La résolution de problèmes

Ce sont les quatre étapes déjà connues (chercher, essayer, vérifier, dire), précisées par le modèle : chercher devient comprendre l'histoire ; essayer devient dessiner un modèle et choisir l'opération ; vérifier et dire se retrouvent dans la dernière étape : on calcule, on s'assure que la réponse a du sens, puis on la donne.

1. Comprendre l'histoire : on lit le problème pour identifier les parties et le tout.
2. Dessiner un modèle : on utilise un modèle partie-tout (aussi appelé schéma en barres) pour organiser les informations.
3. Choisir l'opération : si le tout est inconnu, on additionne les parties. Si une partie est inconnue, on soustrait la partie connue du tout.
4. Résoudre et vérifier : on calcule la réponse et on s'assure qu'elle a du sens dans le contexte de l'histoire.

Certains problèmes ne se résolvent pas avec un seul calcul : la question cache un autre nombre qu'il faut trouver d'abord.

1. Trouver le nombre caché : On lit l'histoire et on repère le nombre dont la question a besoin mais qui n'est pas donné. On le calcule d'abord.
2. Répondre à la question : On utilise le nombre caché dans un deuxième calcul pour répondre à la question.
3. Vérifier : On s'assure que la réponse a du sens dans l'histoire.

Le même modèle partie-tout fonctionne pour les grands nombres. À retenir : la barre n'a pas besoin d'être dessinée à l'échelle — son rôle est d'aider à choisir l'opération, pas de mesurer.

• Si le tout est inconnu, on additionne les parties.
• Si une partie est inconnue, on soustrait la partie connue du tout.
• On calcule de tête quand les nombres le permettent, sinon on pose le calcul en colonne.

Dans un problème de comparaison, rien n'est découpé en parties : deux quantités sont comparées. Alors on dessine deux barres séparées, l'une sous l'autre, et on marque l'écart.

• Une barre par quantité : la plus grande est la plus longue.
• Lire le modèle, pas les mots : « de plus que » ou « de moins que » dit qui a plus — c'est ensuite le modèle qui dit s'il faut additionner ou soustraire.
• Pour trouver la plus grande : on ajoute l'écart. Pour la plus petite : on le soustrait. Pour l'écart : on soustrait la petite de la grande.

La méthode du « nombre caché » fonctionne toujours avec les grands nombres. Pour rester organisé :

• une étape par ligne : on nomme le nombre caché, puis on écrit son calcul ;
• on calcule de tête quand les nombres le permettent, sinon on pose le calcul en colonne ;
• un modèle partie-tout pour chaque étape aide à choisir chaque opération.

Dans un problème mixte, une étape est une multiplication, l'autre une addition ou une soustraction.

• Des groupes égaux dans l'histoire (« paquets de…», « boîtes de…», « rangées de…») : quand on connaît le nombre de groupes et la taille d'un groupe, la multiplication donne le nombre caché.
• Ensuite, on lit le reste de l'histoire comme un problème partie-tout : cela donne la deuxième étape.
• Une étape par ligne — les tables et les dizaines entières font le travail.

Deux questions se ressemblent mais ne sont pas les mêmes :

• Partager : « \(12\) pommes pour \(3\) enfants, combien chacun ? » — on distribue une par une et on compte ce que chaque enfant reçoit.
• Grouper : « \(12\) pommes dans des sachets de \(3\), combien de sachets ? » — on entoure des groupes de \(3\) et on compte les groupes.

Sans dessin, on peut ajouter \(3\) encore et encore jusqu'à atteindre \(12\) : \(3\), \(6\), \(9\), \(12\) — quatre nombres dits, donc \(4\) groupes.

Dans un partage équitable, la barre montre le tout au-dessus et les parts en dessous. Deux questions peuvent être posées :

• Combien de parts ? On connaît la valeur d'une part. On cherche combien de fois elle fait le tout : \(60\) enfants en équipes de \(5\) : \(5 \times \ldots = 60\), donc \(12\) équipes.
• Combien dans chaque part ? On connaît le nombre de parts. On cherche le nombre qui, pris autant de fois, fait le tout : \(200\) élèves en \(40\) équipes : \(40 \times \ldots = 200\), donc \(5\) élèves par équipe.

Quand la table ne suffit pas, on compte par sauts : \(5\), \(10\), \(15\)… jusqu'à \(60\), et on compte les sauts : \(12\). Toujours vérifier : les parts réunies doivent faire le tout.

Parfois les parts ne font pas exactement le tout. On cherche le plus grand nombre de parts pleines, on dit ce qu'il reste, et on répond à la question posée :

• \(189\) photos, \(10\) par page : \(10 \times 18 = 180\), il reste \(9\) photos. Il leur faut une page aussi : il faut \(19\) pages.
• \(38\) œufs, à vendre par boîtes de \(4\) : \(4 \times 9 = 36\), il reste \(2\) œufs. Ils ne remplissent pas une boîte : on peut vendre \(9\) boîtes.

Le même reste compte une page de plus, mais pas une boîte de plus : lire la question avant de répondre.