Automatismes : questions flash

Le carré d'une somme et le carré d'une différence peuvent s'écrire : $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \quad\text{et}\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

On considère un ensemble de \(E\) éléments, une partie formée de \(A\) éléments, et à l'intérieur de celle-ci une partie plus petite formée de \(B\) éléments. On note \(p\) la proportion de la première partie, et \(q\) celle de la seconde à l'intérieur d'elle. Alors la proportion de la plus petite partie dans le tout est le produit : $$\frac{B}{E} = \frac{B}{A} \times \frac{A}{E} = q \times p.$$ L'étape du milieu est toute la démonstration : \(A\) se simplifie. Les proportions emboîtées se multiplient — on n'additionne jamais \(p\) et \(q\). La figure est la formule : \(B\) occupe la fraction \(p\) de la largeur et la fraction \(q\) de la hauteur, donc il couvre \(p \times q\) du rectangle.
Pour lire la composition à l'envers, on divise : si \(p \times q\) et \(p\) sont connus, alors \(q = \dfrac{p \times q}{p}\).

1. Repérer la référence : la date (ou le produit) dont l'indice vaut \(100\).
2. Calculer un indice : diviser la valeur par la valeur de référence et multiplier par \(100\) ; retrouver une valeur à partir de son indice : multiplier la valeur de référence par \(\dfrac{I}{100}\).
3. Lire un taux : depuis la date de référence, \(t = I - 100\) ; entre deux autres dates, comparer les deux indices comme des valeurs.
4. Changer de référence : pour prendre une nouvelle date de référence, diviser chaque indice par l'indice de cette date et multiplier par \(100\) — les taux entre dates ne changent pas.

1. Repérer les points où la courbe rencontre l'axe des abscisses : en ces valeurs, \(f\) s'annule (\(f(x) = 0\)).
2. Là où la courbe est au-dessus de l'axe, \(f(x) \gt 0\) ; là où elle est en dessous, \(f(x) \lt 0\).
3. Résumer dans un tableau de signes : les valeurs où \(f\) s'annule sur la première ligne, les symboles \(+\), \(0\) et \(-\) sur la seconde.

La courbe d'une fonction du second degré \(f(x)=a(x-p)(x-q)\) est une parabole avec :

• Orientation : Déterminée par le signe de \(a\).
  • Si \(a > 0\), tournée vers le haut.
  • Si \(a < 0\), tournée vers le bas.
• Racines : La courbe coupe ou touche l'axe des abscisses en \((p\,;\,0)\) et \((q\,;\,0)\).
  • Si \(p \neq q\), il y a deux points d'intersection distincts avec l'axe des abscisses.
  • Si \(p=q\), il n'y a qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses, \((p\,;\,0)\), qui est aussi le sommet. La courbe touche l'axe des abscisses en ce point.
• Axe de symétrie : La droite \(x = \frac{p+q}{2}\).
• Sommet : Le point \((\frac{p+q}{2}\,;\,f(\frac{p+q}{2}))\).

Les fonctions suivantes sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) : \renewcommand{\arraystretch}{1.4}

\(f(x)\)	\(k\) (constante)	\(x\)	\(x^2\)	\(x^3\)
\(f'(x)\)	\(0\)	\(1\)	\(2x\)	\(3x^2\)

Si \(u\) et \(v\) sont dérivables et si \(k\) est un nombre réel :

• Somme : \((u + v)' = u' + v'\) ;
• Produit par une constante : \((k\,u)' = k\,u'\).

Par conséquent, toute fonction polynôme de degré inférieur ou égal à \(3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) : si \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), alors $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c.$$