Éducation Nationale Française · CE1
L'addition et la soustraction posées
I
Qu'est-ce que l'addition ?
Su a une collection de cubes. Elle a 18 cubes rouges et 23 cubes bleus. 
\(+\)
Comment peut-on savoir combien de cubes Su a au total ?
\(+\)
Pour trouver le total, il faut additionner les cubes rouges et les cubes bleus : $$\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23}$$ Quand on rassemble les groupes, on peut voir le total. \(+\)\(=\)
\(=\)
Au total, il y a \(\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23} = \textcolor{olive}{41}\) cubes.
Compter chaque cube un par un est long. Les méthodes « Ajouter les unités puis les dizaines » et « Addition en colonne » donnent des manières plus rapides d'additionner.
\(+\)\(=\)\(=\)Compter chaque cube un par un est long. Les méthodes « Ajouter les unités puis les dizaines » et « Addition en colonne » donnent des manières plus rapides d'additionner.
Définition — Addition
L'addition consiste à rassembler des groupes pour trouver le total, appelé la somme.En mathématiques, on utilise des symboles pour écrire cela :
- Le signe plus (\(+\)) signifie ajouter.
- Le signe égal (\(=\)) montre que ce qui est d'un côté est la même quantité que ce qui est de l'autre côté.
- Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23} = \textcolor{olive}{41}$$
- Avec des cubes : \(+\)\(=\)
- Avec un modèle partie-tout :
Compétences à pratiquer
- Additionner des nombres jusqu'à 20
- Additionner plusieurs nombres
- Compléter des égalités
II
Ajouter les unités puis les dizaines
Méthode — Ajouter les unités puis les dizaines avec des cubes
Pour calculer : 
\(+\) 
- Étape 1 : Regrouper les dizaines et les unités
- Étape 2 : Ajouter les unités $$\textcolor{colordef}{2} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{3} \text{ unités} = 5 \text{ unités}$$
- Étape 3 : Ajouter les dizaines $$\textcolor{colordef}{1} \text{ dizaine} + \textcolor{colorprop}{2} \text{ dizaines} = 3 \text{ dizaines}$$
- Résultat : Il y a 3 dizaines et 5 unités. Donc, $$\textcolor{colordef}{12} + \textcolor{colorprop}{23} = 35$$ \(+\) \(=\)
On calcule maintenant \(\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23}\). Cette fois, l'addition des unités donne un nombre supérieur à \(9\) : on regroupe les unités en une nouvelle dizaine.
Méthode — Ajouter les unités puis les dizaines avec retenue
Pour calculer : 
\(+\) - Étape 1 : Regrouper les dizaines et les unités
- Étape 2 : Ajouter les unités $$\textcolor{colordef}{8} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{3} \text{ unités} = 11 \text{ unités} = 1 \text{ dizaine} + 1 \text{ unité}$$
- Étape 3 : Ajouter les dizaines $$\textcolor{colordef}{1} \text{ dizaine} + \textcolor{colorprop}{2} \text{ dizaines} + 1 \text{ dizaine (la \textbf{retenue} : la dizaine que l'on reporte)} = 4 \text{ dizaines}$$
- Résultat : Il y a 4 dizaines et 1 unité. Donc, $$\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23} = 41$$ \(+\) \(=\)
Compétences à pratiquer
- Additionner jusqu'à 100 sans retenue avec un tableau
- Additionner jusqu'à 100 sans retenue
- Additionner jusqu'à 100 avec retenue avec un tableau
- Additionner jusqu'à 100 avec retenue
- Compléter des additions en images
III
L'addition en colonne jusqu'à 100
Méthode — Addition en colonne
Pour calculer : - Étape 1 : Poser l'addition
Écrire les nombres en colonne, en alignant bien les chiffres (unités sous unités, dizaines sous dizaines).
- Étape 2 : Ajouter les unités $$\textcolor{colordef}{2} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{3} \text{ unités} = 5 \text{ unités}$$
- Étape 3 : Ajouter les dizaines $$\textcolor{colordef}{1} \text{ dizaine} + \textcolor{colorprop}{2} \text{ dizaines} = 3 \text{ dizaines}$$
- Résultat : Il y a 3 dizaines et 5 unités. Donc,$$\textcolor{colordef}{12} + \textcolor{colorprop}{23} = 35$$
On additionne \(\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23}\) en colonne. Cette fois, l'addition des unités donne un nombre supérieur à \(9\) : on regroupe les unités en une nouvelle dizaine que l'on met en retenue dans la colonne des dizaines.
Méthode — Addition en colonne avec retenue
Pour calculer : - Étape 1 : Poser l'addition
Écrire les nombres en colonne, en alignant bien les chiffres (unités sous unités, dizaines sous dizaines).
- Étape 2 : Ajouter les unités $$\textcolor{colordef}{8} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{3} \text{ unités} = 11 \text{ unités} = 1 \text{ dizaine} + 1 \text{ unité}$$ Écrire le 1 dans la colonne des unités et reporter la dizaine de retenue en haut de la colonne des dizaines.
- Étape 3 : Ajouter les dizaines $$\textcolor{colordef}{1} \text{ dizaine} + \textcolor{colorprop}{2} \text{ dizaines} + 1 \text{ dizaine (retenue)} = 4 \text{ dizaines}$$
- Résultat : $$\textcolor{colordef}{18} + \textcolor{colorprop}{23} = 41$$
Compétences à pratiquer
- Lire une addition en colonne sans retenue
- Additionner jusqu'à 100 avec addition en colonne sans retenue
- Lire une addition en colonne avec retenue
- Additionner jusqu'à 100 avec addition en colonne avec retenue
IV
L'addition en colonne jusqu'à 1 000
Méthode — Addition en colonne avec retenue jusqu'à 1 000
On calcule : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545}$$ - Étape 1 : Aligner les nombres par valeur de position.
On écrit les nombres l'un au-dessus de l'autre, en s'assurant que les unités, les dizaines et les centaines sont dans des colonnes bien droites.
- Étape 2 : Additionner les unités. $$\textcolor{colordef}{8} \text{ unités} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ unités} = 13 \text{ unités}$$ 13 unités, c'est 1 dizaine et 3 unités. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des unités et on met la dizaine en retenue au-dessus de la colonne des dizaines.
- Étape 3 : Additionner les dizaines. $$1 \text{ dizaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{8} \text{ dizaines} + \textcolor{colorprop}{4} \text{ dizaines} = 13 \text{ dizaines}$$ 13 dizaines, c'est 1 centaine et 3 dizaines. On écrit le \(\textcolor{olive}{3}\) dans la colonne des dizaines et on met la centaine en retenue au-dessus de la colonne des centaines.
- Étape 4 : Additionner les centaines. $$1 \text{ centaine (retenue)} + \textcolor{colordef}{2} \text{ centaines} + \textcolor{colorprop}{5} \text{ centaines} = \textcolor{olive}{8} \text{ centaines}$$ On écrit le \(\textcolor{olive}{8}\) dans la colonne des centaines.
- Le Résultat : $$\textcolor{colordef}{288} + \textcolor{colorprop}{545} = \textcolor{olive}{833}$$
\(+\) 
\(=\) 
Méthode — Additionner trois nombres en colonne
Trois nombres se posent aussi en colonnes, même de longueurs différentes. On calcule : - Étape 1 : poser l'addition Unités sous unités, dizaines sous dizaines, centaines sous centaines — le \(7\) va dans la colonne des unités.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \phantom{\scriptstyle 1} & \phantom{\scriptstyle 2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{white}{5} & \textcolor{white}{1} \\ \end{array}\) - Étape 2 : additionner les unités $$6 + 7 + 8 = 21$$ On écrit \(1\), et la retenue vaut \(\mathbf{2}\) dizaines.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \phantom{\scriptstyle 1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{white}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Étape 3 : additionner les dizaines $$7 + 6 + 2 = 15$$ On écrit \(5\), retenue \(1\) centaine.
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \scriptstyle\textcolor{olive}{1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{white}{6} & \textcolor{olive}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Étape 4 : additionner les centaines $$5 + 1 = 6$$
\(\begin{array}{r@{\;}r@{\;}r@{\;}r} & \scriptstyle\textcolor{olive}{1} & \scriptstyle\textcolor{olive}{2} & \\ & & 7 & 6 \\ & & & 7 \\ + & 5 & 6 & 8 \\ \hline & \textcolor{olive}{6} & \textcolor{olive}{5} & \textcolor{olive}{1} \\ \end{array}\) - Résultat : $$76 + 7 + 568 = 651$$
Compétences à pratiquer
- Additionner jusqu'à 1000 sans et avec retenue
- Additionner des nombres jusqu'à 1000 avec deux retenues
- Poser une addition de trois nombres en colonne jusqu'à 100
- Poser une addition de trois nombres en colonne jusqu'à 1000
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
V
Qu'est-ce que la soustraction ?
On a 32 cubes. Si on en donne 14 à un ami, comment peut-on savoir combien il en reste ? 
\(-\) 
\(= \; ?\) Cette opération s'appelle une soustraction.
\(-\) \(= \; ?\)
Quand on commence avec 32 et qu'on en enlève 14, on peut voir ce qu'il reste. 
\(-\) 
\(=\) 
Il reste 18 cubes. $$32-14=18$$ Compter les cubes un par un peut être long. Soustraire les unités puis les dizaines, et la soustraction en colonne, sont des stratégies plus rapides.
\(-\) \(=\) Définition — Soustraction
La soustraction, c'est enlever une quantité d'un groupe pour trouver ce qu'il reste. Ce résultat s'appelle la différence. - Le signe moins (\(-\)) indique qu'il faut soustraire.
- Le signe égal (\(=\)) montre que les deux côtés ont la même valeur.
- Avec des nombres : $$32 - 14 = 18$$
- Avec des cubes : \(-\) \(=\)
- Avec le modèle partie-tout (32 est le tout ; 14 et 18 sont les parties) :
Compétences à pratiquer
- Soustraire des nombres jusqu'à 20
- Soustraire plusieurs nombres
VI
Soustraire les unités puis les dizaines
Méthode — Soustraire les unités puis les dizaines avec des cubes
Pour calculer : 
- Étape 1 : Soustraire les unités $$7 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 3 \text{ unités}$$
- Étape 2 : Soustraire les dizaines $$3 \text{ dizaines} - 1 \text{ dizaine} = 2 \text{ dizaines}$$
- Résultat : 1 dizaine et 4 unités des 37 cubes sont barrées. Il reste 2 dizaines et 3 unités. Donc, $$37 - 14 = 23$$
On considère \(32 - 14\). Quand on regarde la position des unités, on doit faire : $$2 \text{ unités} - 4 \text{ unités}$$ Il n'y a pas assez d'unités pour en enlever 4. Pour résoudre cela, on échange 1 dizaine contre 10 unités. Il y a alors assez d'unités pour soustraire.
Méthode — Soustraire les unités puis les dizaines avec échange
Pour calculer : \(-\) - Étape 1 : Soustraire les unités avec échange $$2 \text{ unités} - 4 \text{ unités}$$ Il n’y a pas assez d’unités. On échange 1 dizaine contre 10 unités. On a alors \(12\) unités. $$12 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 8 \text{ unités}$$ \(-\)
=
- Étape 2 : Soustraire les dizaines Après l'échange, il reste 2 dizaines. $$2 \text{ dizaines} - 1 \text{ dizaine} = 1 \text{ dizaine}$$
- Résultat : Il y a 1 dizaine et 8 unités. Donc, $$32 - 14 = 18$$ \(-\) \(=\)
Compétences à pratiquer
- Soustraire jusqu'à 100 sans échange dans un tableau
- Soustraire jusqu'à 100 sans échange
- Soustraire jusqu'à 100 avec échange dans un tableau
- Soustraire jusqu'à 100 avec échange
- Compléter des soustractions en images
VII
Soustraction en colonne
Méthode — Soustraction en colonne
Pour calculer : $$37 - 14$$ - Étape 1 : Poser la soustraction
On écrit les nombres en colonne, en alignant bien les chiffres (unités sous unités, dizaines sous dizaines).
- Étape 2 : Soustraire les unités $$7 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 3 \text{ unités}$$
- Étape 3 : Soustraire les dizaines $$3 \text{ dizaines} - 1 \text{ dizaine} = 2 \text{ dizaines}$$
- Résultat : Il y a 2 dizaines et 3 unités. Donc,$$37 - 14 = 23$$
Méthode — Soustraction en colonne avec échange
Pour calculer : - Étape 1 : Poser la soustraction
On écrit les nombres en colonne, en alignant bien les chiffres (unités sous unités, dizaines sous dizaines).
- Étape 2 : Échanger 1 dizaine $$2 \text{ unités} - 4 \text{ unités}$$ Il n’y a pas assez d’unités. On échange 1 dizaine contre 10 unités. On a alors \(12\) unités.
- Étape 3 : Soustraire les unités $$12 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 8 \text{ unités}$$
- Étape 4 : Soustraire les dizaines Après l'échange, il reste 2 dizaines. $$2 \text{ dizaines} - 1 \text{ dizaine} = 1 \text{ dizaine}$$
- Résultat : Il y a 1 dizaine et 8 unités. Donc, $$32 - 14 = 18$$
Compétences à pratiquer
- Soustraire en colonne jusqu'à 100 sans échange
- Soustraire en colonne jusqu'à 100 avec échange
- Soustraire en colonne jusqu'à 1000 sans retenue
VIII
Une autre stratégie : la compensation
La différence, c'est aussi un écart
Soustraire, ce n'est pas seulement enlever. Sur la droite graduée, \(32 - 14\) est aussi l'écart entre \(14\) et \(32\) : la distance pour aller de \(14\) à \(32\). 
À partir de \(14\), on avance jusqu'à la dizaine entière \(20\) (\(+6\)), puis jusqu'à \(30\) (\(+10\)), puis jusqu'à \(32\) (\(+2\)). L'écart vaut \(6 + 10 + 2 = 18\), donc \(32 - 14 = 18\).
- Chercher l'écart, c'est compléter l'addition à trou \(14 + \ldots = 32\) : \(32 - 14 = 18\) car \(14 + 18 = 32\).
- Cette façon est rapide quand les deux nombres sont proches : de \(48\) à \(52\), l'écart est \(4\), donc \(52 - 48 = 4\).
Léa doit calculer \(32 - 14\) — un calcul que l'on connaît déjà — mais elle ne veut pas casser — échanger — de dizaine. Elle dit : « j'ajoute \(6\) aux deux nombres : \(38 - 20\), c'est facile ! »
En a-t-elle le droit ? Trouve-t-elle le bon résultat ?
En a-t-elle le droit ? Trouve-t-elle le bon résultat ?
Oui. Sur la droite graduée, \(32 - 14\) est l'écart de \(14\) à \(32\) : il vaut \(18\). On fait glisser les deux nombres de \(6\) : l'écart glisse avec eux — \(38 - 20\) vaut toujours \(18\), et enlever \(20\), c'est facile. 
Proposition — La différence ne change pas
Si on ajoute la même quantité aux deux nombres, la différence ne change pas. Les deux nombres glissent ensemble, alors l'écart entre les deux ne bouge pas. $$32 - 14 = 38 - 20 = 42 - 24 = 18$$ Méthode — Soustraction par compensation
On calcule : - Étape 1 : Poser la soustraction.
- Étape 2 : Vérifier la colonne des unités. On doit faire \(2 - 4\), mais il n'y a pas assez d'unités.
- Étape 3 : Compenser. On ajoute 10 unités au nombre du haut (ce qui donne 12 unités). Pour que cela reste juste, on ajoute aussi 1 dizaine au nombre du bas (ce qui donne 2 dizaines).
- Étape 4 : Soustraire les unités. C'est facile maintenant : $$12 \text{ unités} - 4 \text{ unités} = 8 \text{ unités}$$
- Étape 5 : Soustraire les dizaines. $$3 \text{ dizaines (de 32)} - 1 \text{ dizaine (de 14)} - 1 \text{ dizaine (compensée)} = 1 \text{ dizaine}$$
- Résultat : La différence est de 1 dizaine et 8 unités. Donc, $$32 - 14 = 18$$
\(-\) \(=\) Méthode — Soustraction en colonne jusqu'à 1 000 par compensation
La compensation fonctionne de la même façon avec les centaines. On calcule : - Étape 1 : poser la soustraction
Centaines sous centaines, dizaines sous dizaines, unités sous unités.
- Étape 2 : soustraire les unités $$4 - 8 \text{ est impossible.}$$ On ajoute \(10\) unités en haut — le petit \(1\) devant le \(4\) — et on compense avec \(1\) dizaine en bas : \(14 - 8 = 6\).
- Étape 3 : soustraire les dizaines $$6 - 2 - 1 = 3$$
- Étape 4 : soustraire les centaines $$3 - 1 = 2$$
- Résultat : $$364 - 128 = 236$$
Exemple
Calculer \(534 - 178\) par compensation.
On compense deux fois, une fois pour chaque colonne bloquée.
- Unités : on ajoute \(10\) unités en haut, \(1\) dizaine en bas : \(14 - 8 = 6\).
- Dizaines : on ajoute \(10\) dizaines en haut, \(1\) centaine en bas : \(13 - 8 = 5\).
- Centaines : \(5 - 1 - 1 = 3\).
Compétences à pratiquer
- Soustraire en colonne avec la compensation
- Soustraire en colonne jusqu'à 1000 avec double compensation
- Poser une soustraction en colonne jusqu'à 100
- Poser une soustraction en colonne jusqu'à 1000
- Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
- Résoudre des problèmes à plusieurs questions
IX
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Trouver les chiffres manquants dans une addition posée
- Détecter et corriger des erreurs de retenue
- Choisir une stratégie de soustraction
- Expliquer pourquoi la compensation fonctionne
- Résoudre des problèmes à deux étapes
- Quiz
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