Lois à densité

On relève le temps d'attente, en minutes, d'un grand nombre de clients à un guichet. Avec des classes de largeur \(5\) minutes, l'histogramme a quelques barres larges ; avec un échantillon de plus en plus grand et des classes de largeur \(1\) minute, puis \(0{,}1\) minute, les barres se resserrent et leurs sommets dessinent une courbe. C'est un modèle idéalisé : il suppose que, derrière les données, une telle courbe existe. Si l'histogramme est tracé de sorte que l'aire de chaque barre soit la fréquence de sa classe, l'aire totale vaut \(1\), et la fréquence de « entre \(a\) et \(b\) minutes » est l'aire des barres situées entre \(a\) et \(b\). À la limite, la fréquence devient une probabilité et les barres deviennent la courbe d'une fonction \(f\) : la probabilité que le temps d'attente soit compris entre \(a\) et \(b\) est l'aire sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(b\), c'est-à-dire \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\). Une telle fonction, positive et d'aire totale \(1\), est une densité de probabilité ; les densités de ce chapitre sont de plus continues, ce qui permet de calculer ces aires par des intégrales. Le temps d'attente est alors une variable aléatoire à densité, aussi appelée variable aléatoire continue : une variable qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle d'un intervalle, et dont les probabilités sont des aires.

• Puisque \(f(x) \geq 0\), \(P(c \leq X \leq d) \geq 0\).
• Puisque \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = 1\), \(P(a \leq X \leq b) = 1\).

Soient \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\) sur un intervalle \(I\) et \(c \in I\). La probabilité que \(X\) prenne exactement la valeur \(c\) est l'aire d'un segment de largeur nulle : $$P(X = c) = \int_c^c f(x)\,\mathrm{d}x = 0.$$ La variable prend bien des valeurs, mais aucune valeur annoncée à l'avance n'a une probabilité strictement positive : parmi une infinité de valeurs possibles, chacune ne pèse rien. En conséquence, les inégalités strictes et larges donnent les mêmes probabilités : \(P(c < X < d) = P(c \leq X \leq d)\), \(P(X < c) = P(X \leq c)\) et \(P(X > c) = P(X \geq c) = 1 - P(X \leq c)\).
Un événement de probabilité nulle n'est donc pas forcément l'événement vide. Par exemple, on choisit un nombre au hasard dans \([0 ; 1]\), la probabilité de tomber dans un intervalle \([c ; d] \subset [0 ; 1]\) étant sa longueur \(d - c\) : l'univers est \(\Omega = [0 ; 1]\), une issue \(\omega\) est le nombre choisi, et \(X(\omega) = \omega\) définit une variable aléatoire de densité \(f(x) = 1\) sur \([0 ; 1]\). L'événement \(\left(X = \frac{1}{2}\right)\) est l'ensemble \(\left\{\frac{1}{2}\right\}\) : il n'est pas vide, puisque l'issue \(\omega = \frac{1}{2}\) le réalise, et pourtant \(P\left(X = \frac{1}{2}\right) = \int_{1/2}^{1/2} f(x)\,\mathrm{d}x = 0\). L'événement impossible \(\emptyset\) a une probabilité nulle, mais la réciproque est fausse.

Pour une variable qui prend un nombre fini de valeurs \(x_1, \dots, x_n\), l'espérance est la moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités : \(E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)\). Pour une variable de densité \(f\) sur \([a ; b]\), on découpe \([a ; b]\) en petits intervalles de largeur \(h\). La probabilité de tomber entre \(x\) et \(x + h\) est proche de l'aire d'un rectangle, \(f(x) \times h\) ; la moyenne pondérée est donc proche de la somme des produits \(x \times f(x) \times h\) : une somme de rectangles, comme dans la méthode des rectangles pour la fonction \(x \mapsto x f(x)\). Quand \(h\) diminue, cette somme se rapproche de l'intégrale de cette fonction, et l'espérance devient une intégrale : \(E(X) = \displaystyle\int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x\). De même, la variance \(\sum \left(x_i - E(X)\right)^2 P(X = x_i)\) devient \(\displaystyle\int_a^b \left(x - E(X)\right)^2 f(x)\,\mathrm{d}x\).

Choisir un réel « au hasard » entre \(0\) et \(1\), sans favoriser aucune valeur, se modélise par la loi uniforme sur \([0 ; 1]\) : la densité est la fonction constante \(f(x) = 1\) sur \([0 ; 1]\) (son aire est le carré unité), de sorte que la probabilité d'un intervalle est sa longueur. L'instruction random() de Python renvoie un nombre décimal à nombre fini de chiffres : elle ne produit pas la variable continue elle-même, mais elle la simule assez bien pour que la fréquence de « le résultat est dans \([c ; d]\) » sur de nombreux appels soit proche de \(d - c\). C'est par cette loi que l'on simule toutes les autres.

Un métro passe toutes les \(6\) minutes et un voyageur arrive à un instant sans lien avec les horaires. On modélise son temps d'attente par un réel de \([0 ; 6]\) sans valeur privilégiée : la probabilité que l'attente soit comprise entre \(c\) et \(d\) minutes ne dépend que de la longueur \(d - c\) de l'intervalle et lui est proportionnelle, comme pour un nombre choisi au hasard entre \(0\) et \(1\). La densité est donc constante ; l'aire totale devant valoir \(1\) sur une largeur de \(6\), sa hauteur est \(\dfrac{1}{6}\). Sur un intervalle \([a ; b]\) quelconque, avec \(a < b\), le même raisonnement donne la densité constante \(\dfrac{1}{b - a}\) : c'est la loi uniforme sur \([a ; b]\).

Une durée de vie ou un temps d'attente peuvent n'avoir aucune borne supérieure naturelle : on les modélise alors sur l'intervalle \([a ; +\infty[\). Une fonction \(f\), continue et positive sur \([a ; +\infty[\), est une densité de probabilité sur \([a ; +\infty[\) lorsque l'aire sous sa courbe, calculée jusqu'à \(x\) puis lorsque \(x\) tend vers l'infini, vaut \(1\) : $$\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = 1.$$ Les probabilités suivent la même règle : pour \(a \leq c \leq d\), \(P(c \leq X \leq d) = \displaystyle\int_c^d f(t)\,\mathrm{d}t\) et \(P(X \geq c) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \int_c^x f(t)\,\mathrm{d}t = 1 - P(X \leq c)\). L'espérance se définit par la même limite, quand elle existe : \(E(X) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \int_a^x t\,f(t)\,\mathrm{d}t\). Sur \(]-\infty ; a]\), les mêmes définitions valent avec la limite prise quand \(x \to -\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \int_x^a f(t)\,\mathrm{d}t = 1\) et \(E(X) = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \int_x^a t\,f(t)\,\mathrm{d}t\).

Un atome radioactif ne vieillit pas : la probabilité qu'il se désintègre pendant la minute qui vient est la même qu'il existe depuis une heure ou depuis un siècle. La durée de vie d'un tel objet est une variable aléatoire sans mémoire, comme le rang du premier succès de la loi géométrique, mais en temps continu : le temps d'attente peut être n'importe quel réel positif. La loi qui la modélise est la loi exponentielle. Sa densité décroît depuis une valeur \(\lambda\) en \(0\), de sorte que les attentes courtes sont plus probables que les longues, et elle est définie sur tout \([0 ; +\infty[\).

L'absence de mémoire est caractéristique : les lois exponentielles sont les seules lois à densité sur \([0 ; +\infty[\) sans mémoire (cette réciproque est admise). Elles sont la version continue des lois géométriques, seules lois sans mémoire sur \(\{1, 2, 3, \dots\}\) : \(P(X > t) = e^{-\lambda t} = \left(e^{-\lambda}\right)^{t}\) joue le rôle de \(P(N > k) = (1 - p)^{k}\), et \(E(X) = \dfrac{1}{\lambda}\) celui de \(E(N) = \dfrac{1}{p}\). Dans les deux cas, un objet qui a déjà duré n'est ni plus usé ni plus solide qu'un neuf : le modèle exponentiel convient aux phénomènes sans vieillissement (un atome, une panne accidentelle), pas à ceux qui s'usent.

Pour une durée de vie \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\), la demi-vie est le temps \(t_{1/2}\) tel que \(P(X \leq t_{1/2}) = \dfrac{1}{2}\) : la moitié des objets ont cessé de fonctionner à cet instant. Résoudre \(1 - e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}\) donne \(e^{-\lambda t} = \dfrac{1}{2}\), d'où $$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.$$ Dans un grand échantillon d'atomes indépendants et de même loi, la loi des grands nombres dit que la proportion encore présente après \(t\) est proche de \(P(X > t) = e^{-\lambda t}\) : après une demi-vie, la moitié reste ; après \(k\) demi-vies, \(\dfrac{1}{2^{k}}\). La demi-vie ne dépend pas de l'instant où l'on commence à compter : c'est encore l'absence de mémoire.

Un temps d'attente \(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\), en jours, n'est souvent observé qu'en jours entiers : soit \(N\) le numéro du jour pendant lequel l'événement se produit, \(N = 1\) si \(0 \leq X < 1\), \(N = 2\) si \(1 \leq X < 2\), et ainsi de suite. Pour tout entier \(k \geq 1\), $$P(N = k) = P(k - 1 \leq X < k) = e^{-\lambda(k-1)} - e^{-\lambda k} = \left(e^{-\lambda}\right)^{k-1}\left(1 - e^{-\lambda}\right),$$ c'est-à-dire \((1 - p)^{k-1}p\) avec \(p = 1 - e^{-\lambda}\) : \(N\) suit la loi géométrique de paramètre \(1 - e^{-\lambda}\). Discrétiser un temps exponentiel donne un rang géométrique ; les deux lois sans mémoire sont le même phénomène vu en temps continu ou en temps discret.