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Éducation Nationale Française · CM1

Les expressions : nommer, calculer, écrire

⌚ ~90 min ▢ 9 blocs ✓ 35 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections
I Vocabulaire des opérations

Au téléphone, Léa demande à Tom : « Calcule le produit de \(12\) et \(8\). » Tom répond du tac au tac : « \(20\) ! » Léa attendait une autre réponse. Qu'a calculé Tom ? Donner la réponse que Léa attendait. Qui a mal parlé, qui a mal calculé ?

Tom a calculé la somme : \(12 + 8 = 20\) — voilà pourquoi il a répondu si vite. Léa demandait le produit : $$12 \times 8 = 96.$$ Personne n'a mal parlé et personne n'a mal calculé : Tom a confondu les mots. Chaque opération a un nom précis — c'est le vocabulaire de cette section.


Définition — Vocabulaire des opérations
Chaque opération a un nom pour son résultat et pour les nombres qu'elle combine :
  • le résultat d'une addition est une somme ; les nombres additionnés sont ses termes ;
  • le résultat d'une soustraction est une différence ; les nombres s'appellent aussi ses termes ;
  • le résultat d'une multiplication est un produit ; les nombres multipliés sont ses facteurs ;
  • le résultat d'une division est un quotient ; le nombre que l'on divise est le dividende, celui qui divise (jamais nul) est le diviseur.
Exemple
  • Dans \(8 + 5 = 13\), le nombre \(13\) est la somme ; \(8\) et \(5\) sont ses termes.
  • Dans \(20 - 7 = 13\), le nombre \(13\) est la différence des termes \(20\) et \(7\).
  • Dans \(6 \times 4 = 24\), le nombre \(24\) est le produit ; \(6\) et \(4\) sont ses facteurs.
  • Dans \(15 \div 3 = 5\), le nombre \(5\) est le quotient de \(15\) par \(3\).
Compétences à pratiquer
  • Nommer dans les expressions
  • Calculer une opération nommée
II Calculer avec des parenthèses

Lou et Sam calculent tous les deux \(20 - 8 - 2\).
  • Lou : « \(20 - 8 = 12\), puis \(12 - 2 = 10\). Le résultat est \(10\). »
  • Sam : « \(8 - 2 = 6\), puis \(20 - 6 = 14\). Le résultat est \(14\). »
Une même expression ne peut pas avoir deux valeurs. Lequel des deux a calculé \(20 - 8 - 2\) ? Comment l'autre doit-il écrire son calcul ?

Lou a calculé \(20 - 8 - 2\) : un calcul qui ne contient que des additions et des soustractions s'effectue de gauche à droite. $$\begin{aligned}[t]20 - 8 - 2 &= 12 - 2 &&\text{(de gauche à droite)}\\ &= 10\end{aligned}$$ Les étapes de Sam sont justes, mais il a calculé \(8 - 2\) en premier. Pour l'écrire, on met entre parenthèses le calcul effectué en premier : $$\begin{aligned}[t]20 - (8 - 2) &= 20 - 6 &&\text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 14\end{aligned}$$ \(20 - 8 - 2\) et \(20 - (8 - 2)\) sont deux calculs différents : les parenthèses changent le résultat.


Méthode — Calculer avec des parenthèses
Pour calculer une expression :
  1. D'abord les parenthèses : effectuer d'abord les calculs entre parenthèses ; quand des parenthèses sont à l'intérieur d'autres parenthèses, commencer par les plus intérieures.
  2. Puis de gauche à droite : un calcul qui ne contient que des additions et des soustractions, ou que des multiplications et des divisions, s'effectue de gauche à droite.
Pour indiquer quel calcul passe en premier, l'écrire entre parenthèses.
Exemple
Calculer \((12 - 4) \times 3\), puis \(12 - (4 \times 3)\).

$$\begin{aligned}[t](12 - 4) \times 3 &= 8 \times 3 &&\text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 24\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}[t]12 - (4 \times 3) &= 12 - 12 &&\text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 0\end{aligned}$$ Mêmes nombres, mêmes opérations — les parenthèses décident quel calcul passe en premier, et le résultat change.

Exemple
Calculer \(24 \div 4 \times 2\), puis \(20 - 8 + 3\).

Un calcul qui ne contient que des multiplications et des divisions s'effectue de gauche à droite. $$\begin{aligned} 24 \div 4 \times 2 &= 6 \times 2 &&\text{(de gauche à droite : la division d'abord)}\\ &= 12 \end{aligned}$$ et non \(24 \div 8 = 3\), qui ferait la multiplication d'abord. De même pour l'addition et la soustraction : $$\begin{aligned} 20 - 8 + 3 &= 12 + 3 &&\text{(de gauche à droite : la soustraction d'abord)}\\ &= 15 \end{aligned}$$ et non \(20 - 11 = 9\).

Compétences à pratiquer
  • Additionner et soustraire de la gauche à la droite
  • Multiplier et diviser de la gauche à la droite
  • Effectuer des opérations avec parenthèses
III Écrire et nommer une expression
Méthode — Écrire une expression
Pour transformer une phrase en une seule expression :
  1. Repérer l'opération nommée en premier : dans une phrase qui nomme le calcul, c'est elle qui s'effectue en dernier (« le double de la somme » — le double s'applique à toute la somme). Dans une suite d'instructions, c'est l'inverse : « ajouter \(3\) à \(2\), puis multiplier le résultat par \(4\) » s'écrit \((2 + 3) \times 4\) — la première instruction s'effectue en premier, donc elle se met entre parenthèses.
  2. Mettre entre parenthèses tout calcul qui doit être fait d'abord : la somme dans « le double de la somme », le résultat qu'utilise l'instruction suivante.
  3. Contrôler en calculant : recalculer l'expression, parenthèses d'abord — retrouve-t-on la phrase ?
Exemple
Écrire en une seule expression, puis calculer :
  • le double de la somme de \(6\) et \(9\) ;
  • la différence entre \(30\) et le produit de \(4\) par \(5\).

  • La somme \(6 + 9\) se calcule d'abord, puis on la double : elle se met entre parenthèses. $$\begin{aligned}[t]2 \times (6 + 9) &= 2 \times 15 &&\text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 30\end{aligned}$$
  • Le produit \(4 \times 5\) se calcule d'abord, puis on le soustrait de \(30\) : il se met entre parenthèses. $$\begin{aligned}[t]30 - (4 \times 5) &= 30 - 20 &&\text{(parenthèses d'abord)}\\ &= 10\end{aligned}$$

Définition — Nommer une expression
Une expression avec plusieurs opérations porte le nom de la dernière opération effectuée :
  • si la dernière opération est une addition, l'expression est une somme ;
  • si la dernière opération est une soustraction, l'expression est une différence ;
  • si la dernière opération est une multiplication, l'expression est un produit ;
  • si la dernière opération est une division, l'expression est un quotient.
Exemple
  • \((2 + 7) \times 4\) est un produit : les parenthèses sont calculées d'abord, donc la dernière opération est la multiplication. Ses facteurs sont \((2 + 7)\) et \(4\).
  • \(20 - (3 \times 5)\) est une différence : les parenthèses sont calculées d'abord, donc la dernière opération est la soustraction. Ses termes sont \(20\) et \((3 \times 5)\).
Compétences à pratiquer
  • Écrire l'expression à partir d'une phrase
  • Nommer une expression
  • Calculer une expression composée
IV Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes avec une seule expression
  • Quiz