Éducation Nationale Française · Sixième
La symétrie axiale
I
Le symétrique d'un point
Définition — Symétrique d’un point
Le symétrique du point \(M\) par rapport à la droite \(\LineFr{d}\) est le point \(M'\) tel que la droite \(\LineFr{d}\) est la médiatrice du segment \(\SegmentFr{MM'}\). (Si \(M\) est sur \(\LineFr{d}\), son symétrique est \(M\) lui-même.) 
On considère un point \(M\) qui n'est pas sur l'axe \(\LineFr{d}\), et son symétrique \(M'\). L'axe \(\LineFr{d}\) est la médiatrice du segment \(\SegmentFr{MM'}\). D'après la propriété d'équidistance de la médiatrice (un point est sur la médiatrice d'un segment exactement lorsqu'il est à égale distance de ses deux extrémités), l'axe est donc exactement l'ensemble des points situés à égale distance de \(M\) et de \(M'\). Plier le plan le long de l'axe envoie \(M\) sur \(M'\) et \(M'\) sur \(M\) : chaque point et son image sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe. Un point de l'axe est son propre symétrique : les points de l'axe ne bougent pas.
Définition — Symétrie axiale
La symétrie axiale d’axe \(\LineFr{d}\) correspond à un pliage le long de la droite \(\LineFr{d}\) : on obtient l’image de l’objet, comme dans un miroir. 
Compétences à pratiquer
- Identifier les symétries axiales
- Placer le symétrique d'un point
- Tracer l'axe à partir d'un point et de son symétrique
II
Construire un symétrique
Méthode — Tracer le symétrique d'une figure
Voici comment dessiner le symétrique d’un triangle sur papier quadrillé. 
- Dessiner les sommets symétriques : Pour chaque sommet du triangle, compter les carreaux entre le sommet et l’axe de symétrie (à gauche ou à droite). Placer un nouveau point de l’autre côté de l’axe, au même nombre de carreaux, sur la même rangée.
- Dessiner la figure symétrique : Relier les sommets symétriques avec des segments dans le même ordre que la figure de départ.
Méthode — Construire le symétrique d'un point
Sur papier quadrillé, les carreaux se comptent. Sur papier uni il n'y a rien à compter : ce sont donc les deux propriétés de l'axe qui servent, à savoir qu'il est perpendiculaire à \(\SegmentFr{MM'}\) et qu'il le coupe en son milieu. À l'équerre et à la règle - Poser un bord de l'équerre le long de l'axe \(\LineFr{d}\) et la faire glisser jusqu'à ce que l'autre bord passe par \(M\) ; tracer cette perpendiculaire. Elle coupe \(\LineFr{d}\) en un point \(H\).
- Mesurer \(MH\) avec la règle.
- Reporter la même longueur au-delà de \(H\), sur la perpendiculaire : le point obtenu est \(M'\). (Si \(M\) est sur \(\LineFr{d}\), alors \(H = M\) et \(M' = M\).)
Méthode — Construire le symétrique d'un point au compas
Le compas utilise la propriété d'équidistance de l'axe : chaque point de l'axe \(\LineFr{d}\) est à la même distance de \(M\) et de son symétrique \(M'\). Au compas - Poser la pointe sur un point \(P\) de l'axe et tracer un arc passant par \(M\).
- Poser la pointe sur un autre point \(Q\) de l'axe et tracer un second arc passant par \(M\).
- Les deux arcs se recoupent de l'autre côté de l'axe : ce second point de croisement est \(M'\). (Si \(M\) est sur l'axe, les deux arcs ne se recoupent pas ailleurs : \(M' = M\).)
Compétences à pratiquer
- Dessiner la figure miroir
- Construire sur papier uni
III
Les propriétés de la symétrie axiale
Définition — Isométrie
Une transformation est une isométrie lorsqu'elle conserve toutes les longueurs et tous les angles. L'objet et son image sont alors superposables : on peut poser l'un exactement sur l'autre. Proposition — La symétrie axiale est une isométrie
Une symétrie axiale conserve toutes les longueurs et tous les angles : c'est une isométrie. La figure image a les mêmes longueurs de côtés et les mêmes angles que l'objet ; elle est retournée par rapport à l'axe. 
Proposition — Propriétés de la symétrie axiale
Par la symétrie d'axe \(\LineFr{d}\) : - le symétrique d'un segment est un segment de même longueur ;
- le symétrique d'une droite est une droite, celui d'une demi-droite une demi-droite ;
- le symétrique d'un angle est un angle de même mesure ;
- le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre ;
- des points alignés ont des symétriques alignés.
Exemple
Sur papier uni, construire le symétrique du segment \(\SegmentFr{AB}\) et le symétrique du cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon \(1\) cm par rapport à la droite \(\LineFr{d}\). Quels points faut-il construire ? 
Il suffit de construire trois points : les symétriques de \(A\), de \(B\) et de \(O\). 
Rien d'autre n'est à construire : les propriétés de la symétrie axiale terminent la figure.
- On construit un par un les symétriques \(A'\), \(B'\) et \(O'\) de \(A\), \(B\) et \(O\), à l'équerre et à la règle (ou au compas).
- Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur : le symétrique de \(\SegmentFr{AB}\) est le segment \(\SegmentFr{A'B'}\), tracé à la règle. Alors \(A'B' = AB\).
- Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est le symétrique du centre : on ouvre le compas à \(1\) cm, on pose sa pointe en \(O'\), et on trace le cercle \(\mathcal{C}'\).
Compétences à pratiquer
- Utiliser les propriétés
IV
Les axes de symétrie d'une figure
Définition — Axe de symétrie
Une droite est un axe de symétrie d’un objet lorsque le symétrique de l’objet par rapport à cette droite se superpose exactement à l’objet. 
Proposition — Axes de symétrie des figures usuelles
Les figures usuelles n'ont pas toutes le même nombre d'axes de symétrie — c'est encore une propriété qui les distingue. - Un carré a 4 axes de symétrie.
- Un rectangle qui n'est pas un carré a 2 axes (les diagonales ne sont pas des axes).
- Un losange qui n'est pas un carré a 2 axes (ses deux diagonales).
- Un parallélogramme qui n'est ni un rectangle ni un losange a 0 axe de symétrie.
- Un triangle isocèle non équilatéral a 1 axe (passant par le sommet principal).
- Un triangle équilatéral a 3 axes (un par sommet).
- Un cercle a une infinité d'axes (toute droite passant par le centre).
Compétences à pratiquer
- Tracer l'axe de symétrie
- Compter les axes de symétrie
V
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Quiz
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