Éducation Nationale Française · Sixième
Algèbre
I
Le nombre caché
I.1
Les égalités à trous
Définition — Égalité
Une égalité est une écriture avec un signe égal \(=\) entre deux côtés. Elle est vraie quand les deux côtés valent le même nombre, comme les deux plateaux d'une balance en équilibre : $$\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{colorprop}{5 + 3}$$ car \(\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{olive}{8}\) et \(\textcolor{colorprop}{5 + 3} = \textcolor{olive}{8}\). Méthode — Trouver le nombre manquant
Pour trouver le nombre manquant dans une égalité : - Calculer le côté que l'on connaît complètement : les deux côtés doivent valoir le même nombre.
- Trouver le nombre manquant par l'opération inverse (une addition se défait par une soustraction, une multiplication par une division), ou en essayant des nombres.
- Vérifier : remplacer la case par le nombre trouvé et calculer les deux côtés.
Exemple
Trouver le nombre manquant : \(25 + \square = 40\).
Les deux côtés doivent valoir \(40\). L'inverse d'ajouter \(25\) est de soustraire \(25\) : \(\square = 40 - 25 = \textbf{15}\).
Vérification : \(25 + 15 = 40\). \(\checkmark\)
Vérification : \(25 + 15 = 40\). \(\checkmark\)
Exemple
Trouver le nombre manquant : \(178 - \square = 6 \times 8\).
On calcule d'abord le côté droit : \(6 \times 8 = 48\). Donc \(178 - \square = 48\) : le nombre manquant est ce qu'il faut enlever à \(178\) pour arriver à \(48\), c'est-à-dire \(\square = 178 - 48 = \textbf{130}\).
Vérification : \(178 - 130 = 48\) et \(6 \times 8 = 48\). \(\checkmark\)
Vérification : \(178 - 130 = 48\) et \(6 \times 8 = 48\). \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Trouver le nombre manquant
- Égalités à deux calculs
- Égalités à trous multiplicatives
I.2
Représenter le nombre caché
Deux tasses identiques cachent le même nombre de billes. À côté, il y a \(4\) billes posées. En tout, il y a \(10\) billes. 
Combien de billes sont cachées dans chaque tasse ?
Sans les \(4\) billes posées, les deux tasses cachent \(10 - 4 = 6\) billes. Les deux tasses en cachent autant l'une que l'autre, donc chaque tasse cache \(6 \div 2 = \textbf{3}\) billes.
Vérification : \(3 + 3 + 4 = 10\). \(\checkmark\)
Vérification : \(3 + 3 + 4 = 10\). \(\checkmark\)
Définition — Représenter un nombre caché
Un nombre caché peut être représenté par un symbole comme \(\square\), ou par une lettre comme \(N\). Dans une même égalité, le même symbole cache toujours le même nombre. L'histoire des tasses peut s'écrire comme une égalité : $$\square + \square + 4 = 10$$ Exemple
Trouver le nombre caché par la lettre : \(N \times 3 = 27\).
L'inverse de multiplier par \(3\) est de diviser par \(3\) : \(N = 27 \div 3 = \textbf{9}\).
Vérification : \(9 \times 3 = 27\). \(\checkmark\)
Vérification : \(9 \times 3 = 27\). \(\checkmark\)
Exemple
\(N\) boîtes contiennent \(12\) œufs chacune, et il y a \(5\) œufs posés. Le nombre total d'œufs s'écrit \((N \times 12) + 5\). Calculer le total pour \(N = 3\) boîtes.
On remplace la lettre \(N\) par \(3\) : $$(3 \times 12) + 5 = 36 + 5 = \textbf{41}$$ Il y a \(41\) œufs en tout.
Compétences à pratiquer
- Trouver le nombre caché
- Utiliser une formule avec une lettre
II
Les schémas en barres et la balance
II.1
Le schéma en barres à une inconnue
Méthode — Dessiner le nombre caché
Pour résoudre un problème avec un nombre caché, dessiner un schéma en barres : - Dessiner le tout en une barre, et la couper en ses parties.
- Écrire ce que l'on sait dans les parties, et \(\square\) dans la partie cachée.
- Lire l'opération sur le dessin, calculer, puis vérifier.
Exemple
Léa a \(35\) images. Elle en donne quelques-unes ; il lui en reste \(19\). Combien d'images a-t-elle données ? 
Le tout est \(35\) ; une partie est \(19\), l'autre partie est cachée : \(19 + \square = 35\). Donc \(\square = 35 - 19 = \textbf{16}\). Léa a donné \(16\) images.
Vérification : \(19 + 16 = 35\). \(\checkmark\)
Vérification : \(19 + 16 = 35\). \(\checkmark\)
Exemple
\(4\) paquets identiques contiennent \(32\) autocollants en tout. Combien d'autocollants dans chaque paquet ? 
Le tout est \(32\), coupé en \(4\) parties égales : \(4 \times \square = 32\). Donc \(\square = 32 \div 4 = \textbf{8}\) autocollants dans chaque paquet.
Vérification : \(8 \times 4 = 32\). \(\checkmark\)
Vérification : \(8 \times 4 = 32\). \(\checkmark\)
Compétences à pratiquer
- Lire des schémas en barres
- Dessiner le schéma en barres
II.2
Les schémas en barres à plusieurs inconnues
Nour achète un parapluie et une canne pour \(120~\Euro\) en tout. Le parapluie coûte \(54~\Euro\) de plus que la canne. Quel est le prix de chaque objet ? 
Les deux barres ont la même partie cachée \(\square\) (le prix de la canne) ; la barre du parapluie a un morceau de plus, \(54\). Sans ce morceau, le total serait \(120 - 54 = 66\), fait de deux parts égales : \(\square = 66 \div 2 = 33\). La canne coûte \(33~\Euro\) et le parapluie \(33 + 54 = 87~\Euro\). Vérification : \(33 + 87 = 120\).
Méthode — Comparer deux quantités avec des barres
Quand deux quantités sont comparées (« \(54\) de plus que », « \(12\) de moins que ») et que leur total est connu : - Dessiner une barre par quantité, l'une sous l'autre, en partant du même bord gauche : les deux contiennent la même partie cachée \(\square\), et la plus grande a un morceau de plus, égal à la différence (pour une quantité plus petite d'un montant connu, hachurer sur sa barre le morceau à retirer).
- Rendre les barres égales : si l'une a un morceau en plus, le soustraire du total ; si l'une a un morceau en moins (hachuré), l'ajouter au total. Il reste autant de parts égales que de barres, chacune égale à \(\square\).
- Partager équitablement pour trouver \(\square\), puis en déduire l'autre quantité (ajouter ou soustraire la différence).
- Vérifier que les deux quantités redonnent le total et la différence.
Exemple
Un père et son fils ont \(72\) ans à eux deux. Le père a \(36\) ans de plus que son fils. Quel âge a chacun ? 
Exemple
Pour la fête d'un village, on organise une course cycliste. Une prime totale de \(320~\Euro\) est répartie entre les trois premiers coureurs : la prime d'or, la prime d'argent et la prime de bronze. La prime d'or s'élève à \(70~\Euro\) de plus que la prime d'argent, et la prime de bronze à \(80~\Euro\) de moins que la prime d'argent. Quelle est la prime de chacun ? 
Compétences à pratiquer
- Comparer deux quantités
- Dessiner le schéma en barres à deux inconnues
II.3
Le modèle de la balance
Sur le plateau gauche d'une balance, il y a deux sacs identiques et une masse de \(6\) kg ; sur le plateau droit, une masse de \(14\) kg. La balance est en équilibre. Combien pèse un sac ? 
On enlève \(6\) kg des deux plateaux : la balance reste en équilibre, avec deux sacs à gauche et \(14 - 6 = 8\) kg à droite. Deux sacs identiques pèsent \(8\) kg, donc un sac pèse \(8 \div 2 = 4\) kg. Vérification : \(4 + 4 + 6 = 14\).
Méthode — Garder la balance en équilibre
Une balance en équilibre est l'image d'une égalité : les deux plateaux portent la même masse, comme les deux côtés d'une égalité valent le même nombre. Elle reste en équilibre quand : - on enlève la même masse des deux plateaux (ou on l'ajoute aux deux) ;
- on partage les deux plateaux en un même nombre de parts égales.
Exemple
Trois tubes identiques (\(\triangle\)) équilibrent un tube et une masse de \(8\) g. Combien pèse un tube ? 
On enlève un tube des deux plateaux : deux tubes équilibrent \(8\) g, donc un tube pèse \(8 \div 2 = 4\) g. Vérification : \(3 \times 4 = 12\) et \(4 + 8 = 12\).
De la balance à l'égalité
Une balance qui porte deux sacs identiques et une masse de \(6\) kg d'un côté, et une masse de \(14\) kg de l'autre, s'écrit comme l'égalité à trous \(\square + \square + 6 = 14\), c'est-à-dire \(2 \times \square + 6 = 14\). Enlever \(6\) kg des deux plateaux, c'est soustraire \(6\) des deux côtés : \(2 \times \square = 8\). Partager les deux plateaux en deux, c'est diviser les deux côtés par \(2\) : \(\square = 4\). Le schéma en barres, la balance et l'égalité sont trois images du même raisonnement.
Compétences à pratiquer
- Lire une balance
- Expliquer la balance
III
Les motifs évolutifs
III.1
Le nombre d'éléments à un rang donné
Méthode — Décrire la structure d'un motif avec un tableau
Pour un motif évolutif qui ajoute le même nombre d'éléments à chaque nouvelle figure (le cas le plus fréquent), pour trouver combien d'éléments compte une figure lointaine, sans la dessiner : - Compter les premières figures et les mettre dans un tableau : figure \(1\), figure \(2\), figure \(3\), … (les figures sont numérotées dans l'ordre).
- Dire la structure en mots : ce qu'il y a au départ, et ce que chaque nouvelle figure apporte — « \(6\) allumettes, puis \(5\) allumettes de plus par maison ».
- Écrire chaque nombre comme un calcul qui montre cette structure : la figure \(2\), c'est \(6 + 1 \times 5\), la figure \(3\), c'est \(6 + 2 \times 5\), la figure \(4\), c'est \(6 + 3 \times 5\) : le nombre de « \(5\) de plus » est toujours le numéro de la figure moins \(1\). Dans \(6 + 3 \times 5\), on fait d'abord la multiplication : \(6 + 15 = 21\).
- Utiliser le calcul pour la figure lointaine et le vérifier sur une figure du tableau.
Exemple
On fabrique des petites maisons avec des allumettes, comme sur le motif ci-dessous : une maison utilise \(6\) allumettes, et chaque nouvelle maison partage un mur avec la précédente. 
| \hline Maisons | Allumettes | Calcul |
| \(1\) | \(6\) | \(6\) |
| \(2\) | \(11\) | \(6 + 1 \times 5\) |
| \(3\) | \(16\) | \(6 + 2 \times 5\) |
| \(4\) | \(21\) | \(6 + 3 \times 5\) |
Compétences à pratiquer
- Utiliser la structure d'un motif
- Justifier le nombre d'éléments à une étape donnée
III.2
La formule de la figure \(n\)
Pour une fête, on aligne des tables carrées. Une table seule reçoit \(4\) personnes, une par côté. Quand on colle des tables, les côtés collés ne reçoivent plus personne. 
\(\;,\quad\) 
\(\;,\quad\) 
\(\;,\; \dots\)
\(\;,\quad\) \(\;,\quad\) \(\;,\; \dots\) - Compter les places sur chaque figure et compléter le tableau.
Nombre de tables 1 2 3 4 Nombre de places \(4\) \(?\) \(?\) \(?\) - Décrire la règle en mots : on commence avec combien de places, et on en ajoute combien par table supplémentaire ?
- Combien de personnes peuvent s'asseoir sur une rangée de \(10\) tables ?
- Et sur une rangée de \(100\) tables ? Compter une à une devient déraisonnable : trouver une formule qui donne le nombre de places pour n'importe quel nombre \(n\) de tables.
- Chaque table supplémentaire supprime deux côtés collés et apporte deux nouvelles places de front : le compte grandit de \(2\) à chaque fois.
\(4 \xrightarrow{\;+2\;} 6 \xrightarrow{\;+2\;} 8 \xrightarrow{\;+2\;} 10\) - La règle est : on commence avec \(4\) places et on ajoute \(2\) places par table supplémentaire.
- De \(4\) tables à \(10\) tables, il y a \(6\) tables de plus, donc \(6 \times 2 = 12\) places de plus : les \(10\) places des \(4\) tables plus les \(12\) nouvelles donnent \(10 + 12 = 22\) places.
- On regarde la structure d'une rangée de \(n\) tables : chaque table offre \(2\) places (une au-dessus, une au-dessous), et les \(2\) bouts de la rangée offrent chacun une place de plus. Le nombre de places est donc $$\mathbf{2 \times n + 2}.$$ Contrôle avec le tableau : pour \(n = 4\), \(2 \times 4 + 2 = 8 + 2 = 10\) (on fait d'abord la multiplication). \(\checkmark\)
Pour \(100\) tables, la formule répond en une ligne : \(2 \times 100 + 2 = 202\) places.
Méthode — Déterminer la formule de la figure \(n\)
- Compléter le tableau pour les premières figures et dire la règle en mots : on commence avec ..., on ajoute ... à chaque fois.
- Regarder la structure : où les nouveaux bâtonnets ou points se placent-ils dans le dessin ? Qu'apporte chaque nouvelle figure ?
- Écrire le compte de la figure \(n\) : exprimer ce que l'on voit avec \(n\) — tant par case plus le départ, ou tant de branches de \(n\) moins le centre partagé. Dans une formule, on écrit \(2n\) pour \(2 \times n\), et \(3n + 4\) pour \(3 \times n + 4\).
- Contrôler : la formule doit redonner tous les nombres du tableau.
Exemple
Ce motif de points en « T » grandit à chaque figure. 
\(\quad,\quad\) 
\(\quad,\quad\) 
\(\quad,\; \dots\) - Tableau et règle : les nombres de points sont \(1\,;\,4\,;\,7\,;\,\dots\) — on commence avec \(1\) point et on ajoute \(3\) points à chaque fois.
Numéro de la figure 1 2 3 Nombre de points 1 4 7 - Structure : le « T » a \(3\) branches (gauche, droite, bas) de \(n\) points chacune, et elles partagent le point central — compté \(3\) fois au lieu de \(1\).
- Formule : \(3\) branches de \(n\) points, moins le centre compté deux fois de trop : $$\mathbf{3 \times n - 2}.$$
- Contrôle : \(n = 2\) donne \(3 \times 2 - 2 = 4\) \(\checkmark\) ; \(n = 3\) donne \(3 \times 3 - 2 = 7\) \(\checkmark\).
Pour la figure \(10\) : \(3 \times 10 - 2 = 28\) points.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître la formule d'un motif
- Trouver la formule d'un motif évolutif
- Décrire et justifier une structure
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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