Éducation Nationale Française · PT

Intégration sur un intervalle quelconque

⌚ ~75 min ▢ 9 blocs ✓ 111 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Intégration sur un segment, Analyse asymptotique, Compléments sur les séries numériques

Dans le cours de première année, l'intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ d'une fonction continue était construite sur un segment $[a, b]$ — un intervalle fermé borné. Ce chapitre étend cette intégrale à un intervalle qui n'est pas un segment : une demi-droite $[a, +\infty[$, ou un intervalle avec une borne ouverte où $f$ peut ne pas être bornée. La construction est uniforme : intégrer sur un segment, puis passer à la limite à la borne problématique. On reste partout dans le cadre restreint des fonctions continues — toute fonction ci-dessous est continue sur son intervalle, et on évite tout excès de technicité dans la rédaction.

Signaler une erreur

Conventions

Tout au long de ce chapitre, $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point. On note $\mathcal{C}(I, \mathbb{K})$ le $\mathbb{K}$-espace vectoriel des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{K}$. Pour une fonction $f \in \mathcal{C}(I, \mathbb{K})$ et un segment $[c, d] \subset I$, l'intégrale sur le segment $\int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t$ est celle construite dans le cours de première année Intégration sur un segment. Notation d'intégrale impropre : $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ avec $b$ borne ouverte (ou $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$), et $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$ une fois $f$ connue intégrable sur $I$.

Signaler une erreur

I Intégrales généralisées

I.1 Intégrale généralisée sur une demi-droite en l'infini

À partir de l'intégrale sur un segment de Intégration sur un segment, on étend en laissant la borne supérieure filer vers $+\infty$. La fonction $f$ reste continue sur $[a, +\infty[$ ; seule la borne supérieure change, d'un réel fini à $+\infty$.

Signaler une erreur

Définition — Intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert à droite

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$, où $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ est la borne ouverte (ainsi $b = +\infty$ donne la demi-droite $[a, +\infty[$, et $b \in \mathbb{R}$ fini donne un intervalle borné $[a, b[$). Pour tout $x \in [a, b[$ l'intégrale sur le segment $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est définie. L'intégrale généralisée de $f$ sur $[a, b[$ est dite convergente lorsque la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie quand $x$ tend vers la borne ouverte $b$ depuis l'intérieur de $[a, b[$ (c'est-à-dire $x \to b^-$ si $b \in \mathbb{R}$, ou $x \to +\infty$ si $b = +\infty$). La limite est alors notée $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \lim_{x \to b} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \;\in\; \mathbb{K}, $$ ou encore $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$. Sinon l'intégrale est dite divergente. Lorsque $f$ est à valeurs réelles et $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ tend vers $\pm\infty$, on écrit par convention $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \pm\infty$.

Exemple — Intégrale de Riemann en l'infini convergente

Une primitive de $t \mapsto 1/t^2$ sur $[1, +\infty[$ est $t \mapsto -1/t$, donc $$ \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2} \;=\; \left[-\frac{1}{t}\right]_1^x \;=\; 1 - \frac{1}{x} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; 1. $$ L'intégrale converge, avec $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 = 1$.

Exemple — Intégrale harmonique divergente vers l'infini

Une primitive de $1/t$ sur $[1, +\infty[$ est $\ln$, donc $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$. Par convention on écrit $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t = +\infty$.

Exemple — Intégrale du cosinus divergente par oscillation

$\int_0^x \cos t\,\mathrm{d}t = \sin x$, qui n'a pas de limite quand $x \to +\infty$ (oscille entre $-1$ et $1$). L'intégrale diverge — et ce n'est pas une divergence vers $\pm\infty$.

Signaler une erreur

Proposition — Dérivée d'une intégrale de queue

Si $f \in \mathcal{C}([a, +\infty[, \mathbb{K})$ et $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, la fonction $$ G : x \;\longmapsto\; \int_x^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t - \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t $$ est dérivable sur $[a, +\infty[$ avec $G'(x) = -f(x)$ (par convention, la dérivée à droite en $a$ est la dérivée en ce point).

Preuve

Par le théorème fondamental du calcul intégral (rappel de Intégration sur un segment) appliqué à $f$ continue sur $[a, +\infty[$, l'application $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est dérivable sur $[a, +\infty[$ de dérivée $f$. La soustraction à la constante $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ renverse le signe.

Proposition — Divergence pour une limite non nulle à l'infini

Soit $f \in \mathcal{C}([a, +\infty[, \mathbb{R})$. Si $f$ admet en $+\infty$ une limite $\ell$ avec $\ell \ne 0$ (finie non nulle, ou $\ell = \pm\infty$), alors $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ diverge.

Preuve

L'argument repose sur le signe constant à partir d'un rang de $f$. Supposons $\ell > 0$ (le cas $\ell < 0$ est symétrique). À partir d'un rang $N \ge a$, $f(t) \ge \ell/2 > 0$ pour $t \ge N$, donc pour $x \ge N$, $$ \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_a^N f(t)\,\mathrm{d}t \;+\; \int_N^x f(t)\,\mathrm{d}t \;\ge\; \int_a^N f(t)\,\mathrm{d}t \;+\; \frac{\ell}{2}\,(x - N) \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; +\infty . $$ Ainsi $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ n'a pas de limite finie, et l'intégrale diverge. Si $\ell = +\infty$, alors à partir d'un rang $f(t) \ge 1$, et la même minoration donne $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \to +\infty$ ; le cas $\ell = -\infty$ est symétrique.

Attention

La réciproque est fausse : une intégrale impropre $\int_a^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ peut converger sans que $f$ tende vers $0$ en $+\infty$ — et même sans que $f$ admette de limite. La Proposition est donc une condition suffisante de divergence à sens unique ; ce n'est pas la contraposée d'une affirmation « $f \to 0$ nécessaire » (vraie pour les séries $\sum u_n$, mais fausse pour les intégrales).
Contre-exemple. Construisons une fonction $f$ continue positive sur $[2, +\infty[$ à partir de « bosses » : autour de chaque entier $n \ge 3$, une bosse triangulaire continue de hauteur $2$ et de base $1/n^2$ (nulle ailleurs). Chaque bosse a pour aire $1/n^2$, donc $\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t \le \sum_{k \ge 3} 1/k^2 < +\infty$ et $\int_2^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ; pourtant $f(n) = 2$ pour tout $n \ge 3$, donc $f$ n'a pas de limite en $+\infty$.

Signaler une erreur

Méthode — Vérifier la convergence d'une intégrale impropre en l'infini

Vérifier que $f$ est continue sur $[a, +\infty[$.
Si $f$ admet une limite non nulle (finie ou $\pm\infty$) en $+\infty$ : divergence par la Proposition ci-dessus.
Sinon, essayer de calculer une primitive de $f$ sur $[a, +\infty[$ et passer à la limite $x \to +\infty$.
Si aucune primitive close n'est disponible : se rabattre sur la caractérisation du cas positif du $\S\,2.1$ (si $f \ge 0$) ou le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du $\S\,2.3$.

Ne pas reproduire la règle des séries « $u_n \to 0$ nécessaire » — le contre-exemple des bosses ci-dessus montre que cette règle est fausse pour les intégrales.

Compétences à pratiquer

Calculer une intégrale généralisée sur une demi-droite en l'infini

I.2 Intégrale généralisée sur un intervalle quelconque

La construction du sous-section 1.1 s'étend aux deux autres types d'intervalles par symétrie : semi-ouvert $]a, b]$ (passage à la limite en $a^+$), ouvert $]a, b[$ (passage à la limite aux deux bornes indépendamment). On isole également le cas « faussement impropre » où une limite finie à la borne ouverte fait que l'intégrale est en fait une intégrale sur un segment déguisée.

Signaler une erreur

Définition — Intégrale généralisée sur un intervalle semi-ouvert à gauche

Soit $f \in \mathcal{C}(]a, b], \mathbb{K})$ (avec $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, $b \in \mathbb{R}$). Pour tout $x \in ]a, b]$ l'intégrale sur le segment $\int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t$ est définie. L'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge lorsque $x \mapsto \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie quand $x$ tend vers la borne ouverte $a$ depuis l'intérieur de $]a, b]$ — c'est-à-dire $x \to a^+$ si $a \in \mathbb{R}$, ou $x \to -\infty$ si $a = -\infty$. La limite est alors $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \lim_{x \to a} \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t . $$

Exemple — Une intégrale impropre semi-ouverte à gauche par primitive

Pour $f(t) = 1/\sqrt{t}$ sur $]0, 1]$, $f$ est continue sur $]0, 1]$ et une primitive est $t \mapsto 2\sqrt{t}$, donc $$ \int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}} \;=\; \bigl[2\sqrt{t}\bigr]_x^1 \;=\; 2 - 2\sqrt{x} \;\xrightarrow[x \to 0^+]{}\; 2. $$ L'intégrale impropre $\int_0^1 \mathrm{d}t/\sqrt{t}$ converge et vaut $2$. (Même conclusion par la référence du sous-section 1.4 : $\int_0^1 \mathrm{d}t/t^\alpha$ converge pour $\alpha = 1/2 < 1$.)

Définition — Intégrale généralisée sur un intervalle ouvert

Soit $f \in \mathcal{C}(]a, b[, \mathbb{K})$ (avec $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$, $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$). On choisit $c \in ]a, b[$ quelconque. L'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge lorsque les deux intégrales $\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t$ (impropre en $a$) et $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ (impropre en $b$) convergent, et alors $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;:=\; \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t \,+\, \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t . $$ La valeur ne dépend pas du choix de $c$ (conséquence de Chasles sur les segments). Les deux convergences sont requises indépendamment : il ne suffit pas qu'une limite symétrique / en valeur principale (par exemple $\lim_{r \to +\infty} \int_{-r}^{r} f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $]-\infty, +\infty[$) existe — voir l'Exemple ci-dessous.

Exemple — Limite symétrique vs convergence

L'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,\mathrm{d}t$ diverge : en effet, $\int_0^x t\,\mathrm{d}t = x^2/2 \to +\infty$, donc $\int_0^{+\infty} t\,\mathrm{d}t$ diverge, et la définition pour intervalle ouvert échoue en $+\infty$. Pourtant par symétrie, $\int_{-x}^{x} t\,\mathrm{d}t = 0$ pour tout $x > 0$, donc la limite symétrique vaut $0$ — une « compensation » trompeuse qui n'est pas la définition de la convergence sur $]-\infty, +\infty[$.

Proposition — Intégrale faussement impropre par prolongement par continuité

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ avec $b \in \mathbb{R}$ fini. Si $f$ admet une limite finie en $b^-$, soit $\tilde{f}$ son prolongement par continuité à $[a, b]$ défini par $\tilde{f}(b) := \lim_{x \to b^-} f(x)$ (et $\tilde{f} = f$ sur $[a, b[$). Alors $\tilde{f} \in \mathcal{C}([a, b], \mathbb{K})$, l'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, et $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_a^b \tilde{f}, $$ le membre de droite étant une intégrale sur un segment ordinaire. De même à une borne inférieure ouverte, et aux deux bornes d'un intervalle ouvert si $f$ se prolonge par continuité à chacune.

Preuve

Comme $\tilde{f}$ est continue sur $[a, b]$, l'application $F : x \mapsto \int_a^x \tilde{f}$ est continue sur $[a, b]$ (primitive d'une fonction continue, rappel de Intégration sur un segment). Sur $[a, b[$, $\tilde{f} = f$, donc $F$ y coïncide avec $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Par continuité de $F$ en $b$, $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = F(x) \to F(b) = \int_a^b \tilde{f}$ quand $x \to b^-$ ; cette limite finie est la convergence de $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$, égale à $\int_a^b \tilde{f}$.

Exemple — Sinus cardinal faussement impropre en zéro

La fonction $t \mapsto (\sin t)/t$ est continue sur $]0, 1]$ et $(\sin t)/t \to 1$ quand $t \to 0^+$ (développement $\sin t = t + O(t^3)$). Par la proposition (appliquée symétriquement à la borne gauche $0$, selon la convention du sous-section 1.2) : $\int_0^1 (\sin t)/t\,\mathrm{d}t$ converge en tant qu'intégrale faussement impropre, égale à l'intégrale sur un segment du prolongement continu.

Exemple — Intégrale du logarithme vraiment impropre en zéro

La fonction $\ln$ n'a pas de limite finie en $0^+$ ($\ln t \to -\infty$), donc la proposition ne s'applique pas. L'intégrale converge néanmoins par calcul direct : une primitive de $\ln$ est $t \mapsto t \ln t - t$, donc $$ \int_x^1 \ln t\,\mathrm{d}t \;=\; [t \ln t - t]_x^1 \;=\; -1 - (x \ln x - x) \;\xrightarrow[x \to 0^+]{}\; -1, $$ en utilisant $x \ln x \to 0$.

Compétences à pratiquer

Étudier une intégrale généralisée sur un intervalle quelconque

I.3 Propriétés et notations

Les quatre propriétés ci-dessous sont des conséquences directes des propriétés correspondantes de l'intégrale sur un segment (rappel de Intégration sur un segment) par passage à la limite. Chaque énoncé est donné pour le cas $[a, b[$ avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ — les autres types d'intervalles sont identiques par symétrie.

Signaler une erreur

Proposition — Linéarité

Soient $f, g \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ avec $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ convergentes, et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Alors $\int_a^b (\lambda f + \mu g)$ converge et $$ \int_a^b (\lambda f + \mu g) \;=\; \lambda \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;+\; \mu \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t. $$ L'ensemble des $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ tels que $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge est un $\mathbb{K}$-sous-espace de $\mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$, et l'intégrale y est une forme linéaire.

Preuve

La linéarité de l'intégrale sur un segment (rappel de Intégration sur un segment) donne, pour tout $x \in [a, b[$, $$ \int_a^x (\lambda f + \mu g) \;=\; \lambda \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \,+\, \mu \int_a^x g(t)\,\mathrm{d}t . $$ On fait tendre $x \to b^-$ : chaque terme de droite admet une limite finie par hypothèse, donc celui de gauche aussi, et l'égalité passe à la limite.

Proposition — Relation de Chasles

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ (avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$). Pour tout $c \in [a, b[$, l'intégrale $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, et en cas de convergence $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t \;+\; \int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t, $$ où $\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t$ est une intégrale sur un segment ordinaire. En particulier la nature de $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ ne dépend pas de la valeur de la borne fermée $a$. Énoncé symétrique sur $]a, b]$ ; sur un intervalle ouvert $]a, b[$, l'intégrale converge si et seulement si $\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ convergent pour un (donc tout) $c$ intérieur.

Preuve

Pour tout $x \in [c, b[$, Chasles sur les segments donne $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t + \int_c^x f(t)\,\mathrm{d}t$. Le premier terme $\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t$ est une intégrale sur un segment fixée (une constante) ; quand $x \to b^-$, le membre de gauche $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie si et seulement si $\int_c^x f(t)\,\mathrm{d}t$ en admet une, soit $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ssi $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge, et l'égalité passe alors à la limite. L'indépendance vis-à-vis de $a$ en découle : déplacer la borne fermée ne change que la partie segmentaire constante. Le cas $]a, b]$ est symétrique ; le cas de l'intervalle ouvert est la définition même de la convergence sur $]a, b[$.

Proposition — Positivité et croissance (cas réel)

Soient $f, g \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$, $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ convergentes.

Si $f \ge 0$ sur $[a, b[$, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0$.
Si $f \le g$ sur $[a, b[$, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$.

Preuve

Pour tout $x \in [a, b[$, la positivité (resp. la croissance) de l'intégrale sur un segment donne $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0$ (resp. $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^x g(t)\,\mathrm{d}t$). Une inégalité large entre quantités réelles est conservée par passage à la limite quand $x \to b^-$.

Proposition — Parties réelle et imaginaire d'une intégrale complexe

Soit $f \in \mathcal{C}(]a, b[, \mathbb{C})$. Alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_a^b \operatorname{Re}(f)$ et $\int_a^b \operatorname{Im}(f)$ convergent toutes deux, et en cas de convergence $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_a^b \operatorname{Re}(f) \;+\; i \int_a^b \operatorname{Im}(f). $$

Preuve

Fixons $c \in ]a, b[$. Pour l'intégrale sur un segment, $\operatorname{Re}\bigl(\int_c^y f(t)\,\mathrm{d}t\bigr) = \int_c^y \operatorname{Re}(f)$ et $\operatorname{Im}\bigl(\int_c^y f(t)\,\mathrm{d}t\bigr) = \int_c^y \operatorname{Im}(f)$. Une quantité complexe admet une limite finie si et seulement si ses parties réelle et imaginaire en admettent une ; appliqué à $y \mapsto \int_c^y f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $y \to b^-$, l'intégrale à la borne supérieure $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ssi $\int_c^b \operatorname{Re}(f)$ et $\int_c^b \operatorname{Im}(f)$ convergent. Symétriquement à la borne inférieure sur $]a, c]$. En recollant les deux moitiés, on obtient l'équivalence et l'égalité annoncées.

Définition — Notation de divergence vers l'infini pour les intégrands positifs

Pour $f \in \mathcal{C}(I, \mathbb{R}^+)$ avec $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$ divergente, on écrit par convention $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t = +\infty$. Cette convention a un sens précisément parce que, pour $f$ continue à valeurs positives, les intégrales partielles croissent et l'intégrale converge ou tend vers $+\infty$ — la dichotomie établie par la caractérisation du cas positif du $\S\,2.1$. Règle pratique, anticipant ce résultat : un calcul aboutissant à $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t < +\infty$ pour un tel $f$ vaut preuve de convergence (sans avoir à exhiber la valeur de la limite).

Exemple — La notation en action

Par cette convention, $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t = +\infty$ (rappel de l'Exemple du sous-section 1.1 : l'intégrand est positif sur $[1, +\infty[$, $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$). Réciproquement, calculer $\int_1^x \mathrm{d}t/t^2 = 1 - 1/x \le 1$ pour tout $x \ge 1$ prouve $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2 < +\infty$, donc la convergence (sans avoir à identifier explicitement la limite $1$).

Compétences à pratiquer

Appliquer linéarité, Chasles et la notation de divergence

I.4 Intégrales généralisées de référence

Quatre intégrales impropres calculées explicitement reviennent partout en analyse asymptotique et sont à connaître par cœur. Chacune se règle par une primitive explicite et un passage à la limite.

Signaler une erreur

Proposition — Intégrales de Riemann en l'infini

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $$ \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \quad\text{converge} \iff \alpha > 1. $$ La valeur est alors $1/(\alpha - 1)$.

Preuve

Pour $\alpha \ne 1$, la primitive de $t \mapsto 1/t^\alpha$ est $t \mapsto t^{1 - \alpha}/(1 - \alpha)$, donc $$ \int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \;=\; \frac{x^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha} \;=\; \frac{1}{\alpha - 1}\bigl(1 - x^{1 - \alpha}\bigr). $$ Quand $x \to +\infty$, $x^{1 - \alpha} \to 0$ si $\alpha > 1$ (limite finie $1/(\alpha - 1)$) et $x^{1 - \alpha} \to +\infty$ si $\alpha < 1$ (divergence).
Pour $\alpha = 1$, $\int_1^x \mathrm{d}t/t = \ln x \to +\infty$. Divergence.

Proposition — Intégrales de Riemann en zéro

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, $$ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \quad\text{converge} \iff \alpha < 1. $$

Preuve

Pour $\alpha \ne 1$, la primitive $t \mapsto t^{1 - \alpha}/(1 - \alpha)$ donne $\int_x^1 \mathrm{d}t/t^\alpha = (1 - x^{1 - \alpha})/(1 - \alpha)$. Quand $x \to 0^+$ : $x^{1 - \alpha} \to 0$ si $\alpha < 1$ (limite finie $1/(1 - \alpha)$), $x^{1 - \alpha} \to +\infty$ si $\alpha > 1$ (divergence).
Pour $\alpha = 1$, la primitive est $\ln$ (pas la puissance $t^{1-\alpha}/(1-\alpha)$, invalide pour cette valeur), donc $\int_x^1 \mathrm{d}t/t = -\ln x \to +\infty$. Divergence.

Proposition — Exponentielle en l'infini

Pour $a \in \mathbb{R}$ :

si $a > 0$, $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t$ converge, et vaut $1/a$ ;
si $a = 0$, $\int_0^{+\infty} 1\,\mathrm{d}t = +\infty$ (divergence triviale) ;
si $a < 0$, l'intégrale diverge ($\mathrm{e}^{-at} \to +\infty$, limite non nulle en $+\infty$).

Preuve

Pour $a > 0$, une primitive de $t \mapsto \mathrm{e}^{-at}$ est $t \mapsto -\mathrm{e}^{-at}/a$, donc $$ \int_0^x \mathrm{e}^{-at}\,\mathrm{d}t \;=\; \left[-\frac{\mathrm{e}^{-at}}{a}\right]_0^x \;=\; \frac{1 - \mathrm{e}^{-ax}}{a} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; \frac{1}{a}. $$ Pour $a \le 0$ le terme ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ (il tend vers $1$ si $a = 0$, vers $+\infty$ si $a < 0$), donc la Proposition « Divergence pour une limite non nulle à l'infini » du $\S\,1.1$ force la divergence.

Proposition — Logarithme en zéro

$\int_0^1 \ln t\,\mathrm{d}t$ converge et vaut $-1$.

Preuve

Une primitive de $\ln$ est $t \mapsto t \ln t - t$, donc $\int_x^1 \ln t\,\mathrm{d}t = -1 - (x \ln x - x) \to -1$ quand $x \to 0^+$ (en utilisant $x \ln x \to 0$).

Signaler une erreur

Méthode — Reconnaître une intégrale de référence

Lire le paramètre depuis l'intégrand — $\alpha$ pour une intégrale de Riemann, $a$ pour une exponentielle — et vérifier le seuil ($\alpha > 1$ en $+\infty$, $\alpha < 1$ en $0$, $a > 0$ pour l'exponentielle). Mémoriser les quatre références ; les théorèmes de comparaison du sous-section 2.3 ramènent alors la plupart des questions d'intégrabilité de ce chapitre à comparer l'intégrand à l'une de ces quatre références.

Compétences à pratiquer

Identifier une intégrale généralisée de référence

I.5 IPP et changement de variable sur un intervalle quelconque

Les deux théorèmes segmentaires de première année — intégration par parties et changement de variable — s'étendent au cas non compact sous les mêmes hypothèses de régularité, plus l'existence de limites finies aux bornes ouvertes (leurs démonstrations ne sont pas exigibles à ce niveau). Dans les calculs concrets, on ne répète pas les hypothèses de régularité — le programme le permet explicitement.

Signaler une erreur

Théorème — IPP sur un intervalle quelconque

Soient $f, g \in \mathcal{C}^1([a, b[, \mathbb{K})$ avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$. Si $\lim_{x \to b^-} f(x) g(x)$ existe et est finie, alors les intégrales impropres $\int_a^b f'(t) g(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_a^b f(t) g'(t)\,\mathrm{d}t$ sont de même nature, et en cas de convergence $$ \int_a^b f(t) g'(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[fg\bigr]_a^{b^-} \,-\, \int_a^b f'(t) g(t)\,\mathrm{d}t, \qquad \bigl[fg\bigr]_a^{b^-} \,:=\, \lim_{x \to b^-} f(x)g(x) \,-\, f(a)g(a). $$ Version bilatérale sur $]a, b[$ : si $\lim_{x \to a^+} f(x) g(x)$ et $\lim_{x \to b^-} f(x) g(x)$ existent et sont finies, même conclusion avec $\bigl[fg\bigr]_{a^+}^{b^-} = \lim_{b^-} fg - \lim_{a^+} fg$.

Preuve

IPP sur le segment $[a, x]$ (rappel de Intégration sur un segment) : $$ \int_a^x f(t) g'(t)\,\mathrm{d}t \;=\; [fg]_a^x \,-\, \int_a^x f'(t) g(t)\,\mathrm{d}t. $$ Quand $x \to b^-$ : le terme de bord $[fg]_a^x$ tend vers $\lim_{b^-} fg - f(a)g(a)$, fini par hypothèse. Donc $\int_a^x fg'\,\mathrm{d}t$ et $\int_a^x f(t)'g(t)\,\mathrm{d}t$ diffèrent d'une quantité de limite finie ; elles sont de même nature, et l'égalité annoncée suit. Le cas bilatéral se ramène au cas unilatéral en coupant en un point intérieur.

Méthode — Appliquer IPP sur un intervalle quelconque

Calculer le terme de bord $[fg]$ d'abord : il doit admettre des limites finies aux bornes ouvertes. Si oui, l'IPP transforme l'intégrale ; sinon, l'IPP ne s'applique pas directement — il faut d'abord amortir $f$ ou $g$ (par exemple intégrer par parties sur un intervalle légèrement réduit).

Exemple — Premier moment exponentiel par IPP

Posons $u(t) = t$, $v'(t) = \mathrm{e}^{-t}$, donc $u'(t) = 1$, $v(t) = -\mathrm{e}^{-t}$. Le terme de bord $u v = -t \mathrm{e}^{-t}$ a pour limites $0$ en $0$ et $0$ en $+\infty$ (la seconde par $t \mathrm{e}^{-t} \to 0$) ; finie, donc IPP s'applique. Alors $$ \int_0^{+\infty} t \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \;=\; \bigl[-t \mathrm{e}^{-t}\bigr]_0^{+\infty} \,+\, \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t \;=\; 0 \,+\, 1 \;=\; 1. $$

Théorème — Changement de variable sur un intervalle quelconque

Soit $f$ continue sur $]a, b[$ et $\varphi : ]\alpha, \beta[ \,\to\, ]a, b[$ une bijection strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$. Alors les intégrales $$ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \quad\text{et}\quad \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(u)\bigr) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u $$ sont de même nature, et égales en cas de convergence. Si $\varphi$ est strictement décroissante bijective $\mathcal{C}^1$, même conclusion : on a alors $\varphi(\alpha^+) = b^-$ et $\varphi(\beta^-) = a^+$, donc $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\beta^\alpha f(\varphi(u)) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u = -\int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ (les bornes s'inversent automatiquement, puis on les remet à l'endroit au prix du signe en tête).

Preuve

Fixons $\gamma \in ]\alpha, \beta[$ et posons $c := \varphi(\gamma) \in ]a, b[$. Par la définition de l'intervalle ouvert (sous-section 1.2), $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge ssi $\int_a^c f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_c^b f(t)\,\mathrm{d}t$ convergent indépendamment ; même chose à droite en $\gamma$. Par le théorème de changement de variable sur un segment (rappel de Intégration sur un segment), pour tout segment $[\gamma, \beta'] \subset [\gamma, \beta[$ : $$ \int_c^{\varphi(\beta')} f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_\gamma^{\beta'} f\bigl(\varphi(u)\bigr) \varphi'(u)\,\mathrm{d}u. $$ On passe à la limite $\beta' \to \beta^-$ : par bijectivité et monotonie de $\varphi$, $\varphi(\beta') \to b^-$, donc les deux intégrales impropres de la borne supérieure sont de même nature et de même valeur en cas de convergence. Symétriquement pour les demi-intégrales à la borne inférieure (limite $\alpha' \to \alpha^+$, $\varphi(\alpha') \to a^+$). En recollant les deux moitiés par Chasles, on obtient l'équivalence pour l'intervalle ouvert complet.

Méthode — Appliquer un changement de variable sur un intervalle non compact

Utiliser la monotonie de $\varphi$ pour envoyer correctement les bornes. Dans les applications standards, les hypothèses $\mathcal{C}^1$ et bijectivité ne sont pas répétées (permission du programme). Manœuvres classiques : $t = \tan u$ pour envoyer $]0, \pi/2[ \to ]0, +\infty[$ ; $t = \mathrm{e}^u$ pour envoyer $]-\infty, +\infty[ \to ]0, +\infty[$ ; $t = u^2$ pour traiter les singularités de type $1/\sqrt{t}$.

Exemple — Intégrale de l'arctangente par changement de variable

Appliquons $t = \tan u$, avec $\varphi : ]0, \pi/2[ \,\to\, ]0, +\infty[$ bijection strictement croissante $\mathcal{C}^1$, $\varphi'(u) = 1 + \tan^2 u = 1 + t^2$. Alors $$ \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} \;=\; \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \tan^2 u}{1 + \tan^2 u}\,\mathrm{d}u \;=\; \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}u \;=\; \frac{\pi}{2}. $$

Compétences à pratiquer

Appliquer IPP et changement de variable sur un intervalle quelconque

II Cas positif et fonctions intégrables

II.1 Cas des fonctions positives

Pour une fonction continue à valeurs positives, le problème de convergence se ramène à la borne des intégrales partielles — exactement la simplification rencontrée pour les séries à termes positifs dans Compléments sur les séries numériques.

Signaler une erreur

Théorème — Caractérisation du cas positif

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R}^+)$. Alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est majorée sur $[a, b[$.

Preuve

L'application $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est croissante sur $[a, b[$ : pour $x \le y$, $F(y) - F(x) = \int_x^y f(t)\,\mathrm{d}t \ge 0$ par positivité de $f$ (positivité de l'intégrale sur un segment). Le théorème de la limite monotone affirme alors que la fonction croissante $F$ admet une limite finie en $b^-$ si et seulement si elle est majorée sur $[a, b[$ (elle est minorée par $F(a) = 0$). Cette limite finie est exactement la convergence de $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.

Signaler une erreur

Méthode — Convergence par intégrales partielles majorées

Pour $f$ à valeurs positives, un calcul aboutissant à $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \le M < +\infty$ pour tout $x \in [a, b[$ vaut preuve de convergence (permission explicite du programme). On n'a pas besoin de la valeur explicite de la limite.

Théorème — Règle de majoration

Soient $f, g \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $0 \le f \le g$ sur $[a, b[$. Si $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge et $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$. Par contraposée, si $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ diverge, alors $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ diverge.

Preuve

Pour tout $x \in [a, b[$, la majoration segmentaire $0 \le f \le g$ donne $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^x g(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$, la dernière étape par convergence et positivité de $g$. Donc $x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est majorée par $\int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ ; à valeurs positives, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge par la caractérisation du cas positif, et $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_a^b g(t)\,\mathrm{d}t$ par passage à la limite.

Exemple — Sinus carré sur polynôme converge

L'intégrand est positif et $\sin^2(t)/(1+t^2) \le 1/(1+t^2)$ pour tout $t \ge 0$. Comme $\int_0^{+\infty} \mathrm{d}t/(1+t^2) = \pi/2$ (calculée au sous-section 1.5), la règle de majoration s'applique : l'intégrale converge.

Méthode — Choisir un majorant

Viser une intégrale de référence connue (sous-section 1.4) : Riemann $1/t^\alpha$ en $+\infty$ ou $0$, exponentielle $\mathrm{e}^{-at}$ en $+\infty$, $|\ln t|$ en $0$ (la référence positive intégrable, puisque $\ln t < 0$ sur $]0, 1[$). Le comportement asymptotique de $f$ à la borne ouverte dicte la référence à comparer.

Compétences à pratiquer

Exploiter la caractérisation du cas positif

II.2 Convergence absolue et espace des fonctions intégrables

L'analogue intégral de la convergence absolue pour les séries. L'espace $L^1(I, \mathbb{K})$ des fonctions intégrables est l'objet central du chapitre, gouverné par l'inégalité triangulaire.

Signaler une erreur

Définition — Convergence absolue

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$. L'intégrale impropre $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ est dite absolument convergente lorsque l'intégrale numérique positive $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge. Même définition sur $]a, b]$ et sur $]a, b[$.

Exemple — Une première intégrale absolument convergente

Pour $t \ge 0$, $|\cos(t)/(1+t^2)| \le 1/(1+t^2)$, et $\int_0^{+\infty} \mathrm{d}t/(1+t^2) = \pi/2$ converge (exemple du sous-section 1.5). Par la règle de majoration appliquée à l'intégrand positif $|\cos(t)/(1+t^2)|$, $\int_0^{+\infty} |\cos(t)/(1+t^2)|\,\mathrm{d}t$ converge, donc $\int_0^{+\infty} \cos(t)/(1+t^2)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente.

Théorème — Convergence absolue entraîne convergence

Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ (avec $b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$). Si $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente — c'est-à-dire $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge — alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge. Même conclusion sur $]a, b]$ et sur $]a, b[$ (couper en un point intérieur et appliquer le cas unilatéral à chaque moitié).

Preuve

Cas réel. Soit $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R})$ avec $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ convergente. Posons $f^+ = \max(f, 0)$ et $f^- = \max(-f, 0)$, continues et positives, avec $f = f^+ - f^-$ et $|f| = f^+ + f^-$. Alors $0 \le f^+ \le |f|$ et $0 \le f^- \le |f|$, donc par la règle de majoration $\int_a^b f^+$ et $\int_a^b f^-$ convergent. Par linéarité, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b f^+ - \int_a^b f^-$ converge.
Cas complexe. Pour $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{C})$, on a $|\!\operatorname{Re}(f)| \le |f|$ et $|\!\operatorname{Im}(f)| \le |f|$, et la conclusion suit en appliquant le cas réel à $\operatorname{Re}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$ puis en recollant ; le cas complexe est admis à ce niveau (sa démonstration n'est pas exigée par le programme).

Définition — Fonction intégrable et espace des fonctions intégrables

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \to \mathbb{K}$. La fonction $f$ est intégrable sur $I$ lorsque $f$ est continue sur $I$ et $\int_I |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge (c'est-à-dire que $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente). L'ensemble des fonctions intégrables de $I$ dans $\mathbb{K}$ est noté $L^1(I, \mathbb{K})$. Pour $f \in L^1(I, \mathbb{K})$, l'intégrale $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t$ est définie et automatiquement convergente (par le Théorème précédent).

Proposition — L'espace des fonctions intégrables est un espace vectoriel

$L^1(I, \mathbb{K})$ est un $\mathbb{K}$-sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}(I, \mathbb{K})$.

Preuve

La fonction nulle est intégrable. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$ et $f, g \in L^1(I, \mathbb{K})$, la fonction continue $\lambda f + g$ vérifie $|\lambda f + g| \le |\lambda|\,|f| + |g|$. Le membre de droite est une combinaison positive de deux fonctions intégrables, donc intégrable (linéarité $+$ règle de majoration), donc $\int_I |\lambda f + g|$ converge. Ainsi $\lambda f + g \in L^1(I, \mathbb{K})$.

Proposition — Inégalité triangulaire

Pour $f \in L^1(I, \mathbb{K})$, $$ \left|\int_I f(t)\,\mathrm{d}t\right| \;\le\; \int_I |f(t)|\,\mathrm{d}t. $$

Preuve

Cas réel. Avec $f = f^+ - f^-$ et $|f| = f^+ + f^-$ (parties positives continues intégrables, comme ci-dessus), $$ \left|\int_I f(t)\,\mathrm{d}t\right| \;=\; \left|\int_I f^+ - \int_I f^-\right| \;\le\; \int_I f^+ + \int_I f^- \;=\; \int_I |f(t)|\,\mathrm{d}t. $$ Cas complexe admis (le programme n'en exige pas la démonstration ; il découle de l'inégalité triangulaire segmentaire $\bigl|\int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t\bigr| \le \int_c^d |f(t)|\,\mathrm{d}t$ sur tout sous-segment $[c, d] \subset I$, passée à la limite aux bornes ouvertes).

Proposition — Continue positive intégrable et intégrale nulle implique nulle

Soit $f : I \to \mathbb{R}^+$ continue sur $I$ et intégrable sur $I$, avec $\int_I f(t)\,\mathrm{d}t = 0$. Alors $f \equiv 0$ sur $I$.

Preuve

Pour tout segment $[c, d] \subset I$, $0 \le \int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t \le \int_I f(t)\,\mathrm{d}t = 0$ (positivité + intégrale totale = 0), donc $\int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t = 0$. Par la version MPSI sur un segment ($f \in \mathcal{C}([c, d], \mathbb{R}^+)$ avec $\int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t = 0$ implique $f \equiv 0$ sur $[c, d]$, rappel de Intégration sur un segment), $f \equiv 0$ sur $[c, d]$. Comme $[c, d]$ est arbitraire, $f \equiv 0$ sur $I$.

Exemple — Sinus sur carré absolument convergente en l'infini

Pour $t \ge 1$, $|\sin(t)/t^2| \le 1/t^2$, et $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2$ est l'intégrale de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, donc convergente. Donc $\int_1^{+\infty} \sin(t)/t^2\,\mathrm{d}t$ est absolument convergente. (Borne inférieure $1$ choisie pour éviter la singularité de $\sin(t)/t^2 \sim 1/t$ en $t = 0$, qui n'est pas intégrable en $0$.)

Exemple — Sinus amorti absolument convergente

Pour $t \ge 0$, $|\mathrm{e}^{-t} \sin(t)| \le \mathrm{e}^{-t}$, et $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t = 1$ (référence du sous-section 1.4). L'intégrale est absolument convergente.

Proposition — Réduction aux bornes

Soit $f \in \mathcal{C}(]a, a+\varepsilon], \mathbb{K})$ (avec $a \in \mathbb{R}$, $\varepsilon > 0$). Alors $f$ est intégrable en $a$ (c'est-à-dire $\int_a^{a+\varepsilon} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge) si et seulement si $t \mapsto f(a + t)$ est intégrable en $0$ (sur $]0, \varepsilon]$). Énoncé symétrique en $b$ avec $t \mapsto f(b - t)$.

Preuve

Pour tout $x \in ]a, a+\varepsilon]$, le changement de variable $u = t - a$ sur le segment $[x, a+\varepsilon]$ donne $$ \int_x^{a+\varepsilon} |f(t)|\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{x-a}^{\varepsilon} |f(a+u)|\,\mathrm{d}u . $$ On fait tendre $x \to a^+$ (i.e. $x - a \to 0^+$) : les deux membres sont de même nature et de même limite en cas de convergence. Donc $\int_a^{a+\varepsilon} |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $\int_0^{\varepsilon} |f(a + \cdot)|$ converge.

Proposition — Référence $\int_a^b \mathrm{d}x/|x-a|^\alpha$ (corollaire du § 1.4 + réduction aux bornes)

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $a < b$ finis, $\int_a^b \mathrm{d}x/|x - a|^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha < 1$. (Se ramène à $\int_0^{b-a} \mathrm{d}t/t^\alpha$ par translation $t = x - a$.)

Méthode — Démontrer l'intégrabilité par majoration

Majorer $|f|$ par le terme général d'une référence intégrable connue (Riemann en $+\infty$ avec $\alpha > 1$, Riemann en $0$ avec $\alpha < 1$, exponentielle en $+\infty$, $|\ln t|$ en $0$). Alors $\int_I |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge par la règle de majoration, et $f$ est intégrable. Le théorème de comparaison pour l'intégrabilité du sous-section 2.3 généralise cette méthode aux comparaisons $O$, $o$, $\sim$.

Compétences à pratiquer

Démontrer l'intégrabilité par majoration

II.3 Théorème de comparaison pour l'intégrabilité

C'est le théorème de comparaison pour l'intégrabilité : étant donné une référence positive intégrable $g$, une comparaison asymptotique $f = O(g)$, $f = o(g)$ ou $f \sim g$ à la borne ouverte entraîne l'intégrabilité de $f$. C'est l'analogue intégral de la règle de comparaison pour les séries à termes positifs de Compléments sur les séries numériques ; la seule différence est que la comparaison se prend en une borne réelle ou infinie de l'intervalle, pas seulement en $+\infty$.

Signaler une erreur

Théorème — Comparaison $O / o$ pour l'intégrabilité

Soient $f \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{K})$ et $g \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R}^+)$, avec $g$ intégrable sur $[a, b[$. Si $f = O(g)$ (resp. $f = o(g)$) en $b^-$, alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$.

Preuve

L'hypothèse $f = O(g)$ en $b^-$ fournit un rang $c \in [a, b[$ et $M \ge 0$ tels que $|f(t)| \le M g(t)$ pour $t \in [c, b[$. Sur $[c, b[$, la règle de majoration (les fonctions positives $|f|$ et $M g$) donne l'intégrabilité de $|f|$ sur $[c, b[$. Sur le segment $[a, c]$, $|f|$ est continue donc intégrable. Par Chasles, $|f|$ est intégrable sur $[a, b[$, donc $f \in L^1([a, b[, \mathbb{K})$. Le cas $o$ est identique avec $\varepsilon$ à la place de $M$.

Théorème — Comparaison $\sim$ pour l'intégrabilité

Soient $f, g \in \mathcal{C}([a, b[, \mathbb{R}^+)$ avec $g$ strictement positive au voisinage de $b^-$. Si $f \sim g$ en $b^-$, alors $f$ est intégrable sur $[a, b[$ si et seulement si $g$ l'est.

Preuve

$f \sim g$ avec $g > 0$ au voisinage de $b^-$ signifie $f/g \to 1$ en $b^-$, donc à partir d'un rang $c$, $f/g \in [1/2, 2]$, soit $g/2 \le f \le 2g$ sur $[c, b[$. Deux applications de la règle de majoration donnent l'intégrabilité simultanée de $f$ et $g$ sur $[c, b[$ ; le segment $[a, c]$ ajoute une contribution continue, automatiquement intégrable. Conclure par Chasles.

Méthode — Choisir la comparaison

En $+\infty$, comparer à $1/t^\alpha$ pour un $\alpha > 1$. Près de $0$, comparer à $1/t^\alpha$ pour un $\alpha < 1$. Près d'une singularité finie $a$, effectuer le changement de variable $t = x - a$ pour se ramener au cas $0$.

Exemple — Fonction Gamma : intégrabilité

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, l'intégrale Gamma $\int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ est intégrable en $0$ si et seulement si $\alpha > 0$ (comparer à $t^{\alpha-1}$, $\int_0^1 t^{\alpha-1}\,\mathrm{d}t$ converge ssi $-(\alpha-1) < 1$, soit $\alpha > 0$) ; et intégrable en $+\infty$ pour tout $\alpha$ (par comparaison à $\mathrm{e}^{-t/2}$ : $t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t} = o(\mathrm{e}^{-t/2})$ en $+\infty$ puisque $t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t/2} \to 0$). Donc $\Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ converge pour tout $\alpha > 0$.

Exemple — Logarithme sur racine carrée convergente

L'intégrand a deux singularités potentielles, en $0$ et en $1$.

Près de $0$. $\sqrt{1 - t^2} \to 1$, donc $\ln t/\sqrt{1 - t^2} \sim \ln t$. Prenons $g = -\ln t$ (la valeur absolue) : $\int_0^1 (-\ln t)\,\mathrm{d}t = 1$ converge (référence du sous-section 1.4), donc $|\!\ln t / \sqrt{1 - t^2}|$ est intégrable en $0$ par majoration.
Près de $1$. $\sqrt{1 - t^2} = \sqrt{(1 - t)(1 + t)} \sim \sqrt{2(1 - t)}$ et $\ln t = \ln(1 + (t-1)) \sim -(1 - t)$, donc l'intégrand se comporte comme $-(1 - t)/\sqrt{2(1 - t)} = -\sqrt{(1 - t)/2}$, qui $\to 0$ quand $t \to 1^-$. La singularité en $1$ est faussement impropre.

Les deux bornes sont réglées, donc $\int_0^1 \ln t / \sqrt{1 - t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Compétences à pratiquer

Étudier l'intégrabilité par comparaison

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Synthèse de niveau concours