Éducation Nationale Française · Sixième
Points, droites et distances
I
Points, droites, segments et demi-droites
I.1
Les points
Définition — Point
Un point indique une position exacte dans l'espace. On le dessine par un petit point. 
Définition — Notation d’un point
On nomme généralement un point avec une lettre majuscule, par exemple \(A\). 
Compétences à pratiquer
- Compter le nombre de points
- Placer des points sur le quadrillage
- Tracer des points
I.2
Droites, segments et demi-droites
Définition — Droite
Une droite est un chemin droit qui continue à l’infini dans les deux sens. 
Définition — Notation d’une droite
- Une droite peut être nommée avec une lettre minuscule, notée \(\LineFr{d}\).
- Une droite peut être nommée par deux points qui lui appartiennent, notée \(\LineFr{AB}\).
Définition — Segment
Un segment est la partie d’une droite comprise entre deux extrémités. Il a une longueur bien définie. 
Définition — Notation d’un segment
On nomme un segment par ses extrémités, noté \(\SegmentFr{AB}\). On lit « le segment \(AB\) ». 
Définition — Demi-droite
Une demi-droite est une partie de droite qui commence en un point et s’étend à l’infini dans une seule direction. 
Définition — Notation d’une demi-droite
On nomme une demi-droite par son origine puis un autre point qui est dessus, notée \(\RayFr{AB}\). On lit « la demi-droite \(AB\) ». 
Définition — Points alignés
Les points alignés sont des points qui se trouvent sur la même droite. Proposition — Droites et points
Par deux points distincts passe une seule droite. Par un seul point passent une infinité de droites. Trois points ne sont pas toujours sur une même droite : souvent, aucune droite ne passe par les trois. Trois points sur une même droite sont dits alignés. 
Compétences à pratiquer
- Reconnaître
- Vérifier un programme de construction
- Nommer
- Compter les droites possibles
- Tracer sur le quadrillage
- Tracer et construire
I.3
La relation d'appartenance
Définition — Relation d'appartenance
La relation est un point de (ou « appartient à ») est utilisée pour indiquer qu’un point se trouve sur une figure géométrique, comme une droite ou un segment. On écrit cette relation avec le symbole \(\in\). Exemple
\(C \in \LineFr{AB}\) et \(C \notin [AB]\) Compétences à pratiquer
- Identifier les points sur les figures géométriques
- Placer des points sur une figure
II
Longueurs
II.1
La longueur d'un segment
Définition — Longueur d’un segment
La longueur d’un segment est la distance entre ses deux extrémités, mesurée en unités comme le centimètre (cm) ou le mètre (m). Définition — Notation de la longueur
Si \([AB]\) est un segment, sa longueur se note \(AB\) (sans crochet). Sur la figure ci-dessous, la longueur du segment \([AB]\) est de 2 cm. 
Définition — Longueurs égales
Deux segments sont égaux en longueur s’ils ont la même longueur. On utilise des barres sur les segments : des segments portant le même nombre de barres ont la même longueur. 
Exemple
Identifier deux segments qui ont la même longueur. 
Les segments \(\SegmentFr{AB}\) et \(\SegmentFr{AC}\) ont la même longueur, comme l’indiquent leurs barres identiques. On écrit donc \(AB = AC\).
Définition — Milieu d’un segment
Le milieu d’un segment est un point qui se trouve sur le segment et le divise en deux segments de même longueur. Par exemple, si \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\), alors \(I\) est sur le segment \(\SegmentFr{AB}\) et \(AI = IB\). 
Proposition — Propriété de longueur du milieu
Si le point \(I\) est le milieu du segment \(\SegmentFr{AB}\), alors \(AB = 2 \times AI\) et \(AI = \frac{AB}{2}\).
$$\begin{aligned} AB &= AI + IB &&(I \text{ est le milieu de } \SegmentFr{AB})\\
&= AI + AI\\
&= 2 \times AI \end{aligned}$$ Ainsi, \(AB = 2 \times AI\). Pour exprimer \(AI\) en fonction de \(AB\), on obtient : $$AI = \frac{AB}{2}.$$
Méthode — Mesure de la longueur
On mesure la longueur d’un segment avec une règle. On place une extrémité sur le 0, puis on lit la graduation à l’autre extrémité : ce nombre est la longueur du segment. Exemple
Mesurer la longueur du segment \(\SegmentFr{AB}\). 
En alignant une règle avec le segment \(\SegmentFr{AB}\), on mesure une longueur \(AB = 4 \,\text{cm}\). La longueur du segment \(AB\) est donc de \(4\) cm.
Compétences à pratiquer
- Utiliser les barres
- Calculer des longueurs à l'aide d'un milieu
- Mesurer avec une règle
- Tracer des longueurs données
II.2
La distance entre deux points
Définition — Distance entre deux points
La distance entre deux points \(A\) et \(B\) est le nombre que donne la règle graduée entre ces deux points : c'est la longueur du segment \(\SegmentFr{AB}\). Elle se note \(AB\), sans crochets ni parenthèses. 
Exemple
Sur une droite, trois points sont placés : \(A\), puis \(B\) à \(3\) cm, puis \(C\) à \(5\) cm après \(B\). Donner les distances \(AB\), \(BC\) et \(AC\), puis comparer \(AC\) et \(AB + BC\).
\(AB = 3\) cm et \(BC = 5\) cm. Comme \(B\) est entre \(A\) et \(C\), la distance \(AC\) s'obtient par addition : $$AC = AB + BC = 3 + 5 = 8\ \text{cm}.$$ L'égalité \(AC = AB + BC\) vaut parce que \(B\) est sur le segment \(\SegmentFr{AC}\).
Méthode — Reporter une longueur au compas
Étant donné un segment \(\SegmentFr{AB}\), on construit sur une demi-droite d'origine \(C\) un segment de même longueur : - Ouvrir le compas de sorte qu'une pointe soit sur \(A\) et l'autre sur \(B\) : son écartement est alors la longueur \(AB\).
- Sans changer l'écartement, placer la pointe du compas sur \(C\) et tracer un arc de cercle qui coupe la demi-droite en un point \(D\).
- Le segment \(\SegmentFr{CD}\) a alors la même longueur que \(\SegmentFr{AB}\), donc \(CD = AB\).
Compétences à pratiquer
- Calculer des distances
- Utiliser le compas et placer un milieu
III
Positions relatives de deux droites
III.1
Le point d'intersection
Définition — Point d’intersection
Un point d’intersection est un point où deux ou plusieurs droites, segments ou demi-droites se croisent. 
Exemple
Trouver le point d’intersection des droites \(\LineFr{AB}\) et \(\LineFr{CD}\). 
Le point d’intersection est \(I\).
Compétences à pratiquer
- Trouver les points d'intersection
- Marquer le point d'intersection
III.2
Les droites parallèles
Définition — Droites parallèles
Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent jamais, même si on les prolonge — ou bien c’est la même droite, tracée deux fois : on dit alors qu’elles sont confondues, et elles comptent, elles aussi, comme parallèles. Deux droites parallèles distinctes restent à la même distance l’une de l’autre, une distance qui se mesure perpendiculairement. 
Définition — Notation des droites parallèles
On note \(\LineFr{AB} \parallel \LineFr{CD}\) pour indiquer que la droite \(\LineFr{AB}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{CD}\). Sur une figure, les droites parallèles sont aussi indiquées par de petites flèches identiques sur chaque droite. 
Compétences à pratiquer
- Identifier les droites parallèles
- Tracer une parallèle
III.3
Les droites perpendiculaires
Définition — Droites perpendiculaires
Deux droites perpendiculaires sont des droites qui se coupent à un angle droit (90 degrés). On note \(\LineFr{AB} \perp \LineFr{CD}\) pour indiquer que la droite \(\LineFr{AB}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{CD}\). 
Exemple
Identifier la paire de droites perpendiculaires dans la figure ci-dessous. 
Les droites \(\LineFr{AB}\) et \(\LineFr{CD}\) sont perpendiculaires, car elles se coupent en formant un angle droit, indiqué par le symbole d’angle droit.
Compétences à pratiquer
- Identifier les droites perpendiculaires
III.4
Les propriétés des droites parallèles
Proposition — Propriétés des droites parallèles
Les propriétés suivantes permettent de savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires. - Si la droite \(\LineFr{d_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{d_2}\) et que la droite \(\LineFr{d_2}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{d_3}\), alors la droite \(\LineFr{d_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{d_3}\).
Si 
, alors 
. - Si la droite \(\LineFr{d_1}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{d_3}\) et que la droite \(\LineFr{d_2}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{d_3}\), alors la droite \(\LineFr{d_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{d_2}\).
Si 
, alors 
. - Si la droite \(\LineFr{d_1}\) est parallèle à la droite \(\LineFr{d_2}\) et que la droite \(\LineFr{d_1}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{d_3}\), alors la droite \(\LineFr{d_2}\) est perpendiculaire à la droite \(\LineFr{d_3}\).
Si 
, alors 
.
On admet deux faits : par un point donné, il passe exactement une droite perpendiculaire à une droite donnée, et exactement une droite parallèle à cette droite. Les trois propriétés se déduisent de ces deux faits.
- Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. On suppose \(\LineFr{d_1} \perp \LineFr{d_3}\) et \(\LineFr{d_2} \perp \LineFr{d_3}\), et, pour aboutir à une contradiction, que \(\LineFr{d_1}\) et \(\LineFr{d_2}\) ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point \(Q\). \(\LineFr{d_1}\) et \(\LineFr{d_2}\) passent toutes deux par \(Q\) et sont perpendiculaires à \(\LineFr{d_3}\). Or, par un point, il ne passe qu'une seule perpendiculaire à une droite : \(\LineFr{d_1}\) et \(\LineFr{d_2}\) seraient donc une même droite — donc parallèles (une droite est parallèle à elle-même), ce qui contredit la supposition. Donc \(\LineFr{d_1}\) et \(\LineFr{d_2}\) sont parallèles.
- Une perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre. On suppose \(\LineFr{d_1}\) parallèle à \(\LineFr{d_2}\) et \(\LineFr{d_1} \perp \LineFr{d_3}\). La droite \(\LineFr{d_3}\) coupe \(\LineFr{d_1}\), donc elle coupe aussi \(\LineFr{d_2}\), qui est parallèle à \(\LineFr{d_1}\) ; on note \(P\) ce point d'intersection. Par \(P\), on trace la droite \(t\) perpendiculaire à \(\LineFr{d_3}\). Alors \(t \perp \LineFr{d_3}\) et \(\LineFr{d_1} \perp \LineFr{d_3}\), donc, d'après la propriété qui vient d'être démontrée, \(t\) est parallèle à \(\LineFr{d_1}\). Mais \(t\) et \(\LineFr{d_2}\) passent toutes deux par \(P\) et sont toutes deux parallèles à \(\LineFr{d_1}\) ; comme il n'existe qu'une seule parallèle à \(\LineFr{d_1}\) passant par \(P\), elles sont confondues : \(t = \LineFr{d_2}\). Puisque \(t \perp \LineFr{d_3}\), on conclut \(\LineFr{d_2} \perp \LineFr{d_3}\).
- Si deux droites sont parallèles à une même droite, elles sont parallèles entre elles. On suppose \(\LineFr{d_1}\) parallèle à \(\LineFr{d_2}\) et \(\LineFr{d_2}\) parallèle à \(\LineFr{d_3}\). On trace une droite \(d\) perpendiculaire à \(\LineFr{d_2}\). Comme \(\LineFr{d_1}\) est parallèle à \(\LineFr{d_2}\), la propriété précédente donne \(d \perp \LineFr{d_1}\) ; comme \(\LineFr{d_3}\) est parallèle à \(\LineFr{d_2}\), elle donne \(d \perp \LineFr{d_3}\). Ainsi \(\LineFr{d_1}\) et \(\LineFr{d_3}\) sont toutes deux perpendiculaires à \(d\), et d'après la première propriété, elles sont parallèles.
Compétences à pratiquer
- Explorer les relations entre droites
III.5
La médiatrice d'un segment
Définition — Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par son milieu et qui lui est perpendiculaire. 
Proposition — Médiatrice et équidistance
La médiatrice d'un segment \(\SegmentFr{AB}\) est l'ensemble de tous les points situés à égale distance de \(A\) et de \(B\). Autrement dit, un point \(M\) appartient à la médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\) si et seulement si \(MA = MB\). 
La médiatrice passe par le milieu \(I\) de \(\SegmentFr{AB}\) (donc \(IA = IB\)) et lui est perpendiculaire. Plier la figure le long de cette droite amène donc \(A\) exactement sur \(B\).
- Si \(M\) est sur la droite, le pli laisse \(M\) en place et amène \(\SegmentFr{MA}\) sur \(\SegmentFr{MB}\), donc \(MA = MB\).
- Si \(M\) n'est pas sur la droite, il est du côté de \(A\) ou du côté de \(B\), et il est alors plus près du point de son côté : \(MA \neq MB\). Ce second point, la réciproque, est admis ici — le pliage envoie \(M\) sur un autre point \(M'\), mais cela ne suffit pas à comparer \(MA\) et \(MB\) ; sa démonstration passe par l'inégalité triangulaire.
Méthode — Construire la médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\)
- Construire, à l’aide du compas, deux arcs de cercle de même rayon, supérieur à la moitié de \(\SegmentFr{AB}\) pour que les arcs se coupent, et de centres \(A\) et \(B\).
- Les arcs de cercle se coupent en \(E\) et \(F\).
- La médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\) est la droite \(\LineFr{EF}\).
C'est exactement pour cette raison que la construction au compas fonctionne. Les deux arcs sont tracés avec le même rayon \(r\), donc chaque point d'intersection est à la distance \(r\) de chacun des deux centres : \(EA = EB = r\) et \(FA = FB = r\). Ainsi \(E\) et \(F\) sont chacun à égale distance de \(A\) et de \(B\), et d'après la propriété ci-dessus ils appartiennent tous deux à la médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\). Deux points suffisent pour tracer une droite, donc \(\LineFr{EF}\) est cette médiatrice.
Proposition — Cercle circonscrit à un triangle
Soit \(ABC\) un triangle. Les médiatrices de ses trois côtés passent par un même point \(O\), situé à égale distance des trois sommets : \(OA = OB = OC\). Le cercle de centre \(O\) passant par \(A\), \(B\) et \(C\) est appelé le cercle circonscrit au triangle. 
On note \(O\) le point où se coupent les médiatrices de \(\SegmentFr{AB}\) et de \(\SegmentFr{BC}\).
- \(O\) est sur la médiatrice de \(\SegmentFr{AB}\), donc \(OA = OB\).
- \(O\) est sur la médiatrice de \(\SegmentFr{BC}\), donc \(OB = OC\).
Compétences à pratiquer
- Identifier les milieux et les médiatrices
- Construire des figures géométriques
- Construire des angles droits au compas
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Quiz
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