Éducation Nationale Française · Troisième
Triangles semblables (programme 2018, jusqu'en 2028)
I
Les triangles semblables
Thalès, un mathématicien de la Grèce antique, a utilisé les ombres pour mesurer la hauteur de la Grande Pyramide. Il a mesuré l'ombre de la pyramide et, au même moment, l'ombre d'un bâton de hauteur connue. 
- Le bout de l'ombre de la pyramide était à 210 mètres du centre de sa base (Thalès a ajouté la moitié de la base à l'ombre qu'il avait mesurée).
- Un bâton de 2 mètres de haut, placé à la verticale, projetait une ombre de 3 mètres de long.
Au même instant, les rayons du soleil sont parallèles : le bâton et la pyramide sont tous deux verticaux ; les deux triangles rectangles (le bâton et son ombre ; la hauteur de la pyramide et les \(210\) m du centre de sa base au bout de son ombre) ont donc les mêmes angles, et leurs côtés sont proportionnels : $$\dfrac{h}{2} = \dfrac{210}{3}, \qquad h = \dfrac{2 \times 210}{3} = 140 \text{ m.}$$ La Grande Pyramide mesure environ \(140\) m — mesurée avec un bâton et une ombre. Les outils de ce coup de génie valent d'être construits.
Définition — Figures semblables
Deux figures sont semblables si l’une peut être obtenue à partir de l’autre par une similitude (un agrandissement ou une réduction, éventuellement composé avec une isométrie, ou une isométrie seule). Proposition — Propriétés des figures semblables
Pour les figures semblables : - Les rapports des longueurs des côtés correspondants sont tous égaux au même facteur d'échelle (ou rapport de similitude).
- Les angles correspondants sont égaux.
Un moyen simple de prouver que deux triangles sont semblables est d'utiliser le critère de similitude par deux angles égaux (AA) : si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.
Proposition — Similitude par angle-angle pour les triangles
Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.
Ce critère est démontré comme conséquence du théorème de Thalès — dont la démonstration ne repose que sur les aires ; la démonstration guidée est un problème de la section Pour aller plus loin.
Définition — Rapport de similitude
Lorsque deux triangles sont semblables, les rapports des côtés correspondants sont tous égaux à un même nombre \(k\), appelé le rapport de similitude :$$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{B'C'}{BC}.$$ Chaque longueur du second triangle vaut \(k\) fois la longueur correspondante du premier. Si \(k > 1\), le triangle est agrandi ; si \(k < 1\), il est réduit ; si \(k = 1\), les deux triangles sont superposables. Exemple
Deux triangles semblables ont pour côtés correspondants \(AB = 4\) cm et \(A'B' = 10\) cm. Quel est le rapport de similitude de \(\triangle ABC\) vers \(\triangle A'B'C'\) ? Si \(BC = 6\) cm, quelle est la longueur de \(B'C'\) ?
$$\begin{aligned}[t] k &= \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5 && \text{(rapport des côtés correspondants)} \\
B'C' &= k \times BC = 2{,}5 \times 6 = 15 \text{ cm.} && \text{(chaque longueur est multipliée par } k\text{)} \end{aligned}$$
Proposition — Similitude par côté-angle-côté
Si un angle d'un triangle est égal à un angle d'un autre triangle, et si les côtés qui forment ces deux angles sont proportionnels, alors les deux triangles sont semblables. Exemple
Dans \(\triangle ABC\) : \(AB = 4\), \(AC = 6\) et \(\AngleFr{A} = 50^\circ\). Dans \(\triangle DEF\) : \(DE = 6\), \(DF = 9\) et \(\AngleFr{D} = 50^\circ\). Les triangles sont-ils semblables ?
$$\begin{aligned}[t] \dfrac{DE}{AB} &= \dfrac{6}{4} = 1{,}5 \\
\dfrac{DF}{AC} &= \dfrac{9}{6} = 1{,}5 \end{aligned}$$ Les côtés formant les angles égaux (\(\AngleFr{A} = \AngleFr{D} = 50^\circ\)) sont proportionnels : par la similitude côté-angle-côté, les triangles sont semblables, de rapport de similitude \(1{,}5\).
Proposition — Similitude par côté-côté-côté
Si les trois côtés d'un triangle sont proportionnels aux trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables. Exemple
Un triangle a pour côtés \(3\), \(5\), \(7\) ; un autre a pour côtés \(4{,}5\), \(7{,}5\) et \(10{,}5\). Sont-ils semblables ?
$$\dfrac{4{,}5}{3} = 1{,}5, \qquad \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5, \qquad \dfrac{10{,}5}{7} = 1{,}5.$$ Les trois rapports sont égaux : par la similitude côté-côté-côté, les triangles sont semblables, de rapport de similitude \(1{,}5\).
Le critère AA est celui qui est démontré (dans la section Pour aller plus loin) et celui qui alimente la suite du chapitre ; les critères côté-angle-côté et côté-côté-côté, admis, sont ses compagnons pour les situations où tous les angles ne sont pas connus.
Compétences à pratiquer
- Choisir l'argumentation mathématique
- Écrire l'argumentation mathématique
- Calculer des longueurs inconnues dans des triangles semblables
- Rapport de similitude et autres critères
II
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Quiz
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