Éducation Nationale Française · PT

Intégrales à paramètre

⌚ ~43 min ▢ 5 blocs ✓ 24 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Intégration sur un intervalle quelconque, Compléments sur les séries numériques

Objectif du chapitre

De nombreuses quantités de l'analyse et de la physique ne sont pas données par une formule close mais par une intégrale dépendant d'un paramètre $x$, $$ g(x) = \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t, $$ où $t$ parcourt un intervalle $I$ et $x$ est le paramètre. La fonction $\Gamma$ d'Euler $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t$ et les diverses transformées intégrales (Laplace, Fourier) sont de cette forme. Trois questions se posent : pour quels $x$ la valeur $g(x)$ est-elle définie, $g$ est-elle continue, $g$ est-elle dérivable — et, le cas échéant, peut-on dériver sous le signe intégral ? Ce chapitre y répond par deux théorèmes de régularité (continuité et dérivabilité), précédés d'un théorème d'intégration terme à terme. Les trois sont énoncés et admis : leurs preuves reposent sur la théorie de l'intégration et dépassent ce cours. Tout le savoir-faire consiste à vérifier les hypothèses cruciales — avant tout l'existence d'un dominant intégrable indépendant de $x$. On n'insiste pas sur les hypothèses (toujours acquises) de continuité par morceaux en la variable d'intégration $t$.

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Notations permanentes

Dans tout le chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$, $A$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$ non réduits à un point. « $f$ est intégrable sur $I$ » signifie que $f$ est continue sur $I$ et que $\int_I \lvert f \rvert$ converge (convergence absolue), comme défini au chapitre Intégration sur un intervalle quelconque. Les fonctions de référence $t \mapsto 1/t^\alpha$ et $t \mapsto e^{-\alpha t}$, les théorèmes de comparaison des fonctions positives et l'intégrabilité de $t \mapsto \ln t$ en $0^+$ proviennent de ce chapitre.

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I Intégration terme à terme

I.1 Intégrer une série terme à terme

D'une série de fonctions à une intégrale

Une fonction définie sur un intervalle $I$ s'écrit parfois naturellement comme somme d'une série, $S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$. On aimerait l'intégrer en intégrant chaque terme puis en sommant : $\int_I S(t)\,\mathrm{d}t = \sum_n \int_I f_n$. Sur un intervalle non borné, cet échange de $\sum$ et $\int_I$ n'est pas automatique — il est autorisé par l'hypothèse de sommabilité absolue $\sum_n \int_I \lvert f_n \rvert < +\infty$, exactement le pendant pour l'intégration de la convergence absolue qui régissait les séries numériques.

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Théorème — Intégration terme à terme

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $S \colon I \to \mathbb{K}$ une fonction continue. On suppose qu'il existe des fonctions $f_n \colon I \to \mathbb{K}$ telles que :

chaque $f_n$ est continue et intégrable sur $I$ ;
la série converge simplement sur $I$ avec $\displaystyle S(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)$ pour tout $t \in I$ ;
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I \lvert f_n(t) \rvert\,\mathrm{d}t < +\infty$ (sommabilité absolue).

Alors $S$ est intégrable sur $I$ et $$ \int_I S(t)\,\mathrm{d}t = \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t)\,\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(t)\,\mathrm{d}t. $$ Nous admettons ce théorème.

Méthode — Intégrer une série terme à terme

Pour calculer $\int_I S(t)\,\mathrm{d}t$ lorsque $S = \sum_n f_n$ :

identifier les termes $f_n$ et vérifier que $S$ est continue sur $I$ ;
vérifier que chaque $f_n$ est continue et intégrable sur $I$, et calculer $\int_I \lvert f_n \rvert$ ;
vérifier l'hypothèse cruciale $\sum_n \int_I \lvert f_n \rvert < +\infty$ — une étude de convergence d'une série à termes positifs (comparaison, Riemann) ;
conclure $\int_I S(t)\,\mathrm{d}t = \sum_n \int_I f_n$, puis évaluer la série numérique si l'on veut une forme close.

Attention : la majoration utilisée à l'étape~3 doit rendre la série $\sum_n \int_I \lvert f_n \rvert$ convergente ; une majoration trop grossière (donnant une série divergente) ne prouve rien.

Exemple

L'intégrale de Bâle. Montrer que $\displaystyle\int_0^1 \frac{-\ln(t)}{1 - t}\,\mathrm{d}t = \frac{\pi^2}{6}$.
On travaille sur $I = {]0, 1[}$. Pour $t \in I$ la série géométrique donne $1/(1 - t) = \sum_{n \ge 0} t^n$, donc $$ \frac{-\ln(t)}{1 - t} = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t), \qquad f_n(t) = -t^n \ln(t). $$ Continuité de $S$. Sur $I = {]0, 1[}$, $S(t) = -\ln(t)/(1 - t)$ est continue ; elle se prolonge continûment en $1$ (limite $1$), et près de $0$ elle se comporte comme $-\ln(t)$, intégrable sur ${]0, 1]}$.
Chaque terme est intégrable et $\ge 0$. Sur ${]0, 1[}$, $-\ln(t) \ge 0$ et $t^n \ge 0$, donc $f_n \ge 0$ ; une intégration par parties donne $$ \int_0^1 \lvert f_n(t) \rvert\,\mathrm{d}t = \int_0^1 -t^n \ln(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{(n+1)^2}. $$ Hypothèse cruciale. $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^1 \lvert f_n \rvert = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} < +\infty$ (série de Riemann convergente). Par le théorème, $$ \int_0^1 \frac{-\ln(t)}{1 - t}\,\mathrm{d}t = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}, $$ en utilisant la valeur de Bâle $\sum_{k \ge 1} 1/k^2 = \pi^2/6$ rappelée du chapitre Compléments sur les séries numériques.

Exemple

Exprimer $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1}\,\mathrm{d}t$ comme une série et montrer qu'elle vaut $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$.
On travaille sur $I = {]0, +\infty[}$. Pour $t \in I$, $e^t > 1$ et $\dfrac{1}{e^t - 1} = \dfrac{e^{-t}}{1 - e^{-t}} = \sum_{n \ge 1} e^{-nt}$ (série géométrique, $0 < e^{-t} < 1$). Donc $$ \frac{\sin(t)}{e^t - 1} = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(t), \qquad f_n(t) = e^{-nt} \sin(t). $$ $S(t) = \sin(t)/(e^t - 1)$ est continue sur $I = {]0, +\infty[}$ et se prolonge continûment en $0$ (limite $1$). Chaque $f_n$ est continue sur $I$ et intégrable.
Hypothèse cruciale — choisir la bonne majoration. La majoration grossière $\lvert f_n(t) \rvert \le e^{-nt}$ donne $\int_0^{+\infty} e^{-nt}\,\mathrm{d}t = 1/n$, dont la série $\sum 1/n$ diverge et ne prouve rien. On utilise plutôt $\lvert \sin t \rvert \le t$ pour $t \ge 0$ : $$ \lvert f_n(t) \rvert = e^{-nt}\,\lvert \sin t \rvert \le t\,e^{-nt}, \qquad \int_0^{+\infty} t\,e^{-nt}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{n^2}. $$ Donc $\sum_{n \ge 1} \int_0^{+\infty} \lvert f_n \rvert \le \sum_{n \ge 1} 1/n^2 < +\infty$ : l'hypothèse est vérifiée.
Calcul de $\int_0^{+\infty} f_n$. En écrivant $\sin t = \operatorname{Im}(e^{it})$, $\int_0^{+\infty} e^{-nt}e^{it}\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{n - i} = \dfrac{n + i}{n^2 + 1}$, dont la partie imaginaire est $\dfrac{1}{n^2 + 1}$. Par le théorème, $$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1}\,\mathrm{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2 + 1}. $$

Compétences à pratiquer

Intégrer une série terme à terme

II Continuité d'une intégrale à paramètre

II.1 Le théorème de continuité

La fonction définie par une intégrale à paramètre

On fixe désormais une fonction $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$ de deux variables, et on étudie $$ g \colon x \longmapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t. $$ Pour $x$ fixé, l'intégrale est un nombre ; lorsque $x$ varie, $g$ est une véritable fonction de $x$. Savoir si $g$ est seulement définie est déjà une question (l'intégrale doit converger), et la convention du programme s'applique ici : en pratique on vérifie les hypothèses de régularité en $x$ et de domination, sans expliciter celles relatives à la continuité en $t$. Géométriquement, $g(x)$ est l'aire algébrique sous la tranche $t \mapsto f(x, t)$, et la continuité de $g$ demande que cette aire varie continûment lorsque la tranche se déforme.

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Théorème — Continuité sous le signe intégral

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$. On suppose :

pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est continue sur $I$ ;
pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$ ;
(domination) il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $$ \forall (x, t) \in A \times I,\qquad \lvert f(x, t) \rvert \le \varphi(t). $$

Alors $g \colon x \mapsto \displaystyle\int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$. Nous admettons ce théorème.
Le dominant $\varphi$ ne dépend pas de $x$ ; il est en général continu, mais seule son intégrabilité est requise.

Lecture des hypothèses

La première hypothèse donne un sens à chaque intégrale $\int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ comme fonction de $t$. La deuxième est naturelle : on veut que $g$, fonction de $x$, soit continue, on part donc de données continues en $x$. La troisième — la domination — est l'importante et la délicate : elle garantit que $g(x)$ existe (par comparaison de fonctions positives, $\lvert f(x, \cdot) \rvert \le \varphi$ intégrable force $f(x, \cdot)$ intégrable) et elle entraîne la continuité. Un unique $\varphi$ intégrable, valable pour tout $x$ à la fois, remplace la convergence uniforme dont on ne disposait que sur un segment.

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Méthode — Démontrer la continuité d'une intégrale à paramètre

Pour montrer que $g \colon x \mapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est continue sur $A$ :

pour $x \in A$ fixé, vérifier que $t \mapsto f(x, t)$ est continue sur $I$ ;
pour $t \in I$ fixé, vérifier que $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $A$ ;
dominer : exhiber $\varphi(t) \ge \lvert f(x, t) \rvert$ indépendant de $x$, puis prouver que $\varphi$ est intégrable sur $I$ (comparaison de fonctions positives, intégrales de référence).

Toute la difficulté est l'étape~3 : trouver un majorant de $\lvert f(x, t) \rvert$ qui peut dépendre de $t$ mais pas de $x$, valable pour tout $x \in A$, et intégrable.

Exemple

Le démarrage facile. Montrer que $f \colon x \mapsto \displaystyle\int_0^{\pi} \cos(x \sin t)\,\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Posons $h(x, t) = \cos(x \sin t)$ sur $A \times I = \mathbb{R} \times [0, \pi]$.

Pour $x \in \mathbb{R}$ fixé, $t \mapsto \cos(x \sin t)$ est continue sur $[0, \pi]$.
Pour $t \in [0, \pi]$ fixé, $x \mapsto \cos(x \sin t)$ est continue sur $\mathbb{R}$ (de la forme $x \mapsto \cos(\alpha x)$).
Domination. Pour tout $(x, t)$, $\lvert \cos(x \sin t) \rvert \le 1 =: \varphi(t)$, et la constante $1$ est intégrable sur le segment $[0, \pi]$.

Par le théorème de continuité, $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.

Exemple

Une limite d'intégrales par continuité. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1 + x^2 t^2}\,\mathrm{d}t$.
Posons $f(x, t) = \dfrac{e^{-t}}{1 + x^2 t^2}$ sur $\mathbb{R} \times [0, +\infty[$. Pour $x$ fixé, $t \mapsto f(x, t)$ est continue sur $[0, +\infty[$ ; pour $t$ fixé, $x \mapsto f(x, t)$ est continue sur $\mathbb{R}$. Domination : comme $1 + x^2 t^2 \ge 1$, $\lvert f(x, t) \rvert \le e^{-t} =: \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$. Par le théorème de continuité, $g(x) = \int_0^{+\infty} f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $$ \lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = \int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1. $$ L'interversion « $\lim$ puis $\int$ » est autorisée par la continuité de $g$ — aucun théorème de convergence séparé n'est invoqué.

Compétences à pratiquer

Démontrer la continuité d'une intégrale à paramètre

II.2 Le cas du segment et la domination locale

Lorsque l'intervalle d'intégration est un segment

Lorsque $I = [a, b]$ est un segment, aucune domination n'est nécessaire : la simple continuité conjointe de $f$ sur $A \times [a, b]$ donne déjà la continuité de $g$. Intuitivement, une fonction continue sur une tranche compacte est automatiquement bornée, et cette borne sert de dominant (constant, donc intégrable) sur le segment. C'est le cas facile le plus fréquent en pratique.

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Théorème — Continuité — cas du segment

Soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $[a, b]$ un segment. Si $f \colon A \times [a, b] \to \mathbb{K}$ est continue sur $A \times [a, b]$, alors $g \colon x \mapsto \displaystyle\int_a^b f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est continue sur $A$.
Cela découle du théorème de continuité appliqué localement en $x$ : la continuité de $g$ en un point $x_0 \in A$ se lit sur un voisinage compact $K \subset A$ de $x_0$, où $f$ continue sur le compact $K \times [a, b]$ est bornée, disons par $M_K$ ; la constante $\varphi = M_K$ est alors un dominant intégrable sur le segment $[a, b]$, valable pour tout $x \in K$. (Aucun dominant global sur tout $A$ n'est requis.)

La domination locale comme étape intermédiaire

Souvent un unique dominant valable sur tout $A$ n'existe pas, alors que sur tout segment $[a, b] \subset A$ un dominant $\varphi_{[a, b]}$ existe. Cela suffit, car la continuité est une propriété locale :
\smallskip Une fonction est continue sur l'intervalle $A$ si et seulement si elle est continue sur tout segment $[a, b] \subset A$.
\smallskip On prouve donc la continuité de $g$ segment par segment : c'est ce que le programme appelle passer par une domination locale, présentée comme une question intermédiaire. Concrètement : fixer $[a, b] \subset A$, appliquer le théorème de continuité sur $A' = [a, b]$ avec un dominant $\varphi_{[a, b]}$ valable là, conclure $g$ continue sur $[a, b]$ ; $[a, b]$ étant arbitraire, $g$ est continue sur $A$.

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Exemple

La fonction $\Gamma$ d'Euler — définition et continuité. Pour $x > 0$ on pose $\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x - 1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$. Montrer que $\Gamma$ est définie et continue sur ${]0, +\infty[}$.
Posons $f(x, t) = t^{x - 1} e^{-t} = e^{(x - 1)\ln t}\,e^{-t}$ sur ${]0, +\infty[} \times {]0, +\infty[}$. Un unique dominant échoue (près de $0$ le comportement se dégrade quand $x \to 0^+$), on travaille donc segment par segment. Fixons $0 < a < b$ et prenons $A' = [a, b]$.

Pour $x \in [a, b]$ fixé, $t \mapsto t^{x - 1} e^{-t}$ est continue sur ${]0, +\infty[}$.
Pour $t > 0$ fixé, $x \mapsto t^{x - 1} e^{-t}$ est continue sur $[a, b]$.
Domination sur $[a, b]$. Pour $x \in [a, b]$ et $t > 0$, comme l'application $c \mapsto t^{c}$ est monotone (croissante si $t \ge 1$, décroissante si $0 < t \le 1$), $$ \lvert t^{x - 1} e^{-t} \rvert \le \varphi_{[a, b]}(t) := \begin{cases} t^{a - 1} e^{-t} & \text{si } 0 < t \le 1, \\ t^{b - 1} e^{-t} & \text{si } t \ge 1, \end{cases} $$ car $t^{x-1} \le t^{a-1}$ pour $0 < t \le 1$ (puisque $x \ge a$) et $t^{x-1} \le t^{b-1}$ pour $t \ge 1$ (puisque $x \le b$). On vérifie que $\varphi_{[a, b]}$ est intégrable sur ${]0, +\infty[}$ : en $0$, $t^{a-1}e^{-t} \le t^{a-1}$ avec $a - 1 > -1$ (Riemann) ; en $+\infty$, $t^{b-1}e^{-t} = o(1/t^2)$ (croissance exponentielle).

Par le théorème de continuité, $\Gamma$ est définie et continue sur $[a, b]$. Comme $0 < a < b$ est arbitraire, $\Gamma$ est continue sur ${]0, +\infty[}$.

Compétences à pratiquer

Utiliser le cas du segment et la domination locale

III Dérivation sous le signe intégral

III.1 Le théorème de Leibniz (classe $\mathcal{C}^1$)

Dériver $g$

On se demande maintenant si $g \colon x \mapsto \int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable et, le cas échéant, si l'on peut dériver sous le signe intégral : $$ g'(x) \overset{?}{=} \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}t. $$ La réponse est « oui » sous une domination de la dérivée partielle $\partial f / \partial x$ — exactement le même type d'hypothèse que pour la continuité, appliqué cette fois à la dérivée plutôt qu'à $f$ elle-même. Le $g'$ obtenu est encore une intégrale à paramètre, de sorte que le théorème de continuité de la Section~2 s'y applique et donne la continuité de $g'$, c'est-à-dire $g$ de classe $\mathcal{C}^1$.

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Théorème — Leibniz — dérivation sous le signe intégral

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f \colon A \times I \to \mathbb{K}$. On suppose :

pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ (donc $g(x)$ existe) ;
pour tout $x \in A$, $t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue sur $I$ ;
(domination) il existe $\varphi \colon I \to \mathbb{R}_+$ intégrable sur $I$ telle que $$ \forall (x, t) \in A \times I,\qquad \left\lvert \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) \right\rvert \le \varphi(t). $$

Alors $g \colon x \mapsto \displaystyle\int_I f(x, t)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $$ \forall x \in A,\qquad g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}t. $$ Nous admettons ce théorème. Comme pour la continuité, la domination peut être mise en place segment par segment (une domination locale sur chaque $[a, b] \subset A$, traitée comme question intermédiaire) ; et lorsque $I = [a, b]$ est un segment, la continuité conjointe de $f$ et $\partial f / \partial x$ sur $A \times [a, b]$ suffit — le dominant est alors la borne constante de $\lvert \partial f / \partial x \rvert$ sur un compact de $A$ multiplié par $[a, b]$, prise localement en $x$.

Méthode — Appliquer le théorème de Leibniz

La procédure en 4 étapes — l'étape cruciale est la dernière :

pour $t \in I$ fixé, vérifier que $x \mapsto f(x, t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$, et calculer $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ ;
pour $x \in A$ fixé, vérifier que $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$ (c'est exactement « $g(x)$ est définie » — déjà fait si la continuité a été prouvée d'abord) ;
pour $x \in A$ fixé, vérifier que $t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est continue sur $I$ ;
dominer $\partial f / \partial x$ : exhiber $\varphi(t) \ge \lvert \partial f / \partial x (x, t) \rvert$ indépendant de $x$, intégrable sur $I$ (globalement, ou segment par segment).

Conclure : $g \in \mathcal{C}^1(A)$ avec $g'(x) = \int_I \partial f / \partial x (x, t)\,\mathrm{d}t$. Souvent cette expression de $g'$ mène à une équation différentielle pour $g$, qui détermine alors $g$.

Exemple

Un exemple à dérivée bornée. Montrer que $g(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(xt)\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et donner $g'$ en dérivant sous le signe intégral.
Posons $f(x, t) = e^{-t} \sin(xt)$ sur $\mathbb{R} \times [0, +\infty[$.

Pour $t \ge 0$, $x \mapsto e^{-t}\sin(xt)$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$, avec $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t) = t\,e^{-t}\cos(xt)$.
Pour $x \in \mathbb{R}$, $t \mapsto e^{-t}\sin(xt)$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\lvert f \rvert \le e^{-t}$).
Pour $x \in \mathbb{R}$, $t \mapsto t\,e^{-t}\cos(xt)$ est continue sur $[0, +\infty[$.
Domination. $\left\lvert \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t) \right\rvert = t\,e^{-t}\,\lvert \cos(xt) \rvert \le t\,e^{-t} =: \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ (avec $\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$). Ceci vaut pour tout $x$ à la fois.

Par Leibniz, $g$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec $\displaystyle g'(x) = \int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\cos(xt)\,\mathrm{d}t$.

Exemple

La fonction $\Gamma$ d'Euler est $\mathcal{C}^1$. Montrer que $\Gamma$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur ${]0, +\infty[}$ avec $\Gamma'(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \ln(t)\,t^{x - 1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$.
Posons $f(x, t) = t^{x - 1} e^{-t}$. On travaille segment par segment ; fixons $0 < a < b$.

Pour $t > 0$, $x \mapsto t^{x - 1} e^{-t} = e^{(x - 1)\ln t} e^{-t}$ est $\mathcal{C}^1$ (et même $\mathcal{C}^\infty$) sur $[a, b]$, avec $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t) = \ln(t)\,t^{x - 1} e^{-t}$.
Pour $x \in [a, b]$, $t \mapsto t^{x - 1} e^{-t}$ est intégrable sur ${]0, +\infty[}$ (l'exemple de continuité).
Pour $x \in [a, b]$, $t \mapsto \ln(t)\,t^{x - 1} e^{-t}$ est continue sur ${]0, +\infty[}$.
Domination sur $[a, b]$. Pour $x \in [a, b]$ et $t > 0$, $$ \left\lvert \ln(t)\,t^{x - 1} e^{-t} \right\rvert \le \lvert \ln t \rvert\,(t^{a - 1} + t^{b - 1})\,e^{-t} =: \varphi_{[a, b]}(t), $$ intégrable sur ${]0, +\infty[}$ : près de $0$, $\lvert \ln t \rvert\,t^{a - 1} = o(t^{a - 1 - \delta})$ pour un petit $\delta \in {]0, a[}$ (et $t^{a-1-\delta}$ est intégrable près de $0$) ; près de $+\infty$, la décroissance exponentielle l'emporte sur $\lvert \ln t \rvert\,t^{b - 1}$.

Par Leibniz sur $[a, b]$ puis pour tout $0 < a < b$, $\Gamma$ est $\mathcal{C}^1$ sur ${]0, +\infty[}$ avec le $\Gamma'$ annoncé.

Exemple

Régularité supérieure en réappliquant le théorème (synthèse). Pour l'exemple $g(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\sin(xt)\,\mathrm{d}t$, montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et donner $g''$.
On a déjà $g \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R})$ avec $g'(x) = \int_0^{+\infty} h(x, t)\,\mathrm{d}t$ où $h(x, t) = t\,e^{-t}\cos(xt)$. Or $g'$ est elle-même une intégrale à paramètre, on réapplique donc le même théorème de Leibniz à $h$ :

$x \mapsto t\,e^{-t}\cos(xt)$ est $\mathcal{C}^1$, avec $\dfrac{\partial h}{\partial x}(x, t) = -t^2 e^{-t}\sin(xt)$ ;
$t \mapsto h(x, t)$ est intégrable ($\lvert h \rvert \le t\,e^{-t}$) ;
$t \mapsto -t^2 e^{-t}\sin(xt)$ est continue ;
domination : $\left\lvert \partial h / \partial x (x, t) \right\rvert \le t^2 e^{-t} =: \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^{+\infty} t^2 e^{-t}\,\mathrm{d}t = 2$).

Par Leibniz appliqué à $g'$, $g'$ est $\mathcal{C}^1$, c'est-à-dire $g \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R})$, avec $$ g''(x) = \int_0^{+\infty} -t^2 e^{-t}\sin(xt)\,\mathrm{d}t. $$ On peut itérer ce procédé pour atteindre tout ordre voulu : chaque nouvelle dérivée est encore une intégrale à paramètre dominée. C'est ainsi qu'on obtient ici la régularité supérieure — en réutilisant le théorème $\mathcal{C}^1$, non par un résultat séparé.

L'usage typique : une équation différentielle pour $g$

La formule $g'(x) = \int_I \partial f / \partial x (x, t)\,\mathrm{d}t$ est rarement le mot de la fin : le plus souvent le nouvel intégrande est relié à l'ancien (par une intégration par parties en $t$, ou en reconnaissant $\partial f / \partial x$ comme un multiple de $f$), de sorte que $g'$ s'exprime en fonction de $g$. On obtient une équation différentielle vérifiée par $g$, qui — jointe à une valeur telle que $g(x_0)$ — détermine $g$ sous forme close. La dérivation sous le signe intégral est, en pratique, une machine à transformer une intégrale rétive en une équation différentielle résoluble.

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Compétences à pratiquer

Appliquer la règle de Leibniz

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes de synthèse