) est majorée (la série converge), soit elle ne l'est pas (la série diverge vers \(+\infty\)). L'histoire miroir pour les séries à termes négatifs s'obtient par la substitution \(u_n \to -u_n\).

Trois critères admis ramènent la question de la nature d'une série à termes positifs à une série de référence connue (Riemann \(\sum 1/n^\alpha\), géométrique \(\sum q^k\), exponentielle \(\sum 1/k!\)). L'hypothèse « signe constant » est essentielle : chacun de ces critères tombe en défaut sans elle. Pour les séries de signe quelconque, on passe au section 4 (convergence absolue).

Les trois critères ci-dessus s'appliquent à l'identique aux séries à termes négatifs (avec \(u_n \le 0, v_n \le 0\) à partir d'un certain rang, les inégalités étant renversées si nécessaire) : il suffit d'appliquer le cas positif à \(-u_n\) et \(-v_n\).

Crucial. Les trois critères de comparaison exigent que les suites soient de signe constant (positif ou négatif) à partir d'un certain rang. Les appliquer à une suite de signe non constant — typiquement une série avec un facteur \((-1)^n\) — est un défaut : les démonstrations admises ci-dessus reposent de manière critique sur la positivité (la somme partielle d'une série à termes positifs est croissante, ce qui permet d'appliquer le théorème de la limite monotone). Dans le cas de signe mixte, les équivalents et négligeabilités de Comparaison asymptotique ne « préservent » pas la nature de la série : il existe des couples \((u_n), (v_n)\) avec \(u_n / v_n \to 1\) tels que \(\sum u_k\) converge et \(\sum v_k\) diverge, mais leur construction sort du cadre de ce programme (elle utilise un argument sur les séries alternées). Deux conséquences pratiques : premièrement, ne jamais appliquer le critère par équivalence à \(u_n \sim (-1)^n / n^\alpha\) ou à un équivalent de signe mixte similaire — le critère est muet. Deuxièmement, la voie pour les séries de signe quelconque est la convergence absolue (section 4).

Pour les séries dont le terme général est de signe non constant, les critères de comparaison ne s'appliquent pas. Le filet de sécurité est la convergence absolue : passer de \(\sum u_k\) à \(\sum |u_k|\), qui est une série à termes positifs et relève du section 3. Le théorème de ce paragraphe garantit que si \(\sum |u_k|\) converge, alors \(\sum u_k\) converge aussi.

La démonstration donne plus que l'énoncé : toute série absolument convergente \(\sum u_k\) est la différence de deux séries à termes positifs convergentes, à savoir \(\sum u_k^+\) et \(\sum u_k^-\). C'est le miroir du fait élémentaire que tout réel est la différence de deux réels positifs ou nuls (ses parties positive et négative) ; et de même, toute fonction continue sur un intervalle est la différence de deux fonctions continues positives sur cet intervalle. Concrètement, cette décomposition est le socle utilisé dans Variables aléatoires discrètes et Couples de variables aléatoires discrètes pour définir l'espérance \(E(X) = \sum k \,P(X = k)\) lorsque le support est infini : la convergence absolue de \(\sum |k| \,P(X = k)\) garantit une valeur finie sans ambiguïté de l'espérance, indépendante de tout réarrangement de l'indexation.

Crucial. La réciproque de « la convergence absolue implique la convergence » est fausse. La série harmonique alternée \(\sum_{k \ge 1} (-1)^k / k\) converge (somme \(-\ln 2\), convergence admise à ce stade) sans être absolument convergente (puisque \(\sum 1/k\) diverge). C'est donc une série semi-convergente, au sens de la définition que l'on vient de poser. Le critère de convergence absolue est donc une condition suffisante, et non nécessaire, de convergence.

La leçon pratique du Définition ; la convergence absolue implique la convergence est opérationnelle : toute étude de nature d'une série de terme général de signe variable commence par examiner \(\sum |u_k|\). Si la série des valeurs absolues converge, l'originale converge. Si la série des valeurs absolues diverge, le critère est sans conclusion — il faut un autre argument.