Éducation Nationale Française · ECGappliquées 2
Intégrales généralisées
Ce chapitre étend l'intégrale \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) du cas du segment — où \(a < b\) sont réels et \(f\) est continue sur l'intervalle fermé \([a, b]\) — à une intégrale généralisée (ou impropre) sur un intervalle ayant une borne infinie : \([a, +\infty[\), \(]-\infty, b]\) ou \(]-\infty, +\infty[\). La construction est un passage à la limite. Sur \([a, +\infty[\) on définit \(\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) comme \(\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) lorsque cette limite existe et est finie (on parle alors de convergence) ; les règles opératoires d'Intégration (Ch.14) — linéarité, relation de Chasles, positivité, croissance — s'étendent au cas impropre convergent. Les questions nouvelles sont au nombre de deux : quelles intégrales impropres convergent (réponse par deux familles de référence — Riemann \(\int_a^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) et exponentielle \(\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) — accompagnées de trois règles de comparaison pour les fonctions positives, par inégalité, négligeabilité et équivalence), et comment calculer leur valeur une fois la convergence établie (une primitive sur le segment \([a, x]\), puis un passage à la limite). L'objectif phare du chapitre — énoncé explicitement par le programme — est de préparer l'étude en année 2 des variables aléatoires à densité, où toute densité \(f\) vérifie \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) et où les espérances sont des intégrales impropres. Conventions. Tout au long du chapitre, \(f\) est à valeurs réelles et continue sur l'intervalle d'intégration ; la seule borne mauvaise est une borne infinie (\(a = -\infty\) ou \(b = +\infty\)), en laquelle \(f\) n'est pas supposée admettre de limite. Le chapitre prolonge très directement trois chapitres antérieurs : Intégration (Ch.14) fournit les règles du cas du segment ; Comparaison asymptotique (Ch.19) fournit la négligeabilité et l'équivalence utilisées dans les règles de comparaison ; Séries numériques (Ch.20) est le jumeau discret — les intégrales de Riemann sont l'analogue des séries de Riemann, la convergence absolue des intégrales correspond à la convergence absolue des séries, les règles de comparaison pour les fonctions positives correspondent à celles pour les séries à termes positifs. Les techniques d'intégration par parties et de changement de variable non affine ne sont pratiquées à ce niveau que sur un segment (Ch.14) : au besoin, on fait l'algèbre sur \([a, x]\) où toute quantité est finie, puis on passe à la limite.
I
Intégrale sur un intervalle semi-ouvert
I.1
Définition sur un intervalle semi-ouvert
Le cas de départ est un intervalle \([a, +\infty[\) avec \(a \in \mathbb{R}\). La borne \(a\) est bonne — la fonction \(f\) y est définie et continue — et la borne mauvaise est \(+\infty\). Sur chaque segment \([a, x]\) pour \(a \le x\), l'intégrale de segment \(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est bien définie (Intégration, Ch.14), ce qui donne une fonction de \(x\) sur \([a, +\infty[\). La question de la convergence est de savoir si cette fonction admet une limite finie quand \(x \to +\infty\).
Définition — Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert à droite
Soit \(a \in \mathbb{R}\) et soit \(f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre (ou intégrale généralisée) \(\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque la limite $$\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$$ existe et est finie. Dans ce cas, on définit la valeur de l'intégrale impropre comme $$\textcolor{colordef}{\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t.}$$ Lorsque la limite n'existe pas ou est infinie, l'intégrale impropre est dite divergente. Étudier la nature d'une intégrale impropre, c'est déterminer si elle converge ou diverge. Exemple
Trois petits cas sur un intervalle semi-ouvert à droite, calculés par une primitive sur le segment \([a, x]\) puis un passage à la limite. $$\begin{aligned} \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t &= \lim_{x \to +\infty} \int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t && \text{(définition)} \\
&= \lim_{x \to +\infty} \bigl[-e^{-t}\bigr]_0^x && \text{(primitive de }e^{-t}\text{ d'\textit{Intégration} \textit{Linéarité, Chasles, positivité et croissance})} \\
&= \lim_{x \to +\infty} \bigl(1 - e^{-x}\bigr) = 1. \end{aligned}$$ Convergente, valeur \(1\). Ensuite : $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} = \lim_{x \to +\infty} \bigl[-1/t\bigr]_1^x = \lim_{x \to +\infty} \bigl(1 - 1/x\bigr) = 1.$$ Convergente, valeur \(1\). Et le cas harmonique : $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t} = \lim_{x \to +\infty} \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x = \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty.$$ La limite est infinie, donc l'intégrale diverge. Le seuil saute aux yeux : \(1/t^2\) converge, \(1/t\) diverge — l'énoncé général est le résultat de Riemann du Intégrales de Riemann à l'infini. Définition — Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert à gauche
Soit \(b \in \mathbb{R}\) et soit \(f : ]-\infty, b] \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre \(\int_{-\infty}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque la limite $$\lim_{x \to -\infty} \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t$$ existe et est finie, et on pose alors \(\int_{-\infty}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to -\infty} \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t\). Sinon, l'intégrale diverge. Compétences à pratiquer
- Calculer une intégrale impropre convergente par primitive
I.2
Intégrale sur un intervalle ouvert
Le troisième cas est la droite entière \(]-\infty, +\infty[\), où les deux bornes sont mauvaises (\(-\infty\) et \(+\infty\)). La définition scinde la droite en un point \(c\) quelconque, en un morceau de gauche \(]-\infty, c]\) et un morceau de droite \([c, +\infty[\), chacun traité par sous-section 1.1, et exige que les deux morceaux convergent séparément. C'est le cas le plus propice aux erreurs — la mise en garde qui suit est le point à retenir de cette sous-section.
Définition — Intégrale impropre sur un intervalle ouvert
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue, et soit \(c \in \mathbb{R}\) quelconque. L'intégrale impropre \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite convergente lorsque les deux intégrales impropres $$\int_{-\infty}^{c} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{et} \quad \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$$ convergent (au sens des deux définitions précédentes, respectivement semi-ouverte à gauche en \(-\infty\) et semi-ouverte à droite en \(+\infty\)). Dans ce cas, sa valeur vaut $$\textcolor{colordef}{\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-\infty}^{c} f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t.}$$ La convergence et la valeur ne dépendent pas du choix de \(c \in \mathbb{R}\) (démonstration par Chasles sur des segments et passage aux limites en \(-\infty\) et \(+\infty\)). Lorsque l'une des deux moitiés diverge, l'intégrale impropre sur \(]-\infty, +\infty[\) diverge.
Piège : ne jamais réduire à une limite symétrique
Crucial. La Définition ci-dessus exige que les deux morceaux convergent séparément. Ce n'est pas la même chose que la limite symétrique \(\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(t)\,\mathrm{d}t\), qui peut être finie sans que chaque moitié converge séparément. Contre-exemple concret : prenons \(f(t) = t\) sur \(]-\infty, +\infty[\). Scindons en \(c = 0\) : $$\int_0^{+\infty} t\,\mathrm{d}t = \lim_{x \to +\infty} \bigl[t^2/2\bigr]_0^x = \lim_{x \to +\infty} x^2/2 = +\infty.$$ Cette moitié diverge, donc par la Définition, \(\int_{-\infty}^{+\infty} t\,\mathrm{d}t\) diverge. Et pourtant la limite symétrique donne $$\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} t\,\mathrm{d}t = \lim_{R \to +\infty} \bigl[t^2/2\bigr]_{-R}^{R} = \lim_{R \to +\infty} (R^2/2 - R^2/2) = 0.$$ Conclure « ça vaut \(0\) par symétrie » est une erreur — on confond la limite symétrique et la véritable définition, qui utilise deux limites indépendantes. Toujours scinder en un \(c\) intérieur quelconque, et vérifier la convergence de chaque moitié séparément.
Exemple
Étudier la nature de \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\). Les deux bornes sont infinies, on scinde donc en \(c = 0\) et on étudie chaque moitié séparément. Sur \([0, +\infty[\), une primitive de \(t/(1 + t^2)\) est \(\tfrac{1}{2}\ln(1 + t^2)\) : $$\int_0^x \frac{t}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t = \left[\tfrac{1}{2}\ln(1 + t^2)\right]_0^x = \tfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty.$$ La moitié droite diverge, donc par la Définition du cas de l'intervalle ouvert l'intégrale impropre \(\int_{-\infty}^{+\infty} t/(1 + t^2)\,\mathrm{d}t\) diverge (inutile d'examiner la moitié gauche). Leçon. La limite symétrique \(\lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} t/(1 + t^2)\,\mathrm{d}t = 0\) (la fonction à intégrer est impaire, donc chaque \(\int_{-R}^R\) vaut exactement \(0\)) n'est pas la valeur de l'intégrale impropre — conclure « ça vaut \(0\) par symétrie » est le piège du bloc précédent. Méthode — Étudier une intégrale aux deux bornes mauvaises
Pour \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) avec \(f\) continue sur \(]a, b[\) et les deux bornes mauvaises : - Choisir un point intérieur quelconque \(c \in ]a, b[\) (en pratique \(c = 0\) ou \(c = 1\), selon ce qui simplifie les primitives).
- Étudier la convergence de \(\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) sur \(]a, c]\) et de \(\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t\) sur \([c, b[\) séparément (chacune par la machinerie semi-ouverte du Définition et le cas faussement impropre, les intégrales de référence du section 3, ou les théorèmes de comparaison du section 4).
- Si les deux moitiés convergent, l'intégrale d'origine converge, de valeur la somme des deux moitiés. Si une moitié diverge, l'intégrale d'origine diverge — inutile d'examiner l'autre moitié.
Compétences à pratiquer
- Étudier la nature sur un intervalle ouvert
II
Règles opératoires sur les intégrales convergentes
II.1
Linéarité, Chasles, positivité et croissance
Chacune des règles du cas du segment d'Intégration (Intégrale sur un intervalle ouvert) s'étend au cas impropre par passage à la limite, à condition que les intégrales en jeu convergent. L'hypothèse « les deux intégrales convergent » est essentielle pour la linéarité : scinder une intégrale convergente en deux morceaux qui divergent tous deux est le piège le plus fréquent, et le programme admet les quatre règles ci-dessous sans démonstration pour éviter toute technicité.
Proposition — Règles opératoires — admises
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soient \(f, g : I \to \mathbb{R}\) continues. Les règles suivantes sont admises. - Linéarité : si \(\int_I f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_I g(t)\,\mathrm{d}t\) convergent, alors pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\int_I (\lambda f + \mu g)\) converge et $$\int_a^b \bigl(\lambda f(t) + \mu g(t)\bigr)\,\mathrm{d}t = \lambda \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t + \mu \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Relation de Chasles : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge sur \(I\), alors pour tout \(c \in I\), les intégrales \(\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t\) convergent, et $$\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t.$$
- Positivité : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et \(f \ge 0\) sur \(I\), alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\).
- Croissance : si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) convergent et \(f \le g\) sur \(I\), alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\).
Piège : ne jamais scinder avant d'avoir vérifié la convergence
Important. La linéarité, appliquée sans précaution, conduit à l'erreur classique : scinder \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}\) en \(\int_1^{+\infty} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t - \int_1^{+\infty} \frac{1}{t+1}\,\mathrm{d}t\) via la décomposition \(1/(t(t+1)) = 1/t - 1/(t+1)\). L'intégrale d'origine converge (vérifié plus loin). Les deux morceaux à droite divergent chacun (Riemann \(\alpha = 1\) en \(+\infty\), voir Intégrales de Riemann à l'infini). La linéarité ne s'applique pas — l'hypothèse « les deux intégrales convergent » est en défaut. La marche correcte est d'effectuer la décomposition sur le segment \([1, x]\) (où toutes les intégrales sont finies), puis de passer à la limite à la fin.
Exemple
Le calcul correct de \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)}\). Sur le segment \([1, x]\), la décomposition \(1/(t(t+1)) = 1/t - 1/(t+1)\) donne $$\begin{aligned} \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)} &= \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} - \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t+1} && \text{(linéarité sur le segment, décomposition)} \\
&= \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x - \bigl[\ln(t+1)\bigr]_1^x \\
&= \ln(x) - \ln(x+1) - 0 + \ln(2) \\
&= \ln\!\left(\frac{x}{x+1}\right) + \ln(2). \end{aligned}$$ Quand \(x \to +\infty\), \(x/(x+1) \to 1\), donc \(\ln(x/(x+1)) \to 0\), et le crochet tend vers \(\ln(2)\). L'intégrale impropre converge et $$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t(t+1)} = \ln(2).$$ La clé était de faire l'algèbre sur le segment, en ne passant à la limite qu'à la fin — évitant la fausse scission entre deux intégrales impropres divergentes. Exemple
Chasles s'emploie aussi dans l'autre sens — pour isoler la borne mauvaise. Pour étudier \(\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) quand \(f\) est continue sur \([0, +\infty[\), scindons en \(c > 0\) quelconque : $$\int_0^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{converge} \iff \quad \int_c^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{converge},$$ car la part \(\int_0^c f(t)\,\mathrm{d}t\) est une intégrale de segment finie et contribue d'une constante à la somme partielle. Leçon : la convergence ne dépend que du comportement de \(f\) au voisinage de la borne mauvaise. Proposition — Continue, positive, intégrale nulle — admis
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soit \(f : I \to \mathbb{R}\) continue avec \(f \ge 0\) sur \(I\). Si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et vaut \(0\), alors \(f \equiv 0\) sur \(I\). Admis (le résultat découle de la version du cas du segment d'Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert : pour tout segment \([a', b'] \subset I\), la restriction de \(f\) est continue, positive, et d'intégrale \(\int_{a'}^{b'} f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = 0\), donc par positivité \(\int_{a'}^{b'} f(t)\,\mathrm{d}t = 0\) ; la Proposition du cas du segment donne alors \(f \equiv 0\) sur \([a', b']\). Comme cela vaut pour tout \([a', b'] \subset I\), \(f \equiv 0\) sur \(I\)). Méthode — Appliquer les règles prudemment — vérifier la convergence d'abord
Avant d'invoquer la linéarité, Chasles, la positivité ou la croissance sur une intégrale impropre : - Vérifier que toutes les intégrales en jeu convergent. Le piège classique est de scinder une intégrale convergente par linéarité en deux morceaux divergents (ou par décomposition en éléments simples, ou par scission \(\sin + \cos\), etc.). La linéarité est interdite sur des morceaux divergents.
- En cas de doute, effectuer l'algèbre (linéarité, Chasles, décomposition) sur un segment \([a', b'] \subset [a, b[\) où toutes les intégrales sont finies, puis passer à la limite à la fin.
- Pour la croissance, les deux intégrales impropres à comparer doivent toutes deux converger ; une inégalité entre fonctions à intégrer ne transfère pas aux intégrales si l'une d'elles diverge.
Compétences à pratiquer
- Appliquer la linéarité et Chasles aux intégrales impropres
II.2
Critère des fonctions positives
Le cadre le plus simple — celui qui sous-tend chaque théorème de comparaison du section 4 — est celui où \(f \ge 0\) sur l'intervalle entier \([a, b[\). La fonction \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) est alors croissante sur \([a, b[\) (par positivité, l'intégrale de segment grandit quand \(x\) grandit), donc par le théorème de la limite monotone de Suites : limites et convergence (version fonction), elle admet une limite en \(b^-\) : soit finie (l'intégrale converge), soit \(+\infty\) (l'intégrale diverge vers \(+\infty\)). L'histoire est l'analogue fonctionnel du critère des séries à termes positifs de Séries numériques (Nature d'une série à termes positifs) — sommes partielles là-bas, intégrales partielles ici. Lorsque \(f\) n'est positive qu'au voisinage de \(b\) (négative ou de signe variable près de \(a\)), utiliser la relation de Chasles pour isoler le voisinage : la convergence sur \([a, b[\) équivaut à la convergence sur \([c, b[\) pour tout \(c \in [a, b[\), et cette dernière relève de la Proposition ci-dessous avec \(f \ge 0\) sur tout \([c, b[\).
Proposition — Cas des fonctions positives
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\), et soit \(f : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continue avec \(f \ge 0\) sur \([a, b[\). Posons \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) pour \(x \in [a, b[\). Alors \(F\) est croissante sur \([a, b[\), et l'une des deux situations suivantes a lieu : - \(F\) est majorée sur \([a, b[\), et \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge (de valeur \(\sup_{[a, b[} F = \lim_{x \to b^-} F(x)\)) ;
- \(F\) est non majorée, et \(F(x) \to +\infty\) quand \(x \to b^-\), c'est-à-dire \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge vers \(+\infty\).
Sur \([a, b[\), fixons \(x_1 \le x_2 < b\). La relation de Chasles sur le segment \([a, x_2]\) (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert) donne \(F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f(t)\,\mathrm{d}t\). Par la positivité sur le segment (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert encore), \(\int_{x_1}^{x_2} f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0\), donc \(F(x_1) \le F(x_2)\) : \(F\) est croissante sur \([a, b[\). Le théorème de la limite monotone (Suites : limites et convergence, version fonction : une fonction croissante sur un intervalle admet une limite à l'extrémité droite, soit finie si la fonction est majorée, soit \(+\infty\) sinon) donne les deux cas de l'énoncé. Le cas \(f \ge 0\) sur \(]a, b]\) se traite par symétrie : \(F(x) = \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est décroissante en \(x\), et le théorème de la limite monotone à l'extrémité gauche s'applique.
Exemple
Démontrer que \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}\) converge, en utilisant le critère des fonctions positives. La fonction à intégrer \(f(t) = 1/t^2\) est positive et continue sur \([1, +\infty[\). Calculons l'intégrale partielle \(F(x) = \int_1^x \mathrm{d}t/t^2\) à l'aide de la primitive \(-1/t\) d'Intégration (Linéarité, Chasles, positivité et croissance) : \(F(x) = 1 - 1/x\). Pour tout \(x \in [1, +\infty[\), \(F(x) \le 1\), donc \(F\) est majorée par \(1\) sur \([1, +\infty[\). Par le critère des fonctions positives, la fonction \(F\), croissante et majorée, admet une limite finie, donc \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (et la valeur est \(\sup F = 1\), ce qui retrouve le résultat du Définition et le cas faussement impropre). La méthode ci-dessous systématise l'étape de majoration — la part qui ne demande pas le calcul d'une primitive. Méthode — Majorer l'intégrale partielle pour conclure à la convergence
Pour une fonction continue \(f\) positive sur \([a, b[\) : - Essayer de majorer la fonction à intégrer : \(0 \le f(t) \le g(t)\) pour \(t\) près de \(b\), où \(g\) est une référence connue (Riemann, exponentielle) d'intégrale convergente. Par la croissance sur le segment et le critère des fonctions positives, \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge.
- Sinon, calculer l'intégrale partielle \(F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) explicitement (par une primitive) et montrer qu'elle est majorée sur \([a, b[\).
- Pour la divergence : montrer \(F(x) \to +\infty\), par exemple en minorant \(f\) par une autre fonction positive d'intégrale divergente.
Compétences à pratiquer
- Majorer l'intégrale partielle pour conclure à la convergence
III
Intégrales de référence convergentes
III.1
Intégrales de Riemann à l'infini
La première famille de référence est l'échelle de Riemann en \(+\infty\) : \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\), indexée par un unique paramètre réel \(\alpha\). Son seuil de convergence est le même que celui de la série de Riemann \(\sum 1/n^\alpha\) de Séries numériques : l'intégrale converge si et seulement si \(\alpha > 1\), la série converge si et seulement si \(\alpha > 1\). La démonstration est par primitive directe — aucune technicité — ce qui fait de cette famille la référence la plus propre du chapitre.
Proposition — Intégrale de Riemann en \(+\infty\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). L'intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\). En cas de convergence, $$\textcolor{colorprop}{\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \frac{1}{\alpha - 1}.}$$
La fonction \(t \mapsto 1/t^\alpha\) est continue sur \([1, +\infty[\). Deux cas.
- Cas \(\alpha = 1\). Une primitive de \(1/t\) sur \([1, +\infty[\) est \(\ln\). Alors $$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t} = \bigl[\ln(t)\bigr]_1^x = \ln(x) - 0 \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty.$$ L'intégrale diverge.
- Cas \(\alpha \ne 1\). Une primitive de \(1/t^\alpha = t^{-\alpha}\) sur \(]0, +\infty[\) est \(t^{1-\alpha}/(1-\alpha)\) (Intégration, Linéarité, Chasles, positivité et croissance : primitive de \(t^\beta\) pour \(\beta \ne -1\)). Donc $$\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} = \left[\frac{t^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_1^x = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{\alpha - 1}.$$ La limite quand \(x \to +\infty\) dépend du signe de \(1 - \alpha\).
- Si \(\alpha > 1\) : \(1 - \alpha < 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to 0\), et l'intégrale tend vers \(1/(\alpha - 1)\). Convergente.
- Si \(\alpha < 1\) : \(1 - \alpha > 0\), donc \(x^{1-\alpha} \to +\infty\), et l'intégrale tend vers \(+\infty\). Divergente.
Exemple
Trois verdicts rapides au moyen du seuil \(\alpha = 1\) : - \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 = 1/(2-1) = 1\) (\(\alpha = 2 > 1\), convergente) ;
- \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t\) diverge (\(\alpha = 1\), cas frontière) ;
- \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/\sqrt{t}\) diverge (\(\alpha = 1/2 < 1\)).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une intégrale de Riemann en \(+\infty\)
III.2
Intégrales exponentielles
La troisième famille de référence est l'exponentielle en \(+\infty\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\). Le seuil est \(\alpha = 0\) : convergence si et seulement si \(\alpha > 0\), divergence sinon. C'est le cheval de bataille de la probabilité en année 2 : le cas \(\alpha = \lambda > 0\) est la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), dont la normalisation vaut exactement \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1\). Comme pour les deux familles de Riemann, la démonstration est par primitive directe.
Proposition — Intégrale exponentielle en \(+\infty\)
Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). L'intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(\alpha > 0\). En cas de convergence, $$\textcolor{colorprop}{\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\alpha}.}$$
La fonction \(t \mapsto e^{-\alpha t}\) est continue sur \([0, +\infty[\). Trois cas.
- Cas \(\alpha = 0\). La fonction à intégrer est la constante \(1\) : $$\int_0^x 1\,\mathrm{d}t = x \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty.$$ Divergente.
- Cas \(\alpha > 0\). Une primitive de \(e^{-\alpha t}\) est \(-e^{-\alpha t}/\alpha\) (règle de la chaîne, Dérivation). Donc $$\int_0^x e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \left[-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}\right]_0^x = \frac{1 - e^{-\alpha x}}{\alpha}.$$ Comme \(\alpha > 0\), \(-\alpha x \to -\infty\), donc \(e^{-\alpha x} \to 0\), et l'intégrale tend vers \(1/\alpha\). Convergente.
- Cas \(\alpha < 0\). La même primitive donne $$\int_0^x e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t = \frac{1 - e^{-\alpha x}}{\alpha}.$$ Maintenant \(-\alpha x \to +\infty\), donc \(e^{-\alpha x} \to +\infty\) et l'intégrale tend vers \(+\infty\) (la fraction a un dénominateur négatif et un numérateur \(1 - e^{-\alpha x} \to -\infty\), donc le rapport est positif et tend vers \(+\infty\)). Divergente.
Exemple
Avec \(\alpha = 1\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1\). Avec \(\alpha = 2\) : \(\int_0^{+\infty} e^{-2 t}\,\mathrm{d}t = 1/2\). Avec \(\alpha = -1\) : \(\int_0^{+\infty} e^{t}\,\mathrm{d}t\) diverge (la fonction à intégrer tend vers l'infini en \(+\infty\)). Le cas \(\alpha = \lambda > 0\) est la densité de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) de la probabilité d'année 2 : \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = \lambda \cdot 1/\lambda = 1\) (linéarité), la normalisation de la loi. Méthode — Identifier la bonne intégrale de référence
Deux familles de référence tranchent la nature d'une intégrale impropre par simple inspection : - Riemann en \(+\infty\) : \(\int_a^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\) (pour tout \(a > 0\) fini — la convergence ne dépend que du comportement en \(+\infty\)).
- Exponentielle en \(+\infty\) : \(\int_a^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(\alpha > 0\).
Compétences à pratiquer
- Reconnaître une intégrale exponentielle
IV
Théorèmes de comparaison et convergence absolue
IV.1
Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence
Pour les fonctions positives, trois critères admis ramènent la question de la convergence à une intégrale de référence connue. Ce sont les analogues fonctionnels des trois critères de comparaison des séries à termes positifs de Séries numériques, avec \(u_n\) remplacé par \(f(t)\) au voisinage de la borne mauvaise \(b\). L'hypothèse « signe constant » est essentielle : dans le cas de signe variable, passer au Convergence absolue (convergence absolue).
Proposition — Comparaison par inégalité — admise
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\). Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues avec \(0 \le f(t) \le g(t)\) pour \(t\) au voisinage de \(b\). Alors : - si \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) converge, alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge ;
- si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge, alors \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge.
Proposition — Comparaison par négligeabilité — admise
Même cadre. Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues, \(f \ge 0\) et \(g > 0\) au voisinage de \(b\) (afin que le quotient \(f/g\) soit défini), avec \(f = o(g)\) en \(b\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors : - si \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) converge, alors \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) converge ;
- si \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) diverge, alors \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge.
Proposition — Comparaison par équivalence — admise
Même cadre. Soient \(f, g : [a, b[ \to \mathbb{R}\) continues, toutes deux strictement positives au voisinage de \(b\), avec \(f \sim g\) en \(b\) (au sens de Comparaison asymptotique). Alors les intégrales \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t\) sont de même nature. Admise.
Analogue pour les fonctions négatives
Les trois critères ci-dessus s'appliquent à l'identique aux fonctions négatives (avec \(f \le 0\) et \(g \le 0\) au voisinage de \(b\), l'inégalité \(g \le f \le 0\) pour le critère par inégalité) : il suffit d'appliquer le cas positif à \(-f\) et \(-g\), et d'utiliser la linéarité.
L'hypothèse de signe constant est essentielle
Crucial. Les trois critères de comparaison exigent que les fonctions soient de signe constant (positif, ou négatif) au voisinage de la borne mauvaise. Appliqués à une fonction de signe variable — typiquement une fonction à intégrer portant un facteur \(\sin\) ou \(\cos\) — le critère d'équivalence est muet : il existe \(f, g\) avec \(f \sim g\) en \(+\infty\) tels que \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et \(\int g(t)\,\mathrm{d}t\) diverge (construction hors programme). Deux conséquences pratiques : premièrement, ne jamais appliquer le critère par équivalence à une fonction à intégrer de signe variable ; deuxièmement, la voie pour les fonctions à intégrer de signe variable est la convergence absolue.
Méthode — Conclure par comparaison ou équivalence
Pour étudier la nature de \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) lorsque \(f\) est positive au voisinage de \(b\) : - Vérifier que \(f\) est de signe constant au voisinage de la borne mauvaise. Sinon, passer au sous-section 4.2.
- Trouver le comportement dominant de \(f\) près de la borne mauvaise à l'aide de Comparaison asymptotique (Ch.19) (factoriser le terme dominant, croissances comparées).
- Comparer avec une intégrale de référence du section 3 : Riemann en \(+\infty\) (pour les queues en \(1/t^\alpha\)) ou exponentielle en \(+\infty\).
- Appliquer le critère d'équivalence (le plus court), de négligeabilité, ou d'inégalité (le plus souple).
Exemple
Déterminer la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1}\). La fonction à intégrer est strictement positive sur \([1, +\infty[\). Équivalent en \(+\infty\) : $$\frac{1}{t^2 + 1} = \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{1 + 1/t^2} \sim \frac{1}{t^2}$$ (on factorise \(t^2\) au dénominateur ; le facteur \(1 + 1/t^2 \to 1\)). Les deux côtés sont strictement positifs. L'intégrale de Riemann \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (\(\alpha = 2 > 1\)). Par le critère d'équivalence, \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/(t^2 + 1)\) converge. Compétences à pratiquer
- Conclure par comparaison ou équivalence
IV.2
Convergence absolue
Pour une fonction à intégrer \(f\) de signe variable (typiquement un facteur \(\sin\) ou \(\cos\)), les critères de comparaison du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence sont muets. Le filet de sécurité est la convergence absolue : passer de \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), qui est l'intégrale d'une fonction positive et relève du Comparaison par inégalité, négligeabilité, équivalence. Le théorème de ce paragraphe garantit que la convergence absolue implique la convergence — l'analogue fonctionnel de Séries numériques.
Définition — Intégrale impropre absolument convergente
Soit \(I\) l'un des \([a, b[\), \(]a, b]\), \(]a, b[\), et soit \(f : I \to \mathbb{R}\) continue. L'intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est dite absolument convergente lorsque l'intégrale de fonction positive \(\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\) converge. Proposition — La convergence absolue implique la convergence — admise
Si une intégrale impropre \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) est absolument convergente, alors elle est convergente. Admise à ce niveau (programme : « on évitera toute technicité »). L'argument est l'analogue de la démonstration série de Séries numériques (Définition ; la convergence absolue implique la convergence) : écrire \(f = f^+ - f^-\) avec \(f^+(t) = \max(f(t), 0)\) et \(f^-(t) = \max(-f(t), 0)\) toutes deux continues et \(0 \le f^\pm \le |f|\), puis \(\int f^+\) et \(\int f^-\) convergent par comparaison à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\), et \(\int f(t)\,\mathrm{d}t = \int f^+ - \int f^-\) converge par linéarité. C'est l'adaptation technique complète de la linéarité du cas du segment au cas impropre qui est admise ici.
La réciproque est FAUSSE
Crucial. La réciproque de « la convergence absolue implique la convergence » est fausse. Le contre-exemple classique est le sinus intégral \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t\) : il converge, et pourtant il n'est pas absolument convergent (ces deux faits sont admis à ce niveau). Une intégrale impropre qui converge sans converger absolument est dite semi-convergente ; le terme est donné ici comme vocabulaire seulement, et aucun critère général du programme ne décide la semi-convergence. La conséquence pratique est l'asymétrie du critère de convergence absolue : si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) converge, alors \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) converge (la voie sûre pour une fonction à intégrer de signe variable) ; mais si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) diverge, on ne peut rien conclure sur \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) — elle peut encore être semi-convergente.
Proposition — Inégalité triangulaire sur une intégrale impropre convergente
Soit \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\) absolument convergente sur \(I\) (donc \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) convergent toutes deux). Alors $$\textcolor{colorprop}{\left| \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t.}$$
On traite le cas semi-ouvert à droite \([a, b[\) (les autres sont symétriques). Sur le segment \([a, x]\) pour \(a \le x < b\), l'inégalité triangulaire du cas du segment (Intégration, Intégrale sur un intervalle ouvert) donne $$\left| \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \right| \le \int_a^x |f(t)|\,\mathrm{d}t.$$ Par convergence absolue, le membre de droite admet une limite finie quand \(x \to b^-\) : \(\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t\). Par convergence de \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\), l'intégrale intérieure \(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) admet une limite finie \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\), donc \(|\int_a^x f|\) admet pour limite \(|\int_a^b f|\) (continuité de \(|\cdot|\)). Le passage à la limite dans l'inégalité (l'inégalité entre deux quantités convergentes est préservée par passage à la limite, Suites : limites et convergence) donne l'inégalité annoncée.
Méthode — Utiliser la convergence absolue sur une fonction à intégrer de signe variable
Pour une intégrale impropre de fonction à intégrer de signe variable : - Former \(|f|\), fonction positive continue sur le même intervalle.
- Appliquer un critère de comparaison du sous-section 4.1 à \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\).
- Si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) converge, conclure que \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) converge (absolument, donc en particulier). Si on souhaite une valeur, l'inégalité triangulaire donne \(|\int f| \le \int |f(t)|\,\mathrm{d}t\).
- Si \(\int |f(t)|\,\mathrm{d}t\) diverge, le critère de convergence absolue est sans conclusion : \(\int f(t)\,\mathrm{d}t\) peut encore converger (semi-convergence), mais aucun critère du cadre du programme ne le décide, donc cette voie s'arrête ici.
Exemple
Déterminer la nature de \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\). La fonction à intégrer est de signe variable (puisque \(\cos\) prend les deux signes). Majorons la valeur absolue : $$\left| \frac{\cos(t)}{t^2} \right| = \frac{|\cos(t)|}{t^2} \le \frac{1}{t^2}.$$ La référence \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2\) converge (Riemann \(\alpha = 2 > 1\)). Par le critère de comparaison par inégalité appliqué à la fonction positive \(|\cos(t)/t^2|\), \(\int_1^{+\infty} |\cos(t)/t^2|\,\mathrm{d}t\) converge, c'est-à-dire l'intégrale d'origine est absolument convergente. Donc \(\int_1^{+\infty} \cos(t)/t^2\,\mathrm{d}t\) converge.
Pour aller plus loin
Les intégrales généralisées sont le pont vers l'étude en année 2 des variables aléatoires à densité. Une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle \(X\) dont la loi est codée par une fonction continue \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+\) (la densité), vérifiant la normalisation \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) ; la probabilité \(P(a \le X \le b)\) est l'intégrale \(\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t\), et l'espérance \(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,\mathrm{d}t\) est une intégrale impropre dont la définition même exige la convergence absolue (section 4.2) — l'analogue fonctionnel de la condition de convergence absolue sur \(\sum k\,P(X = k)\) pour une variable aléatoire discrète. Deux lois phares ressortent directement de ce chapitre. La loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) a pour densité \(\lambda e^{-\lambda t}\) sur \([0, +\infty[\) ; sa normalisation \(\int_0^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t = 1\) est exactement l'exponentielle de référence du sous-section 3.3 (avec \(\alpha = \lambda\)). La densité gaussienne \(\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\) a une normalisation convergente : par le critère de comparaison du section 4, \(e^{-t^2/2} = o(1/t^2)\) en \(+\infty\), donc \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\) converge (sa valeur exacte provient d'un argument à deux variables d'année 2, hors de la boîte à outils à une variable ici). Enfin, le parallèle série–intégrale avec Séries numériques (Ch.20) réapparaît partout : le seuil de Riemann \(\alpha = 1\) est le même pour \(\sum 1/n^\alpha\) et \(\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha\) ; la convergence absolue fonctionne de la même façon ; les règles de comparaison par inégalité, négligeabilité et équivalence se lisent mot pour mot de la même manière en remplaçant les sommes par des intégrales.
Compétences à pratiquer
- Conclure par convergence absolue
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