Éducation Nationale Française · Troisième

La trigonométrie

⌚ ~82 min ▢ 8 blocs ✓ 30 exercices PDFCours complet PDFFiche d'exercices PDFCorrections PDFÉvaluation PDFCorrigé de l'évaluation ➣ Prérequis : Le théorème de Thalès

I Les côtés du triangle rectangle

Découverte

Quelle est la hauteur d'un arbre que l'on ne peut pas escalader ? On se place à $20\,\text{m}$ de son pied et, depuis le sol, on mesure l'angle vers son sommet : $35^\circ$. On ne peut pas porter un mètre jusqu'au sommet — mais la hauteur est déjà déterminée. L'arbre, le sol et la ligne de visée forment un triangle rectangle, et tout triangle rectangle ayant un angle de $35^\circ$ est une copie à une autre échelle de celui-ci (un agrandissement ou une réduction) ; le rapport $\dfrac{\text{hauteur}}{\text{distance}}$ est donc toujours le même pour $35^\circ$.

Ces rapports fixes ont un nom — sinus, cosinus, tangente — pour qu'un côté et un angle calculent le reste (ici hauteur $=20\tan 35^\circ$). Ces rapports fonctionnent parce que tous ces triangles sont des agrandissements ou des réductions les uns des autres.

Correction

Une fois les rapports trigonométriques définis : le rapport $\dfrac{\text{hauteur}}{\text{distance}}$ pour $35^\circ$ est la tangente de $35^\circ$, et la calculatrice donne $\tan 35^\circ \approx 0{,}700$. Donc $$\text{hauteur} = 20 \times \tan 35^\circ \approx 20 \times 0{,}700 = 14{,}0 \text{ m.}$$ Avec la pratique, cette ligne devient un réflexe.

Définition — Côtés du triangle rectangle

Un triangle rectangle possède un angle droit de $90^\circ$. On nomme les côtés par rapport à un angle aigu choisi $\theta$ (et non par rapport à l’angle droit).

L'hypoténuse (HYP) est le côté le plus long, toujours opposé à l’angle droit. Elle ne dépend pas du choix de $\theta$.
Le côté opposé (OPP) est le côté situé en face de l’angle $\theta$ : il ne touche pas cet angle.
Le côté adjacent (ADJ) est le côté de l’angle droit qui touche l’angle $\theta$, mais qui n’est pas l’hypoténuse.

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, l’angle $\theta$ est au sommet $B$. Identifier l’hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l’angle $\theta$.

Correction

Par rapport à l’angle $\theta$ en $B$ :

Hypoténuse : $\SegmentFr{BC}$
Côté adjacent : $\SegmentFr{AB}$
Côté opposé : $\SegmentFr{AC}$

Compétences à pratiquer

Identifier les côtés du triangle

II Les trois rapports trigonométriques

Le fondement des rapports trigonométriques

Pourquoi les rapports trigonométriques fonctionnent-ils ? Parce que deux triangles rectangles qui ont un même angle aigu sont un agrandissement ou une réduction l'un de l'autre : toutes les longueurs de l'un sont les longueurs de l'autre multipliées par un même nombre $k$, le rapport de l'agrandissement ou de la réduction.
On considère deux triangles rectangles quelconques qui partagent un angle aigu commun, $\theta$.

Les deux triangles ont un angle droit ($90^\circ$) et partagent tous deux l’angle $\theta$ — leurs troisièmes angles sont donc égaux eux aussi (la somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$). Ayant les mêmes angles, l’un des triangles est un agrandissement ou une réduction de l’autre : chaque côté du second est le même multiple $k$ du côté correspondant du premier. C'est exactement ce que garantit le théorème de Thalès : en superposant les deux angles $\theta$, les deux côtés opposés, tous deux perpendiculaires au côté adjacent commun, sont parallèles — les deux triangles sont emboîtés, en configuration de Thalès, et leurs côtés sont proportionnels.

Quand on divise deux côtés du même triangle, ce rapport $k$ disparaît — le rapport est le même dans les deux triangles. Cela signifie que, pour n’importe quel triangle rectangle avec l’angle aigu $\theta$ : $$ \frac{\text{OPP}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{ADJ}_1}{\text{HYP}_1} = \frac{\text{ADJ}_2}{\text{HYP}_2}, \quad \frac{\text{OPP}_1}{\text{ADJ}_1} = \frac{\text{OPP}_2}{\text{ADJ}_2}. $$ Puisque ces rapports sont constants pour un angle $\theta$ donné, quelle que soit la taille du triangle, on peut leur donner des noms spéciaux. Ce sont les rapports trigonométriques.

Signaler une erreur

Définition — Les trois rapports trigonométriques

Pour un angle aigu $\theta$ dans un triangle rectangle, on définit les trois principaux rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. $$ \sin(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}. $$

Un moyen mnémotechnique courant pour s’en souvenir est SOH-CAH-TOA :

Sinus = Opposé / Hypoténuse
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
Tangente = Opposé / Adjacent

Signaler une erreur

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, calculer $\cos \theta$, $\sin \theta$ et $\tan \theta$.

Correction

Par rapport à $\theta$ en $B$ :

Hypoténuse : $BC = 5$
Côté adjacent : $AB = 4$
Côté opposé : $AC = 3$

$$\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}} = \frac{4}{5}, \\ \sin \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{HYP}} = \frac{3}{5}, \\ \tan \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}} = \frac{3}{4}. \end{aligned}$$

Comment varient les rapports ?

Une même échelle (l'hypoténuse est fixée) dressée plus raide : l'angle aigu $\theta$ à son pied grandit, le sommet monte plus haut (le côté opposé grandit) et le pied se rapproche du mur (le côté adjacent diminue). Ainsi, quand $\theta$ grandit, $\sin\theta$ et $\tan\theta$ augmentent tandis que $\cos\theta$ diminue.

De plus, le côté opposé et le côté adjacent sont tous deux plus courts que l'hypoténuse : $\sin\theta$ et $\cos\theta$ sont toujours compris entre $0$ et $1$. La tangente, rapport des deux côtés de l'angle droit, peut dépasser $1$.

Signaler une erreur

Proposition — Formule de la tangente

Pour tout angle aigu $\theta$ d'un triangle rectangle, $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$

Preuve

$$\begin{aligned} \tan \theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\\ &= \frac{\text{OPP}/\text{HYP}}{\text{ADJ}/\text{HYP}}\\ &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.\\ \end{aligned}$$

Méthode — Utiliser une calculatrice

Les rapports trigonométriques pour n’importe quel angle aigu peuvent être calculés à l’aide d’une calculatrice scientifique en mode degré. Toujours vérifier que la calculatrice est réglée sur « DEG » (degrés) avant de faire les calculs.

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, déterminer $x$, arrondi au dixième.

Correction

Par rapport à l’angle $30^\circ$ en $B$, le côté de longueur $3$ est l’hypoténuse et le côté $x$ est adjacent à cet angle. $$\begin{aligned} \cos \theta &= \frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}} \\ \cos(30^\circ) &= \frac{x}{3} \\ x &= 3 \times \cos(30^\circ) \\ x &\approx 3 \times 0{,}866 \\ x &\approx 2{,}6 \quad \text{(arrondi au dixième)} \end{aligned}$$

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, déterminer $x$, arrondi au dixième.

Correction

Par rapport à l'angle de $40^\circ$ en $B$ : le côté $AC = 5$ est opposé, le côté $AB = x$ est adjacent. Le rapport qui relie le côté opposé et le côté adjacent est la tangente : $$\begin{aligned} \tan(40^\circ) &= \frac{5}{x} \\ x \times \tan(40^\circ) &= 5 \\ x &= \frac{5}{\tan(40^\circ)} \\ x &\approx \frac{5}{0{,}839} \approx 6{,}0 \text{ cm} \quad \text{(arrondi au dixième)} \end{aligned}$$ L'inconnue est au dénominateur : on multiplie les deux membres par $x$, puis on divise par $\tan(40^\circ)$ — on ne laisse jamais l'inconnue sous la barre de fraction.

Compétences à pratiquer

Calculer les rapports trigonométriques
Calculer la longueur d'un côté

III Calculer un angle

Les rapports trigonométriques peuvent être utilisés pour calculer la mesure d’un angle inconnu dans un triangle rectangle, à condition de connaître au moins deux longueurs de côtés.

Signaler une erreur

Définition — Fonctions trigonométriques inverses

Dans un triangle rectangle avec un angle aigu $\theta$ : $$ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \sin^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{HYP}}\right), \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{OPP}}{\text{ADJ}}\right). $$ La notation $\cos^{-1}$ (lue « cosinus inverse ») désigne la fonction de la calculatrice qui retrouve l'angle à partir du rapport — ce n'est pas $\frac{1}{\cos\theta}$.

Exemple

Dans le triangle ci-dessous, calculer la mesure de l’angle $\theta$.

Correction

On connaît la longueur du côté adjacent ($AB = 0{,}5$) et celle de l’hypoténuse ($BC = 1$) par rapport à $\theta$. On utilise la fonction cosinus inverse : $$\begin{aligned} \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{\text{ADJ}}{\text{HYP}}\right) \\ &= \cos^{-1}\left(\frac{0{,}5}{1}\right) \\ &= 60^\circ. \end{aligned}$$

Exemple

Un toboggan mesure $4$ m de long et son sommet est à $2{,}4$ m du sol. Déterminer l'angle que fait le toboggan avec le sol, arrondi au degré.

Correction

Le toboggan, le sol et la verticale du sommet forment un triangle rectangle. Par rapport à l'angle $\theta$ cherché (au pied du toboggan), on connaît le côté opposé ($2{,}4$ m, la hauteur) et l'hypoténuse ($4$ m, le toboggan) : le rapport qui les relie est le sinus, donc la fonction inverse à utiliser est $\sin^{-1}$. $$\begin{aligned} \sin\theta &= \frac{\text{OPP}}{\text{HYP}} = \frac{2{,}4}{4} = 0{,}6 \\ \theta &= \sin^{-1}(0{,}6) \approx 36{,}9^\circ \approx 37^\circ. \end{aligned}$$ Le choix de la fonction inverse suit les deux côtés connus : opposé et hypoténuse $\to \sin^{-1}$ ; adjacent et hypoténuse $\to \cos^{-1}$ ; opposé et adjacent $\to \tan^{-1}$.

Compétences à pratiquer

Calculer les angles

IV Résoudre des problèmes concrets

Définition — Angle d'élévation et angle de dépression

Quand un observateur regarde un objet, l'angle d'élévation est l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée quand l'objet est au-dessus de l'observateur ; l'angle de dépression est l'angle entre l'horizontale et la ligne de visée quand l'objet est en dessous de l'observateur.

Du haut $P$ de la falaise, le bateau $B$ est vu sous l'angle de dépression $\alpha$ ; depuis le bateau, le sommet $P$ est vu sous l'angle d'élévation $\alpha$. Les deux horizontales sont parallèles, donc ces deux angles sont égaux (angles alternes-internes). Pour le calcul, on utilise l'angle d'élévation en $B$ : c'est lui qui est un angle du triangle rectangle $PFB$ ; l'angle de dépression, en $P$, est hors du triangle (l'angle du triangle en $P$ vaut $90^\circ - \alpha$).

Les rapports trigonométriques sont des outils puissants pour résoudre une grande variété de problèmes impliquant des triangles rectangles, notamment dans des situations concrètes. Pour résoudre ces problèmes efficacement, on suit les étapes structurées ci-dessous :

Signaler une erreur

Méthode — Résoudre des problèmes concrets à l’aide de la trigonométrie

Dessiner un schéma clair représentant la situation décrite dans l’énoncé.
Indiquer l’inconnue (côté ou angle) à déterminer. Utiliser $x$ pour une longueur et $\theta$ pour un angle si possible.
Repérer un triangle rectangle dans le schéma.
Écrire une équation liant un angle et deux côtés du triangle à l’aide d’un rapport trigonométrique approprié.
Résoudre l’équation pour déterminer la valeur de l’inconnue.
Formuler clairement la réponse, avec les unités appropriées, sous forme de phrase.

Exemple

La ficelle d'un cerf-volant, tendue et rectiligne, mesure $50$ m ; son extrémité basse est tenue au niveau du sol, et la ficelle fait un angle de $40^\circ$ avec le sol horizontal. À quelle hauteur vole le cerf-volant ? Arrondir au mètre.

Correction

On suit les six étapes de la méthode.

Schéma : la ficelle, le sol et la verticale du cerf-volant.
Inconnue : la hauteur $h$ du cerf-volant.
Triangle rectangle : l'angle droit est entre le sol et la verticale ; l'angle de $40^\circ$ est à la main, au sol : c'est l'angle d'élévation du cerf-volant.
Équation : par rapport à l'angle de $40^\circ$, $h$ est le côté opposé et la ficelle ($50$ m) l'hypoténuse, donc le sinus est le bon rapport : $\sin(40^\circ) = \dfrac{h}{50}$.
Résolution : $h = 50 \times \sin(40^\circ) \approx 50 \times 0{,}643 \approx 32{,}1$.
Réponse : le cerf-volant vole à environ $32$ m au-dessus du sol.

Compétences à pratiquer

Résoudre des problèmes de trigonométrie
Rédiger la solution

V Pour aller plus loin

Compétences à pratiquer

Raisonner et résoudre des problèmes
Type brevet
Quiz

Contrôle du chapitre

4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.

Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.

Aucun exercice composé.