Éducation Nationale Française · CM1

Premiers pas d'algèbre

⌚ ~162 min ▢ 18 blocs ✓ 74 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections

I Les deux côtés du signe égal

Hugo écrit $6 + 2 = 5 + 3$. Louis proteste : « C'est faux ! Après le signe égal, on doit écrire le résultat, $8$ ! » Qui a raison ?

Correction

Hugo a raison. Le côté gauche vaut $6 + 2 = 8$, et le côté droit vaut $5 + 3 = 8$ : les deux côtés valent le même nombre, donc l'égalité est vraie. Le signe égal ne veut pas dire « voici le résultat » : il veut dire « les deux côtés valent pareil ».

Définition — Égalité

Une égalité est une écriture avec un signe égal $=$ entre deux côtés. Elle est vraie quand les deux côtés valent le même nombre, comme les deux plateaux d'une balance en équilibre : $$\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{colorprop}{5 + 3}$$ car $\textcolor{colordef}{6 + 2} = \textcolor{olive}{8}$ et $\textcolor{colorprop}{5 + 3} = \textcolor{olive}{8}$.

Exemple

L'égalité $7 + 5 = 10 + 2$ est-elle vraie ou fausse ?

Correction

Le côté gauche vaut $7 + 5 = 12$ et le côté droit vaut $10 + 2 = 12$. Les deux côtés valent $12$ : l'égalité est vraie.

Exemple

L'égalité $4 \times 6 = 30 - 5$ est-elle vraie ou fausse ?

Correction

Le côté gauche vaut $4 \times 6 = 24$ et le côté droit vaut $30 - 5 = 25$. Les deux côtés ne valent pas le même nombre ($24 \neq 25$) : l'égalité est fausse.

Compétences à pratiquer

Calculer les deux côtés
Expliquer le signe égal

II Les égalités à trous

Méthode — Trouver le nombre manquant

Pour trouver le nombre manquant dans une égalité :

Calculer le côté que l'on connaît complètement : les deux côtés doivent valoir le même nombre.
Trouver le nombre manquant par l'opération inverse (une addition se défait par une soustraction, une multiplication par une division), ou en essayant des nombres.
Vérifier : remplacer la case par le nombre trouvé et calculer les deux côtés.

Exemple

Trouver le nombre manquant : $25 + \square = 40$.

Correction

Les deux côtés doivent valoir $40$. L'inverse d'ajouter $25$ est de soustraire $25$ : $\square = 40 - 25 = \textbf{15}$.
Vérification : $25 + 15 = 40$. $\checkmark$

Exemple

Trouver le nombre manquant : $178 - \square = 6 \times 8$.

Correction

On calcule d'abord le côté droit : $6 \times 8 = 48$. Donc $178 - \square = 48$ : le nombre manquant est ce qu'il faut enlever à $178$ pour arriver à $48$, c'est-à-dire $\square = 178 - 48 = \textbf{130}$.
Vérification : $178 - 130 = 48$ et $6 \times 8 = 48$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Trouver le nombre manquant
Égalités à deux calculs
Expliquer la méthode

III Représenter le nombre caché

Découverte

Deux tasses identiques cachent le même nombre de billes. À côté, il y a $4$ billes posées. En tout, il y a $10$ billes.

Combien de billes sont cachées dans chaque tasse ?

Correction

Sans les $4$ billes posées, les deux tasses cachent $10 - 4 = 6$ billes. Les deux tasses en cachent autant l'une que l'autre, donc chaque tasse cache $6 \div 2 = \textbf{3}$ billes.
Vérification : $3 + 3 + 4 = 10$. $\checkmark$

Définition — Représenter un nombre caché

Un nombre caché peut être représenté par un symbole comme $\square$, ou par une lettre comme $N$. Dans une même égalité, le même symbole cache toujours le même nombre. L'histoire des tasses peut s'écrire comme une égalité : $$\square + \square + 4 = 10$$

Exemple

Trouver le nombre caché par la lettre : $N \times 3 = 27$.

Correction

L'inverse de multiplier par $3$ est de diviser par $3$ : $N = 27 \div 3 = \textbf{9}$.
Vérification : $9 \times 3 = 27$. $\checkmark$

Exemple

$N$ boîtes contiennent $12$ œufs chacune, et il y a $5$ œufs posés. Le nombre total d'œufs s'écrit $(N \times 12) + 5$. Calculer le total pour $N = 3$ boîtes.

Correction

On remplace la lettre $N$ par $3$ : $$(3 \times 12) + 5 = 36 + 5 = \textbf{41}$$ Il y a $41$ œufs en tout.

Compétences à pratiquer

Trouver le nombre caché
Utiliser une formule avec une lettre
Écrire l'égalité

IV Problèmes algébriques et schémas en barres

Méthode — Dessiner le nombre caché

Pour résoudre un problème avec un nombre caché, dessiner un schéma en barres :

Dessiner le tout en une barre, et la couper en ses parties.
Écrire ce que l'on sait dans les parties, et $\square$ dans la partie cachée.
Lire l'opération sur le dessin, calculer, puis vérifier.

Exemple

Léa a $35$ images. Elle en donne quelques-unes ; il lui en reste $19$. Combien d'images a-t-elle données ?

Correction

Le tout est $35$ ; une partie est $19$, l'autre partie est cachée : $19 + \square = 35$. Donc $\square = 35 - 19 = \textbf{16}$. Léa a donné $16$ images.
Vérification : $19 + 16 = 35$. $\checkmark$

Exemple

$4$ paquets identiques contiennent $32$ autocollants en tout. Combien d'autocollants dans chaque paquet ?

Correction

Le tout est $32$, coupé en $4$ parties égales : $4 \times \square = 32$. Donc $\square = 32 \div 4 = \textbf{8}$ autocollants dans chaque paquet.
Vérification : $8 \times 4 = 32$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Lire des schémas en barres
Dessiner le schéma en barres

V Les programmes de calcul

Définition — Programme de calcul

Un programme de calcul est une liste d'instructions à suivre dans l'ordre, en partant d'un nombre choisi.

Programme A

Choisir un nombre.

Le multiplier par $2$.

Ajouter $5$.

Exemple

Exécuter le programme A en partant du nombre $7$.

Correction

$$7 \xrightarrow{\;\times 2\;} 14 \xrightarrow{\;+ 5\;} \textbf{19}$$ En partant de $7$, le programme A donne $19$.

Méthode — Retrouver le nombre de départ

Pour retrouver le nombre de départ à partir du résultat, remonter le programme à l'envers : défaire chaque instruction par son opération inverse, en commençant par la dernière. Puis vérifier dans le sens direct.

Exemple

Le programme A donne le résultat $23$. Quel était le nombre de départ ?

Correction

On remonte : la dernière instruction était « ajouter $5$ », défaite en soustrayant $5$ : $23 - 5 = 18$. Avant, « multiplier par $2$ », défaite en divisant par $2$ : $18 \div 2 = \textbf{9}$.
Vérification dans le sens direct : $9 \xrightarrow{\;\times 2\;} 18 \xrightarrow{\;+ 5\;} 23$. $\checkmark$

Compétences à pratiquer

Exécuter des programmes
Remonter le programme

VI Les suites de nombres

Définition — Suite numérique

Une suite numérique est une liste de nombres dans un ordre précis. Chaque nombre de la suite s’appelle un terme, et les termes suivent une règle qui permet de trouver le nombre suivant.

Définition — Suite évolutive

Une suite évolutive est une suite de nombres dont le pas change selon une règle. Trois règles courantes :

le pas grandit de 1 : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $7$ ; $11$… ($+1$ ; $+2$ ; $+3$ ; $+4$) ;
le pas double : $1$ ; $3$ ; $7$ ; $15$… ($+2$ ; $+4$ ; $+8$) ;
chaque nombre double : $3$ ; $6$ ; $12$ ; $24$… ($3 + 3 = 6$, puis $6 + 6 = 12$, puis $12 + 12 = 24$).

Avec ces trois règles, contrairement à une suite périodique, rien ne revient : les nombres grandissent toujours.

Méthode — Écrire les pas

Écrire les pas entre les nombres donnés : $1 \to 3$ c'est $+2$, $3 \to 7$ c'est $+4$, $7 \to 15$ c'est $+8$.
Trouver la règle des pas : ici chaque pas est le double du précédent.
Continuer pas à pas, en comptant les rangs, jusqu'au rang demandé : cinquième $15 + 16 = 31$, sixième $31 + 32 = 63$.

Quand la règle est « chaque nombre double », les pas sont les nombres eux-mêmes : $3 \to 6$ c'est $+3$, $6 \to 12$ c'est $+6$.

Compétences à pratiquer

Trouver la règle

VII Formuler la règle d'une suite

Exemple

Quel est le $6^{\text{e}}$ terme de cette suite ?

rang	1	2	3	4	5	6
terme	5	9	13	17	21	?

Correction

Le $6^{\text{e}}$ terme est $25$, car chaque terme augmente de $4$ : $21 + 4 = 25$.

Méthode — Formuler la règle d'une suite

Pour formuler la règle d'une suite de nombres :

calculer les sauts (les pas) d'un terme au suivant et les écrire sur des flèches ;
si tous les sauts sont égaux, la règle est « ajouter (ou soustraire) ce nombre » ;
si les sauts reviennent dans le même ordre ($+5$ ; $-2$ ; $+5$ ; $-2$ ; …), la règle les enchaîne : « ajouter $5$, puis soustraire $2$, et recommencer » ;
si les sauts grandissent sans cesse, chercher un même multiplicateur : « multiplier par …» ; s'il n'y en a pas, chercher la règle des sauts eux-mêmes, comme dans une suite dont le pas change.

Contrôler la règle sur tous les termes donnés, puis s'en servir pour poursuivre.

Exemple

Trouver la règle de la suite $80$ ; $85$ ; $83$ ; $88$ ; $86$ ; … puis écrire les deux termes suivants.

Correction

Les sauts d'un terme au suivant : $80 \xrightarrow{\;+5\;} 85 \xrightarrow{\;-2\;} 83 \xrightarrow{\;+5\;} 88 \xrightarrow{\;-2\;} 86$ Les sauts ne sont pas tous égaux, et ils ne grandissent pas sans cesse : ils reviennent dans le même ordre : $+5$ ; $-2$ ; $+5$ ; $-2$. La règle est : ajouter $5$, puis soustraire $2$, et recommencer. Elle donne tous les termes donnés : $80 + 5 = 85$ ; $85 - 2 = 83$ ; $83 + 5 = 88$ ; $88 - 2 = 86$. $$\begin{aligned}[t] 86 + 5 &= 91 && \text{(ajouter $5$)} \\ 91 - 2 &= 89 && \text{(soustraire $2$)} \end{aligned}$$ Les deux termes suivants sont $91$ et $89$.

Compétences à pratiquer

Trouver des termes dans un tableau
Trouver les termes manquants
Formuler la règle

VIII Motifs évolutifs

Méthode — Poursuivre un motif évolutif

Pour poursuivre un motif évolutif :

compter les éléments des premières figures et les écrire dans un tableau (figure $1$, figure $2$, figure $3$, …) ;
regarder ce qu'apporte chaque nouvelle figure : où se placent les nouveaux éléments, et combien il y en a ;
dire la règle en mots : « on commence avec …, puis on ajoute … à chaque figure » ;
poursuivre : dessiner la figure suivante, ou ajouter pas à pas jusqu'à la figure demandée, puis contrôler sur le dessin.

Exemple

Voici un motif évolutif de carrés faits de bâtonnets.

$\;,\quad$

$\;,\;\dots$ Trouver le nombre de bâtonnets de la figure $4$, puis de la figure $6$.

Correction

Figure	$1$	$2$	$3$
Bâtonnets	$4$	$7$	$10$

Chaque nouveau carré partage un côté avec le précédent : il apporte $3$ nouveaux bâtonnets. La règle en mots : on commence avec $4$ bâtonnets, puis on ajoute $3$ bâtonnets à chaque carré. Pas à pas : $$\begin{aligned}[t] 10 + 3 &= 13 && \text{(figure $4$)} \\ 13 + 3 &= 16 && \text{(figure $5$)} \\ 16 + 3 &= 19 && \text{(figure $6$)} \end{aligned}$$ La figure $4$ a $13$ bâtonnets et la figure $6$ en a $19$. Contrôle sur le dessin de la figure $4$ : $4$ bâtonnets en haut, $4$ en bas et $5$ debout, $4 + 4 + 5 = 13$.

Compétences à pratiquer

Poursuivre un motif évolutif

IX Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes
Quiz

Figure	\(1\)	\(2\)	\(3\)
Bâtonnets	\(4\)	\(7\)	\(10\)