Une machine, trois dessins : analyse didactique d'une progression d'enseignement de la notion de fonction
Article en anglais : One machine, three drawings: a didactic analysis of a teaching progression for the function concept from Grade 4 to Grade 10
Vincent Tariel-Adam · prépublication [math.HO] · 3 novembre 2026 · CC BY 4.0
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Résumé
On peut entrer dans la notion de fonction par une correspondance entre ensembles, une relation univoque, ou par un processus qui transforme une entrée en sortie. Cet article présente les choix de conception et une analyse critique d'une progression source sur les fonctions (niveaux 4 à 10, âges nominaux de 9 à 16 ans, avec deux niveaux sur les relations entre grandeurs), à partir de laquelle sont assemblés les chapitres du programme français et du Baccalauréat International publiés sur https://commeunjeu.org. Un seul schéma est présenté d'abord et gardé tout au long : une fonction est une machine qui prend une entrée, applique une règle et donne une seule sortie. Son dessin change avec l'âge (un robot, puis une boîte, puis la flèche f : x ↦ f(x)), et chaque changement est montré une fois, les deux dessins côte à côte ; après 15 ans, la boîte ne revient que dans le cours, pour expliquer la composition et la réciproque. Les propriétés que la recherche désigne comme difficiles (l'unicité de la sortie, la fonction constante, la fonction sans formule, deux règles pour une même fonction, les antécédents) sont posées sur la machine dès le niveau 4 ; le mot relation est réservé au lien entre deux grandeurs, où s'enseigne la covariation ; l'ensemble des couples revient comme la courbe. Ces choix sont rapportés à la machine-fonction comme racine cognitive et aux mises en garde de ses propres auteurs, aux analyses en termes de processus et d'objet, aux études sur l'image du concept et sur la covariation, et aux programmes français et de l'IB. Un audit bloc par bloc des documents sources datés a trouvé la machine dans 2 seulement des 177 blocs d'exercices des niveaux 7 à 10, aucun exercice demandant aux élèves de dessiner une machine, et des chapitres publics qui s'ouvraient sur la relation ; les révisions faites après l'audit sont consignées, avec leurs comptes avant et après. Aucune évaluation empirique n'est rapportée ; des hypothèses pour en mener une sont formulées.
Mots-clés : notion de fonction ; machine-fonction ; correspondance ; covariation ; estompage progressif du concret ; didactique des mathématiques ; conception de programme
Pour la classe
Le guide Comment enseigner les fonctions tire de l'article ce qui sert en classe : quoi montrer, quels exercices donner, quelles erreurs surveiller.
Les chapitres étudiés
L'article analyse la progression d'où sont tirés ces chapitres du programme français :
- CM1 : Organisation et gestion de données
- CM2 : Organisation et gestion de données
- 5e : Fonctions
- 5e : Équations
- 4e : Fonctions
- 3e : Fonctions
- 2de : Généralités sur les fonctions
Citer l'article
Tariel-Adam, V. (2026). One machine, three drawings: a didactic analysis of a teaching progression for the function concept from Grade 4 to Grade 10. Preprint. https://commeunjeu.org/enseignants/fonctions-article/
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