Opérations sur les nombres décimaux

1. Étape 1 : Aligner les virgules. Écrire les nombres l'un en dessous de l'autre pour que les virgules soient alignées verticalement.
2. Étape 2 : Combler les vides. Ajouter des zéros à la fin des nombres pour qu'ils aient tous la même longueur après la virgule.
3. Étape 3 : Additionner ou soustraire. Procéder de droite à gauche, colonne par colonne, comme avec les nombres entiers.
4. Étape 4 : Placer la virgule. Mettre la virgule directement en dessous des autres dans la réponse.

Aligner les virgules, c'est aligner les rangs : unités sous unités, dixièmes sous dixièmes, centièmes sous centièmes. L'addition combine alors les unités de même rang entre elles, exactement comme avec les nombres entiers.

Unités	,	Dixièmes	Centièmes
3	,	8	3
2	,	7	0

Ajouter un zéro à la fin (\(2{,}7 \rightarrow 2{,}70\)) ne change pas le nombre, car \(2{,}7 = 2{,}70\) : sept dixièmes font soixante-dix centièmes. Le zéro ne fait que remplir la colonne vide des centièmes.

1. Étape 1 : Arrondir chaque nombre à un nombre simple proche — souvent à l'unité ; pour un nombre plus petit que \(1\), garder son premier chiffre non nul : \(0{,}29 \approx 0{,}3\) et \(0{,}048 \approx 0{,}05\).
2. Étape 2 : Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
3. Étape 3 : Conclure. Le résultat obtenu est un ordre de grandeur : le résultat exact en est proche.

Pour multiplier par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la droite du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

• Multiplier par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la droite.
• Multiplier par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la droite.
• Multiplier par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la droite.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Pour diviser par 10, 100 ou \(1\,000\), il faut déplacer la virgule vers la gauche du même nombre de rangs qu'il y a de zéros.

• Diviser par 10 (1 zéro) \(\rightarrow\) déplacer de 1 rang vers la gauche.
• Diviser par 100 (2 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 2 rangs vers la gauche.
• Diviser par 1000 (3 zéros) \(\rightarrow\) déplacer de 3 rangs vers la gauche.

S'il n'y a plus de chiffres, ajouter des zéros pour combler.

Comme \(0{,}1 = \dfrac{1}{10}\), \(0{,}01 = \dfrac{1}{100}\) et \(0{,}001 = \dfrac{1}{1\,000}\) :

• multiplier par \(0{,}1\), c'est diviser par \(10\) : la virgule se déplace de \(1\) rang vers la gauche ;
• multiplier par \(0{,}01\), c'est diviser par \(100\) : la virgule se déplace de \(2\) rangs vers la gauche ;
• multiplier par \(0{,}001\), c'est diviser par \(1\,000\) : la virgule se déplace de \(3\) rangs vers la gauche.

$$47 \times 0{,}1 = 47 \div 10 = 4{,}7 \qquad\quad 3{,}4 \times 0{,}01 = 3{,}4 \div 100 = 0{,}034 \qquad\quad 27 \times 0{,}001 = 27 \div 1\,000 = 0{,}027$$

Pour calculer un produit comme \(0{,}4 \times 0{,}3\) sans aucun dessin :

1. Étape 1 : écrire chaque décimal comme un nombre entier multiplié par \(0{,}1\), \(0{,}01\) ou \(0{,}001\). Ici \(0{,}4 = 4 \times 0{,}1\) et \(0{,}3 = 3 \times 0{,}1\).
2. Étape 2 : changer l'ordre des facteurs et les regrouper autrement — dans un produit, c'est toujours permis : les entiers ensemble, les \(0{,}1\) ensemble. $$0{,}4 \times 0{,}3 = (4 \times 0{,}1) \times (3 \times 0{,}1) = (4 \times 3) \times (0{,}1 \times 0{,}1)$$
3. Étape 3 : calculer les deux produits. \(4 \times 3 = 12\) et \(0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01\) (un dixième de dixième). $$0{,}4 \times 0{,}3 = 12 \times 0{,}01 = 0{,}12$$

Le produit de deux décimaux se ramène ainsi au produit de deux nombres entiers, suivi d'une multiplication par \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), …

1. Étape 1 : Ignorer les virgules. Écrire le calcul comme si les nombres étaient des entiers. Il n'est pas nécessaire d'aligner les virgules.
2. Étape 2 : Multiplier. Effectuer la multiplication comme avec des nombres entiers.
3. Étape 3 : Compter les chiffres après la virgule. Compter les chiffres après la virgule de chaque facteur et additionner ces nombres (un facteur entier n'en apporte aucun).
4. Étape 4 : Placer la virgule. Dans la réponse, placer la virgule de manière à avoir le même nombre de chiffres après la virgule que celui compté à l'étape 3.

Un nombre décimal est une fraction décimale : \(3{,}48 = \dfrac{348}{100}\) et \(2{,}9 = \dfrac{29}{10}\), car diviser par \(100\) ou par \(10\) déplace la virgule vers la gauche. Ainsi $$3{,}48 \times 2{,}9 = \frac{348}{100} \times \frac{29}{10} = \frac{348 \times 29}{1000} = \frac{10\,092}{1000} = 10{,}092 .$$ Les \(2\) chiffres après la virgule de \(3{,}48\) divisent le produit par \(100\) ; le chiffre après la virgule de \(2{,}9\) le divise par \(10\). Au total, le produit entier \(348 \times 29\) est divisé par \(1000\), donc le résultat a \(2 + 1 = 3\) chiffres après la virgule. Compter les chiffres après la virgule des deux nombres, c'est compter les zéros de cette division par une puissance de \(10\).

L'erreur la plus fréquente dans les calculs sur les décimaux n'est pas un chiffre faux mais une virgule mal placée — un résultat dix ou cent fois trop grand ou trop petit. Une estimation rapide permet de la repérer.

1. Étape 1 : Arrondir. Arrondir chaque nombre à l'unité (ou à un nombre simple proche).
2. Étape 2 : Estimer. Calculer mentalement avec les nombres arrondis.
3. Étape 3 : Comparer. Comparer l'estimation avec le résultat exact : ils doivent être du même ordre de grandeur. Sinon, chercher l'erreur — le plus souvent une virgule mal placée.

Dans une somme, les termes peuvent être échangés et regroupés dans n'importe quel ordre. Dans un produit, les facteurs peuvent être échangés et regroupés dans n'importe quel ordre. Choisir des paires qui forment des nombres simples — un nombre entier, \(1\), \(10\), \(100\) — accélère le calcul mental. $$\begin{aligned} 1{,}2+27{,}9+0{,}8&=(1{,}2+0{,}8)+27{,}9 &&\text{(échanger et regrouper les termes qui forment un entier)}\\ &=2+27{,}9\\ &=29{,}9 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2{,}5\times 6{,}7\times 4&=(2{,}5\times 4)\times 6{,}7 &&\text{(échanger et regrouper les facteurs qui forment un nombre simple)}\\ &=10\times 6{,}7\\ &=67 \end{aligned}$$ Ces propriétés sont valables pour l'addition et la multiplication ; elles ne le sont pas pour la soustraction ni pour la division.

La multiplication est distributive sur l'addition et la soustraction — ici les lettres \(k\), \(a\) et \(b\) désignent simplement des nombres quelconques : $$k\times(a+b)=k\times a+k\times b \qquad\qquad k\times(a-b)=k\times a-k\times b$$ Un facteur proche d'un nombre simple peut être remplacé par une somme ou une différence : $$\begin{aligned} 25\times 0{,}99&=25\times(1-0{,}01) &&\text{(car } 0{,}99=1-0{,}01\text{)}\\ &=25\times 1-25\times 0{,}01 &&\text{(distributivité)}\\ &=25-0{,}25\\ &=24{,}75 \end{aligned}$$

1. Étape 1 : Poser la division. Écrire le problème sous la forme d'une division posée.
2. Étape 2 : Placer la virgule. Écrire la virgule dans le quotient au moment d'abaisser le premier chiffre après la virgule du dividende.
3. Étape 3 : Diviser de gauche à droite. Diviser comme avec des nombres entiers, en ignorant maintenant la virgule.

Quand les chiffres du dividende sont épuisés, la division euclidienne s'arrête là : un quotient entier et un reste. Pour un quotient décimal, on la poursuit, car ajouter des zéros après la virgule ne change pas la valeur d'un nombre : \(10 = 10{,}0 = 10{,}00\).

1. Étape 1 : Épuiser les chiffres. Diviser comme d'habitude. Si le reste n'est pas nul après le dernier chiffre du dividende, continuer.
2. Étape 2 : Écrire la virgule et ajouter un zéro. Écrire la virgule dans le quotient (si elle n'y est pas déjà). Ajouter un zéro au dividende (\(10\) devient \(10{,}0\)) et abaisser ce zéro.
3. Étape 3 : Poursuivre la division. Continuer la division. Ajouter un nouveau zéro chaque fois que les chiffres manquent, jusqu'à ce que le reste soit nul ou que le quotient atteigne le nombre de chiffres demandé après la virgule.

Si le reste n'est jamais nul, le quotient ne se termine jamais : s'arrêter au rang demandé ; le quotient obtenu est alors une valeur approchée.