Éducation Nationale Française · Troisième

Le théorème de Thalès

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I Les triangles

Théorème — Théorème de Pythagore

Pour tout triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $\textcolor{colordef}{a}$ et $\textcolor{colorprop}{b}$ et dont l’hypoténuse a pour longueur $\textcolor{olive}{c}$, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit : $$ \textcolor{colordef}{a^2} + \textcolor{colorprop}{b^2} = \textcolor{olive}{c^2}. $$ Cela signifie que l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Preuve

La preuve géométrique repose sur la réorganisation de quatre triangles rectangles identiques à l’intérieur d’un carré de côté $a + b$.
1. Dans la première disposition, les quatre triangles rectangles forment un carré plus petit au centre du grand carré : Le quadrilatère intérieur est bien un carré : ses côtés sont égaux, et en chaque sommet les deux angles aigus du triangle rectangle totalisent $90^\circ$, laissant $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ pour l'angle du quadrilatère.
2. Dans la seconde disposition, les quatre triangles rectangles forment deux carrés plus petits à l’intérieur du grand carré :
3. Puisque l’aire non couverte par les triangles est égale dans les deux dispositions, on a : $$a^2 + b^2 = c^2.$$
Preuve algébrique : en utilisant quatre copies du même triangle disposées symétriquement autour d’un carré central de côté $c$, à l’intérieur d’un grand carré de côté $a + b$ : Le grand carré a pour côté $a + b$, donc pour aire $(a + b)^2$. Les quatre triangles et le carré central de côté $c$ ont la même aire totale que le grand carré : $$\begin{aligned} (a + b)^2 &= \overbrace{c^2}^{\text{aire du carré central}} + 4 \times \overbrace{\frac{ab}{2}}^{\text{aire d’un triangle}} \\ a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 &= c^2. \end{aligned}$$

Théorème — Réciproque du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que ces longueurs vérifient $a^2 + b^2 = c^2$, alors le triangle est un triangle rectangle, et l'angle droit est opposé au côté le plus long, $c$.

Preuve

On considère un triangle $ABC$ avec $CB = a$, $CA = b$, $AB = c$, où $a^2 + b^2 = c^2$. On montre que l'angle en $C$ est droit, en utilisant uniquement le théorème de Pythagore (déjà démontré).
Soit $H$ le pied de la perpendiculaire menée de $B$ à la droite $\LineFr{CA}$, et l'on pose $x = CH$. Si $H = C$, alors $\LineFr{CB} \perp \LineFr{CA}$ et c'est terminé ; si $H = A$, alors $BH = BA = c$ et $HA = 0$, donc la relation $c^2 = BH^2 + HA^2$ utilisée ci-dessous est directement vraie (sans triangle) ; on suppose donc $H \neq C$. Deux cas, selon le côté de $C$ où tombe le pied $H$.
Cas 1 : $H$ sur la demi-droite $\RayFr{CA}$ (l'angle en $C$ est aigu). Les triangles $BHC$ et $BHA$ sont rectangles en $H$, donc$$\begin{aligned}[t] c^2 &= BH^2 + HA^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } \triangle BHA\text{)} \\ &= (a^2 - x^2) + (b - x)^2 && \text{(théorème de Pythagore dans } \triangle BHC\text{, et } HA = |b-x|\text{)} \\ &= a^2 + b^2 - 2bx. \end{aligned}$$

Cas 2 : $H$ sur la demi-droite opposée (l'angle en $C$ est obtus). Alors $HA = b + x$, et les deux mêmes applications donnent$$c^2 = (a^2 - x^2) + (b + x)^2 = a^2 + b^2 + 2bx.$$

On compare avec l'hypothèse $c^2 = a^2 + b^2$. Dans le cas 2, on aurait $c^2 = a^2+b^2+2bx > a^2 + b^2$ (car $x > 0$) : impossible. On est donc dans le cas 1, et $a^2+b^2-2bx = a^2+b^2$ impose $x = 0$, c'est-à-dire $H = C$ : la droite $\LineFr{CB}$ est perpendiculaire à $\LineFr{CA}$. Le triangle est rectangle en $C$ — le sommet opposé au côté $c$.
Bonus de ce calcul : $c^2 < a^2+b^2$ exactement lorsque l'angle en $C$ est aigu, et $c^2 > a^2+b^2$ exactement lorsqu'il est obtus.

Théorème — Contraposée du théorème de Pythagore

Si un triangle a des côtés de longueurs $a$, $b$ et $c$, où $c$ est le côté le plus long, et que la somme des carrés des deux côtés les plus courts n'est pas égale au carré du côté le plus long ($a^2 + b^2 \neq c^2$), alors le triangle n'est pas un triangle rectangle.

Preuve

La contraposée d'un énoncé « si $P$, alors $Q$ » est l'énoncé « si non $Q$, alors non $P$ » — et les deux sont toujours vrais ensemble. Ici :

le théorème de Pythagore dit : si le triangle est rectangle (d'angle droit opposé à $c$), alors $a^2 + b^2 = c^2$ ;
sa contraposée dit : si $a^2 + b^2 \neq c^2$, alors le triangle n'est pas rectangle — exactement l'énoncé ci-dessus.

En effet, si un tel triangle était rectangle, le théorème de Pythagore imposerait $a^2 + b^2 = c^2$, ce qui contredit l'hypothèse. Noter la différence avec la réciproque (« si $a^2+b^2=c^2$, alors rectangle »), qui n'est pas automatique : elle exige une démonstration à part.

Théorème — Théorème des milieux

Dans un triangle $ABC$, soit $M$ le milieu de $\SegmentFr{AB}$ et $N$ le milieu de $\SegmentFr{AC}$. Alors :

la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à la droite $\LineFr{BC}$ ;
le segment $\SegmentFr{MN}$ mesure la moitié de $\SegmentFr{BC}$ : $$MN = \dfrac{BC}{2}$$

Preuve

Soit $P$ l'image de $M$ par la symétrie centrale de centre $N$ (ainsi $N$ est le milieu de $\SegmentFr{MP}$).

Dans le quadrilatère $AMCP$, les diagonales $\SegmentFr{AC}$ et $\SegmentFr{MP}$ ont le même milieu $N$ : d'après le critère du parallélogramme, $AMCP$ est un parallélogramme. Donc $\SegmentFr{CP}$ est parallèle à $\SegmentFr{AM}$ et $CP = AM$.
Comme $M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$ : $AM = MB$. Donc $CP = MB$, et $\SegmentFr{CP}$ est parallèle à $\SegmentFr{MB}$ (même droite $\LineFr{AB}$). Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme : $MBCP$, qui n'est pas croisé (voir la figure), est un parallélogramme.
Donc $\LineFr{MP} \parallel \LineFr{BC}$ — c'est-à-dire $\LineFr{MN} \parallel \LineFr{BC}$ — et $MP = BC$. Comme $N$ est le milieu de $\SegmentFr{MP}$ : $$MN = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{BC}{2}$$

Théorème — Réciproque du théorème des milieux

Dans un triangle $ABC$, soit $M$ le milieu de $\SegmentFr{AB}$. La droite qui passe par $M$ et qui est parallèle à $\LineFr{BC}$ coupe le côté $\SegmentFr{AC}$ en son milieu.

Preuve

Soit $N$ le milieu de $\SegmentFr{AC}$. D'après le théorème des milieux, la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$.
Par le point $M$, il ne passe qu'une seule droite parallèle à $\LineFr{BC}$. Donc la parallèle à $\LineFr{BC}$ passant par $M$ est exactement la droite $\LineFr{MN}$ : elle coupe $\SegmentFr{AC}$ en $N$, le milieu de $\SegmentFr{AC}$.

Exemple

Dans le triangle $ABC$ : $M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$, la droite passant par $M$ et parallèle à $\LineFr{BC}$ coupe $\SegmentFr{AC}$ en $N$, et $AC = 9$ cm.
Calculer $AN$. Justifier.

Correction

$M$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$ et la droite $\LineFr{MN}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$ : d'après la réciproque du théorème des milieux, $N$ est le milieu de $\SegmentFr{AC}$. Donc $$AN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{9}{2} = \textcolor{colorprop}{4{,}5} \text{ cm}$$

Théorème — Triangle inscrit dans un demi-cercle

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre du cercle, alors ce triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.

Preuve

Soit $O$ le centre du cercle (le milieu du diamètre $\SegmentFr{BC}$). Les segments $\SegmentFr{OA}$, $\SegmentFr{OB}$ et $\SegmentFr{OC}$ sont tous des rayons : $OA = OB = OC$.

Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$, donc ses angles à la base sont égaux : $\AngleFr{BAO} = \AngleFr{ABO} = \alpha$.
Le triangle $OAC$ est isocèle en $O$, donc ses angles à la base sont égaux : $\AngleFr{OAC} = \AngleFr{OCA} = \beta$.

Comme $O$ est sur $\SegmentFr{BC}$, l'angle en $A$ vaut $\AngleFr{BAC} = \AngleFr{BAO} + \AngleFr{OAC} = \alpha + \beta$ ; l'angle en $B$ vaut $\alpha$ et l'angle en $C$ vaut $\beta$. La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ : $$(\alpha + \beta) + \alpha + \beta = 180^\circ \quad\text{donc}\quad 2(\alpha + \beta) = 180^\circ \quad\text{donc}\quad \alpha + \beta = 90^\circ$$ L'angle en $A$ mesure $90^\circ$ : le triangle est rectangle en $A$.

Théorème — Cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse (l'hypoténuse est un diamètre).
En particulier, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.

Preuve

Soit $ABC$ rectangle en $A$, et soit $O$ le milieu de l'hypoténuse $\SegmentFr{BC}$. Soit $D$ l'image de $A$ par la symétrie centrale de centre $O$.

Les diagonales $\SegmentFr{AD}$ et $\SegmentFr{BC}$ du quadrilatère $ABDC$ ont le même milieu $O$ : $ABDC$ est un parallélogramme.
Ce parallélogramme a un angle droit (en $A$) : c'est un rectangle.
Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu : donc $OA = OB = OC = OD$.

$O$ est à la même distance de $A$, $B$ et $C$ : c'est le centre du cercle circonscrit, et $OA$ (la médiane issue de $A$) vaut $OB = \dfrac{BC}{2}$, la moitié de l'hypoténuse.

Exemple

Le point $C$ est sur le cercle de diamètre $\SegmentFr{AB}$, avec $AB = 13$ cm et $AC = 5$ cm.

Expliquer pourquoi le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
Calculer $BC$.
$O$ est le milieu de $\SegmentFr{AB}$. Calculer la médiane $CO$.

Correction

Le triangle $ABC$ est inscrit dans le cercle et $\SegmentFr{AB}$ est un diamètre : d'après le théorème du demi-cercle, $ABC$ est rectangle en $C$, le sommet opposé au diamètre.
Dans le triangle rectangle, d'après le théorème de Pythagore : $$\begin{aligned} AB^2 &= AC^2 + BC^2 \\ 13^2 &= 5^2 + BC^2 \\ BC^2 &= 169 - 25 = 144 \\ BC &= \textcolor{colorprop}{12} \text{ cm} \end{aligned}$$
La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : $$CO = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{13}{2} = \textcolor{colorprop}{6{,}5} \text{ cm}$$

Compétences à pratiquer

Utiliser le théorème de Pythagore
Reconnaître le bon énoncé
Reconnaître quand un théorème s'applique
Calculer des longueurs avec le théorème des milieux
Utiliser la réciproque du théorème des milieux
Utiliser les théorèmes du cercle circonscrit
Justifier avec les théorèmes

II Le théorème de Thalès

Découverte La hauteur du clocher

Quelle est la hauteur du clocher, sans y monter ? Lucie est allongée au sol, l'œil en $O$. Son amie tient un bâton de $1{,}5$ m à la verticale, à $2$ m de son œil, et le déplace jusqu'à ce que son sommet $S$ soit exactement aligné avec le sommet $T$ du clocher. Le pied $K$ du clocher est à $40$ m de $O$.

Le bâton et le clocher sont tous deux verticaux, donc $\LineFr{PS} \parallel \LineFr{KT}$ ; les points $O$, $S$, $T$ sont alignés sur la ligne de visée, et $O$, $P$, $K$ sur le sol. Pourquoi cela rend-il les longueurs proportionnelles — et quelle est la hauteur du clocher ?

Correction

Le petit triangle $OPS$ et le grand triangle $OKT$ ont le sommet $O$ en commun ; $P$ est sur $\SegmentFr{OK}$, $S$ sur $\SegmentFr{OT}$, et $\LineFr{PS} \parallel \LineFr{KT}$ : les deux triangles sont emboîtés. C'est exactement la situation que décrit le théorème de Thalès, que ce chapitre va énoncer : les longueurs du petit triangle sont proportionnelles à celles du grand, $$\dfrac{PS}{KT} = \dfrac{OP}{OK}, \qquad \text{donc} \qquad KT = \dfrac{1{,}5 \times 40}{2} = 30 \text{ m.}$$ Le clocher mesure $30$ m — mesure prise allongée au sol, avec un bâton.

Théorème — Théorème de Thalès

Soit un triangle $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$, avec un point $\textcolor{colorprop}{D}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ et un point $\textcolor{colorprop}{E}$ sur la droite $\LineFr{A\textcolor{colordef}{C}}$, tous deux distincts de $A$.
Si la droite $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ est parallèle à la droite $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, alors les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ sont semblables : $$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Configurations de Thalès : figures clés

Chaque triangle bleu est semblable au triangle rouge.

Preuve

On prouve d'abord $\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}}$ à l'aide des aires.
On relie $\textcolor{colordef}{B}$ à $\textcolor{colorprop}{E}$ et $\textcolor{colordef}{C}$ à $\textcolor{colorprop}{D}$. Les triangles $\triangle B\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle C\textcolor{colorprop}{DE}$ ont la même base $\SegmentFr{DE}$ et la même hauteur — la distance entre les droites parallèles $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}}$ et $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$ — donc la même aire. En ajoutant à chacun l'aire de $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$, on obtient$$\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E}) = \text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D}).$$

Or $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E}$ ont le même sommet $\textcolor{colorprop}{E}$ et leurs bases $A\textcolor{colorprop}{D}$, $A\textcolor{colordef}{B}$ sont portées par la même droite : leurs aires sont dans le rapport des bases ; de même pour $\triangle A\textcolor{colorprop}{DE}$ et $\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D}$ avec les bases $A\textcolor{colorprop}{E}$, $A\textcolor{colordef}{C}$. Donc$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colorprop}{DE})}{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{B}\textcolor{colorprop}{E})} = \dfrac{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colorprop}{DE})}{\text{aire}(\triangle A\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{D})} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}}.$$ Pour le troisième rapport, on trace la droite passant par $\textcolor{colorprop}{E}$ parallèle à $\LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$ ; elle coupe $\textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$ en un point $F$. Le quadrilatère $\textcolor{colorprop}{D}\textcolor{colordef}{B}F\textcolor{colorprop}{E}$ a deux paires de côtés parallèles : c'est un parallélogramme, donc $\textcolor{colordef}{B}F = \textcolor{colorprop}{DE}$.

En appliquant le premier résultat dans le triangle lu depuis $\textcolor{colordef}{C}$ (avec la parallèle $\LineFr{\textcolor{colorprop}{E}F} \parallel \LineFr{A\textcolor{colordef}{B}}$) :$$\dfrac{\textcolor{colordef}{C}F}{\textcolor{colordef}{CB}} = \dfrac{\textcolor{colordef}{C}\textcolor{colorprop}{E}}{\textcolor{colordef}{C}A}, \quad\text{d'où, comme } BF = BC - CF \text{ et } AE = AC - CE,\quad \dfrac{\textcolor{colordef}{B}F}{\textcolor{colordef}{BC}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} \quad\text{et donc}\quad \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}}.$$ Enfin, puisque $\textcolor{colorprop}{\LineFr{DE}} \parallel \textcolor{colordef}{\LineFr{BC}}$, les angles correspondants sont égaux ($\AngleFr{A\textcolor{colorprop}{DE}} = \AngleFr{A\textcolor{colordef}{BC}}$ et $\AngleFr{A\textcolor{colorprop}{ED}} = \AngleFr{A\textcolor{colordef}{CB}}$) et l'angle $\AngleFr{A}$ est commun : les triangles $\textcolor{colordef}{\triangle ABC}$ et $\textcolor{colorprop}{\triangle ADE}$ ont des angles égaux et des côtés proportionnels — on dit qu'ils sont semblables :$$\dfrac{A\textcolor{colorprop}{D}}{A\textcolor{colordef}{B}} = \dfrac{A\textcolor{colorprop}{E}}{A\textcolor{colordef}{C}} = \dfrac{\textcolor{colorprop}{DE}}{\textcolor{colordef}{BC}}$$ Cette démonstration traite le cas où $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ ; les autres positions ($D$ au-delà de $B$, ou $D$ et $E$ de l'autre côté de $A$ par rapport à $B$ et $C$ — la configuration « papillon » présentée ci-dessous) s'y ramènent et sont admises.

Exemple

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ et le point $E$ sur le segment $\SegmentFr{AC}$, avec $(DE) \parallel (BC)$, $AD = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm et $AC = 10$ cm. Calculer $AE$.

Correction

Les droites $\LineFr{DB}$ et $\LineFr{EC}$ se coupent en $A$, et $(DE) \parallel (BC)$ : par le théorème de Thalès, $$\begin{aligned}[t]\dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{AE}{AC} \\ \dfrac{3}{7{,}5} &= \dfrac{AE}{10} \\ AE &= \dfrac{3 \times 10}{7{,}5} = 4 \text{ cm.}\end{aligned}$$

Le théorème de Thalès s'applique aussi quand les deux triangles sont de part et d'autre du point d'intersection : les droites $\LineFr{BD}$ et $\LineFr{CE}$ se coupent en $A$, avec $(BC) \parallel (DE)$. C'est la configuration papillon, l'autre figure clé du théorème — les rapports égaux se lisent depuis $A$ exactement comme avant : $$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE}.$$

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Exemple

Les droites $\LineFr{BD}$ et $\LineFr{CE}$ se coupent en $A$, et $(BC) \parallel (DE)$, avec $AB = 3$ cm, $AD = 4$ cm et $DE = 6$ cm. Calculer $BC$.

Correction

Les droites $\LineFr{BD}$ et $\LineFr{CE}$ se coupent en $A$ et $(BC) \parallel (DE)$ : par le théorème de Thalès, $$\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{DE}, \quad\text{c'est-à-dire}\quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{BC}{6}.$$ $$BC = \dfrac{3 \times 6}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5 \text{ cm.}$$ Le papillon change le dessin, pas les rapports.

Compétences à pratiquer

Appliquer le théorème de Thalès sans justifier
Appliquer le théorème de Thalès
Papillon : mise en jambes
Appliquer Thalès dans la configuration papillon

III Réciproque et contraposée

Théorème — Réciproque du théorème de Thalès

Soit $\triangle ABC$ un triangle, $D$ un point de la demi-droite $\RayFr{AB}$ et $E$ un point de la demi-droite $\RayFr{AC}$, tous deux distincts de $A$ — ou, en position papillon, $D$ et $B$ de part et d'autre de $A$, de même $E$ et $C$.
Si $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC},$$ alors la droite $\LineFr{DE}$ est parallèle à la droite $\LineFr{BC}$.

Preuve

On trace la droite passant par $D$ parallèle à $\LineFr{BC}$ : elle coupe la demi-droite $\RayFr{AC}$ en un point $E'$. D'après le théorème de Thalès,$$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE'}{AC}.$$ En comparant avec l'hypothèse $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$, on obtient $AE' = AE$. Les points $E$ et $E'$ sont sur la même demi-droite $\RayFr{AC}$ à la même distance de $A$, donc $E' = E$. Ainsi $\LineFr{DE} = \LineFr{DE'}$ est parallèle à $\LineFr{BC}$. La démonstration ci-dessus traite les demi-droites $\RayFr{AB}$ et $\RayFr{AC}$ ; la position papillon s'y ramène et est admise.

Exemple

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ et le point $E$ sur le segment $\SegmentFr{AC}$, avec $AD = 2$ cm, $AB = 5$ cm, $AE = 2{,}4$ cm et $AC = 6$ cm. Les droites $\LineFr{DE}$ et $\LineFr{BC}$ sont-elles parallèles ?

Correction

$$\begin{aligned}[t] \dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \\ \dfrac{AE}{AC} &= \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4 \end{aligned}$$ Les deux rapports sont égaux, et $D$, $E$ sont sur les demi-droites $\RayFr{AB}$, $\RayFr{AC}$ : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $\LineFr{DE} \parallel \LineFr{BC}$.

Proposition — Contraposée du théorème de Thalès

La contraposée transforme « si P alors Q » en « si non Q alors non P » : l'énoncé est renversé et nié (le renverser seulement donnerait la réciproque). C'est pourquoi elle est toujours vraie dès que le théorème est vrai. Pour le théorème de Thalès, avec $D$ sur la droite $\LineFr{AB}$ et $E$ sur la droite $\LineFr{AC}$ comme dans le théorème : si $$\dfrac{AD}{AB} \neq \dfrac{AE}{AC},$$ alors les droites $\LineFr{DE}$ et $\LineFr{BC}$ ne sont pas parallèles. C'est l'outil pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles : calculer les deux rapports séparément et conclure de leur différence.

Exemple

Dans le triangle $ABC$, le point $D$ est sur le segment $\SegmentFr{AB}$ et le point $E$ sur le segment $\SegmentFr{AC}$, avec $AD = 3$ cm, $AB = 8$ cm, $AE = 2{,}4$ cm et $AC = 6$ cm. Les droites $\LineFr{DE}$ et $\LineFr{BC}$ sont-elles parallèles ?

Correction

$$\begin{aligned}[t] \dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{3}{8} = 0{,}375 \\ \dfrac{AE}{AC} &= \dfrac{2{,}4}{6} = 0{,}4 \end{aligned}$$ Les deux rapports sont différents : d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $\LineFr{DE}$ et $\LineFr{BC}$ ne sont pas parallèles. (Si elles l'étaient, le théorème de Thalès imposerait $0{,}375 = 0{,}4$ — impossible.)
Sur la figure, les deux droites ont l'air parallèles : l'œil ne distingue pas $0{,}375$ de $0{,}4$. Seul le calcul tranche — un dessin n'est jamais une preuve.

Compétences à pratiquer

Utiliser la réciproque
Montrer que des droites ne sont pas parallèles

IV Agrandissements et réductions

Dans les deux configurations de Thalès, le petit triangle est une réduction du grand (ou le grand, un agrandissement du petit) : toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre positif $k$, le rapport de l'agrandissement ou de la réduction — un agrandissement quand $k > 1$, une réduction quand $0 < k < 1$ (et une reproduction à l'identique quand $k = 1$).

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Proposition — Effets d'un agrandissement ou d'une réduction

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
toutes les aires sont multipliées par $k^2$ ;
tous les volumes sont multipliés par $k^3$.

Les angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.

Pourquoi $k^2$ et $k^3$ ?

Un carré dont le côté est multiplié par $k = 3$ contient $3 \times 3 = 9$ carrés identiques au carré de départ : son aire est multipliée par $3^2 = 9$. Un cube dont l'arête est multipliée par $3$ contient $3 \times 3 \times 3 = 27$ cubes identiques au cube de départ : son volume est multiplié par $3^3 = 27$.

Toute figure se recouvre de petits carrés, et tout solide de petits cubes, d'aussi près que l'on veut, et le rapport $k$ n'est pas forcément entier : l'idée reste la même — une longueur compte $k$ fois, une aire $k \times k$ fois, un volume $k \times k \times k$ fois. C'est l'idée qui fonde la règle, admise ici pour toute figure et tout solide.

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Exemple

Un triangle a un périmètre de $12$ cm et une aire de $6$ cm$^2$. On l'agrandit avec le rapport $k = 5$. Donner le périmètre et l'aire du triangle agrandi.

Correction

Le périmètre est une longueur : il est multiplié par $k = 5$, soit $12 \times 5 = 60$ cm. L'aire est multipliée par $k^2 = 25$, soit $6 \times 25 = 150$ cm$^2$ — pas par $5$ (voir la remarque : c'est $k^2$, pas $k$).

Compétences à pratiquer

Effets d'un agrandissement ou d'une réduction

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.