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Séries entières

⌚ ~99 min ▢ 12 blocs ✓ 122 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : Nombres complexes, Compléments sur les séries numériques

Une série entière est une série de fonctions $\sum a_n z^n$ construite à partir d'une suite de coefficients $(a_n)$ et d'une variable $z$. C'est la dernière famille de séries du cours, et la plus structurée : il existe un unique nombre, le rayon de convergence $R$, tel que la série converge absolument sur le disque ouvert $|z| < R$ (l'intervalle ouvert $(-R \virgule R)$ dans le cas réel) et diverge pour $|z| > R$, seule la frontière étant indécise. Le chapitre suit quatre étapes. (a) Le rayon et le disque / l'intervalle ouvert de convergence : comment s'établit la trichotomie « converge à l'intérieur, diverge à l'extérieur », comment se calcule le rayon (comparaison, d'Alembert), et comment se comportent la somme et le produit de Cauchy de deux séries entières. (b) La régularité de la somme sur l'intervalle ouvert, dans le cas réel : continuité, dérivation et intégration terme à terme, et leurs conséquences sur les coefficients. (c) La question inverse — quelles fonctions sont elles-mêmes sommes d'une série entière (développables en série entière) — avec les développements usuels à connaître. (d) Les séries géométrique et exponentielle complexes, jusqu'à l'exponentielle complexe sur $\mathbb{C}$.
Notations permanentes. $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une série entière s'écrit $\sum a_n z^n$ avec $(a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ ; on note la variable $z$ dans le cas complexe et $x$ lorsqu'elle est réelle. Plusieurs démonstrations des étapes (b) et (c) sont admises : le programme indique que leur justification n'est pas exigible à ce niveau, et nous le signalons sur place.

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I Séries entières et rayon de convergence

I.1 Série entière et domaine de convergence

Une série entière est une série de fonctions $\sum u_n$ ayant la forme très particulière $u_n(z) = a_n z^n$, paramétrée par la suite des coefficients $(a_n)$ et la variable $z \in \mathbb{K}$. La classe de fonctions est si structurée que le domaine de convergence a une forme remarquable de disque, contrôlée par un unique rayon $R$ — objet du sous-section 1.2.

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Définition — Série entière

On appelle série entière sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ toute série de fonctions de la forme $\sum_{n \ge 0} a_n z^n$, où $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{K}^\mathbb{N}$ est une suite de coefficients et $z$ une variable de $\mathbb{K}$. Lorsque la série numérique $\sum a_n z^n$ converge pour un $z$ donné, sa somme est notée $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ ; la fonction $f$, définie sur l'ensemble des $z$ où il y a convergence, est appelée fonction somme de la série entière.

La Définition ci-dessus (série entière) et celle ci-dessous (domaine de convergence) sont deux faces du même concept : l'objet formel (la série) et l'ensemble sur lequel la fonction somme est définie. Les trois Exemples qui suivent la seconde Définition illustrent conjointement les deux.

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Définition — Domaine de convergence

On appelle domaine de convergence d'une série entière $\sum a_n z^n$ l'ensemble $$ D = \{\, z \in \mathbb{K} \,:\, \text{la série numérique } \sum a_n z^n \text{ converge} \,\}. $$ La fonction somme $f \colon D \to \mathbb{K}$ est définie sur cet ensemble.

Exemple — La série géométrique

On prend $a_n = 1$ pour tout $n$. La série numérique $\sum z^n$ converge (géométriquement) si et seulement si $|z| < 1$, de somme $1/(1 - z)$ sur ce domaine (MPSI Séries numériques). Le domaine de convergence est le disque unité ouvert $D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}$ (l'intervalle ouvert $(-1 \virgule 1) \subset \mathbb{R}$ dans le cas réel), et $$ \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \qquad \text{pour tout } z \in \mathbb{C} \text{ avec } |z| < 1. $$ L'archétype de la série entière.

Exemple — La série exponentielle

On prend $a_n = 1/n!$. Pour tout $z \in \mathbb{C}$, la série numérique $\sum z^n/n!$ converge absolument (d'Alembert : $|u_{n+1}/u_n| = |z|/(n+1) \to 0 < 1$, rappelé de MPSI Séries numériques). Le domaine de convergence est $\mathbb{C}$ tout entier ; la fonction somme sera identifiée à l'exponentielle complexe $\exp(z)$ au sous-section 4.2.

Exemple — Une série ne convergeant qu'en zéro

On prend $a_n = n!$. Pour tout $z \ne 0$, $|a_{n+1} z^{n+1}/(a_n z^n)| = (n+1)|z| \to +\infty$, donc $a_n z^n$ ne tend pas vers $0$ et $\sum n! \, z^n$ diverge grossièrement. Le domaine de convergence se réduit au seul point $\{0\}$ — un troisième régime aux côtés du disque ouvert de la série géométrique et du plan entier de la série exponentielle. Ces trois Exemples illustrent que le domaine de convergence d'une série entière est essentiellement contrôlé par un unique nombre — le module de $z$ à la frontière — à définir et étudier au sous-section 1.2.

Compétences à pratiquer

Identifier une série entière

I.2 Lemme d'Abel et rayon de convergence

Le lemme d'Abel est un principe de comparaison horizontale : si la suite $(a_n z_0^n)$ est simplement bornée en un point $z_0$, alors $\sum a_n z^n$ converge absolument en tout point $z$ strictement intérieur au disque $|z| < |z_0|$. Cela force le domaine de convergence à avoir un unique rayon critique $R$ en deçà duquel tout converge absolument et au-delà duquel la série diverge grossièrement.

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Proposition — Lemme d'Abel

Soit $z_0 \in \mathbb{K}$ avec $z_0 \ne 0$ et supposons la suite $(a_n z_0^n)_{n \in \mathbb{N}}$ bornée. Alors pour tout $z \in \mathbb{K}$ avec $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ est absolument convergente.

Preuve

Soit $M \ge 0$ tel que $|a_n z_0^n| \le M$ pour tout $n$. Pour $|z| < |z_0|$, $$ |a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n \le M \left| \frac{z}{z_0} \right|^n. $$ En posant $q = |z/z_0|$, on a $q < 1$ donc la série géométrique $\sum q^n$ converge. Par comparaison de séries à termes positifs (rappelé de Séries numériques et vectorielles, sous-section 1.4), la série $\sum |a_n z^n|$ converge, donc $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Définition — Rayon de convergence

On appelle rayon de convergence d'une série entière $\sum a_n z^n$ l'élément de $\overline{\mathbb{R}}_+ = [0 ; +\infty]$ défini par $$ R = \sup\bigl\{\, r \ge 0 \,:\, (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est bornée} \,\bigr\}. $$

Théorème — Trichotomie de la convergence

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. Pour tout $z \in \mathbb{K}$ :

si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument ;
si $|z| > R$, la série diverge grossièrement (le terme général $a_n z^n$ ne tend pas vers $0$) ;
si $|z| = R$, on ne peut rien dire en général.

Preuve

Cas $|z| < R$. Par définition de $R$ comme borne supérieure, il existe $r$ avec $|z| < r \le R$ et $(a_n r^n)$ bornée. Comme $r \ne 0$ (car $|z| < r$ et $|z| \ge 0$, donc $r > 0$), le lemme d'Abel s'applique et donne $\sum a_n z^n$ absolument convergente.
Cas $|z| > R$. Si $\sum a_n z^n$ convergeait, alors $a_n z^n \to 0$, donc $(a_n z^n)$ serait bornée ; mais $|z| > R$ contredit la définition de $R$ comme borne supérieure des $r$ tels que $(a_n r^n)$ est bornée. Donc $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, en particulier ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

Le cas frontière $|z| = R$ est indécidable en général : la série peut converger ou diverger en $|z| = R$ selon les coefficients.

Définition — Intervalle et disque ouvert de convergence

Pour une série entière de rayon $R$ :

si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, l'ensemble $(-R ; R)$ est appelé intervalle ouvert de convergence ;
si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$, l'ensemble $D(0 ; R) = \{z \in \mathbb{C} : |z| < R\}$ est appelé disque ouvert de convergence ; et, lorsque $R < +\infty$, le cercle $C(0 ; R) = \{z \in \mathbb{C} : |z| = R\}$ est le cercle de convergence (ou cercle d'incertitude, le comportement à la frontière étant indécidé). Lorsque $R = +\infty$ le cercle n'est pas défini — le disque ouvert est le plan tout entier et il n'y a pas de frontière.

La trichotomie est illustrée ci-dessous : d'abord sur la droite réelle, puis dans le plan complexe. Sur la droite réelle, la convergence absolue a lieu sur l'intervalle ouvert $(-R \virgule R)$, la divergence grossière à l'extérieur, et les deux points frontières $\pm R$ sont indécidés.

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Dans le plan complexe, la région de convergence absolue est un disque ouvert plein de rayon $R$, la région de divergence est son extérieur, et le cercle frontière $C(0 \virgule R)$ est le «cercle d'incertitude».

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Lire le rayon sur un point d'essai

La trichotomie, lue à l'envers, donne les deux règles courantes pour encadrer $R$ à partir du comportement en un seul point d'essai $z_0$ :

si $\sum a_n z_0^n$ converge, alors $|z_0| \le R$ (une divergence forcerait $|z_0| > R$) ;
si $\sum a_n z_0^n$ diverge, alors $|z_0| \ge R$ (une convergence absolue forcerait $|z_0| < R$).

En combinant les deux — un point d'essai où la série converge et un où elle diverge — on cerne souvent $R$ exactement. Par exemple, $\sum z^n/(n+1)$ converge en $z = 1/2$ (de type géométrique, car $|z^n/(n+1)| \le (1/2)^n$) donc $R \ge 1/2$, et diverge en $z = 2$ (ses termes $2^n/(n+1)$ ne sont pas bornés) donc $R \le 2$ ; un point d'essai plus fin, $z = -1$ (alternée, convergente), donne $R \ge 1$, tandis que $z = 1$ (la série divergente $\sum 1/(n+1)$) donne $R \le 1$, d'où $R = 1$.

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Compétences à pratiquer

Encadrer le rayon par des points d'essai

I.3 Calcul du rayon de convergence

Proposition — Règles de comparaison pour le rayon

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$.

Si $|a_n| \le |b_n|$ à partir d'un certain rang, ou plus généralement $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ quand $n \to +\infty$ (en particulier si $a_n = \mathrm{o}(b_n)$), alors $R_a \ge R_b$.
Si $|a_n| \sim |b_n|$, alors $R_a = R_b$.

Preuve

On utilise le rayon comme borne supérieure des rayons de suite bornée (Définition). Supposons $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ : il existe $C \ge 0$ et un rang $N$ tels que $|a_n| \le C |b_n|$ pour $n \ge N$. Soit $r < R_b$. Par la trichotomie en $z = r < R_b$, la suite $(b_n r^n)$ est bornée, disons $|b_n r^n| \le M$. Alors pour $n \ge N$, $$ |a_n r^n| \le C |b_n r^n| \le C M, $$ donc $(a_n r^n)$ est bornée et $r \le R_a$. Comme c'est vrai pour tout $r$ avec $0 \le r < R_b$, on a $R_b \le R_a$ (l'inégalité est automatique si $R_b = 0$, et utilise des $r$ arbitrairement grands si $R_b = +\infty$). Le cas $a_n = \mathrm{o}(b_n)$ est inclus dans $a_n = \mathrm{O}(b_n)$. Enfin, $|a_n| \sim |b_n|$ donne à la fois $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ et $b_n = \mathrm{O}(a_n)$, d'où $R_a = R_b$.

Proposition — Rayon de $\sum n a_n z^n$

Les séries $\sum a_n z^n$ et $\sum n a_n z^n$ ont le même rayon de convergence. Par conséquent, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, la série $\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n$ a le même rayon que $\sum a_n z^n$ (l'indice démarre à $n \ge 1$ pour que $n^\alpha$ soit défini quand $\alpha < 0$). En particulier $\sum_{n \ge 1} n^\alpha x^n$ a pour rayon $1$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.

Preuve

Notons $R$ le rayon de $\sum a_n z^n$ et $R'$ celui de $\sum n a_n z^n$.
$R' \le R$. Comme $|a_n z^n| \le |n a_n z^n|$ pour $n \ge 1$, la règle de comparaison donne $R \ge R'$.
$R \le R'$. Soit $|z| < R$. Choisissons $r$ avec $|z| < r < R$. Par la trichotomie en $z = r$, la suite $(a_n r^n)$ est bornée, par $M$ disons. Alors $$ |n a_n z^n| = n \left( \frac{|z|}{r} \right)^n |a_n r^n| \le M \, n \left( \frac{|z|}{r} \right)^n. $$ Comme $|z|/r < 1$, le facteur $n (|z|/r)^n \to 0$ par croissances comparées (une décroissance géométrique l'emporte sur le facteur polynomial $n$), donc il est borné ; ainsi $(n a_n z^n)$ est bornée et $|z| \le R'$. $|z| < R$ étant arbitraire, $R \le R'$. L'argument de bornitude reste valable même si certains $a_n = 0$.
Conséquence. En itérant $k$ fois le résultat principal, $\sum n^k a_n z^n$ a pour rayon $R$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Pour un réel $\alpha$, fixons un entier $k \ge |\alpha|$. Si $\alpha \ge 0$, $|a_n| \le n^\alpha |a_n| \le n^k |a_n|$ pour $n \ge 1$, donc la règle de comparaison encadre $R(\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n)$ entre $R(\sum n^k a_n z^n) = R$ et $R(\sum a_n z^n) = R$, d'où $R$. Si $\alpha < 0$, $|n^\alpha a_n| \le |a_n|$ donne $R(\sum_{n \ge 1} n^\alpha a_n z^n) \ge R$, tandis que $|a_n| \le n^{k} |n^\alpha a_n|$ (car $n^{-\alpha} \le n^k$) donne l'inégalité inverse $R \ge R(\sum n^\alpha a_n z^n)$ par comparaison ; d'où à nouveau $R$. Avec $a_n = 1$ et $R(\sum x^n) = 1$, on a $R(\sum_{n \ge 1} n^\alpha x^n) = 1$.

Méthode — Calculer le rayon de convergence

(a) Par encadrement (le Text « Lire le rayon sur un point d'essai »). La convergence de $\sum a_n z_0^n$ donne $|z_0| \le R$, la divergence $|z_0| \ge R$ ; deux points d'essai bien choisis cernent souvent $R$ exactement.
(b) Par d'Alembert, appliqué à la série numérique des modules. On suppose $(a_n)$ ultimement non nulle. Fixons $z \ne 0$ et posons $u_n = |a_n z^n|$ ; alors $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |z| \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell |z| \qquad \text{si } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to \ell \in [0 ; +\infty]. $$ Par la règle de d'Alembert pour la série numérique à termes positifs $\sum u_n$ : convergence absolue quand $\ell |z| < 1$, divergence grossière quand $\ell |z| > 1$. D'où $R = 1/\ell$ (convention $1/0 = +\infty$, $1/{+\infty} = 0$).
(c) Par comparaison (Proposition) : utiliser $a_n = \mathrm{O}(b_n)$ ou $|a_n| \sim |b_n|$ pour transférer le rayon depuis une série de rayon connu.
(d) Reconnaître $\sum n^\alpha a_n z^n$ comme ayant même rayon que $\sum a_n z^n$.
Séries lacunaires (une infinité de $a_n$ sont nuls) : le rapport $|a_{n+1}/a_n|$ n'est pas défini une infinité de fois, donc d'Alembert ne s'applique pas directement. Reconnaître la série comme une série entière en une puissance de $z$ : par ex.\ $\sum a_{2k} z^{2k}$ est une série entière en $w = z^2$ ; appliquer d'Alembert en $w$, puis substituer en retour.

Exemple — $\sum x^n/n$ a pour rayon $1$

Avec $a_n = 1/n$ pour $n \ge 1$ (et $a_0 = 0$), $|a_{n+1}/a_n| = n/(n+1) \to 1$. Par d'Alembert, $R = 1/1 = 1$.

Exemple — La lacunaire $\sum x^{2n}/2^n$ a pour rayon $\sqrt{2}$

Le coefficient de $x^k$ est $0$ si $k$ est impair, $1/2^{k/2}$ si $k$ est pair, donc la suite est lacunaire et d'Alembert brut échoue. On reconnaît la série comme une série entière en $w = x^2$ : $$ \sum_{n \ge 0} \frac{x^{2n}}{2^n} = \sum_{n \ge 0} \biggl(\frac{w}{2}\biggr)^n, \qquad w = x^2. $$ C'est la série géométrique en $w/2$, qui converge pour $|w/2| < 1$, soit $|w| < 2$, soit $x^2 < 2$, soit $|x| < \sqrt{2}$. D'où $R = \sqrt{2}$.

Compétences à pratiquer

Calculer le rayon de convergence

I.4 Opérations sur les séries entières

Les séries entières forment une algèbre : la somme (terme à terme) et le produit (produit de Cauchy) préservent la structure de série entière. Le comportement du rayon résulte de la trichotomie pour la somme, et du théorème du produit de Cauchy pour les séries absolument convergentes (rappelé de MPSI Familles sommables) pour le produit.

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Proposition — Somme de deux séries entières

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$. La série somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ est une série entière de rayon $R$ vérifiant $$ R = \min(R_a \virgule R_b) \quad \text{si } R_a \ne R_b, \qquad R \ge R_a \quad \text{si } R_a = R_b. $$

Proposition — Multiplication par un scalaire

Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R_a$ et soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Alors $\sum \lambda a_n z^n$ est une série entière dont le rayon vaut $R_a$ si $\lambda \ne 0$, et $+\infty$ (série nulle) si $\lambda = 0$.

Preuve

Somme. Pour $|z| < \min(R_a, R_b)$, les deux séries $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont absolument convergentes (par la trichotomie appliquée à chacune), donc la série somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ est absolument convergente (inégalité triangulaire). Donc $R \ge \min(R_a, R_b)$.
Pour le «$=$» plus fin quand $R_a \ne R_b$ (sans perte de généralité $R_a < R_b$) : pour tout $z$ avec $R_a < |z| < R_b$, $a_n z^n \not\to 0$ (divergence grossière de $\sum a_n z^n$ puisque $|z| > R_a$), tandis que $b_n z^n \to 0$ (convergence absolue de $\sum b_n z^n$ puisque $|z| < R_b$) ; leur somme $a_n z^n + b_n z^n \not\to 0$, donc $\sum (a_n + b_n) z^n$ diverge grossièrement en tout tel $z$. Cela force $R \le |z|$ pour tout $|z| \in (R_a \virgule R_b)$. En passant à l'infimum sur cet intervalle ouvert : $R \le R_a$.
Multiplication scalaire. Si $\lambda = 0$, $\sum 0 \cdot z^n = 0$ converge pour tout $z$, rayon $+\infty$. Si $\lambda \ne 0$, $|\lambda a_n r^n| = |\lambda| \cdot |a_n r^n|$ est borné ssi $(a_n r^n)$ l'est, donc les rayons coïncident.

Proposition — Produit de Cauchy

Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ deux séries entières de rayons $R_a$ et $R_b$, et soit $$ c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n - k}. $$ Alors $\sum c_n z^n$ est une série entière de rayon $R_c \ge \min(R_a \virgule R_b)$, et pour tout $z$ avec $|z| < \min(R_a \virgule R_b)$, $$ \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \biggr) \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n \biggr) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n. $$

Preuve

Fixons $z$ avec $|z| < \min(R_a, R_b)$. Par la trichotomie, les deux séries numériques $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ convergent absolument. Le produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes est lui-même absolument convergent, et sa somme est le produit des deux sommes (c'est le théorème du produit de Cauchy pour les séries numériques ; sa démonstration n'est pas exigible à ce niveau). En l'appliquant aux termes $a_n z^n$ et $b_n z^n$, dont le produit de Cauchy au rang $n$ vaut $$ \sum_{k=0}^n (a_k z^k)(b_{n-k} z^{n-k}) = \biggl( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \biggr) z^n = c_n z^n, $$ on obtient $\sum c_n z^n$ absolument convergente de somme $\bigl( \sum a_n z^n \bigr)\bigl( \sum b_n z^n \bigr)$. En particulier $\sum |c_n z^n|$ converge, donc $R_c \ge \min(R_a, R_b)$.

Exemple — $1/(1-z)^2$ par produit de Cauchy

On prend $a_n = b_n = 1$ (donc $R_a = R_b = 1$). Le produit de Cauchy donne $c_n = \sum_{k=0}^n 1 \cdot 1 = n + 1$. Par la Proposition du produit de Cauchy, pour tout $|z| < 1$, $$ \frac{1}{(1 - z)^2} = \biggl( \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \biggr)^2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (n + 1) z^n. $$ Une dérivation satisfaisante d'une identité que l'on peut aussi obtenir par dérivation terme à terme (sous-section 3.1, dérivation alternative).

Méthode — Combiner des séries entières

Pour la somme $\sum (a_n + b_n) z^n$ : le rayon est $\ge \min(R_a, R_b)$, avec égalité quand $R_a \ne R_b$. Sur le disque ouvert commun $|z| < \min(R_a, R_b)$, l'identité est $\sum (a_n + b_n) z^n = \sum a_n z^n + \sum b_n z^n$ par linéarité terme à terme.
Pour le produit de Cauchy $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_k a_k b_{n-k}$ : le rayon est $\ge \min(R_a, R_b)$ seulement — des compensations peuvent rendre $R_c$ strictement plus grand (par exemple le produit de Cauchy de $\sum z^n$ (rayon $1$) et du polynôme $1 - z$ vu comme la série entière $b_0 = 1$, $b_1 = -1$, $b_n = 0$ pour $n \ge 2$ (rayon $+\infty$) collapse au constant $1$, de rayon $+\infty > 1$). Sur le disque ouvert commun, l'identité est $(\sum a_n z^n)(\sum b_n z^n) = \sum c_n z^n$.

Compétences à pratiquer

Combiner des séries entières

II Régularité de la somme sur l'intervalle ouvert (variable réelle)

II.1 Continuité de la somme

À partir d'ici la variable est réelle, notée $x$, et $R > 0$ est le rayon. La somme $f(x) = \sum a_n x^n$ est définie au moins sur l'intervalle ouvert de convergence $(-R \virgule R)$. Le premier résultat de régularité est la continuité. Sa démonstration repose sur le comportement uniforme des sommes partielles sur tout intervalle fermé strictement inclus dans $(-R \virgule R)$, justification qui dépasse ce niveau ; on énonce donc le résultat et on l'admet.

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Théorème — Continuité de la somme

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R > 0$, de somme $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. Alors $f$ est continue sur l'intervalle ouvert de convergence $(-R \virgule R)$. (Plus généralement, $f$ est continue sur tout son intervalle de définition — jusqu'à une borne $\pm R$ en laquelle la série numérique converge. On admet ce résultat.)

Exemple — Continuité d'une somme de série entière explicite

Considérons la série entière $\sum_{m \ge 0} x^m/(m+1)!$. Son rayon est $+\infty$ : par d'Alembert sur les modules, $|a_{m+1}/a_m| = (m+1)!/(m+2)! = 1/(m+2) \to 0$, donc $R = +\infty$. Par le Théorème de continuité, sa somme $$ f(x) = \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{x^m}{(m+1)!} $$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; en particulier $f(0) = 1/1! = 1$ (le terme $m = 0$). On vérifie que $f(x) = (\mathrm{e}^x - 1)/x$ pour $x \ne 0$ une fois le développement de l'exponentielle disponible (sous-section 3.2) : la série entière ci-dessus est exactement $(\mathrm{e}^x - 1)/x$ prolongée par continuité par $f(0) = 1$, la singularité en $0$ étant éliminable.

Méthode — Démontrer la continuité d'une somme de série entière

Pour montrer que $f(x) = \sum a_n x^n$ est continue sur son intervalle ouvert de convergence, il suffit de vérifier que le rayon est $R > 0$ : la continuité sur $(-R \virgule R)$ est alors automatique par le Théorème, sans vérification de convergence uniforme à la main. Si $f$ est donnée sous la forme $(\mathrm{e}^x - 1)/x$ ou un quotient analogue à singularité éliminable, la réécrire d'abord comme série entière (comme dans l'Exemple), puis lire $R$ et la valeur en $0$.

Compétences à pratiquer

Démontrer la continuité d'une somme de série entière

II.2 Dérivation terme à terme, classe $\mathcal{C}^\infty$

Sur l'intervalle ouvert $(-R ; R)$ dans le cas réel, la somme $f(x) = \sum a_n x^n$ est dérivable, et sa dérivée s'obtient par dérivation terme à terme : $f'(x) = \sum n a_n x^{n-1}$. En itérant, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$, avec la $k$-ième dérivée obtenue par dérivation terme à terme répétée. Les ingrédients clés sont la Proposition «$\sum n a_n z^n$ même rayon» du sous-section 1.2 et le théorème de dérivation terme à terme de Suites et séries de fonctions sous-section 2.2.

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Théorème — Dérivation terme à terme

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $(-R ; R)$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $(-R ; R)$ et $$ f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1} \qquad \text{pour tout } x \in (-R ; R). $$ La série dérivée $\sum n a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ que l'originale (cette égalité des rayons a été démontrée au sous-section 1.3). La régularité $\mathcal{C}^1$ et l'identité de dérivation $f' = \sum n a_n x^{n-1}$ sont admises ; leur justification dépasse ce niveau.

Corollaire — La somme est $\mathcal{C}^\infty$ sur l'intervalle ouvert

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f$ sur $(-R ; R)$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-R ; R)$, et pour tout $k \ge 0$ et tout $x \in (-R ; R)$, $$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} n (n-1) \cdots (n - k + 1) \, a_n \, x^{n - k}. $$ La $k$-ième série dérivée a même rayon $R$.

Preuve

Récurrence sur $k$. À $k = 0$ la formule est $f(x) = \sum a_n x^n$, et $f$ est $\mathcal{C}^0$ (continue) par la sous-section précédente. Supposons $f$ de classe $\mathcal{C}^k$ sur $(-R ; R)$ avec la formule affichée ; alors $f^{(k)}$ est elle-même la somme d'une série entière de rayon $R$ (chaque dérivation terme à terme conserve le rayon). En appliquant le Théorème de dérivation terme à terme à $f^{(k)}$, on obtient qu'elle est $\mathcal{C}^1$, avec $(f^{(k)})' = f^{(k+1)}$ donnée par une dérivation terme à terme de plus — ce qui est la formule affichée au rang $k + 1$. Donc $f$ est $\mathcal{C}^{k+1}$, ce qui clôt la récurrence, et $f$ est $\mathcal{C}^\infty$.

Exemple — $\sum n x^n \equal x/(1-x)^2$

On part de la série géométrique $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x)$ sur $(-1 ; 1)$ (sous-section 1.1). Par dérivation terme à terme, $$ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ En multipliant par $x$ (ou en ré-indexant $m = n - 1$), $$ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ Une identité classique, obtenue ici en une seule dérivation.

Méthode — Dériver une série entière terme à terme

Sur l'intervalle ouvert de convergence $(-R ; R)$, prendre $(\sum a_n x^n)' = \sum n a_n x^{n-1}$, avec l'indice du terme dominant qui se décale en $n = 1$ (le terme constant $a_0$ disparaît). Pour la $k$-ième dérivée, décaler l'indice dominant en $n = k$ et multiplier par $n(n-1) \cdots (n - k + 1)$. Le rayon est préservé à chaque étape.

Compétences à pratiquer

Dériver une série entière terme à terme

II.3 Intégration terme à terme

L'intégration est l'opération inverse : la primitive de $f(x) = \sum a_n x^n$ s'annulant en $0$ s'obtient par intégration terme à terme, en gardant le même rayon de convergence. C'est la route naturelle vers les développements de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ à partir de la série géométrique.

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Théorème — Intégration terme à terme

Soit $\sum a_n x^n$ une série entière réelle de rayon $R$, de somme $f$ sur $(-R ; R)$. La série $\sum_{n \ge 0} (a_n / (n+1)) \, x^{n+1}$ a le même rayon $R$ ; sa somme $F$ est la primitive de $f$ s'annulant en $0$ : $$ F(x) = \int_0^x f(t) \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n + 1} \, x^{n+1} \qquad \text{pour tout } x \in (-R ; R). $$ On admet l'identité d'intégration terme à terme ; sa justification dépasse ce niveau.

Preuve

Seule l'égalité des rayons est justifiée ici ; l'identité d'intégration terme à terme est admise. Posons $c_n = a_n/(n+1)$. Par la Proposition « même rayon » du sous-section 1.3, $R(\sum c_n x^n) = R(\sum n c_n x^n)$. Or $n c_n = \frac{n}{n+1} a_n$, et pour tout $n \ge 1$ l'encadrement $\frac{1}{2} |a_n| \le |n c_n| \le |a_n|$ est vérifié (car $\frac12 \le \frac{n}{n+1} \le 1$) ; par la règle de comparaison appliquée dans les deux sens, $R(\sum n c_n x^n) = R(\sum a_n x^n) = R$. Ainsi $R(\sum c_n x^n) = R$, et la série décalée d'un cran $\sum (a_n/(n+1)) x^{n+1} = x \sum (a_n/(n+1)) x^n$ a le même rayon (multiplier par $x$ ne change pas la convergence). Le fait que la somme de la série intégrée vaut $\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ sur $(-R ; R)$ est l'identité admise.

Exemple — $\sum x^n/n \equal -\ln(1-x)$

On part de $\sum_{n=0}^{+\infty} x^n = 1/(1 - x)$ sur $(-1 ; 1)$. Par intégration terme à terme, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1}}{n + 1} = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 - t} = -\ln(1 - x). $$ En ré-indexant $m = n + 1$ : $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1 - x) \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$

Exemple — Série de $\arctan x$

On part de $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n} = 1/(1 + x^2)$ sur $(-1 ; 1)$ (série géométrique en $-x^2$, rayon $1$). Par intégration terme à terme, $$ \arctan x = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \, x^{2n + 1} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ Cela exprime le développement de $\arctan$ sur l'intervalle ouvert $(-1 ; 1)$, de rayon $1$.

Méthode — Intégrer une série entière terme à terme

La primitive de $f(x) = \sum a_n x^n$ s'annulant en $0$ s'obtient en divisant le coefficient $a_n$ par $n + 1$ et en décalant l'exposant en $n + 1$ ; le rayon est préservé ; une constante d'intégration non nulle (une primitive différente) doit être fournie en externe. Utile pour dériver les séries de $\ln$ et $\arctan$ à partir de la série géométrique, et plus généralement pour les primitives de fractions rationnelles.

Compétences à pratiquer

Intégrer une série entière terme à terme

II.4 Coefficients et unicité

Le Corollaire $\mathcal{C}^\infty$, évalué en $x = 0$, identifie les coefficients d'une série entière aux dérivées de sa somme en $0$. Deux conséquences en découlent : une formule pour les coefficients, et l'unicité d'un développement en série entière.

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Corollaire — Coefficients par les dérivées en $0$

Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ la somme d'une série entière réelle de rayon $R > 0$. Alors pour tout $n \ge 0$, $$ a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}. $$

Preuve

Par le Corollaire $\mathcal{C}^\infty$ du sous-section 2.2, pour tout $k \ge 0$, $$ f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} n(n-1) \cdots (n - k + 1) \, a_n \, x^{n - k}. $$ On évalue en $x = 0$ : tout terme avec $n > k$ porte un facteur $x^{n-k}$ qui s'annule, donc seul le terme $n = k$ survit, soit $k(k-1) \cdots 1 \cdot a_k = k! \, a_k$. D'où $f^{(k)}(0) = k! \, a_k$, c'est-à-dire $a_k = f^{(k)}(0)/k!$.

Corollaire — Unicité du développement

Si $\sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ pour tout $x$ dans un intervalle ouvert non vide autour de $0$, alors $a_n = b_n$ pour tout $n \ge 0$.

Preuve

Les deux séries représentent la même fonction $f$ sur un voisinage de rayon positif de $0$. Par le Corollaire des coefficients ci-dessus, $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ et $b_n = f^{(n)}(0)/n!$, d'où $a_n = b_n$ pour tout $n$.

Compétences à pratiquer

Coefficients par les dérivées et unicité

III Fonctions développables en série entière

III.1 Fonctions développables et série de Taylor

Le problème inverse : étant donné une fonction $f$, peut-on l'écrire comme une série entière $\sum a_n x^n$ près de $0$ ? Une telle $f$ est dite développable en série entière en $0$. La condition nécessaire (cas réel) est que $f$ soit $\mathcal{C}^\infty$ près de $0$, avec le développement forcément égal à sa série de Taylor. La suffisance demande davantage — être $\mathcal{C}^\infty$ est nécessaire mais pas suffisant, comme le montre le contre-exemple ci-dessous.

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Définition — Fonction développable en série entière

Une fonction $f$ est développable en série entière en $0$ sur $(-r ; r)$ (resp.\ $D(0 ; r)$ dans $\mathbb{C}$), avec $r > 0$, s'il existe une série entière $\sum a_n x^n$ de rayon $R \ge r$ telle que $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n \qquad \text{pour tout } x \in (-r ; r) \text{ (resp.\ } D(0 ; r)\text{).} $$

Définition — Série de Taylor et formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $0$. La série de Taylor de $f$ en $0$ est la série entière $\sum_{n \ge 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$. De plus, si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un voisinage de $0$, la formule de Taylor avec reste intégral (cours de première année) donne, pour $x$ dans ce voisinage, $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + \int_0^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, \mathrm{d}t. $$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-r ; r)$, alors $f$ est développable en série entière sur $(-r ; r)$ si et seulement si ce reste tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ pour tout $x \in (-r ; r)$.

Théorème — Condition nécessaire, cas réel

Si $f$ est développable en série entière sur $(-r ; r)$, avec $r > 0$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-r ; r)$, le développement est unique, et c'est la série de Taylor de $f$ en $0$ : $$ f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \, x^n \qquad \text{pour tout } x \in (-r ; r). $$

Preuve

Supposons $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $(-r ; r)$. Par le Corollaire $\mathcal{C}^\infty$ du sous-section 2.2, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $(-r ; r)$, et par le Corollaire des coefficients du sous-section 2.4 ses coefficients vérifient $a_n = f^{(n)}(0)/n!$ — ce qui est exactement la formule de Taylor affichée. L'unicité est le Corollaire d'unicité du sous-section 2.4.

Exemple — $\mathrm{e}^{-1/x^2}$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non développable

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour $x \ne 0$ et $f(0) = 0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n \ge 0$. Donc la série de Taylor de $f$ en $0$ est identiquement nulle, distincte de $f$ sur tout voisinage de $0$ (car $f(x) > 0$ pour $x \ne 0$). Ainsi $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non développable en série entière en $0$.
Preuve par récurrence :

Hypothèse au rang $n$. $f^{(n)}$ existe sur $\mathbb{R}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$, et pour $x \ne 0$, $f^{(n)}(x) = P_n(1/x) \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour un polynôme $P_n$.
Initialisation en $n = 0$. $f(0) = 0$ par définition, et pour $x \ne 0$, $f(x) = 1 \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ avec $P_0 = 1$.
Hérédité. On suppose l'hypothèse au rang $n$. Pour $x \ne 0$, dérivons : $$ f^{(n+1)}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigl( P_n(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2} \bigr) = \bigl[ -P_n'(1/x) \cdot 1/x^2 + P_n(1/x) \cdot 2/x^3 \bigr] \mathrm{e}^{-1/x^2}, $$ qui est à nouveau $P_{n+1}(1/x) \cdot \mathrm{e}^{-1/x^2}$ pour un polynôme $P_{n+1}(t) = 2 t^3 P_n(t) - t^2 P_n'(t)$ en $t = 1/x$. Pour la valeur en $0$ : le quotient différentiel de $f^{(n)}$ en $0$ est $$ \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x} = \frac{P_n(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2}}{x} = Q(1/x) \mathrm{e}^{-1/x^2} \qquad (x \ne 0), $$ avec $Q(t) = t \cdot P_n(t)$ encore un polynôme. Quand $x \to 0$, $1/x^2 \to +\infty$ donc $\mathrm{e}^{-1/x^2}$ décroît plus vite que tout polynôme en $1/x$ ; le quotient différentiel tend vers $0$. D'où $f^{(n)}$ dérivable en $0$ avec $(f^{(n)})'(0) = 0$, soit $f^{(n+1)}(0) = 0$. L'hypothèse au rang $n + 1$ est établie.
Conclusion. Par récurrence, $f \in \mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$. La continuité de chaque $f^{(n)}$ est automatique : polynôme-fois-exponentielle est continu sur $\mathbb{R}^*$, et $f^{(n)}(x) \to 0 = f^{(n)}(0)$ quand $x \to 0$ par le même argument de décroissance rapide.

La série de Taylor $\sum f^{(n)}(0) x^n/n! = 0$ identiquement ne vaut pas $f(x) = \mathrm{e}^{-1/x^2} > 0$ pour $x \ne 0$. Donc $f$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais PAS développable en série entière en $0$.

Méthode — Démontrer qu'une fonction est développable en série entière

(a) Vérifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $0$ (condition nécessaire).
(b) Calculer la série de Taylor $\sum f^{(n)}(0) x^n/n!$ de $f$ en $0$, et son rayon.
(c) Vérifier que la série de Taylor converge effectivement vers $f$ par l'une des routes du sous-section 3.2 : majoration du reste intégral de Taylor, dérivation / intégration terme à terme d'une série connue, combinaison de développements usuels via les opérations du sous-section 1.4, décomposition en éléments simples (pour $f$ rationnelle), ou analyse-synthèse par une équation différentielle linéaire.

Compétences à pratiquer

Identifier la série de Taylor et démontrer la développabilité

III.2 Développements usuels et méthodes pratiques

Le catalogue des développements que tout étudiant doit connaître, organisé par la technique qui établit chacun : majoration du reste de Taylor pour $\exp$, $\cos$, $\sin$ ; combinaisons linéaires de la série exp pour $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ ; intégration terme à terme pour $\ln(1+x)$ et $\arctan x$ ; analyse-synthèse par EDO pour $(1+x)^\alpha$. Chacun porte son rayon.

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Théorème — Développements usuels : $\exp$, $\cos$, $\sin$, $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$ \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} \qquad (R = +\infty), $$ $$ \begin{aligned} \cos x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} & (R = +\infty), \\ \sin x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} & (R = +\infty), \\ \mathrm{ch}\, x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} & (R = +\infty), \\ \mathrm{sh}\, x &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & (R = +\infty). \end{aligned} $$

Preuve

Pour $\exp$. La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ (ou l'inégalité de Taylor-Lagrange, cours de première année) donne, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $$ \left| \mathrm{e}^x - \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \right| \le \mathrm{e}^{|x|} \cdot \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}, $$ puisque toute dérivée de $\exp$ est majorée par $\mathrm{e}^{|x|}$ sur $[0 ; |x|]$. Comme $|x|^{n+1}/(n+1)! \to 0$, le reste tend vers $0$ et la série de Taylor converge vers $\mathrm{e}^x$.
Pour $\cos$ et $\sin$. Toutes les dérivées de $\cos$ et $\sin$ sont parmi $\pm\cos, \pm\sin$, donc majorées par $1$. Taylor-Lagrange à l'ordre $n$ sur $[0 ; x]$ donne $$ \left| \cos x - \sum_{k=0}^n \cos^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!} \right| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0. $$ Avec $\cos^{(2k)}(0) = (-1)^k$, $\cos^{(2k+1)}(0) = 0$, la limite identifie la série de Taylor de $\cos$ avec $\cos x$ ; de même pour $\sin$.
Pour $\mathrm{ch}$ et $\mathrm{sh}$. On utilise les définitions $\mathrm{ch}\,x = (\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x})/2$, $\mathrm{sh}\,x = (\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x})/2$ et la Proposition de combinaison linéaire du sous-section 1.4 (les deux séries exp ont rayon $+\infty$) : $$ \mathrm{ch}\,x = \frac{1}{2}\biggl( \sum_{n \ge 0} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n \ge 0} \frac{(-x)^n}{n!} \biggr) = \sum_{n \ge 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}, $$ les termes impairs s'annulant ; les termes pairs s'annulent pour $\mathrm{sh}$, donnant $\mathrm{sh}\,x = \sum_{n \ge 0} x^{2n+1}/(2n+1)!$. Tous les rayons valent $+\infty$.

Proposition — Développements de $\ln(1+x)$ et $\arctan x$

Pour tout $x \in (-1 ; 1)$ : $$ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \, x^n \qquad (R = 1), $$ $$ \arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \, x^{2n+1} \qquad (R = 1). $$

Preuve

$\ln(1+x)$. On part de $1/(1 + x) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n x^n$ sur $(-1 ; 1)$ (série géométrique en $-x$, rayon $1$). Par intégration terme à terme (sous-section 3.3), $$ \ln(1 + x) = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n + 1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ $\arctan x$. On part de $1/(1 + x^2) = \sum_{n \ge 0} (-1)^n x^{2n}$ sur $(-1 ; 1)$ (géométrique en $-x^2$). Par intégration terme à terme, $$ \arctan x = \int_0^x \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n + 1} \qquad \text{sur } (-1 ; 1). $$ Les deux rayons valent $1$.

Proposition — Développement de $(1+x)^\alpha$

Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ et tout $x \in (-1 ; 1)$ : $$ (1 + x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} \, x^n, $$ avec $R = 1$ si $\alpha \notin \mathbb{N}$, et $R = +\infty$ si $\alpha \in \mathbb{N}$ (la série est finie — formule du binôme).

Preuve

Analyse-synthèse via le problème de Cauchy $(1 + x) y' = \alpha y$ avec $y(0) = 1$ sur $(-1 ; +\infty)$, dont l'unique solution est $y(x) = (1 + x)^\alpha$ (rappelé de MPSI Équations différentielles linéaires d'ordre 1).
Analyse. Postulons $y(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n$ avec $a_0 = y(0) = 1$. Alors $y'(x) = \sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1}$ et $(1 + x) y'(x) = \sum_{n \ge 1} n a_n x^{n-1} + \sum_{n \ge 1} n a_n x^n$. En ré-indexant la première somme (poser $m = n - 1$) : $$ (1 + x) y'(x) = \sum_{m \ge 0} (m+1) a_{m+1} x^m + \sum_{n \ge 1} n a_n x^n = a_1 + \sum_{n \ge 1} [(n+1) a_{n+1} + n a_n] x^n. $$ L'équation $(1+x) y' = \alpha y$ donne, en comparant les coefficients de $x^n$ : $$ a_1 = \alpha a_0 = \alpha \quad ; \quad (n+1) a_{n+1} + n a_n = \alpha a_n \quad \text{pour } n \ge 1, $$ soit $(n+1) a_{n+1} = (\alpha - n) a_n$. Par récurrence, $a_n = \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}$ pour $n \ge 0$ (avec $a_0 = 1$).
Synthèse. Vérifions que la série candidate a un rayon positif. Si $\alpha \in \mathbb{N}$, alors $a_n = 0$ pour $n > \alpha$ (dans la récurrence $(n+1) a_{n+1} = (\alpha - n) a_n$, le facteur $\alpha - n$ s'annule en $n = \alpha$, donnant $a_{\alpha + 1} = 0$ puis $a_n = 0$ pour tout $n > \alpha$), donc la série est finie ($R = +\infty$). Si $\alpha \notin \mathbb{N}$, alors $a_n \ne 0$ pour tout $n$, et par d'Alembert : $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{|\alpha - n|}{n + 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, $$ donc $R = 1$.
Dans les deux cas, le candidat $y$ défini par la série résout $(1 + x) y' = \alpha y$ sur l'intervalle ouvert de convergence et vérifie $y(0) = 1$. Par unicité de Cauchy sur $(-1 ; 1)$ (rappelé de MPSI Équations différentielles linéaires d'ordre 1), ce $y$ vaut $(1 + x)^\alpha$.

Exemple — $\sqrt{1+x}$ premiers termes

On prend $\alpha = 1/2$ dans la Proposition. Les coefficients : $$ a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_2 = \frac{(1/2)(-1/2)}{2!} = -\frac{1}{8}, \quad a_3 = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)}{3!} = \frac{1}{16}, \quad a_4 = -\frac{5}{128}. $$ D'où sur $(-1 ; 1)$ : $$ \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5 x^4}{128} + \cdots \qquad (R = 1). $$ Un développement classique bien utile — pour les estimations numériques et les développements asymptotiques.

Table de synthèse

Le pense-bête des développements usuels à connaître par cœur :

Série	Domaine	$R$
$\sum_{n \ge 0} z^n = \dfrac{1}{1 - z}$	$D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}$	$1$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{z^n}{n!} = \mathrm{e}^z$	$\mathbb{C}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = \mathrm{ch}\, x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \mathrm{sh}\, x$	$\mathbb{R}$	$+\infty$
$\sum_{n \ge 1} \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln(1+x)$	$(-1 ; 1)$	$1$
$\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan x$	$(-1 ; 1)$	$1$
$1 + \sum_{n \ge 1} \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n = (1+x)^\alpha$	$(-1 ; 1)$ pour $\alpha \notin \mathbb{N}$	$1$

La table consigne l'intervalle ouvert $(-R \virgule R)$ (resp.\ le disque ouvert) sur lequel chaque développement est établi à ce niveau.

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Méthode — Obtenir un développement en série entière

Développements usuels + opérations. Combiner la table ci-dessus via les Propositions de combinaison linéaire et de produit de Cauchy du sous-section 1.4. Exemple : $x \ln(1 - x) + 2 \mathrm{e}^x$.
Dérivation ou intégration terme à terme (sous-section 2.2 ou 2.3) d'un développement connu.
Majoration du reste de Taylor. Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ près de $0$ avec $|f^{(n+1)}(t)| \le M_{n+1}$ sur un voisinage, le reste de Taylor à l'ordre $n$ est $\le M_{n+1} |x|^{n+1}/(n+1)!$ ; s'il tend vers $0$, $f$ est égale à sa série de Taylor. Utilisé pour $\exp$, $\cos$, $\sin$.
Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle $P/Q$ avec $Q(0) \ne 0$ : après simplification d'un facteur commun éventuel de $P$ et $Q$, décomposer en termes $c/(x - a)^k$ avec $a \ne 0$, développer chaque $1/(x - a) = (-1/a) \sum (x/a)^n$ sur $|x| < |a|$, et dériver $k - 1$ fois. Le rayon est la distance de $0$ au pôle le plus proche de la fraction réduite (une racine de $Q$ qui subsiste après simplification).
Analyse-synthèse par EDO. Postuler $y = \sum a_n x^n$, injecter dans une EDO linéaire vérifiée par $f$, en déduire la récurrence sur les coefficients par identification, la résoudre, vérifier que la série candidate a un rayon positif, puis identifier avec $f$ par unicité de Cauchy. Utilisé pour $(1+x)^\alpha$.

Compétences à pratiquer

Obtenir un développement usuel ou de fraction rationnelle

III.3 Séries géométrique et exponentielle d'une variable complexe

La variable redevient complexe. Deux séries entières d'une variable complexe sont distinguées par le programme : la série géométrique $\sum z^n$ sur le disque unité ouvert, et la série exponentielle $\sum z^n/n!$ sur le plan tout entier, qui définit l'exponentielle complexe. Le produit de Cauchy du sous-section 1.4 donne l'équation fonctionnelle de $\exp$, et par elle la formule d'Euler.

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Définition — Fonction développable en série entière sur le disque ouvert

Une fonction $f$ définie sur le disque ouvert $D(0 ; r) = \{z \in \mathbb{C} : |z| < r\}$, $r > 0$, est développable en série entière sur le disque ouvert de centre $0$ s'il existe une série entière $\sum a_n z^n$ de rayon $R \ge r$ telle que $$ f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n \qquad \text{pour tout } z \in D(0 ; r). $$

Exemple — La série géométrique sur le disque unité ouvert

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ avec $|z| < 1$, $$ \frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n \qquad (R = 1). $$ Ainsi $z \mapsto 1/(1 - z)$ est développable en série entière sur le disque unité ouvert $D(0 \virgule 1)$. C'est le développement complexe modèle ; le rayon $R = 1$ est la distance de $0$ au pôle $z = 1$.

Théorème — L'exponentielle complexe sur $\mathbb{C}$

La série $\sum z^n/n!$ a pour rayon $R = +\infty$. Sa somme définit l'exponentielle complexe $$ \exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!} \qquad (z \in \mathbb{C}), $$ qui est continue sur $\mathbb{C}$, se restreint à l'exponentielle réelle quand $z = x \in \mathbb{R}$, et vérifie l'équation fonctionnelle $$ \exp(z) \exp(z') = \exp(z + z') \qquad \text{pour tous } z, z' \in \mathbb{C}. $$

Preuve

Le rayon est $+\infty$ par d'Alembert sur la série des modules : $|a_{n+1}/a_n| = 1/(n+1) \to 0$, donc $R = 1/0 = +\infty$, et $\exp$ est définie sur $\mathbb{C}$ tout entier. La continuité résulte du résultat de continuité des sommes de séries entières (sa version pour une variable complexe est admise à ce niveau, comme pour le cas réel). Pour $z = x \in \mathbb{R}$ la série est la série exponentielle réelle, donc $\exp(x) = \mathrm{e}^x$.
Pour l'équation fonctionnelle, fixons $z, z' \in \mathbb{C}$. Les deux séries $\sum z^n/n!$ et $\sum (z')^n/n!$ convergent absolument ($R = +\infty$), donc la Proposition du produit de Cauchy du sous-section 1.4 s'applique. Le coefficient de Cauchy vaut $$ c_n = \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} \cdot \frac{(z')^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k (z')^{n-k} = \frac{(z + z')^n}{n!} $$ par la formule du binôme. D'où $\exp(z)\exp(z') = \sum_{n \ge 0} (z+z')^n/n! = \exp(z + z')$.

Exemple — Formule d'Euler $\mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} \equal \mathrm{e}^x(\cos y + \mathrm{i} \sin y)$

Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, on applique l'équation fonctionnelle $\exp(z + z') = \exp(z) \exp(z')$ (que l'on vient de démontrer) avec $z = x$ et $z' = \mathrm{i}y$ : $$ \mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x \cdot \exp(\mathrm{i}y). $$ Or $\exp(\mathrm{i}y) = \sum_{n=0}^{+\infty} (\mathrm{i}y)^n/n!$. En séparant les termes pairs et impairs : $$ \exp(\mathrm{i}y) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\mathrm{i}^{2n} y^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\mathrm{i}^{2n+1} y^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y^{2n}}{(2n)!} + \mathrm{i} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n y^{2n+1}}{(2n+1)!}, $$ en utilisant $\mathrm{i}^{2n} = (-1)^n$ et $\mathrm{i}^{2n+1} = \mathrm{i}(-1)^n$. Par les séries cos et sin ci-dessus, cela vaut $\cos y + \mathrm{i} \sin y$. D'où $$ \mathrm{e}^{x + \mathrm{i}y} = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i} \sin y) \qquad \text{pour tous } x, y \in \mathbb{R}. $$ Cela redonne la forme polaire d'un complexe non nul et relie l'image série de Taylor (ce chapitre) à l'image trigonométrique (MPSI Nombres complexes).

Méthode — Développer une fonction complexe sur le disque ouvert

Pour une fraction rationnelle $1/(a - z)$ avec $a \ne 0$, factoriser $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 - z/a} = \frac{1}{a}\sum (z/a)^n$, valable sur $|z| < |a|$, de rayon $|a|$. Pour l'exponentielle, utiliser $\exp(z) = \sum z^n/n!$ sur $\mathbb{C}$ et l'équation fonctionnelle pour traiter $\exp(z + z')$ ou $\exp(\mathrm{i}y)$. Le rayon d'un développement d'une fraction rationnelle sur le disque ouvert est la distance de $0$ au pôle le plus proche.

Compétences à pratiquer

Développements géométrique et exponentiel complexes

IV Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Synthèse

Série	Domaine	\(R\)
\(\sum_{n \ge 0} z^n = \dfrac{1}{1 - z}\)	\(D(0 \virgule 1) \subset \mathbb{C}\)	\(1\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{z^n}{n!} = \mathrm{e}^z\)	\(\mathbb{C}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sin x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = \mathrm{ch}\, x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \mathrm{sh}\, x\)	\(\mathbb{R}\)	\(+\infty\)
\(\sum_{n \ge 1} \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \ln(1+x)\)	\((-1 ; 1)\)	\(1\)
\(\sum_{n \ge 0} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan x\)	\((-1 ; 1)\)	\(1\)
\(1 + \sum_{n \ge 1} \dfrac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!} x^n = (1+x)^\alpha\)	\((-1 ; 1)\) pour \(\alpha \notin \mathbb{N}\)	\(1\)