Division euclidienne, multiples et diviseurs

Pour tout dividende entier naturel et tout diviseur entier naturel non nul, il existe un quotient unique et un reste unique, qui sont aussi des entiers naturels, tels que : $$ \begin{array}{ccccccccl} \textcolor{olive}{\text{Dividende}} &=& \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}} & \times & \textcolor{colorprop}{\text{Quotient}} & + & \textcolor{orange}{\text{Reste}} & \text{avec} & \textcolor{orange}{\text{Reste}} < \textcolor{colordef}{\text{Diviseur}}\\ \textcolor{olive}{13} &=& \textcolor{colordef}{3} & \times & \textcolor{colorprop}{4} & + & \textcolor{orange}{1} & \text{avec} & \textcolor{orange}{1} < \textcolor{colordef}{3} \\ \end{array} $$ Cette division s'appelle aussi la division euclidienne.

Pour diviser \(8\,435\) par \(23\) :

1. Préparer les multiples du diviseur, une fois pour toutes : \(23\), \(46\), \(69\), \(92\), \(115\), \(138\), \(161\), \(184\), \(207\).
2. Prendre le plus court bloc de départ qui vaut au moins le diviseur : \(8 < 23\), donc on commence par \(84\) (pour \(2\,769 \div 58\), comme \(2 < 58\) et \(27 < 58\), le bloc de départ serait \(276\)). Le plus grand multiple ne dépassant pas \(84\) est \(69 = 23 \times 3\) : on écrit \(3\) au quotient et le reste \(84 - 69 = 15\).
3. Abaisser le chiffre suivant et recommencer : \(153\) ; \(138 = 23 \times 6 \le 153 < 161\) : on écrit \(6\), reste \(153 - 138 = 15\). Puis \(155\) ; \(138 \le 155 < 161\) : on écrit \(6\), reste \(155 - 138 = 17\).
4. Conclure et vérifier : \(8\,435 = 23 \times 366 + 17\) avec \(17 < 23\). En effet \(23 \times 366 = 8\,418\) et \(8\,418 + 17 = 8\,435\).

Si, après avoir abaissé un chiffre, le nombre obtenu est plus petit que le diviseur, écrire \(0\) au quotient et abaisser le chiffre suivant : dans \(4\,215 \div 42\), après le premier \(1\), les nombres \(1\) puis \(15\) sont tous deux plus petits que \(42\), donc le quotient est \(100\) et le reste \(15\).

Pour vérifier si un nombre \(a\) est divisible par un nombre non nul \(b\), effectuer la division euclidienne de \(a\) par \(b\).

• Si le reste est zéro, alors \(a\) est divisible par \(b\).
• Si le reste n'est pas zéro, alors \(a\) n'est pas divisible par \(b\).

Pour reconnaître ces multiples, regarder seulement le chiffre des unités :

• un nombre est un multiple de \(2\) quand il se termine par \(0\) ; \(2\) ; \(4\) ; \(6\) ou \(8\) (c'est un nombre pair) ;
• un nombre est un multiple de \(5\) quand il se termine par \(0\) ou \(5\) ;
• un nombre est un multiple de \(10\) quand il se termine par \(0\).

Cela marche car chaque dizaine est un multiple de \(2\), de \(5\) et de \(10\) : seul le chiffre des unités décide.

Savoir si un nombre en divise un autre ne suffit pas : un nombre a le plus souvent plusieurs diviseurs, et on peut les trouver tous.

• Essayer les nombres dans l'ordre — \(1\), puis \(2\), puis \(3\), et ainsi de suite.
• Chaque fois que l'un divise, écrire la paire : le diviseur trouvé, et le nombre par lequel on le multiplie.
• S'arrêter dès que le nombre essayé rattrape le dernier associé trouvé — c'est-à-dire dès qu'il lui devient égal, ou plus grand. Tout a été trouvé.

Exemple. Les diviseurs de \(\textcolor{olive}{24}\) : $$\begin{aligned}[t] \textcolor{olive}{24} &= \textcolor{colordef}{1} \times \textcolor{colorprop}{24} \\ \textcolor{olive}{24} &= \textcolor{colordef}{2} \times \textcolor{colorprop}{12} \\ \textcolor{olive}{24} &= \textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{8} \\ \textcolor{olive}{24} &= \textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{6} \\ \end{aligned}$$ \(5\) ne divise pas \(24\). Le nombre suivant à essayer est \(6\) — mais \(6\) est déjà l'associé de \(4\) : le nombre essayé a rattrapé son associé, la recherche s'arrête. Les diviseurs de \(24\) sont \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(6\) ; \(8\) ; \(12\) et \(24\).