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Compléments sur les séries numériques

⌚ ~51 min ▢ 6 blocs ✓ 30 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Suites réelles, Séries numériques

Le cours de première année a introduit les séries numériques : les sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$, la convergence et la divergence, les séries de référence (géométrique $\sum q^n$, de Riemann $\sum 1/n^\alpha$, exponentielle $\sum x^n/n!$), et toute la boîte à outils de comparaison des séries à termes positifs — comparaison par $\leq$, par $O$, par $o$, par équivalent $\sim$. Ce chapitre étend cette étude dans deux directions.
(1) Termes réels de signe variable. Une série dont les termes ne sont pas de signe constant à partir d'un rang échappe à la boîte à outils des termes positifs. Il reste une porte ouverte : le théorème des séries alternées (ou critère spécial des séries alternées, CSSA), qui traite une série $\sum (-1)^n u_n$ avec $(u_n)$ décroissant vers $0$ — et en encadre même la somme. Auparavant, la comparaison série–intégrale est rappelée et utilisée pour estimer les sommes partielles des séries divergentes.
(2) Termes réels ou complexes, par la convergence absolue. Pour une série $\sum u_n$ avec $u_n \in \mathbb{C}$ (ou $u_n \in \mathbb{R}$ de signe quelconque), on étudie d'abord la série à termes positifs $\sum |u_n|$. Si elle converge, $\sum u_n$ converge — elle est absolument convergente — et la boîte à outils des termes positifs s'applique à $\sum |u_n|$. Cela amène la règle du rapport de d'Alembert, les transferts de comparaison pour la convergence absolue, et le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
Notations permanentes. $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une suite $(u_n)_{n \geq 0}$ de $\mathbb{K}$ donne naissance à sa série $\sum u_n$, c'est-à-dire la suite des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ ; lorsqu'elle converge, la somme est $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \in \mathbb{K}$ et le reste est $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n = S - S_N$. Le premier indice peut être un entier fixé $n_0$ quelconque sans changer la nature de la série. Les critères de convergence des séries à termes positifs, les séries de référence et les relations de comparaison $O$, $o$, $\sim$ sont ceux du cours de première année et sont utilisés ici sans redémonstration.

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I Séries à termes réels : comparaison série–intégrale et séries alternées

I.1 Comparaison série–intégrale

La comparaison série–intégrale était déjà un critère de convergence en première année : pour une fonction $f$ continue, positive et décroissante sur $[a, +\infty[$, la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature. La même idée fait plus que décider de la nature : en encadrant les sommes partielles entre deux intégrales, elle estime les sommes partielles d'une série divergente — l'exemple type étant la série harmonique et sa croissance en $\ln n$. C'est la capacité nommée « comparaison série–intégrale » du programme, utilisée ici sur des termes réels positifs décroissants avant de passer aux séries de signe variable.

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Théorème — Comparaison série–intégrale

Soit $a \in \mathbb{N}$ et soit $f : [a, +\infty[\, \to \mathbb{R}$ continue, positive et décroissante. Alors :

l'encadrement de pas en pas est vrai : $\forall k \geq a, \quad f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq f(k)$ ;
la série $\sum_{n \geq a} f(n)$ et l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature ;
pour les sommes partielles, $\displaystyle \forall n \geq a, \quad \int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;\leq\; \sum_{k=a}^{n} f(k) \;\leq\; f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t.$

Preuve

Comme $f$ décroît sur $[k, k+1]$, on a $f(k+1) \leq f(t) \leq f(k)$ pour $t \in [k, k+1]$ ; en intégrant sur l'intervalle de longueur $1$, on obtient l'encadrement de pas en pas $$ f(k+1) \;\leq\; \int_k^{k+1} f \;\leq\; f(k), \qquad k \geq a. $$ Même nature. En sommant l'inégalité de gauche pour $k = a, \dots, n-1$, on a $\sum_{k=a+1}^{n} f(k) \leq \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$. Si $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum f(k)$ sont bornées, donc la série converge. Réciproquement, en sommant l'inégalité de droite, $\int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t \leq \sum_{k=a}^{n-1} f(k)$ ; comme $f \geq 0$, la fonction $x \mapsto \int_a^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ est croissante, donc la borner sur les entiers la borne partout, et la convergence de la série force $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ à converger.
Encadrement des sommes partielles. En sommant l'inégalité de droite $\int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq f(k)$ pour $k = a, \dots, n$, $$ \int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \sum_{k=a}^{n} \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \;\leq\; \sum_{k=a}^{n} f(k). $$ En sommant l'inégalité de gauche $f(k+1) \leq \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $k = a, \dots, n-1$, on a $\sum_{j=a+1}^{n} f(j) \leq \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$, d'où $\sum_{k=a}^{n} f(k) \leq f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Sur chaque pas, la valeur $f(k)$ est la hauteur de la courbe à l'extrémité droite, donc le rectangle de hauteur $f(k)$ sur $[k-1, k]$ est sous la courbe, tandis que la même hauteur prise sur $[k, k+1]$ la dépasse : la somme discrète est prise en étau entre deux intégrales.

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Méthode — Estimer les sommes partielles d'une série divergente

Face à une fonction $f(n)$ positive décroissante dont la série $\sum f(n)$ diverge :

encadrer la somme partielle $\sum_{k=a}^{n} f(k)$ entre $\int_a^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t$ et $f(a) + \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$ ;
calculer les deux intégrales (en général une primitive close) et lire l'équivalent de la somme partielle — le plus souvent $\sum_{k=a}^{n} f(k) \sim \int_a^{n} f(t)\,\mathrm{d}t$.

L'idée est toujours la même : une intégrale est plus simple qu'une somme, donc on échange l'objet discret contre son jumeau continu.

Exemple — Série harmonique et constante d'Euler

On applique l'encadrement des sommes partielles à $f(x) = 1/x$ sur $[1, +\infty[$, avec $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ : $$ \int_1^{n+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \;\leq\; H_n \;\leq\; 1 + \int_1^{n} \frac{\mathrm{d}t}{t}, \qquad\text{soit}\qquad \ln(n+1) \;\leq\; H_n \;\leq\; 1 + \ln n. $$ En divisant par $\ln n$ et en faisant tendre $n \to +\infty$, $H_n / \ln n \to 1$, d'où $$ \textcolor{colorprop}{H_n \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \ln n.} $$ Un calcul compagnon donne le développement plus fin. Posons $u_n = H_n - \ln n$ ; l'accroissement $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{n+1} - \ln\!\bigl(1 + \frac{1}{n}\bigr) = -\frac{1}{2n^2} + o\!\bigl(1/n^2\bigr)$ est négatif à partir d'un rang, donc $\sum (u_{n+1} - u_n)$ est une série de signe constant dont les termes sont $O(1/n^2)$ ; elle converge par comparaison à la série convergente $\sum 1/n^2$. La suite télescopique $(u_n)$ converge donc vers une limite $\gamma$ (constante d'Euler), et $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$.

Exemple — Somme partielle d'une série de Riemann divergente

Prenons $f(x) = 1/x^\alpha$ avec $0 < \alpha < 1$ sur $[1, +\infty[$ (décroissante, positive). L'encadrement des sommes partielles donne, après calcul de la primitive $\int_1^{x} t^{-\alpha}\,\mathrm{d}t = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$, $$ \frac{(n+1)^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha} \;\leq\; \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^\alpha} \;\leq\; 1 + \frac{n^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}. $$ Les deux bornes sont équivalentes à $\dfrac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$ quand $n \to +\infty$ (les constantes et les termes d'ordre inférieur sont négligeables devant $n^{1-\alpha}$, qui tend vers $+\infty$), donc par encadrement $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^\alpha} \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \frac{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}.} $$

Compétences à pratiquer

Estimer des sommes par comparaison série–intégrale

I.2 Séries alternées

Une série dont les termes sont de signe constant à partir d'un rang se ramène à une série à termes positifs (au signe global près), et la boîte à outils de première année s'applique. Le cas vraiment nouveau est une série dont le signe alterne : $\sum (-1)^n u_n$ avec $u_n \geq 0$. Ici une comparaison directe à termes positifs appliquée à $u_n$ lui-même ne tranche pas (une comparaison des modules ne détecterait que la convergence absolue, qui échoue souvent). Le théorème des séries alternées donne un critère suffisant net — et, mieux, encadre la somme et le reste entre deux sommes partielles consécutives. C'est le seul critère utilisé à ce niveau pour atteindre une série semi-convergente (convergente mais non absolument).

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Théorème — Théorème des séries alternées (CSSA)

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite réelle décroissante et convergeant vers $0$ (donc $u_n \geq 0$). Alors la série alternée $\sum (-1)^n u_n$ converge. (Seul le comportement à partir d'un rang compte : si $(u_n)$ décroît vers $0$ à partir d'un certain rang, les premiers termes en nombre fini n'affectent pas la convergence.)

Preuve

Une suite réelle décroissant vers $0$ est nécessairement positive, donc $u_n \geq 0$ partout. Notons $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n u_n$ et considérons les deux suites extraites $a_N = S_{2N}$ et $b_N = S_{2N+1}$.

$a_{N+1} - a_N = u_{2N+2} - u_{2N+1} \leq 0$, puisque $(u_n)$ décroît : $(a_N)$ est décroissante.
$b_{N+1} - b_N = -u_{2N+3} + u_{2N+2} \geq 0$ : $(b_N)$ est croissante.
$a_N - b_N = u_{2N+1} \to 0$, puisque $u_n \to 0$.

Les suites $(a_N)$ et $(b_N)$ sont donc adjacentes : elles convergent vers une limite commune $\ell \in \mathbb{R}$. Comme les sommes partielles d'indices pairs et impairs tendent toutes deux vers $\ell$, la suite entière $(S_N)$ converge vers $\ell$, c'est-à-dire que $\sum (-1)^n u_n$ converge.

Les sommes partielles paires décroissent vers $\ell$ par au-dessus, les impaires croissent vers $\ell$ par en dessous : $\ell$ est pris entre deux sommes partielles consécutives quelconques.

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Proposition — Encadrement de la somme et du reste

Soit $(u_n)$ réelle décroissant vers $0$, $S = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n u_n$ et $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n u_n$. Alors :

la somme est encadrée par deux sommes partielles consécutives : $\forall N \in \mathbb{N}, \quad S_{2N+1} \leq S \leq S_{2N}$ ;
le reste $R_N = S - S_N$ est du signe de son premier terme $(-1)^{N+1} u_{N+1}$, et $\textcolor{colorprop}{|R_N| \leq u_{N+1}.}$

Preuve

Avec les suites adjacentes du théorème, $b_N = S_{2N+1}$ croît vers $\ell = S$ et $a_N = S_{2N}$ décroît vers $S$, donc $S_{2N+1} \leq S \leq S_{2N}$ pour tout $N$. Pour le reste, fixons $N$ et appliquons l'encadrement.

Si $N$ est pair, $N = 2M$ : alors $S = S_N + R_N$ avec $S_{2M+1} \leq S \leq S_{2M}$, donc $R_N = S - S_{2M} \leq 0$ et $R_N = S - S_{2M} \geq S_{2M+1} - S_{2M} = -u_{2M+1}$. Ainsi $-u_{N+1} \leq R_N \leq 0$ : $R_N$ est du signe de $(-1)^{N+1} u_{N+1}$ (négatif) et $|R_N| \leq u_{N+1}$.
Si $N$ est impair, $N = 2M+1$ : alors $0 \leq R_N = S - S_{2M+1} \leq S_{2M+2} - S_{2M+1} = u_{2M+2} = u_{N+1}$. Ainsi $R_N$ est du signe de $(-1)^{N+1} u_{N+1}$ (positif) et $|R_N| \leq u_{N+1}$.

Dans les deux cas $|R_N| \leq u_{N+1}$ et $R_N$ a le signe annoncé.

Méthode — Utiliser le théorème des séries alternées

Pour appliquer le CSSA à une série $\sum (-1)^n u_n$ :

l'écrire sous la forme $\sum (-1)^n u_n$ avec $u_n \geq 0$, et vérifier les deux hypothèses — $(u_n)$ décroissante et $u_n \to 0$. Les deux sont réellement nécessaires : abandonner la monotonie peut briser la conclusion, même avec $u_n \to 0$ ;
pour approcher la somme à une précision visée $\varepsilon$, s'arrêter au premier $N$ tel que $u_{N+1} \leq \varepsilon$ : la majoration du reste $|R_N| \leq u_{N+1}$ garantit $|S - S_N| \leq \varepsilon$ ;
le signe du reste $R_N$ (celui de $(-1)^{N+1} u_{N+1}$) indique si $S_N$ surestime ou sous-estime $S$.

Pour la série $\sum (-1)^{n+1} u_n$ les mêmes énoncés valent avec les inégalités renversées.

Exemple — La série harmonique alternée $\sum (-1)^n / n$

Pour $u_n = 1/n$ ($n \geq 1$), la suite est décroissante et tend vers $0$, donc par le CSSA la série $\sum_{n \geq 1} (-1)^n / n$ converge. En notant $S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^n / n$, l'encadrement place la somme $S$ entre deux sommes partielles consécutives quelconques, et la majoration du reste donne $|S - S_N| \leq u_{N+1} = 1/(N+1)$. (Cette série ne converge pas absolument, puisque $\sum 1/n$ diverge : c'est le prototype d'une série semi-convergente.)

Exemple — Nombre de termes pour une précision visée

Pour $\sum_{n \geq 1} (-1)^n / \sqrt{n}$, la suite $u_n = 1/\sqrt n$ décroît vers $0$, donc le CSSA s'applique et la série converge. Pour approcher la somme à $10^{-2}$ près, s'arrêter au premier $N$ tel que $u_{N+1} = 1/\sqrt{N+1} \leq 10^{-2}$, soit $N + 1 \geq 10^{4}$, c'est-à-dire $N \geq 9999$. Alors $|S - S_N| \leq 10^{-2}$. (La décroissance lente en $1/\sqrt n$ impose de nombreux termes : la majoration du reste $u_{N+1}$ ne décroît qu'en $1/\sqrt{N}$.)

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème des séries alternées

II Séries absolument convergentes

II.1 Convergence absolue

Pour une série dont les termes sont complexes, ou réels de signe variable, la boîte à outils des termes positifs ne s'applique pas directement. Le remède est d'étudier d'abord la série à termes positifs des modules, $\sum |u_n|$. Lorsqu'elle converge, la série $\sum u_n$ est dite absolument convergente, et elle converge alors — c'est le premier réflexe obligatoire pour toute série complexe ou toute série réelle de signe non constant. La réciproque est fausse : une série convergente n'est pas forcément absolument convergente (la série harmonique alternée de la section précédente est le contre-exemple type).

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Définition — Série absolument convergente

Une série $\sum u_n$ avec $u_n \in \mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est absolument convergente lorsque la série à termes positifs $\sum |u_n|$ converge. Une série qui converge sans converger absolument est dite semi-convergente.

Théorème — La convergence absolue entraîne la convergence

Soit $\sum u_n$ une série avec $u_n \in \mathbb{K}$. Si $\sum u_n$ converge absolument, alors elle converge.

Preuve

Cas réel. Supposons $u_n \in \mathbb{R}$ et $\sum |u_n|$ convergente. Décomposons $u_n$ en ses parties positive et négative $u_n^{+} = \max(u_n, 0)$ et $u_n^{-} = \max(-u_n, 0)$, de sorte que $$ u_n = u_n^{+} - u_n^{-}, \qquad |u_n| = u_n^{+} + u_n^{-}, \qquad 0 \leq u_n^{\pm} \leq |u_n|. $$ Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_n^{+}$ et $\sum u_n^{-}$ convergent toutes deux (chacune est dominée par la série convergente $\sum |u_n|$). Donc $\sum u_n = \sum (u_n^{+} - u_n^{-})$ converge comme différence de deux séries convergentes.
Cas complexe. Supposons $u_n \in \mathbb{C}$, $u_n = x_n + \mathrm{i} y_n$, et $\sum |u_n|$ convergente. Comme $|x_n| \leq |u_n|$ et $|y_n| \leq |u_n|$, les séries réelles $\sum x_n$ et $\sum y_n$ convergent absolument, donc convergent par le cas réel. Donc $\sum u_n = \sum x_n + \mathrm{i} \sum y_n$ converge.

Proposition — Inégalité triangulaire pour la somme

Si $\sum u_n$ converge absolument (avec $u_n \in \mathbb{K}$), alors $$ \textcolor{colorprop}{\left| \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right| \;\leq\; \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|.} $$

Preuve

Pour tout $N$, l'inégalité triangulaire finie donne $\bigl| \sum_{n=0}^{N} u_n \bigr| \leq \sum_{n=0}^{N} |u_n|$. Les deux membres convergent quand $N \to +\infty$ (le gauche vers $|\sum u_n|$ par continuité du module, le droit vers $\sum |u_n|$), et l'inégalité passe à la limite.

Méthode — Étudier une série de signe variable ou à termes complexes

Pour une série complexe, ou une série réelle dont le signe n'est pas constant à partir d'un rang, le premier réflexe est :

former la série à termes positifs des modules $\sum |u_n|$ ;
essayer de prouver sa convergence avec la boîte à outils des termes positifs (comparaison, $O$, $o$, équivalent à une série de référence, d'Alembert) — si elle converge, $\sum u_n$ converge absolument, donc converge ;
si $\sum |u_n|$ diverge, la convergence absolue échoue ; pour une série réelle alternée, se rabattre sur le théorème des séries alternées (la série peut encore être semi-convergente).

Exemple — La série exponentielle $\sum z^n / n!$ converge absolument

Fixons $z \in \mathbb{C}$. La série des modules est $\sum |z|^n / n!$, une série à termes positifs avec $w_n = |z|^n / n!$. Le rapport $w_{n+1}/w_n = |z|/(n+1)$ tend vers $0$, donc il existe un rang $N$ à partir duquel $w_{n+1}/w_n \leq 1/2$ ; en télescopant les rapports, $w_n \leq w_N (1/2)^{n-N}$ pour $n \geq N$, et $\sum w_n$ est dominée par une série géométrique convergente. Donc $\sum |z|^n / n!$ converge, d'où $\sum z^n / n!$ converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$ (le cas $z = 0$ est trivial). Sa somme définit l'exponentielle complexe $\mathrm{e}^z = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n / n!$.

Exemple — Un numérateur borné sur une factorielle : $\sum \sin(n) / n!$

Les termes $u_n = \sin(n) / n!$ sont réels de signe variable. Majorons les modules : $|u_n| = |\sin n| / n! \leq 1/n!$. Comme $\sum 1/n!$ converge (de somme $\mathrm{e}$), la comparaison de séries à termes positifs donne la convergence de $\sum |u_n|$. Ainsi $\sum \sin(n) / n!$ converge absolument, donc converge.

Compétences à pratiquer

Prouver la convergence absolue

II.2 Comparaison, équivalence et règle de d'Alembert

La boîte à outils de comparaison des termes positifs se transfère à la convergence absolue, simplement en l'appliquant aux modules. On en tire un critère immédiat : dominer, ou comparer, le module $|u_n|$ par le terme général d'une série de référence dont on connaît la convergence. La règle du rapport de d'Alembert en est la version spécialisée pour des termes formés de factorielles et de puissances. Sa démonstration n'est pas exigible à ce niveau ; on en donne une justification courte.

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Proposition — Transfert de la comparaison à la convergence absolue

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ des suites de $\mathbb{K}$. Dans chacun des cas ci-dessous, si $\sum v_n$ converge absolument, alors $\sum u_n$ converge absolument :

si $|u_n| \leq |v_n|$ à partir d'un certain rang ;
si $u_n = O(v_n)$ ;
si $u_n = o(v_n)$ ;

et si $u_n \sim v_n$, alors $\sum |u_n|$ et $\sum |v_n|$ ont la même nature (donc $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont toutes deux absolument convergentes, ou aucune ne l'est).

Preuve

Chaque énoncé est le théorème de comparaison des séries à termes positifs appliqué aux séries de modules.

Si $|u_n| \leq |v_n|$ à partir d'un rang, la comparaison des séries à termes positifs donne la convergence de $\sum |u_n|$ à partir de celle de $\sum |v_n|$.
$u_n = O(v_n)$ signifie $|u_n| \leq M |v_n|$ à partir d'un rang, ce qui est le cas précédent pour $M |v_n|$.
$u_n = o(v_n)$ entraîne $u_n = O(v_n)$, donc la même conclusion.
Si $u_n \sim v_n$, alors $|u_n| \sim |v_n|$ ; deux suites positives équivalentes donnent des séries de même nature, donc $\sum |u_n|$ et $\sum |v_n|$ sont simultanément convergentes.

Théorème — Règle de d'Alembert

Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs (à partir d'un rang) telle que $u_{n+1} / u_n \to \ell \in [0, +\infty]$. Alors :

si $\ell < 1$, la série $\sum u_n$ converge ;
si $\ell > 1$, $u_n \to +\infty$ et $\sum u_n$ diverge grossièrement ;
si $\ell = 1$, la règle ne permet pas de conclure.

Pour une série complexe ou de signe variable à termes non nuls, appliquer la règle aux modules $|u_{n+1}| / |u_n|$ : si la limite est $< 1$, la série converge absolument ; si elle est $> 1$, les termes ne tendent pas vers $0$ et la série diverge grossièrement.

Preuve

La démonstration n'est pas exigible à ce niveau ; voici l'idée sous-jacente, par comparaison à une série géométrique. Supposons $\ell < 1$ et choisissons $\rho$ avec $\ell < \rho < 1$. Comme $u_{n+1}/u_n \to \ell < \rho$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_{n+1}/u_n \leq \rho$ ; en télescopant les rapports, $u_n \leq u_N \rho^{n-N}$ pour $n \geq N$, donc $\sum u_n$ est dominée par la série géométrique convergente de raison $\rho < 1$ et converge. Si $\ell > 1$, on choisit $\rho$ avec $1 < \rho < \ell$ (ou n'importe quel $\rho > 1$ si $\ell = +\infty$) ; le même télescopage donne $u_n \geq u_N \rho^{n-N} \to +\infty$, donc le terme général ne tend pas vers $0$ et la série diverge grossièrement. Que le cas $\ell = 1$ soit réellement douteux est montré par les deux exemples ci-dessous, de natures opposées avec le même rapport limite $1$.

Méthode — Utiliser d'Alembert

On utilise d'Alembert lorsque le terme général combine factorielles ($n!$, $(2n)!$) et puissances ($x^n$, $a^n$) : le rapport $u_{n+1}/u_n$ télescope l'essentiel de la formule et laisse une limite simple. Pour une série complexe ou de signe variable, on l'applique aux modules pour obtenir la convergence absolue. Si la limite du rapport est $\ell = 1$, d'Alembert ne dit rien ; on se rabat sur les équivalents, $O$, $o$, ou la comparaison série–intégrale.

Exemple — $\sum n! / n^n$

Posons $u_n = n!/n^n$ pour $n \geq 1$. Le rapport vaut $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} \;=\; \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} \;=\; \left(\frac{n}{n+1}\right)^{\!n} \;=\; \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!-n} \;\longrightarrow\; \mathrm{e}^{-1}. $$ La limite $\mathrm{e}^{-1} < 1$, donc $\sum n!/n^n$ converge par d'Alembert.

Exemple — Le cas douteux $\ell \equal 1$

Pour $u_n = 1/n$, $u_{n+1}/u_n = n/(n+1) \to 1$, et $\sum 1/n$ diverge. Pour $v_n = 1/n^2$, $v_{n+1}/v_n = n^2/(n+1)^2 \to 1$, et $\sum 1/n^2$ converge. Deux séries de natures opposées avec un rapport limite $1$ : d'Alembert ne sait pas les distinguer, et il faut un outil plus fin (équivalents, $O$, comparaison série–intégrale).

Compétences à pratiquer

Appliquer d'Alembert et la comparaison

II.3 Produit de Cauchy

Le produit des sommes de deux séries convergentes n'est pas, en général, la somme du produit terme à terme $\sum a_n b_n$. La bonne notion est le produit de Cauchy, la série dont le terme général rassemble tous les produits croisés $a_k b_{n-k}$ avec $k + (n-k) = n$, exactement comme le coefficient de $X^n$ dans un produit de deux séries entières. Pour deux séries absolument convergentes ce produit de Cauchy est encore absolument convergent, et sa somme est le produit des deux sommes. La démonstration est hors programme ; le résultat est énoncé et vérifié sur l'exponentielle, où il produit l'équation fonctionnelle $\mathrm{e}^z \mathrm{e}^w = \mathrm{e}^{z+w}$.

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Théorème — Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes

Soient $\sum a_n$ et $\sum b_n$ deux séries absolument convergentes de $\mathbb{K}$. Posons $$ c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}. $$ Alors $\sum c_n$ converge absolument, et $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{n=0}^{+\infty} c_n \;=\; \left( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right) \left( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \right).} $$ Ce résultat est admis ; sa démonstration n'est pas exigible à ce niveau. Il est illustré sur l'exponentielle dans l'exemple ci-dessous.

Méthode — Former et utiliser un produit de Cauchy

Pour multiplier deux séries absolument convergentes :

vérifier que les deux facteurs convergent absolument — le résultat l'exige ;
former $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\, b_{n-k}$ (la somme diagonale), et la simplifier (souvent par la formule du binôme en présence de factorielles) ;
la somme de $\sum c_n$ est alors le produit des deux sommes.

C'est la voie standard vers les équations fonctionnelles des fonctions définies par des séries et vers des formes closes comme $\bigl(\sum x^n\bigr)^2 = \sum (n+1) x^n$ pour $|x| < 1$.

Exemple — L'équation fonctionnelle de l'exponentielle

Pour $z, w \in \mathbb{C}$, les séries $\sum z^n / n!$ et $\sum w^n / n!$ convergent absolument. Avec $a_n = z^n/n!$ et $b_n = w^n/n!$, le terme du produit de Cauchy est $$ c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{z^k}{k!} \cdot \frac{w^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} z^k w^{n-k} = \frac{(z+w)^n}{n!} $$ par la formule du binôme. Donc $$ \mathrm{e}^z\, \mathrm{e}^w = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{w^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z+w)^n}{n!} = \mathrm{e}^{z+w}. $$

Compétences à pratiquer

Former un produit de Cauchy

III Pour aller plus loin : équivalents de sommes et de restes

La comparaison série–intégrale estime le reste d'une série convergente, et pas seulement la somme partielle d'une série divergente. Les deux exemples ci-dessous encadrent deux restes convergents — un reste de Riemann $\sum_{k>n} 1/k^2$ et un plus lent $\sum_{k>n} 1/(k \ln^2 k)$ qu'aucune série de référence n'atteint — en retrouvant des asymptotiques précises par la même idée du jumeau continu. Ils sont présentés comme exemples traités (pour aller plus loin), non comme une théorie à part.

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Exemple — Reste d'une série de Riemann convergente

Prenons $f(x) = 1/x^2$, décroissante positive sur $[1, +\infty[$, et $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} 1/k^2$. À partir de l'encadrement de pas en pas, sommé pour $k \geq n+1$ :

minoration de $R_n$ : $\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{k \geq n+1} \int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq \sum_{k \geq n+1} f(k) = R_n$ ;
majoration de $R_n$ : $f(k) \leq \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t$, donc $R_n = \sum_{k \geq n+1} f(k) \leq \sum_{k \geq n+1}\int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_n^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$.

Ensemble, $$ \int_{n+1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \;\leq\; R_n \;\leq\; \int_{n}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}, \qquad\text{soit}\qquad \frac{1}{n+1} \;\leq\; R_n \;\leq\; \frac{1}{n}. $$ Les deux bornes sont $\sim 1/n$, donc par encadrement $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} 1/k^2 \sim 1/n$. Plus généralement, pour $\alpha > 1$ le même calcul donne $\sum_{k=n+1}^{+\infty} 1/k^\alpha \sim \dfrac{1}{(\alpha - 1)\, n^{\alpha - 1}}$.

Exemple — Reste d'une série de Bertrand convergente

La comparaison série–intégrale estime des restes qu'aucune série de référence n'atteint directement. Prenons $f(x) = \dfrac{1}{x \ln^2 x}$, positive et décroissante sur $[2, +\infty[$ ; le changement de variable $u = \ln t$ donne $\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}t}{t \ln^2 t} = \dfrac{1}{\ln x}$, donc l'intégrale converge et la série $\sum_{k \geq 2} 1/(k \ln^2 k)$ aussi. En sommant l'encadrement de pas en pas $f(k) \leq \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_k^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq f(k)$ pour $k \geq n+1$, exactement comme dans l'exemple précédent, on obtient $$ \frac{1}{\ln(n+1)} \;=\; \int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \;\leq\; R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k \ln^2 k} \;\leq\; \int_{n}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \frac{1}{\ln n}. $$ valable pour $n \geq 2$. Les deux bornes sont $\sim 1/\ln n$, d'où par encadrement $$ \textcolor{colorprop}{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k \ln^2 k} \;\underset{n \to +\infty}{\sim}\; \frac{1}{\ln n}.} $$

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse