Éducation Nationale Française · Sixième
Cercles et triangles
I
Cercles et disques
I.1
Le cercle : centre, rayon et diamètre
Définition — Cercle
Un cercle est une ligne courbe fermée sur une surface plane — seulement la ligne, pas l’intérieur. Tous les points du cercle sont à la même distance d’un point appelé centre.Le rayon est un segment de droite qui relie le centre à un point du cercle. Le rayon est aussi la longueur de ce segment.
Le diamètre est un segment de droite qui passe par le centre et a ses extrémités sur le cercle. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment.
Proposition — Règle du diamètre et du rayon
- Le diamètre est le double du rayon.
- Le rayon est la moitié du diamètre.
Méthode — Construire un cercle
Pour construire le cercle de centre \(O\) et de rayon 3 cm : - Régler le compas sur un rayon de 3 cm. Pour cela, ouvrir le compas de manière à ce que la distance entre la pointe du crayon et l’aiguille soit de 3 cm. Cette distance peut être mesurée avec la règle.
- Placer l’aiguille du compas sur le point \(O\). Tenir le compas bien droit et faire tourner le crayon autour de \(O\) pour tracer le cercle complet.
Compétences à pratiquer
- Calculer le diamètre
- Calculer le rayon
- Construire un cercle avec une règle et un compas
I.2
Cercle, disque et corde
Définition — Cercle et disque, ensembles de points
Soit \(O\) un point et \(r\) une longueur. Le cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble de tous les points \(M\) tels que \(OM = r\) : chaque point à la distance \(r\) de \(O\) est sur le cercle, et chaque point du cercle est à la distance \(r\) de \(O\). Le disque de centre \(O\) et de rayon \(r\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(OM \leqslant r\) : le cercle et tout son intérieur. 
Exemple
Le point \(A\) est à \(3\) cm de \(O\), le point \(B\) à \(5\) cm. Sont-ils sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\) cm ? Dans le disque ?
\(OA = 3\) cm : \(3 \neq 4\), \(A\) n'est pas sur le cercle ; \(3 \leqslant 4\), \(A\) est dans le disque. \(OB = 5\) cm : \(B\) n'est pas sur le cercle, et \(5 > 4\), \(B\) est hors du disque. 
Définition — Corde
Une corde est un segment dont les deux extrémités sont sur le cercle.Toute corde qui passe par le centre est un diamètre : un diamètre est la plus longue corde du cercle.
Compétences à pratiquer
- Reconnaître un cercle, un disque et une corde
II
Triangles
II.1
Les triangles particuliers
Définition — Triangle
Un triangle est un polygone à trois côtés (et donc trois sommets et trois angles). 
On peut classer les triangles en regardant combien de leurs côtés sont égaux en longueur.
Définition — Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle dont au moins deux côtés sont de même longueur. Quand exactement deux le sont, le troisième côté est appelé la base, et le sommet opposé à la base est appelé le sommet principal. Un triangle équilatéral, dont les trois côtés sont égaux, est donc lui aussi isocèle. 
Définition — Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dans lequel les trois côtés sont égaux en longueur. C'est un cas particulier de triangle isocèle. 
Définition — Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Pour le vérifier, poser l'angle droit de l'équerre sur un coin du triangle : si les deux côtés sont alignés avec ses deux bords, ce coin est un angle droit et le triangle est rectangle. Sur une figure, cet angle droit est marqué par son petit carré, le code de l'angle droit. 
Définition — Triangle scalène
Un triangle scalène est un triangle dans lequel les trois côtés ont des longueurs différentes (aucun côté n’a la même longueur qu’un autre). 
Compétences à pratiquer
- Nommer un triangle d'après ses côtés et ses angles
- Identifier un triangle d'après ses propriétés
II.2
Construire un triangle
Méthode — Construire un triangle avec une règle et un compas
Pour construire un triangle \(ABC\) avec \(AB = 3\) cm, \(AC = 6\) cm et \(BC = 5\) cm : - Tracer le segment \(\SegmentFr{AB}\) de longueur 3 cm avec la règle.
- Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon 6 cm.
- Avec le compas, tracer un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon 5 cm.
- Les deux arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de \(\LineFr{AB}\). Marquer l'un ou l'autre comme \(C\) — les deux choix donnent le même triangle, chacun étant le symétrique de l'autre. Puis tracer les segments \(\SegmentFr{AC}\) et \(\SegmentFr{BC}\) avec la règle.
Compétences à pratiquer
- Construire des triangles avec une règle et un compas
II.3
Trois longueurs pour un triangle
Un compas est ouvert à \(5\) cm et un arc est tracé depuis \(A\) ; il est ouvert à \(3\) cm et un arc est tracé depuis \(B\), avec \(AB = 12\) cm. Les deux arcs ne se rencontrent jamais. 
La même chose se produit avec \(5\) cm et \(3\) cm quel que soit le tracé, dès que \(AB\) mesure \(12\) cm. Pourquoi aucun troisième sommet ne peut-il être trouvé ?
Proposition — Quand trois longueurs font un triangle
Trois longueurs font un triangle seulement si la plus grande est plus petite que la somme des deux autres. 
Méthode — Vérifier avant de construire
Trois longueurs sont données et un triangle est à construire. - Repérer la plus grande des trois longueurs.
- Ajouter les deux autres.
- Comparer. Si la plus grande n'est pas inférieure à cette somme, aucun triangle n'existe ; si elle l'est, essayer la construction au compas.
Exemple
Un triangle peut-il être construit avec des côtés de \(9\) cm, \(4\) cm et \(6\) cm ?
La plus grande longueur est \(9\) cm. Les deux autres ont pour somme : $$\begin{aligned} 4 + 6 &= 10 && \text{(somme des deux autres longueurs)} \end{aligned}$$ Or \(9 < 10\) : la plus grande est inférieure à la somme des deux autres, donc le triangle peut être construit.
Compétences à pratiquer
- Déterminer l'existence d'un triangle
- Essayer au compas et justifier avec les longueurs
II.4
La somme des angles d'un triangle
Trois élèves dessinent chacun un triangle. Léa en trace un large et plat, Noah un haut et mince, Amir un qui a un angle droit. Chacun suit les cinq mêmes étapes.
- Dessiner un triangle quelconque.
- Marquer chaque angle du triangle avec une couleur différente.
- Découper chaque coin (angle) du triangle en suivant les contours colorés autour de chaque sommet.
- Disposer les angles découpés pour qu'ils soient adjacents, leurs sommets réunis en un seul point et sans chevauchement.
- Observer que les trois angles forment alors un angle plat (un angle mesurant \(180^\circ\)).
Proposition — Somme des angles d'un triangle
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut \(180^\circ\). 
Le découpage ne démontre pas le résultat : cent triangles découpés laisseraient le cent-unième non vérifié. Il le rend visible, et c'est ce qui est demandé. Quel que soit le triangle découpé, les trois coins mis bout à bout forment un angle plat, et un angle plat mesure \(180^\circ\). La démonstration, elle, utilise des droites parallèles et les angles alternes-internes.
Méthode — Calculer le troisième angle
Deux angles d'un triangle sont connus et le troisième est cherché. - Ajouter les deux mesures connues.
- Soustraire le résultat de \(180^\circ\).
Exemple
Dans le triangle \(DEF\), \(\AngleFr{D} = 47^\circ\) et \(\AngleFr{E} = 68^\circ\). Déterminer \(\AngleFr{F}\).
$$\begin{aligned} \AngleFr{D} + \AngleFr{E} &= 47^\circ + 68^\circ && \text{(les deux angles connus)} \\
&= 115^\circ \\
\AngleFr{F} &= 180^\circ - 115^\circ && \text{(somme des angles d'un triangle)} \\
&= 65^\circ \end{aligned}$$ Vérification : \(47 + 68 + 65 = 180\).
Compétences à pratiquer
- Calculer le troisième angle
II.5
Les angles des triangles particuliers
Proposition — Angles d'un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles autres que l'angle droit vaut \(90^\circ\). 
Proposition — Angles d'un triangle isocèle
Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux (angles à la base) sont égaux. Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. 
- Dessiner un triangle isocèle quelconque avec deux côtés égaux.
- Tracer le segment qui joint le sommet principal au milieu de la base. Il partage le triangle en deux triangles. Ombrer chacun différemment.
- Découper le triangle isocèle et le plier le long de ce segment : les deux côtés égaux se superposent. On admet ici ce que l'étude de la symétrie axiale a montré — un triangle isocèle a un axe de symétrie, la droite qui passe par son sommet principal et le milieu de sa base ; le pliage le fait voir, il ne le démontre pas.
- Observer que les deux moitiés coïncident lorsqu’elles sont pliées, ce qui montre que les angles à la base sont égaux en raison de la symétrie.
Proposition — Angles d'un triangle équilatéral
Dans tout triangle équilatéral, chaque angle mesure \(60^\circ\). 
Soit un triangle équilatéral, dont tous les côtés sont égaux. Puisque les angles opposés aux côtés égaux sont égaux, les trois angles ont la même mesure, notée \(x^\circ\). 
Par la propriété de la somme des angles d’un triangle : $$\begin{aligned} x^\circ + x^\circ + x^\circ &= 180^\circ \\
3x^\circ &= 180^\circ \\
x^\circ &= 180^\circ \div 3 \\
x^\circ &= 60^\circ \end{aligned}$$ Ainsi, chaque angle d’un triangle équilatéral mesure \(60^\circ\).
Exemple
Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet principal mesure \(40^\circ\). Déterminer la mesure de chacun des deux angles à la base.
La somme des trois angles vaut \(180^\circ\), et les deux angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. $$\begin{aligned}[t] 180 - 40 &= 140 && \text{(ce qui reste pour les deux angles à la base)}\\
140 \div 2 &= 70 && \text{(les deux angles à la base sont égaux)} \end{aligned}$$ Chaque angle à la base mesure \(70^\circ\). Vérification : \(40 + 70 + 70 = 180\).
Compétences à pratiquer
- Nommer un triangle d'après ses angles
- Évaluer les propriétés des angles
- Trouver les angles dans des triangles rectangles et isocèles
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Raisonner et résoudre des problèmes
- Quiz
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