Éducation Nationale Française · Troisième
Homothétie et rotation (programme 2018, jusqu'en 2028)
I
La rotation
Juliette est sur une balançoire. Lorsqu’elle se balance, elle reste toujours à la même distance du point d’attache. Son siège se déplace le long d’un arc de cercle. 
On dit que Juliette est en rotation autour du point d’attache, qui est le centre de la rotation.
Définition — Rotation d’un point
La rotation d’un point \(M\) d’un angle \(a^{\circ}\) autour d’un centre \(O\), dans un sens donné, donne le point \(M'\) tel que \(OM'=OM\) et que le segment \(\SegmentFr{OM}\), tourné de \(a^{\circ}\) autour de \(O\) dans ce sens, vienne sur le segment \(\SegmentFr{OM'}\). Le centre \(O\) est sa propre image.Le sens est toujours donné : celui des aiguilles d’une montre \(\curvearrowright\) ou le sens inverse des aiguilles d’une montre \(\curvearrowleft\).
Définition — Rotation
La rotation d’un objet d’un angle \(a^{\circ}\) autour d’un centre \(O\) est la rotation de tous ses points du même angle autour de \(O\). L’objet garde la même taille et la même forme : seule sa position change. 
Proposition — Propriétés d'une rotation
Une rotation conserve les longueurs, les angles et les aires : une figure et son image sont superposables (elles ont la même forme et la même taille, seule leur position change). L'image d'un segment est un segment de même longueur, l'image d'une droite est une droite, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.Une transformation qui conserve les longueurs s'appelle une isométrie : les rotations, les symétries axiales, les demi-tours (symétries centrales) et les translations sont des isométries.
Le cas particulier d'une rotation de \(180^\circ\) a son propre nom. Tourner un objet de \(180^\circ\) autour de \(O\) envoie chaque point \(M\) sur le point \(M'\) tel que \(O\) est le milieu de \(\SegmentFr{MM'}\) — c'est exactement la symétrie centrale de centre \(O\). Une symétrie centrale est donc la même chose qu'une rotation de \(180^\circ\).
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'image d'un point par une rotation de 90 degrés
- Déterminer l'image d'un point par une rotation de 180 degrés
- Dessiner les figures images
II
L'homothétie
L'agrandissement et la réduction multiplient toutes les longueurs d'une figure par un facteur d'échelle strictement positif. L'homothétie précise cette idée de deux façons. Elle fixe un centre \(O\) à partir duquel la figure est agrandie ou réduite, et elle autorise le rapport \(\textcolor{olive}{k}\) à être négatif — un \(k\) négatif place l'image de l'autre côté de \(O\). L'agrandissement ou la réduction correspond au cas où \(\textcolor{olive}{k}\) est strictement positif, et son facteur d'échelle vaut alors \(|\textcolor{olive}{k}|\).
Définition — Homothétie d'un point
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\textcolor{olive}{k}\) (un nombre non nul) envoie un point \(M\) sur le point \(M'\) tel que : - \(M'\) est sur la droite \(\LineFr{OM}\) ;
- \(OM' = |\textcolor{olive}{k}| \times OM\) ;
- \(M'\) est du même côté de \(O\) que \(M\) quand \(\textcolor{olive}{k} > 0\), et du côté opposé quand \(\textcolor{olive}{k} < 0\).
Exemple
Déterminer les coordonnées de l'image \(M'\) du point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 2\), puis de son image \(M''\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = -1\). 
\(O(1 ; 1)\) et \(M(3 ; 2)\) : de \(O\) à \(M\), le déplacement est \(2\) vers la droite et \(1\) vers le haut. Pour \(k = 2\), le déplacement de \(O\) à \(M'\) est deux fois plus grand, dans le même sens : \(4\) vers la droite et \(2\) vers le haut, donc \(M'(1 + 4 ; 1 + 2) = M'(5 ; 3)\). Contrôle : \(O\), \(M\), \(M'\) sont alignés et \(OM' = 2\,OM\).
Pour \(k = -1\), le déplacement garde sa taille mais change de sens : \(2\) vers la gauche et \(1\) vers le bas, donc \(M''(1 - 2 ; 1 - 1) = M''(-1 ; 0)\) : \(M''\) est de l'autre côté de \(O\), à la même distance que \(M\).
Pour \(k = -1\), le déplacement garde sa taille mais change de sens : \(2\) vers la gauche et \(1\) vers le bas, donc \(M''(1 - 2 ; 1 - 1) = M''(-1 ; 0)\) : \(M''\) est de l'autre côté de \(O\), à la même distance que \(M\).
Définition — Homothétie
L’homothétie d’une figure de centre \(O\) et de rapport \(k\) est l’image obtenue en appliquant l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) à tous ses points. 
Exemple
La figure \(\textcolor{colorprop}{A'}\) est l’image de la figure \(\textcolor{colordef}{A}\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(2\). 
On regarde le cas particulier \(\textcolor{olive}{k} = -1\) : l'image \(M'\) de \(M\) est de l'autre côté de \(O\), à la même distance, donc \(O\) est le milieu de \(\SegmentFr{MM'}\). L'homothétie de rapport \(-1\) est donc exactement la symétrie centrale de centre \(O\). Pour tout rapport négatif, l'image est de l'autre côté de \(O\) : elle est retournée par un demi-tour, et agrandie ou réduite selon \(|\textcolor{olive}{k}|\).
Proposition — Effets d'une homothétie
Une homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) : - multiplie toutes les longueurs par \(|k|\) : si \(A'\) et \(B'\) sont les images de \(A\) et \(B\), alors \(A'B' = |k| \times AB\) ;
- conserve les angles, et envoie une droite sur une droite parallèle : une figure et son image ont la même forme ;
- multiplie les aires par \(k^2\).
Exemple
Un triangle a pour côtés \(6\) cm, \(8\) cm et \(10\) cm et pour aire \(24\) cm\(^2\). Donner les longueurs des côtés et l'aire de son image par une homothétie de rapport \(k = -0{,}5\). L'image est-elle un agrandissement ou une réduction ?
Les longueurs sont multipliées par \(|k| = 0{,}5\) : l'image a pour côtés \(3\) cm, \(4\) cm et \(5\) cm. L'aire est multipliée par \(k^2 = 0{,}25\) : elle vaut \(24 \times 0{,}25 = 6\) cm\(^2\). Comme \(|k| < 1\), l'image est une réduction ; et comme \(k < 0\), elle est de plus retournée par un demi-tour autour du centre.
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'image d'un point par une homothétie
- Déterminer le rapport à partir d'un point et de son image
- Déterminer le centre
- Déterminer le rapport à partir d'une figure et de son image
- Dessiner les figures images
- Calculer une longueur inconnue
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de rotation
- Problèmes d'homothétie
- Quiz
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