Éducation Nationale Française · PT

Espérance, variance, génératrices et inégalités

⌚ ~123 min ▢ 15 blocs ✓ 73 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Variables aléatoires discrètes, Compléments sur les séries numériques

Ce chapitre munit une variable aléatoire discrète de ses deux résumés numériques fondamentaux — l'espérance (sa valeur moyenne) et la variance (son écart quadratique autour de cette moyenne) — puis développe trois outils qui s'appuient sur eux : la fonction génératrice d'une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$, qui encode toute la loi dans une seule série entière et transforme l'indépendance en multiplication ; et les deux inégalités de concentration de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, qui aboutissent à la loi faible des grands nombres. Tout au long, une variable aléatoire discrète réelle $X$ prend ses valeurs dans un ensemble au plus dénombrable $X(\Omega) \subset \mathbb{R}$, dont les valeurs distinctes sont énumérées sans répétition sous la forme $\{x_n\}$ ($n$ décrivant un intervalle fini ou $\mathbb{N}$), et l'existence d'une somme sur $X(\Omega)$ se ramène toujours à la convergence absolue d'une série numérique $\sum_n x_n \mathbb{P}(X = x_n)$ — le cadre de première année des séries absolument convergentes, utilisé partout.

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I Espérance d'une variable aléatoire discrète

L'espérance étend la notion de première année des supports finis aux supports dénombrables infinis. La seule difficulté nouvelle est que la somme $\sum_n x_n \mathbb{P}(X = x_n)$ peut désormais être une série infinie ; on lui demande de converger absolument, ce qui garantit que la valeur est finie et ne dépend pas de l'ordre de sommation. La formule de transfert $\mathbb{E}(f(X)) = \sum_n f(x_n) \mathbb{P}(X = x_n)$ est le cheval de bataille de tout calcul concret, et la linéarité, la positivité et la formule du produit pour des variables indépendantes en découlent.

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I.1 Définition, existence

Quand la somme $\sum_n x_n \mathbb{P}(X = x_n)$ a-t-elle un sens ? L'image $X(\Omega)$ étant au plus dénombrable, la somme est une série numérique ; on lui demande de converger absolument comme condition de bonne définition. La valeur $\mathbb{E}(X)$ est alors la somme de cette série, et elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on énumère les valeurs $x_n$.

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Définition — Espérance finie, espérance

Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle. Son support $X(\Omega)$ étant au plus dénombrable, on énumère ses valeurs distinctes sans répétition : $X(\Omega) = \{x_n\}$ où $n$ décrit $\{0 \virgule \dots \virgule N\}$ (support fini) ou $\mathbb{N}$ (support dénombrable infini), les $x_n$ étant deux à deux distincts. On dit que $X$ admet une espérance finie (ou est intégrable) lorsque la série $\sum_n x_n \mathbb{P}(X = x_n)$ converge absolument, c'est-à-dire $$ \sum_{n} |x_n| \, \mathbb{P}(X = x_n) \,<\, +\infty. $$ On appelle alors espérance de $X$ le réel $$ \mathbb{E}(X) \,=\, \sum_{n} x_n \, \mathbb{P}(X = x_n), $$ dont la valeur ne dépend pas de l'énumération sans répétition choisie de $X(\Omega)$.

Proposition — Support fini : l'espérance existe toujours

Lorsque $X(\Omega)$ est fini, toute variable aléatoire discrète réelle $X$ admet une espérance finie, et la valeur est la somme finie usuelle $\mathbb{E}(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \, \mathbb{P}(X = x)$ étudiée en première année.

Exemple — Une variable aléatoire bornée

Si $|X| \le M$ sur $\Omega$ pour une constante $M \ge 0$, alors pour toute valeur $x$ on a $|x| \le M$, donc $\sum_x |x| \mathbb{P}(X = x) \le M \sum_x \mathbb{P}(X = x) = M < +\infty$. Donc $X$ admet une espérance finie. En particulier l'indicatrice $\mathbf{1}_A$ d'un événement $A$ prend ses valeurs dans $\{0 \virgule 1\}$, donc $\mathbb{E}(\mathbf{1}_A) = 0 \cdot \mathbb{P}(A^c) + 1 \cdot \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A)$.

Exemple — Les lois géométrique et de Poisson admettent une espérance finie

Pour $X \sim \mathcal{G}(p)$ avec $0 < p < 1$, la série positive $\sum_{n \ge 1} n (1-p)^{n-1} p$ converge par la règle de d'Alembert, car $\frac{(n+1)(1-p)^n}{n (1-p)^{n-1}} = (1-p)\frac{n+1}{n} \to 1 - p < 1$. Donc $X$ admet une espérance finie, de valeur $1/p$ calculée à la sous-section 1.5. Pour $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$, la série positive $\sum_{n \ge 0} n \mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^n/n!$ converge par la même règle, de rapport limite $\lambda/n \to 0 < 1$ ; sa valeur $\mathbb{E}(X) = \lambda$ est également calculée à la sous-section 1.5.

Exemple — Une loi sans espérance finie

Posons $\mathbb{P}(X = n) = c/n^2$ pour $n \ge 1$, avec $c = 6/\pi^2$ pour que $\sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X = n) = 1$. Alors $\sum_{n \ge 1} n \mathbb{P}(X = n) = c \sum_{n \ge 1} 1/n = +\infty$ (série harmonique). La série de définition ne converge pas, donc $X$ n'admet pas d'espérance finie : sa queue $\mathbb{P}(X = n) \sim c/n^2$ alloue tant de masse aux grandes valeurs que la moyenne serait infinie.

Proposition — Formule de la queue pour une variable à valeurs dans $\mathbb{N}$

Soit $X$ une variable aléatoire discrète avec $X(\Omega) \subset \mathbb{N}$. Alors $X$ admet une espérance finie si et seulement si la série positive $\sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X \ge n)$ converge, et dans ce cas $$ \mathbb{E}(X) \,=\, \sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(X \ge n). $$

Loi	Notation	\(G_X(t)\)	\(\mathbb{E}(X)\)	\(\mathrm{V}(X)\)
Bernoulli	\(\mathcal{B}(p)\)	\((1-p) + pt\)	\(p\)	\(p(1-p)\)
Binomiale	\(\mathcal{B}(n \virgule p)\)	\(((1-p) + pt)^n\)	\(np\)	\(np(1-p)\)
Uniforme	\(\mathcal{U}(\{1 \virgule \dots \virgule n\})\)	\((t + \dots + t^n)/n\)	\((n+1)/2\)	\((n^2-1)/12\)
Géométrique	\(\mathcal{G}(p)\)	\(pt/(1 - (1-p)t)\)	\(1/p\)	\((1-p)/p^2\)
Poisson	\(\mathcal{P}(\lambda)\)	\(\mathrm{e}^{\lambda(t-1)}\)	\(\lambda\)	\(\lambda\)