Éducation Nationale Française · Troisième
La sphère et la boule
I
Les solides et leurs volumes
Définition — Polyèdre
Un polyèdre est un solide en trois dimensions dont les faces sont planes et sont des polygones. 
Définition — Classification
On peut classer les solides en comptant leurs faces, arêtes et sommets. | Nom | Forme | Faces | Arêtes | Sommets |
| Cube |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Pavé droit |  | 6 (faces planes) | 12 | 8 |
| Boule |  | 0 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Pyramide à base carrée |  | 5 (faces planes) | 8 | 5 |
| Cylindre (de révolution) |  | 2 faces planes (1 surface courbe) | 0 | 0 |
| Cône |  | 1 face plane (1 surface courbe) | 0 | 0 |
Définition — Prisme droit
Un prisme droit est un polyèdre dont la section transversale uniforme est un polygone. Il a deux faces parallèles et identiques appelées bases, et les autres faces sont des rectangles. Les prismes sont nommés en fonction de la forme de leur base. | Nom | Figure | Section transversale |
| Prisme triangulaire |  |  |
| Pavé droit (prisme rectangulaire) |  |  |
Proposition — Aire d’un disque
L’aire d’un disque se trouve en multipliant \(\pi\) par le rayon au carré : $$\text{Aire d’un disque} = \pi \times \text{rayon} \times \text{rayon} $$ $$A = \pi r \times r = \pi r^2$$ 
Proposition — Volume d’un cylindre
$$\begin{aligned}\text{Volume d’un cylindre} &= \pi r^2 h\end{aligned}$$ 
Un cylindre a une section transversale uniforme.
- Aire de la base = Aire de
= Aire d’un disque = \(\pi r^2\)
- hauteur = \(h\)
- $$ \begin{aligned}[t] V &= \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \\ &= \pi r^2 \times h \end{aligned} $$
Définition — Pyramide
Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent tous en un même sommet : le sommet de la pyramide.La hauteur de la pyramide est le segment qui joint le sommet au plan de la base et qui est perpendiculaire à ce plan.
Une pyramide est nommée d'après sa base : une pyramide dont la base est un carré est une pyramide à base carrée.
Définition — Cône de révolution
Un cône de révolution est le solide engendré par un triangle rectangle en rotation autour d'un des deux côtés de son angle droit. - Sa base est un disque.
- Sa surface latérale est courbe : un cône n'est pas un polyèdre.
- Son sommet est la pointe du solide.
- Sa hauteur est le segment joignant le sommet au centre de la base ; elle est perpendiculaire à la base.
Proposition — Patron d'une pyramide ou d'un cône
Mettre un solide à plat en le dépliant (après avoir coupé le long de certaines arêtes — pour un cône, le long d'un segment qui va du sommet au cercle de la base) donne son patron, comme pour les prismes. - Le patron d'une pyramide est formé de sa base polygonale et de ses faces latérales triangulaires — le plus souvent dessinées attachées aux côtés de la base.
- La surface latérale d'un cône de révolution est courbe, et pourtant elle se déroule à plat : son patron est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque appelée secteur circulaire (la surface latérale). Quand on enroule le patron, le bord courbe du secteur s'enroule exactement autour de la base : l'arc du secteur a la même longueur que le cercle qui borde le disque de base.
\(\quad\) 
Proposition — Volume d'une pyramide ou d'un cône
Le volume d'une pyramide ou d'un cône — un solide qui se rétrécit de sa base jusqu'à une seule pointe, son sommet — est égal au tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, mesurée perpendiculairement à la base.$$ V = \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h $$ 
Exemple
Calculer le volume du cône. 
- Calculer l'aire de la base circulaire : $$ \begin{aligned} A_{\text{base}} &= \pi r^2 \\ &= \pi (3)^2 \\ &= 9\pi \, \text{cm}^2 \end{aligned} $$
- Calculer le volume du cône : $$ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h \\ &= \frac{1}{3} \times 9\pi \times 7 \\ &= 21\pi \, \text{cm}^3 \\ &\approx 65{,}97 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Classifier les solides
- Nommer les solides
- Reconnaître des pyramides et des cônes
- Reconnaître des patrons
- Calculer des volumes de pyramides et de cônes
II
La sphère et la boule
Une orange est (presque) une boule. On veut la couper d'un seul coup, bien droit, pour obtenir la plus grande tranche ronde possible.
- Où le couteau doit-il passer ?
- Quelle est la forme de la face obtenue ? Et si l'on coupe plus près du sommet de l'orange ?
- Par le centre de l'orange : la tranche est alors aussi large que l'orange elle-même.
- La face est un disque — et elle reste un disque quand la coupe s'approche du sommet, simplement plus petit. Quatre mots nomment ces observations : sphère, boule, section, grand cercle.
Définition — Sphère
La sphère de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble de tous les points de l'espace situés à la distance \(r\) de \(O\). 
Définition — Boule
La boule de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble de tous les points de l'espace situés à une distance inférieure ou égale à \(r\) de \(O\).
La sphère est la peau ; la boule est le fruit entier. La sphère est une surface (elle a une aire) ; la boule est un solide (il a un volume). Un segment joignant deux points de la sphère en passant par le centre est un diamètre : sa longueur est \(2r\), et ses deux extrémités sont diamétralement opposées.
Exemple
Une sphère a pour centre \(O\) et pour rayon \(5\) cm. Le point \(A\) est à \(5\) cm de \(O\), le point \(B\) à \(3\) cm, le point \(C\) à \(7\) cm. Pour chaque point, dire s'il est sur la sphère, à l'intérieur de la boule sans être sur la sphère, ou à l'extérieur.
\(OA = 5\) cm \(= r\) : le point \(A\) est sur la sphère (et il appartient aussi à la boule, dont la sphère est le bord). \(OB = 3\) cm \(< 5\) cm : \(B\) est dans la boule, mais pas sur la sphère. \(OC = 7\) cm \(> 5\) cm : \(C\) est à l'extérieur.
Compétences à pratiquer
- Sphère ou boule ?
III
Les sections planes
Définition — Section plane
Une section plane d’un solide (on dit aussi section transversale) est la forme plane (en deux dimensions) obtenue lorsqu’un plan coupe le solide. 
Définition — Section transversale uniforme
Une section transversale uniforme signifie que, lorsqu’on coupe le solide dans la même direction, la section transversale a la même taille et la même forme en tout point de sa longueur. Définition — Axe d'un cylindre
L'axe d'un cylindre est la droite qui joint les centres de ses deux bases circulaires. Un plan de coupe peut être parallèle à cet axe, perpendiculaire à lui, ou ni l'un ni l'autre. 
Proposition — Nommer une section
La section dépend du solide, de la direction du plan de coupe et de sa position. Les cas les plus courants : un cube coupé parallèlement à une face donne un carré ; coupé par un plan vertical passant par une diagonale de sa base, un rectangle ; un cylindre coupé perpendiculairement à son axe donne un disque, coupé le long de son axe un rectangle. 
\(\quad\) 
\(\quad\) 
Exemple
Ce solide a-t-il une section transversale uniforme ? 
Oui. Lorsqu’il est coupé perpendiculairement à sa longueur, chaque section transversale est un triangle de même taille et de même forme. Donc il a une section transversale uniforme. Le solide est un prisme triangulaire. 
Sections d'un pavé et d'un cylindre
La règle du cube s'étend à tout pavé droit : coupé parallèlement à une face, la section est un rectangle identique à cette face — quelle que soit la hauteur de la coupe. 
Pour un cylindre de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) : la section le long de son axe est un rectangle de largeur le diamètre (\(2r\)) et de longueur la hauteur (\(h\)) du cylindre — pas le rayon. 
Proposition — Section d'une boule par un plan
La section d'une boule par un plan qui la coupe est un disque, dont le centre \(H\) est le pied de la perpendiculaire menée du centre \(O\) au plan. Plus le plan est proche du centre, plus le disque est grand. Quand le plan passe par le centre, le disque a le même rayon que la boule, et son cercle de bord s'appelle un grand cercle de la sphère. 
Exemple
Une boule a pour centre \(O\) et pour rayon \(5\) cm. Un plan la coupe ; le pied de la perpendiculaire menée de \(O\) au plan — le centre de la section — est noté \(H\), avec \(OH = 3\) cm, et \(M\) est un point du cercle de bord de la section. Calculer le rayon \(HM\) de la section. 
Le segment \(OH\) est perpendiculaire au plan de coupe, donc le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) ; et \(OM = 5\) cm puisque \(M\), sur le bord de la section, est sur la sphère. Par le théorème de Pythagore : $$\begin{aligned}[t]OM^2 &= OH^2 + HM^2 \\
5^2 &= 3^2 + HM^2 \\
HM^2 &= 25 - 9 = 16 \\
HM &= 4 \text{ cm} && \text{(\(HM\) est une longueur, positive)}\end{aligned}$$ La section est un disque de rayon \(4\) cm — plus petit que le rayon de la boule (\(5\) cm), comme prévu.
Compétences à pratiquer
- Identifier une section transversale uniforme
- Trancher des solides
- Sections de la boule
IV
Le volume de la boule
Proposition — Volume d'une boule
Le volume d'une boule de rayon \(r\) est donné par la formule :$$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$ 
Exemple
Calculer le volume de la boule. 
$$ \begin{aligned} V &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi (4)^3 \\
&= \frac{4}{3} \pi (64) \\
&= \frac{256}{3}\pi \, \text{m}^3 \\
&\approx 268{,}08 \, \text{m}^3 \end{aligned} $$
Compétences à pratiquer
- Calculer le volume d'une boule
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Type brevet
- Quiz
Contrôle du chapitre
4 exercices, sur 20 points. Durée indicative : 1 h.
Ce contrôle ne modifie pas la maîtrise du chapitre, quelle que soit la note.
Aucun exercice composé.
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