Éducation Nationale Française · Troisième

La sphère terrestre et les sections (programme 2018, jusqu'en 2028)

⌚ ~35 min ▢ 4 blocs ✓ 16 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections ➣ Prérequis : La sphère et la boule, Le théorème de Thalès, La trigonométrie

I Latitude et longitude

Découverte

Un navire appelle à l'aide au milieu de l'océan : ni rue, ni adresse, aucun repère en vue. Comment peut-il donner sa position sur la Terre avec seulement deux nombres ?

Correction

Avec deux angles mesurés depuis le centre de la Terre. Le premier dit de combien le navire est au nord ou au sud de l'équateur ; le second, de combien il est à l'est ou à l'ouest d'un demi-cercle choisi une fois pour toutes d'un pôle à l'autre. Ces deux angles sont sa latitude et sa longitude.

Définition — Équateur, parallèles et méridiens

La Terre est représentée par une sphère de centre $O$. Les pôles $N$ (nord) et $S$ (sud) sont les extrémités d'un diamètre, l'axe des pôles.

L'équateur est le grand cercle dont le plan passe par $O$ et est perpendiculaire à l'axe $(NS)$.
Un parallèle est un cercle de la sphère dont le plan est parallèle au plan de l'équateur : c'est une section de la sphère par un tel plan.
Un méridien est un demi-grand cercle qui joint $N$ à $S$. Le méridien de référence est le méridien de Greenwich, qui passe par Londres.

Définition — Latitude et longitude

Un point $M$ de la sphère est repéré par deux angles :

sa latitude : l'angle entre le plan de l'équateur et le rayon $[OM]$, de $0^\circ$ (sur l'équateur) à $90^\circ$ (à un pôle), suivi de N (nord) ou S (sud) ;
sa longitude : l'angle entre le demi-plan du méridien de Greenwich et le demi-plan du méridien de $M$, de $0^\circ$ à $180^\circ$, suivi de E (est) ou O (ouest).

Les deux vues ci-dessous sont exactes : à gauche, la Terre coupée selon le méridien de $M$ (la latitude apparaît en $O$) ; à droite, l'équateur vu depuis le pôle Nord (la longitude apparaît au centre, l'est étant le sens inverse des aiguilles d'une montre).

$M'$ est le point de l'équateur situé sur le méridien de $M$. Aux pôles, la latitude suffit ($90^\circ$ N ou $90^\circ$ S) : tous les méridiens y passent, leur longitude n'est donc pas définie. Les longitudes $180^\circ$ E et $180^\circ$ O désignent le même méridien, opposé à celui de Greenwich. Par exemple, Paris est à environ $49^\circ$ N et $2^\circ$ E.

Exemple

Paris est à environ $49^\circ$ N, $2^\circ$ E, et Sydney à environ $34^\circ$ S, $151^\circ$ E.

Laquelle des deux villes est la plus proche de l'équateur ?
Laquelle des deux villes est la plus à l'est du méridien de Greenwich ?
Sur quelle ligne du globe se trouvent les points de latitude $0^\circ$ ? Et ceux de longitude $0^\circ$ ?

Correction

La latitude mesure l'éloignement de l'équateur par un angle : $34^\circ < 49^\circ$, donc Sydney est plus proche de l'équateur — du côté sud, puisque sa latitude est S.
Les deux villes sont à l'est de Greenwich (E), Paris de $2^\circ$ seulement, Sydney de $151^\circ$ : Sydney est beaucoup plus à l'est.
Latitude $0^\circ$ : l'équateur, le seul parallèle dont le plan passe par $O$. Longitude $0^\circ$ : le méridien de Greenwich, pôles exceptés — un méridien, pas un parallèle.

Les grands cercles du globe

L'équateur, et chaque cercle formé de deux méridiens opposés, ont pour centre $O$ : ce sont des grands cercles. Chaque autre parallèle est le cercle qui borde la section de la boule par un plan ne passant pas par $O$ : son rayon est donc plus petit que le rayon de la Terre (Proposition « Section d'une boule par un plan »), et il diminue à mesure que le parallèle se rapproche d'un pôle.

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Compétences à pratiquer

Lire latitude et longitude
Utiliser latitude et longitude

II Sections parallèles à la base

Proposition — Effets d'un agrandissement ou d'une réduction

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

toutes les longueurs sont multipliées par $k$ ;
toutes les aires sont multipliées par $k^2$ ;
tous les volumes sont multipliés par $k^3$.

Les angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.

Proposition — Couper parallèlement à la base

Soit $S$ le sommet d'une pyramide ou d'un cône, $H$ le pied de sa hauteur sur la base. Un plan parallèle à la base, situé entre le sommet et la base, coupe la hauteur en $H'$, et on pose $k = \dfrac{SH'}{SH}$. Alors :

la section est une réduction de la base, de rapport $k$ (un polygone de même forme pour une pyramide, un disque pour un cône) ;
la petite pyramide ou le petit cône coupé au sommet est une réduction du grand, de rapport $k$ : longueurs multipliées par $k$, aires par $k^2$, volume par $k^3$.

Cela vient du théorème de Thalès dans les triangles de sommet $S$ : dans le triangle $SAH$, $(A'H')$ est parallèle à $(AH)$, donc $\dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SH'}{SH} = k$ ; puis, pour deux points $A$ et $B$ de la base, dans le triangle $SAB$, $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$, donc $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{SA'}{SA} = k$ : chaque longueur de la section est la longueur correspondante de la base multipliée par $k$.

Exemple

La pyramide $SABCD$ de la Proposition « Couper parallèlement à la base » a pour base un carré de côté $6$ cm et pour hauteur $SH = 9$ cm. On la coupe par un plan parallèle à sa base, à $6$ cm du sommet. Donner la nature et les dimensions de la section, puis le volume de la petite pyramide. On rappelle que le volume d'une pyramide est $\dfrac{1}{3} \times$ aire de la base $\times$ hauteur.

Correction

Le rapport de réduction est $k = \dfrac{SH'}{SH} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

La section est une réduction de la base carrée : un carré, de côté $6 \times \dfrac{2}{3} = 4$ cm.
Volume de la grande pyramide : $\dfrac{1}{3} \times 6^2 \times 9 = 108$ cm$^3$. La petite pyramide est une réduction de rapport $\dfrac{2}{3}$ : $$V = 108 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = 108 \times \dfrac{8}{27} = 32 \text{ cm}^3.$$ Vérification : $\dfrac{1}{3} \times 4^2 \times 6 = 32$ cm$^3$.

Compétences à pratiquer

Calculer une section parallèle à la base

III Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Problèmes