Variables aléatoires à densité

Comme \(f \ge 0\), l'intégrale \(F\) est croissante (on ajoute de l'aire positive), et \(0 \le F(x) \le \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\). La limite en \(+\infty\) vaut \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) par définition, et en \(-\infty\) elle vaut \(0\). La continuité vient de la continuité d'une intégrale par rapport à sa borne supérieure (l'intégrande n'ayant qu'un nombre fini de discontinuités) ; cela correspond aux propriétés de fonction de répartition du ch. 9.

Comme \(F_X\) est continue, \(P(X = a) = F_X(a) - \lim_{t \to a^-} F_X(t) = 0\). Puis, avec \(P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)\) et la relation de Chasles, $$\begin{aligned} P(a \le X \le b) &= P(a < X \le b) && \text{(car \(P(X = a) = 0\))} \\ &= F_X(b) - F_X(a) \\ &= \int_{-\infty}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t - \int_{-\infty}^{a} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b f(t)\, \mathrm{d}t. \end{aligned}$$

Là où \(f\) est continue, \(F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t\) est une primitive de \(f\) par le théorème fondamental de l'analyse, donc y est \(\mathcal{C}^1\) de dérivée \(f\).

Si \(a > 0\), alors \(aX + b \le x \Leftrightarrow X \le \frac{x - b}{a}\), donc $$F_{aX+b}(x) = F_X\!\left( \tfrac{x-b}{a} \right), \qquad g(x) = \tfrac{1}{a}\, f\!\left( \tfrac{x-b}{a} \right) \text{ (on dérive).}$$ Si \(a < 0\), l'inégalité se renverse : \(aX + b \le x \Leftrightarrow X \ge \frac{x - b}{a}\), donc (avec \(P(X = \cdot) = 0\)) $$\begin{aligned} F_{aX+b}(x) &= 1 - F_X\!\left( \tfrac{x-b}{a} \right) && \text{(complémentaire)} \\ g(x) &= -\tfrac{1}{a}\, f\!\left( \tfrac{x-b}{a} \right) && \text{(on dérive).} \end{aligned}$$ Dans les deux cas le facteur est \(\frac{1}{|a|}\). (On dérive là où \(f\) est continue ; les valeurs de la densité aux points restants, en nombre fini, sont choisies arbitrairement \(\ge 0\).)

Positivité : si \(X \ge 0\), l'intégrale de sa densité sur \(]-\infty, 0[\) est nulle, donc \(\mathbb{E}(X) = \int_0^{+\infty} x f(x)\, \mathrm{d}x \ge 0\) comme intégrale d'une fonction positive. La croissance suit alors de la positivité et de la linéarité admise (on applique la positivité à \(Y - X \ge 0\)) ; et \(-|X| \le X \le |X|\) donne, de nouveau par linéarité, \(-\mathbb{E}(|X|) \le \mathbb{E}(X) \le \mathbb{E}(|X|)\), i.e. \(|\mathbb{E}(X)| \le \mathbb{E}(|X|)\).

Soit \(f\) une densité de \(X\), nulle sur \(]-\infty, 0[\). Pour \(x \ge a\) on a \(1 \le x/a\), donc $$P(X \ge a) = \int_a^{+\infty} f(x)\, \mathrm{d}x \le \int_a^{+\infty} \frac{x}{a}\, f(x)\, \mathrm{d}x \le \frac{1}{a}\int_0^{+\infty} x\, f(x)\, \mathrm{d}x = \frac{\mathbb{E}(X)}{a}.$$

On développe et on utilise la linéarité, \(\mathbb{E}(X)\) étant constante : $$\begin{aligned} \mathrm{Var}(X) &= \mathbb{E}\big( X^2 - 2X\,\mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(X)^2 \big) && \text{(on développe)} \\ &= \mathbb{E}(X^2) - 2\mathbb{E}(X)^2 + \mathbb{E}(X)^2 = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2. \end{aligned}$$ Pour la transformation affine, \(aX + b - \mathbb{E}(aX + b) = a(X - \mathbb{E}(X))\), donc \(\mathrm{Var}(aX + b) = \mathbb{E}(a^2 (X - \mathbb{E}(X))^2) = a^2 \mathrm{Var}(X)\).

On applique l'inégalité de Markov à la variable positive \((X - \mathbb{E}(X))^2\) au niveau \(\varepsilon^2\) : \(P((X - \mathbb{E}(X))^2 \ge \varepsilon^2) \le \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X))^2)/\varepsilon^2 = \mathrm{Var}(X)/\varepsilon^2\), et \((X - \mathbb{E}(X))^2 \ge \varepsilon^2 \Leftrightarrow |X - \mathbb{E}(X)| \ge \varepsilon\).

Le support est borné, donc tous les moments existent. Par intégration, $$\begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= \int_a^b \frac{x}{b - a}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{b-a}\Big[ \frac{x^2}{2} \Big]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2(b-a)} = \frac{a + b}{2}, \\ \mathbb{E}(X^2) &= \int_a^b \frac{x^2}{b - a}\, \mathrm{d}x = \frac{b^3 - a^3}{3(b-a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}. \end{aligned}$$ Puis par König-Huygens, $$\mathrm{Var}(X) = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}.$$

Par intégration par parties (\(u = t\), \(v' = \lambda e^{-\lambda t}\), \(v = -e^{-\lambda t}\)), $$\begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= \int_0^{+\infty} t\, \lambda e^{-\lambda t}\, \mathrm{d}t = \Big[ -t e^{-\lambda t} \Big]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-\lambda t}\, \mathrm{d}t && \text{(parties)} \\ &= 0 + \Big[ -\tfrac{1}{\lambda} e^{-\lambda t} \Big]_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda}. \end{aligned}$$ De même, avec \(u = t^2\), $$\begin{aligned} \mathbb{E}(X^2) &= \int_0^{+\infty} t^2\, \lambda e^{-\lambda t}\, \mathrm{d}t = \Big[ -t^2 e^{-\lambda t} \Big]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} 2t\, e^{-\lambda t}\, \mathrm{d}t && \text{(parties)} \\ &= 0 + \frac{2}{\lambda}\int_0^{+\infty} \lambda t\, e^{-\lambda t}\, \mathrm{d}t = \frac{2}{\lambda}\cdot\frac{1}{\lambda} = \frac{2}{\lambda^2}. \end{aligned}$$ D'où \(\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2}\).

Pour \(x \ge 0\), \(P(X > x) = 1 - F(x) = e^{-\lambda x}\). Comme \(t, s \ge 0\), \((X > t + s) \subset (X > s)\), donc $$P_{X > s}(X > t + s) = \frac{P(X > t + s)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(t + s)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t).$$ Un temps d'attente déjà écoulé est oublié : la loi de l'attente restante ne dépend pas de \(s\).

La densité est paire, donc son graphe est symétrique par rapport à \(0\), ce qui donne \(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\) ; puis pour \(x \ge 0\), \(P(|X| \le x) = \Phi(x) - \Phi(-x) = 2\Phi(x) - 1\). Pour la moyenne, l'intégrale converge d'abord absolument : \(\int_0^{+\infty} t e^{-t^2/2}\, \mathrm{d}t = [-e^{-t^2/2}]_0^{+\infty} = 1\), donc \(\int_{\mathbb{R}} |t| e^{-t^2/2}\, \mathrm{d}t = 2 < \infty\) et \(\mathbb{E}(X)\) existe. L'intégrande \(t e^{-t^2/2}\) est impair, donc \(\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}} t e^{-t^2/2}\, \mathrm{d}t = 0\). La valeur \(\mathrm{Var}(X) = 1\) est admise (elle vient d'une intégration par parties).

On applique la densité de \(aX + b\) avec \(a = \frac{1}{\sigma}\), \(b = -\frac{\mu}{\sigma}\) : une densité de \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) est \(\sigma f(\sigma z + \mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}\), la densité normale centrée réduite, donc \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Puis \(X = \sigma Z + \mu\) donne \(\mathbb{E}(X) = \sigma \cdot 0 + \mu = \mu\) et \(\mathrm{Var}(X) = \sigma^2 \cdot 1 = \sigma^2\). L'image affine est le même calcul.