Éducation Nationale Française · Sixième
Les longueurs
I
Les longueurs
I.1
Les unités de longueur
Définition — Unités de longueur
- Millimètre \(\left(\mathrm{mm}\right)\) : une très petite unité de longueur, à peu près l’épaisseur d’une pièce de monnaie.
- Centimètre \(\left(\mathrm{cm}\right)\) : une petite unité de longueur, à peu près la largeur d’un ongle.
- Décimètre \(\left(\mathrm{dm}\right)\) : une unité de longueur égale à \(10\) cm, à peu près la largeur d’une main.
- Mètre \(\left(\mathrm{m}\right)\) : une unité de longueur plus grande, à peu près la hauteur d’un enfant de 3 ans.
- Kilomètre \(\left(\mathrm{km}\right)\) : une unité de longueur très grande, utilisée pour mesurer de longues distances, comme la distance entre deux villes. Sa taille est proche de la hauteur du Burj Khalifa à Dubaï, aux Émirats arabes unis, qui fait presque \(1~\mathrm{km}\) de haut.
Proposition — Longueurs de référence
Pour estimer une longueur sans la mesurer, garder en tête quelques longueurs de référence : | \(1\) à \(2\) mm | l'épaisseur d'une pièce de monnaie |
| \(1\) cm | la largeur d'un doigt |
| \(1\) m | un grand pas |
| \(1\) km | un quart d'heure de marche |
Compétences à pratiquer
- Choisir l'unité de longueur
I.2
Convertir les unités de longueur
Définition — Les préfixes des unités de longueur
Toutes les unités de longueur sont construites sur le mètre. Leur nom place un préfixe devant le mot « mètre », et le préfixe dit combien de mètres vaut l'unité, ou quelle part d'un mètre : | préfixe | sens | unité | en mètres |
| kilo- | mille | kilomètre (km) | \(1~\mathrm{km} = 1\,000~\mathrm{m}\) |
| hecto- | cent | hectomètre (hm) | \(1~\mathrm{hm} = 100~\mathrm{m}\) |
| déca- | dix | décamètre (dam) | \(1~\mathrm{dam} = 10~\mathrm{m}\) |
| mètre (m) | \(1~\mathrm{m}\) | ||
| déci- | un dixième | décimètre (dm) | \(1~\mathrm{dm} = 0{,}1~\mathrm{m}\) |
| centi- | un centième | centimètre (cm) | \(1~\mathrm{cm} = 0{,}01~\mathrm{m}\) |
| milli- | un millième | millimètre (mm) | \(1~\mathrm{mm} = 0{,}001~\mathrm{m}\) |
| milliers | centaines | dizaines | unités | dixièmes | centièmes | millièmes |
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
Exemple
- Combien y a-t-il de mètres dans \(4\) hm ? Dans \(3\) dam ?
- Écrire la longueur \(2\,357\) m avec des kilomètres, des hectomètres, des décamètres et des mètres, puis en kilomètres.
- hecto- veut dire cent : \(1\) hm \(= 100\) m, donc \(4\) hm \(= 4 \times 100 = 400\) m. déca- veut dire dix : \(1\) dam \(= 10\) m, donc \(3\) dam \(= 3 \times 10 = 30\) m.
- Dans \(2\,357\), le chiffre \(2\) est le chiffre des milliers, \(3\) celui des centaines, \(5\) celui des dizaines et \(7\) celui des unités. Les milliers de mètres sont des kilomètres, les centaines de mètres des hectomètres, les dizaines de mètres des décamètres : $$\begin{aligned}2\,357~\mathrm{m} &= 2\,000~\mathrm{m} + 300~\mathrm{m} + 50~\mathrm{m} + 7~\mathrm{m}\\ &= 2~\mathrm{km}~3~\mathrm{hm}~5~\mathrm{dam}~7~\mathrm{m}\end{aligned}$$ Pour l'écrire en kilomètres, les kilomètres deviennent les unités : \(2\) est le chiffre des unités, les hectomètres sont des dixièmes de kilomètre, les décamètres des centièmes et les mètres des millièmes : $$2\,357~\mathrm{m} = 2{,}357~\mathrm{km}$$
Méthode — Convertir en utilisant une multiplication ou une division
- Utiliser la multiplication pour passer d’une unité plus grande à une unité plus petite (ex. : \(\mathrm{m} \to \mathrm{cm}\)).
- Utiliser la division pour passer d’une unité plus petite à une unité plus grande (ex. : \(\mathrm{cm} \to \mathrm{m}\)).
Exemple
Convertir \(3{,}5\) m en centimètres.
\(1~\mathrm{m}=100~\mathrm{cm}\), donc un dixième de mètre vaut \(10~\mathrm{cm}\) : $$\begin{aligned}[t] 3{,}5~\mathrm{m} &= 3~\mathrm{m} + 5 \text{ dixièmes de mètre} &&\text{(3 unités et 5 dixièmes)}\\
&= 300~\mathrm{cm} + 5 \times 10~\mathrm{cm} &&\text{(1 m = 100 cm ; un dixième = 10 cm)}\\
&= 300~\mathrm{cm} + 50~\mathrm{cm} &&\text{(multiplication)}\\
&= 350~\mathrm{cm} \end{aligned}$$ Donc \(3{,}5\) m \(= \textbf{350}\) cm. Vérification avec le raccourci : d'une unité plus grande vers une unité plus petite, on multiplie par \(100\), et \(3{,}5 \times 100 = 350\).
Méthode — Convertir en utilisant un tableau
Pour convertir entre les unités de longueur, on peut utiliser un tableau de conversion des unités métriques. Ce tableau représente les sept unités, du kilomètre au millimètre : kilomètre (km), hectomètre (hm), décamètre (dam), mètre (m), décimètre (dm), centimètre (cm) et millimètre (mm). Chaque colonne correspond à un passage d’un facteur 10 entre deux unités voisines : par exemple, \(1~\mathrm{hm} = 100~\mathrm{m}\) et \(1~\mathrm{dam} = 10~\mathrm{m}\). On convertit 1,2 mètre en centimètres. - Dessiner le tableau de conversion complet.
\(\mathrm{km}\) \(\mathrm{hm}\) \(\mathrm{dam}\) \(\mathrm{m}\) \(\mathrm{dm}\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\) - Placer le nombre dans le tableau.
La règle est : le chiffre des unités va dans la colonne de l'unité de départ.
Pour \(1{,}2\) m, le chiffre des unités est \(1\), donc il va dans la colonne des m. Le chiffre \(2\) (les dixièmes) va dans la colonne suivante, à droite.\(\mathrm{km}\) \(\mathrm{hm}\) \(\mathrm{dam}\) \(\mathrm{m}\) \(\mathrm{dm}\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\) 1 2 - Remplir les espaces vides avec des zéros jusqu’à atteindre l’unité d’arrivée.
L’unité d’arrivée est le centimètre, donc on place un \(0\) dans la colonne des cm.\(\mathrm{km}\) \(\mathrm{hm}\) \(\mathrm{dam}\) \(\mathrm{m}\) \(\mathrm{dm}\) \(\mathrm{cm}\) \(\mathrm{mm}\) 1 2 0 - Lire le nombre final. La colonne de l’unité d’arrivée porte le chiffre des unités : s’il reste des chiffres à sa droite, la virgule se place juste après.
On lit maintenant le nombre en centimètres :\(1{,}2 \ \text{m} = 120 \ \text{cm}.\) Cela correspond au fait que l’on multiplie par \(100\) pour passer des mètres aux centimètres.
Compétences à pratiquer
- Résoudre des problèmes avec des conversions d'unités
- Convertir avec des nombres décimaux
- Convertir en mètres
- Convertir à partir du mètre
- Choisir l'unité
- Raisonner et résoudre avec des conversions
- Ranger et contrôler des longueurs
II
Le périmètre
II.1
Le périmètre du carré et du rectangle
Définition — Périmètre
Le périmètre d’une figure est la distance totale tout autour de son bord extérieur. Proposition — Formules de périmètre
| Nom | Figure | Formule du périmètre |
| Triangle |  | \(P = a + b + c\) |
| Rectangle |  | \(\begin{aligned} P &= L + l + L + l\\ &= 2L + 2l\\ &= 2(L + l) \end{aligned}\) |
| Carré |  | \(P = c + c + c + c = 4c\) |
Exemple
Calculer le périmètre du rectangle : 
Le rectangle a une longueur \(L = 14\) m et une largeur \(l = 7\) m. On peut utiliser l’une ou l’autre formule du périmètre.
- Méthode 1 (additionner les deux paires de côtés égaux) : $$\begin{aligned}[t] P &= 2 \times L + 2 \times l \\ &= 2 \times 14 + 2 \times 7 \\ &= 28 + 14 \\ &= 42 \,\mathrm{m} \end{aligned}$$
- Méthode 2 (multiplier la somme des deux côtés par 2) : $$\begin{aligned}[t] P &= 2 \times (L + l) \\ &= 2 \times (14 + 7) \\ &= 2 \times 21 \\ &= 42 \,\mathrm{m} \end{aligned}$$
Compétences à pratiquer
- Construire des expressions
- Calculer le périmètre à partir des côtés donnés
- Calculer les périmètres des carrés et des rectangles
- Résoudre des problèmes
II.2
Le périmètre du cercle
Définition — Le nombre \(\pi\)
Un cercle n'a pas de côtés droits ; son périmètre ne peut donc pas se trouver en additionnant des longueurs de côtés. On compare plutôt le périmètre au diamètre. Pour tout cercle, le périmètre \(P\) divisé par le diamètre \(d\) donne le même nombre. Ce nombre s'appelle pi, noté \(\pi\) : $$\pi = \frac{P}{d} \approx 3{,}14159.$$ Le nombre \(\pi\) n'est pas un nombre décimal et ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux entiers (admis) : \(3{,}14\) n'est que son arrondi au centième. 
Exemple
Si l'on mesure la circonférence \(P\) et le diamètre \(d\) de plusieurs objets ronds, le quotient \(P \div d\) est toujours proche de la même valeur : | Objet | \(P\) | \(d\) | \(P \div d\) |
| Pièce | \(7{,}9\) cm | \(2{,}5\) cm | \(3{,}16\) |
| Assiette | \(69\) cm | \(22\) cm | \(3{,}14\) |
| Roue | \(204\) cm | \(65\) cm | \(3{,}14\) |
Méthode — Valeur exacte et valeur approchée du périmètre d'un cercle
- Écrire la formule avec l'élément donné : \(P = \pi \times d\) avec le diamètre, ou \(P = 2 \times \pi \times r\) avec le rayon.
- Remplacer la lettre \(d\) ou \(r\) par la longueur. En gardant \(\pi\) dans le résultat, on obtient la valeur exacte : pour \(d = 9\) cm, \(P = 9 \times \pi\) cm \(= 9\pi\) cm. Comme \(\pi\) n'est pas un nombre décimal et ne peut pas s'écrire comme le quotient de deux entiers (admis), la valeur exacte du périmètre garde la lettre \(\pi\).
- Remplacer \(\pi\) par une valeur approchée pour obtenir une valeur approchée : \(3{,}14\) pour un calcul posé (\(P \approx 9 \times 3{,}14 = 28{,}26\) cm), la touche \(\pi\) de la calculatrice pour plus de chiffres, ou \(3\) pour un ordre de grandeur mental (\(P \approx 27\) cm). Arrondir comme demandé.
Exemple
- Un cercle a un rayon de \(3\) cm. Donner la valeur exacte de son périmètre, puis une valeur approchée en prenant \(\pi \approx 3{,}14\).
- Une fourmi fait un tour complet d'un cercle de diamètre \(5\) cm. Quelle distance parcourt-elle, au centième de centimètre près (touche \(\pi\) de la calculatrice) ?
- \(P = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi\) cm (valeur exacte). Avec \(\pi \approx 3{,}14\) : \(P \approx 6 \times 3{,}14 = 18{,}84\) cm.
- La distance parcourue est le périmètre du cercle : \(P = \pi \times 5 = 5\pi\) cm \(\approx 15{,}71\) cm (avec la touche \(\pi\) : \(5 \times 3{,}14159\ldots\)).
Compétences à pratiquer
- Expérimenter avec le nombre \(\pi\)
- Calculer les circonférences
- Valeur exacte, valeur approchée et ordre de grandeur
II.3
Le périmètre des figures composées
Définition — Figure composée
Une figure composée est une forme constituée de deux ou plusieurs figures simples (comme des rectangles, des carrés et des triangles) assemblées. Méthode — Trouver le périmètre d'une figure composée
Pour trouver le périmètre d’une figure composée : - Identifier tous les côtés extérieurs de la figure. Faire attention à ne pas inclure les lignes à l'intérieur de la forme.
- Trouver les longueurs des côtés inconnus. Les autres côtés permettent souvent de les trouver.
- Additionner les longueurs de tous les côtés extérieurs (et des arcs de cercle du contour, s'il y en a).
Exemple
Trouver le périmètre de cette figure composée, formée d'un carré et d'un triangle. 
\(+\) 
Exemple
Une fenêtre est formée d'un rectangle de \(6\) m de large et \(4\) m de haut, surmonté d'un demi-cercle dont le diamètre est le côté supérieur de \(6\) m. Calculer le périmètre de la fenêtre, en prenant \(\pi \approx 3{,}14\). 
Le contour est formé de trois côtés du rectangle (le côté en pointillés est à l'intérieur, pas sur le contour) et du demi-cercle. Trois côtés : \(4 + 6 + 4 = 14\) m. Demi-cercle de diamètre \(6\) m : la moitié d'un cercle entier, \(\pi \times 6 \div 2 \approx 3{,}14 \times 6 \div 2 = 9{,}42\) m. Périmètre : \(14 + 9{,}42 = 23{,}42\) m.
Compétences à pratiquer
- Construire des expressions pour des figures composées
- Calculer le périmètre des figures composées
- Périmètre de demi-cercles et de quarts de cercle
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Problèmes de longueurs et de périmètres
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Raisonner sur des longueurs
- Quiz
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