Éducation Nationale Française · Sixième
Les angles
I
L'angle et sa mesure
I.1
Qu'est-ce qu'un angle ?
Définition — Angle
Un angle est formé de deux demi-droites qui partent du même point, le sommet ; ce sont ses côtés. Sa grandeur est son ouverture : la quantité de rotation qui amène un côté sur l'autre. La longueur des côtés tracés n'y change rien. 
Définition — Notation d’un angle avec trois points
Un angle est nommé à l’aide de trois points avec le symbole \(\AngleFr{ABC}\), où \(B\) est le sommet de l’angle, et \(A\) et \(C\) sont des points sur les deux côtés de l’angle. Le sommet \(B\) est toujours écrit au milieu. Les deux côtés forment deux angles : \(\AngleFr{ABC}\) désigne l'angle saillant, celui qui mesure au plus \(180^\circ\) ; pour l'autre, on précise « l'angle rentrant \(\AngleFr{ABC}\) ». 
Compétences à pratiquer
- Nommer les angles avec trois points
I.2
Le degré
Définition — Unité de degré
Un degré, qu’on écrit avec le symbole \(^\circ\), est une unité de mesure d’angle. Un tour complet mesure \(360^\circ\). 
Proposition — L'angle droit mesure 90°
- Un angle droit — le coin de l'équerre, le quart de tour — mesure \(90^\circ\).
- Un demi-tour vaut deux angles droits : \(2 \times 90^\circ = 180^\circ\).
- Un tour complet vaut quatre angles droits : \(4 \times 90^\circ = 360^\circ\).
Compétences à pratiquer
- Comparer des angles
- Diviser le tour complet
I.3
Mesurer et dessiner avec un rapporteur
Définition — Rapporteur
Un rapporteur est un outil utilisé pour mesurer et dessiner des angles en degrés. Il s’agit généralement d’un outil semi-circulaire avec une échelle graduée de \(0^\circ\) à \(180^\circ\). 
Méthode — Mesurer un angle avec un rapporteur
- Placer l’origine du rapporteur (point central) sur le sommet de l’angle.
- Aligner un côté de l’angle avec la ligne de base du rapporteur (la marque \(0^\circ\)).
- Observer où l’autre côté croise l’échelle du rapporteur.
- Lire la mesure de l’angle en degrés sur la bonne échelle (celle qui commence par \(0^\circ\) sur le premier côté).
Exemple
Mesurer l’angle suivant. 
Le deuxième côté pointe vers \(140^\circ\) sur le rapporteur, donc l’angle mesure \(140^\circ\).
Méthode — Dessiner un angle avec un rapporteur
- Tracer une demi-droite à partir d’un point (le sommet).
- Placer l’origine du rapporteur sur le sommet et aligner la ligne de base avec ce premier côté.
- Repérer la mesure de l’angle souhaitée sur l’échelle du rapporteur et marquer le point.
- Tracer une deuxième demi-droite depuis le sommet à travers le point marqué pour former l’angle.
Exemple
Dessiner un angle de \(65^\circ\). - Tracer une demi-droite d'origine \(O\) passant par un point \(A\).
- Poser le centre du rapporteur sur \(O\) et sa ligne de base sur cette demi-droite.
- Marquer un point \(B\) en face de la graduation \(65^\circ\).
- Tracer la demi-droite d'origine \(O\) passant par \(B\) : l'angle \(\AngleFr{AOB}\) mesure \(65^\circ\).
Compétences à pratiquer
- Lire le rapporteur
- Mesurer des angles
- Construire des angles
I.4
Classer les angles
Un angle aigu est plus fermé qu'un angle droit, un angle obtus plus ouvert. Comme l'angle droit mesure \(90^\circ\), la mesure suffit à les classer : le tableau ci-dessous donne quatre types d'angles, aigu, droit, obtus et plat.
Définition — Classification des angles
| Nom | Fraction d’un tour complet | Mesure de l’angle | Figure |
| Angle aigu | Moins d’un quart de tour | Plus de \(0^{\circ}\), moins de \(90^{\circ}\) |  |
| Angle droit | Un quart de tour | Exactement \(90^{\circ}\) |  |
| Angle obtus | Entre un quart et un demi-tour | Plus de \(90^{\circ}\), moins de \(180^{\circ}\) |  |
| Angle plat | Un demi-tour | Exactement \(180^{\circ}\) |  |
Définition — Angle nul et angle plein
Deux angles complètent la classification, les deux cas extrêmes. - Un angle nul mesure \(0^\circ\) : ses deux côtés sont superposés, le tour n'est pas commencé.
- Un angle plein mesure \(360^\circ\) : ses deux côtés sont de nouveau superposés, après un tour complet.
Compétences à pratiquer
- Identifier des types d'angles par leur mesure
- Identifier des types d'angles
- Construire des types d'angles
II
Calculer avec des angles
II.1
Angles adjacents et addition
Définition — Angles adjacents
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun. 
Exemple
Sur la figure ci-dessus, \(\AngleFr{AOB} = 40^\circ\) et \(\AngleFr{BOC} = 60^\circ\). Combien vaut \(\AngleFr{AOC}\) ? Les angles \(\AngleFr{AOB}\) et \(\AngleFr{AOC}\) sont-ils adjacents ?
\(\AngleFr{AOB}\) et \(\AngleFr{BOC}\) sont adjacents, ils s'ajoutent donc : $$\AngleFr{AOC} = 40^\circ + 60^\circ = 100^\circ.$$ \(\AngleFr{AOB}\) et \(\AngleFr{AOC}\) ont le sommet \(O\) et le côté \(\RayFr{OA}\) en commun, mais ils ne sont pas de part et d'autre de ce côté : le premier est à l'intérieur du second. Ils ne sont pas adjacents.
Proposition — Somme de deux angles adjacents
Lorsque deux angles sont adjacents (même sommet, un côté commun, un angle de chaque côté de celui-ci) et que leur somme ne dépasse pas un angle plat, la mesure de l’angle formé par leurs autres côtés est égale à la somme de leurs mesures. 
\(\AngleFr{ABC} = \textcolor{colordef}{\AngleFr{ABD}} + \textcolor{colorprop}{\AngleFr{DBC}}\)
Méthode — Calcul d’un angle
Pour trouver la mesure d’un angle inconnu, utiliser les mesures des angles connus qui lui sont liés. Si l’angle inconnu est formé de deux angles adjacents partageant un sommet et un côté communs, ajouter les mesures des deux angles en utilisant la propriété des angles adjacents. Si l'on connaît l'angle entier et l'une des deux parts, soustraire : \(\AngleFr{ABD} = \AngleFr{ABC} - \AngleFr{DBC}\). Exemple
Calculer \(\AngleFr{ABC}\) sans utiliser de rapporteur. 
Les angles \(\AngleFr{ABD}\) et \(\AngleFr{DBC}\) sont adjacents et forment \(\AngleFr{ABC}\). En utilisant la propriété des angles adjacents : $$\begin{aligned} \AngleFr{ABC} &= \textcolor{colordef}{\AngleFr{ABD}} + \textcolor{colorprop}{\AngleFr{DBC}} \\
&= \textcolor{colordef}{60^\circ} + \textcolor{colorprop}{50^\circ} \\
&= 110^\circ \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Reconnaître des angles adjacents
- Additionner des angles
- Soustraire des angles
II.2
Angle droit, angle plat, angle plein
Proposition — Propriétés des angles
- Angle droit : Si deux angles adjacents forment un angle droit, la somme de leurs mesures est \(90^\circ\) (deux angles dont la somme des mesures vaut \(90^\circ\) sont dits complémentaires, qu'ils soient côte à côte ou non).
- Angle plat : Si deux angles adjacents forment un angle plat, la somme de leurs mesures est \(180^\circ\) (deux angles dont la somme des mesures vaut \(180^\circ\) sont dits supplémentaires, qu'ils soient côte à côte ou non).
- Angle plein : Si plusieurs angles autour d’un point forment un tour complet, la somme de leurs mesures est \(360^\circ\).
Exemple
Calculer \(x^{\circ}\). 
Puisque les deux angles forment un angle droit, la somme de leurs mesures est \(90^\circ\) : $$\begin{aligned} x^\circ + 35^\circ &= 90^\circ \\
x^\circ &= 90^\circ - 35^\circ \\
x^\circ &= 55^\circ \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer un angle inconnu dans un angle droit
- Calculer un angle inconnu dans un angle plat
- Calculer un angle inconnu dans un angle plein
II.3
Angles opposés par le sommet
Définition — Angles opposés par le sommet
Les angles opposés par le sommet sont des angles situés l’un en face de l’autre au point où deux droites se coupent. Ils partagent le même sommet. 
Proposition — Égalité des angles opposés par le sommet
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. 
\(\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}\)
On considère deux droites se coupant en un point, formant des angles opposés \(a^\circ\) et \(b^\circ\), et un angle adjacent \(c^\circ\). 
Puisque \(a^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat : $$\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$ De même, \(b^\circ\) et \(c^\circ\) forment un angle plat : $$\textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = 180^\circ \quad (\text{angle plat})$$ Ainsi, \(\textcolor{colordef}{a^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ} + \textcolor{olive}{c^\circ}\). En soustrayant \(\textcolor{olive}{c^\circ}\) aux deux membres, on obtient : $$\textcolor{colordef}{a^\circ} = \textcolor{colorprop}{b^\circ}$$
Exemple
Calculer la mesure de l’angle inconnu \(x^\circ\). 
Les angles opposés par le sommet sont égaux. $$\begin{aligned} x^\circ &= 70^\circ \quad (\text{les angles opposés sont égaux}) \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Identifier des angles opposés par le sommet
- Déterminer les relations entre angles
- Calculer des angles inconnus
II.4
La bissectrice d'un angle
Reporter deux fois un même angle en donne le double. L'inverse, le partager en deux moitiés égales, se fait par pliage. La demi-droite du pli porte un nom, et on peut la tracer exactement au compas, sans rapporteur.
Définition — Bissectrice d'un angle
Les angles considérés ici sont saillants : ils mesurent moins de \(180^\circ\). La bissectrice d'un tel angle est la demi-droite, issue de son sommet, qui partage l'angle en deux angles égaux. C'est l'axe de symétrie de l'angle : en pliant le long de la bissectrice, un côté se pose exactement sur l'autre. 
Méthode — Construire la bissectrice au compas
- Placer la pointe du compas sur le sommet \(O\) et tracer un arc qui coupe les deux côtés de l'angle, en \(P\) et \(Q\).
- Placer la pointe du compas sur \(P\) et, avec un écartement assez grand, tracer un arc à l'intérieur de l'angle. Sans changer l'écartement, la placer sur \(Q\) et tracer un second arc qui coupe le premier, en \(R\).
- Tracer la demi-droite issue de \(O\) passant par \(R\). Cette demi-droite est la bissectrice : elle partage l'angle en deux angles égaux.
Exemple
On trace la bissectrice d'un angle de \(70^\circ\). Quelle est la mesure de chacun des deux angles obtenus ?
La bissectrice partage l'angle en deux moitiés égales ; chacune mesure donc la moitié de \(70^\circ\) : $$\begin{aligned}[t] 70^\circ \div 2 &= 35^\circ. && \text{(moitié de l'angle)} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Calculer les demi-angles
- Construire des bissectrices
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes
- Quiz
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