Aller au contenu
\( \definecolor{colordef}{RGB}{249,49,84} \definecolor{colorprop}{RGB}{18,102,241} \)
Éducation Nationale Française · CE1

La multiplication

⌚ ~154 min ▢ 17 blocs ✓ 69 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : L'addition et la soustraction posées
I Des groupes égaux
Méthode — Compter des groupes égaux
Quand des objets sont rangés en groupes égaux, on n'a pas besoin de les compter un par un. On compte par la taille d'un groupe, une fois par groupe. On dit : \(4\) fois \(5\) — le mot fois dit combien il y a de groupes égaux.
Ici, il y a \(4\) groupes de \(5\) cubes. On compte de 5 en 5, en disant un nombre par groupe :
Illustration
On atteint \(5\), \(10\), \(15\), \(20\) : il y a \(20\) cubes en tout.
Méthode — Du récit à l'addition répétée
  1. Trouver les groupes : On lit l'histoire et on cherche combien il y a de groupes.
  2. Trouver la taille : On cherche combien il y a d'objets dans chaque groupe.
  3. Écrire l'addition répétée : On écrit la taille d'un groupe une fois pour chaque groupe, avec des signes \(+\) entre les nombres.
  4. Compter par bonds : On compte par bonds de la taille d'un groupe (de 2 en 2, de 5 en 5 ou de 10 en 10) pour trouver le total.
Compétences à pratiquer
  • Compter des groupes de 5
II Qu'est-ce que la multiplication ?

Louis adore les pommes et mange 2 pommes chaque jour : Illustration.
Comment pourrait-on savoir combien de pommes il mange en une semaine (7 jours) ?
Illustration

Une façon de faire est d'utiliser l'addition répétée. On peut additionner 2 pommes pour chacun des 7 jours : $$\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2} = 14$$ Cela fonctionne, mais c'est long à écrire. Une manière beaucoup plus rapide est d'utiliser la multiplication.
Quand on a \(\textcolor{colordef}{7}\) groupes de \(\textcolor{colorprop}{2}\), on peut l'écrire \(\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2}\). Le symbole \(\times\) signifie « fois » ou « groupes de ». $$\textcolor{colordef}{7}\times \textcolor{colorprop}{2} \quad \text{c'est la même chose que} \quad \textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}+\textcolor{colorprop}{2}$$


Définition — Multiplication
La multiplication est une façon rapide de montrer une addition répétée du même nombre. On peut représenter l'idée de « \(\textcolor{colordef}{\text{quatre}}\) fois \(\textcolor{colorprop}{\text{trois}}\) égale \(\textcolor{olive}{\text{douze}}\) » de nombreuses manières :
  • Avec des nombres : $$\textcolor{colordef}{4}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • En groupes : $$\textcolor{colordef}{4}\text{ groupes de }\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • En addition répétée :$$\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{olive}{12}$$
  • Avec des cubes :
    Illustration
  • Avec un modèle partie-tout :
    Illustration
Exemple
Écrire l'addition répétée \(\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}+\textcolor{colorprop}{5}\) sous forme de multiplication.

Le nombre 5 apparaît 3 fois dans l'addition. Donc, la multiplication est : $$ \textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{5}$$

Exemple
Un paquet contient \(20\) gâteaux. Sam achète \(6\) paquets. Écrire une multiplication et trouver combien de gâteaux Sam a.
Illustration

Six paquets de \(20\), c'est \(6\) fois \(20\) : $$6 \times 20 \text{ gâteaux}$$ Pas besoin d'additionner \(20+20+20+20+20+20\) un par un : \(20\), c'est \(2\) dizaines, et additionner six \(2\) est facile : \(2+2+2+2+2+2 = 12\). Donc \(6\) fois \(2\) dizaines font \(12\) dizaines, c'est-à-dire \(120\). $$6 \times 20 \text{ gâteaux} = 120 \text{ gâteaux}$$ La multiplication est bien plus courte à écrire que l'addition répétée.

Compétences à pratiquer
  • Trouver le nombre de groupes
  • Écrire des multiplications à partir des groupes
  • Trouver le nombre de groupes et le nombre de fruits dans chaque groupe
  • Écrire les additions répétées en multiplications
  • Identifier les multiplications et les additions répétées à partir des mots
  • Identifier les multiplications et les additions répétées à partir de groupes
  • Calculer les multiplications avec des cubes
  • Multiplier des dizaines rondes
III Sur la droite graduée

Louis montre la multiplication \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}\) sur une droite graduée : en partant de \(0\), il fait \(\textcolor{colordef}{4}\) sauts de \(\textcolor{colorprop}{3}\).
Illustration
Sur quel nombre arrive-t-il ?

Chaque saut ajoute \(\textcolor{colorprop}{3}\) : \(0 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(3 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(6 + \textcolor{colorprop}{3}\), \(9+\textcolor{colorprop}{3}\). Après \(\textcolor{colordef}{4}\) sauts, Louis arrive sur \(\textcolor{olive}{12}\) : $$\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3}+\textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{olive}{12}$$


Méthode — Multiplication sur la droite graduée
On peut montrer la multiplication comme des « sauts » sur une droite graduée. Pour montrer \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3}\), on peut commencer à 0 et faire \(\textcolor{colordef}{4}\) sauts de taille \(\textcolor{colorprop}{3}\).
Illustration
Chaque saut représente l'ajout de 3. Après 4 sauts, on arrive sur \(\textcolor{olive}{12}\). Donc, \(\textcolor{colordef}{4} \times \textcolor{colorprop}{3} = \textcolor{olive}{12}\).
Compétences à pratiquer
  • Calculer des multiplications avec la droite graduée
IV La multiplication dans les problèmes
Méthode — Trouver le total avec des groupes
Dans les problèmes, on peut trouver le total en multipliant le nombre de groupes par le nombre d'objets dans chaque groupe. $$\textcolor{colordef}{\text{Nombre de groupes}} \times \textcolor{colorprop}{\text{Nombre dans chaque groupe}} =\textcolor{olive}{\text{Total}} $$ Par exemple, s'il y a \(\textcolor{colordef}{3}\) sacs et que chaque sac contient \(\textcolor{colorprop}{2}\) pommes, le nombre total de pommes est : $$\textcolor{colordef}{3} \times \textcolor{colorprop}{2} = \textcolor{olive}{6}$$
Illustration
Compétences à pratiquer
  • Résoudre des problèmes de la vie quotidienne avec un dessin
  • Résoudre des problèmes de la vie quotidienne
V Est-ce que l'ordre est important ?

Hugo et Louis regardent ce groupe de cubes.
Illustration
Pour trouver le total, Hugo pense qu'ils devraient calculer \(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}\), mais Louis pense que ça devrait être \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3}\). Qui a raison ? Est-ce que les deux peuvent avoir raison ?

Ils ont tous les deux raison.
  • Louis voit \(\textcolor{colordef}{2}\) colonnes, avec \(\textcolor{colorprop}{3}\) cubes dans chaque colonne (2 groupes de 3).
    Illustration
    Son total est \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3} = 6\) cubes.
  • Hugo voit \(\textcolor{colordef}{3}\) rangées, avec \(\textcolor{colorprop}{2}\) cubes dans chaque rangée (3 groupes de 2).
    Illustration
    Son total est \(\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2} = 6\) cubes.
Ils obtiennent tous les deux la même réponse. Cela montre que \(\textcolor{colordef}{2}\times \textcolor{colorprop}{3}=\textcolor{colordef}{3}\times \textcolor{colorprop}{2}\).


Proposition — Propriété commutative
La multiplication est commutative : changer l'ordre des nombres ne change pas le résultat. Des cubes rangés en rangées et en colonnes forment une grille : on peut la compter par colonnes ou par rangées.
Illustration
Compétences à pratiquer
  • Trouver des expressions à partir de grilles
  • Écrire la propriété commutative
  • Trouver une méthode plus simple pour calculer une multiplication
  • Utiliser l'ordre de la multiplication
VI Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
  • Compléter des multiplications en images
  • Quiz