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Espaces vectoriels de dimension finie
Ce chapitre achève le travail entamé dans Introduction aux espaces vectoriels. On y avait construit le vocabulaire : sous-espace, combinaison linéaire, sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}\), famille libre, famille génératrice, base, matrice colonne des coordonnées \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}\). On y mesure maintenant. À tout espace vectoriel admettant une famille génératrice finie on associe un seul entier, sa dimension \(\dim(E)\), qui ne dépend pas de la base choisie et qui contrôle toutes les questions ultérieures : « cette famille est-elle une base ? », « peut-on la compléter en une base ? », « quelle est la dimension d'une somme ou d'un supplémentaire ? ». Deux grands outils s'ajoutent au vocabulaire de Introduction aux espaces vectoriels. Le rang d'une famille mesure la dimension du sous-espace qu'elle engendre, et la somme directe \(F \oplus G\) encode la décomposition d'un vecteur sur deux sous-espaces lorsqu'elle est unique. Notations. \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel ; vecteurs \(u, v, w, x \in E\) ; scalaires \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) ; sous-espaces engendrés notés \(\operatorname{Vect}(\dots)\), matrices colonnes des coordonnées \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\cdot)\), repris de Introduction aux espaces vectoriels. Les espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) portent déjà les bases canoniques de Introduction aux espaces vectoriels — on en lit la dimension directement. Convention (prolongeant la note « Pour aller plus loin » de Introduction aux espaces vectoriels) : l'espace trivial \(\{0_E\}\) admet la famille vide \(()\) pour base et \(\dim \{0_E\} = 0\) — chaque résultat du chapitre cite ainsi le cas limite en une ligne.
I
Espaces vectoriels de dimension finie et dimension
I.1
Espaces de dimension finie et existence de bases
Le point de départ est modeste : de nombreux espaces rencontrés dans Introduction aux espaces vectoriels sont atteints par une liste finie de vecteurs au moyen de combinaisons linéaires. C'est cette unique propriété qui donne un sens à « dimension » et qui est le cadre de tout le chapitre.
Définition — Espace vectoriel de dimension finie
Un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) est dit de dimension finie lorsqu'il admet une famille génératrice finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe \(p \in \mathbb{N}^*\) et des vecteurs \(v_1, \dots, v_p \in E\) tels que \(E = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\). Par convention, l'espace trivial \(\{0_E\}\) est aussi de dimension finie, de famille génératrice la famille vide \(()\). Exemple — Les espaces de référence sont de dimension finie
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la base canonique \((e_1, \dots, e_n)\) de Introduction aux espaces vectoriels engendre \(\mathbb{R}^n\), donc \(\mathbb{R}^n\) est de dimension finie. De même, la famille \((1, X, X^2, \dots, X^n)\) engendre \(\mathbb{R}_n[X]\), et la famille des matrices élémentaires \((E_{i,j})_{1 \le i \le n,\, 1 \le j \le p}\) engendre \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) — les deux sont de dimension finie. Exemple — Les sous-espaces de référence sont de dimension finie
Tout sous-espace décrit comme un sous-espace engendré \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) dans \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\) ou \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) est de dimension finie par définition. Par exemple, dans \(\mathbb{R}^4\), le sous-espace \(\operatorname{Vect}((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1))\) est de dimension finie, engendré par le couple ci-dessus.
Espaces qui ne sont pas de dimension finie
L'espace \(\mathbb{R}[X]\) de tous les polynômes n'est pas de dimension finie : une famille finie contient des polynômes de degré borné, donc son sous-espace engendré ne contient que des polynômes de degré au plus un certain entier \(N\), et laisse en dehors le polynôme \(X^{N+1}\). L'espace des suites \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) n'est pas non plus de dimension finie par un argument du même type : pour toute famille finie \((u^{(1)}, \dots, u^{(p)})\) dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), choisir un entier \(N\) assez grand pour que les coefficients \(u^{(1)}_N, \dots, u^{(p)}_N\) soient fixés (ils le sont) et considérer la suite \(e^{(N+1)} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)\) avec un \(1\) en position \(N + 1\) et \(0\) partout ailleurs — sa coordonnée en position \(N + 1\) vaut \(1\), mais toute combinaison linéaire \(\sum \lambda_i u^{(i)}\) y prend la valeur fixée \(\sum \lambda_i u^{(i)}_{N+1}\), qui ne peut pas valoir \(1\) pour tous les choix de \(N\). Donc aucune famille finie n'engendre \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) — esquisse uniquement, pas de démonstration. L'espace des fonctions \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\) pour un intervalle infini \(I\) — seul cas utilisé dans ce cours — n'est pas non plus de dimension finie. Aucun de ces espaces n'est dans le périmètre de ce chapitre ; on les mentionne pour fixer la frontière explicitement.
Proposition — Extraction d'une base
Soit \(E\) de dimension finie. De toute famille génératrice finie de \(E\), on peut extraire une base de \(E\) (la famille vide dans le cas \(E = \{0_E\}\)).
Admis. L'idée est simple : si une famille génératrice \((v_1, \dots, v_p)\) n'est pas déjà libre, l'un des \(v_i\) est combinaison linéaire des autres (Introduction aux espaces vectoriels, caractérisation d'une famille liée) ; on le retire — la famille reste génératrice (Introduction aux espaces vectoriels, égalité de sous-espaces engendrés). On recommence jusqu'à obtenir une famille libre ; c'est alors une base.
Proposition — Existence d'une base
Tout \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie admet une base.
Admis (conséquence immédiate de la proposition précédente : on extrait une base d'une famille génératrice finie). Convention : la base de l'espace trivial \(\{0_E\}\) est la famille vide \(()\).
Méthode — Reconnaître un espace de dimension finie
Dans toutes les situations de ce cours, \(E\) sera l'un des espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}_n[X]\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), ou un sous-espace donné comme un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) — de dimension finie par définition. Un sous-espace donné comme l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène dans l'un de ces espaces est également de dimension finie ; c'est démontré au Dimension d'un sous-espace en paramétrant l'ensemble des solutions comme un tel sous-espace engendré. Réciproquement, \(\mathbb{R}[X]\), \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\) pour \(I\) infini ne sont pas de dimension finie ; si \(E\) s'inscrit dans l'un de ces espaces mais est décrit par une liste finie de générateurs, le cadre de la dimension finie s'applique. Compétences à pratiquer
- Reconnaître un espace de dimension finie
- Lister une famille génératrice finie
I.2
L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension
Dans un espace de dimension finie, les familles libres et génératrices n'ont pas des tailles arbitraires : libre est toujours « au plus aussi grande » que génératrice. Cette borne impose que toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs — ce nombre commun est la dimension.
Proposition — Inégalité de cardinal
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Si \(L\) est une famille libre de \(E\) à \(\ell\) vecteurs et \(G\) une famille génératrice de \(E\) à \(g\) vecteurs, alors \(\ell \le g\).
Admis. Idée : chaque vecteur de \(L\) est combinaison des vecteurs de \(G\) ; en regroupant les coefficients dans un système linéaire d'inconnues les « combinaisons de vecteurs de \(L\) valant \(0_E\) » et en raisonnant par Gauss (Systèmes linéaires) — plus d'inconnues que d'équations donnerait une solution non triviale, contredisant la liberté de \(L\).
Théorème — Théorème de la dimension
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie avec \(E \ne \{0_E\}\). Toutes les bases de \(E\) ont le même cardinal. Ce cardinal commun s'appelle la dimension de \(E\), noté \(\dim(E)\) (une définition formelle suit).
Admis. Idée : deux bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) quelconques sont chacune à la fois libre et génératrice ; par l'inégalité de cardinal, \(|\mathcal{B}| \le |\mathcal{B}'|\) et \(|\mathcal{B}'| \le |\mathcal{B}|\), d'où l'égalité.
Définition — Dimension
La dimension d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(E\) est le cardinal commun de ses bases, noté \(\dim(E)\), avec \(\dim(\{0_E\}) = 0\) par convention. Un espace de dimension \(1\) est appelé une droite vectorielle ; un espace de dimension \(2\), un plan vectoriel. Exemple — Dimensions de référence
En lisant les bases canoniques de Introduction aux espaces vectoriels : - \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\) (la base canonique \((e_1, \dots, e_n)\) comporte \(n\) vecteurs) ;
- \(\dim(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})) = n\) (base canonique \((E_1, \dots, E_n)\)) ;
- \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\) (base canonique \((1, X, X^2, \dots, X^n)\)) ;
- \(\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = n p\) (base canonique des matrices élémentaires, \(np\) vecteurs).
Exemple — Une base non canonique confirme la dimension
Le couple \(((1, 1), (1, -1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) (calculée dans Introduction aux espaces vectoriels) ; il comporte \(2\) vecteurs, ce qui confirme \(\dim(\mathbb{R}^2) = 2\). La dimension ne dépend pas du choix de la base. Méthode — Lire une dimension de référence
Pour les espaces de référence, compter les vecteurs de la base canonique de Introduction aux espaces vectoriels : \(\dim(\mathbb{R}^n) = n\), \(\dim(\mathbb{R}_n[X]) = n + 1\), \(\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = np\), \(\dim(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})) = n\). Pour un sous-espace donné par un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), la dimension est au plus \(p\) (Introduction aux espaces vectoriels, la famille est génératrice) ; elle vaut exactement \(p\) lorsque la famille est libre — et la famille est alors elle-même une base. Compétences à pratiquer
- Lire une dimension de référence
- Comparer les cardinaux des familles libres et génératrices
I.3
Caractérisation des bases par le cardinal
Dans un espace de dimension finie \(E\) de dimension connue \(n\), les deux conditions d'être une base (libre et génératrice) deviennent équivalentes dès que la famille a pour cardinal exactement \(n\). Une seule vérification suffit alors.
Théorème — Caractérisation des bases par le cardinal
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). Pour une famille \(\mathcal{F}\) de \(n\) vecteurs de \(E\), les trois énoncés sont équivalents : - \(\mathcal{F}\) est libre ;
- \(\mathcal{F}\) est génératrice de \(E\) ;
- \(\mathcal{F}\) est une base de \(E\).
Admis. Idée : une famille libre de cardinal \(n\) qui ne serait pas génératrice pourrait être étendue en une famille libre à \(n + 1\) vecteurs, ce qui contredirait l'inégalité de cardinal appliquée avec une base comme famille génératrice. Symétriquement, une famille génératrice de cardinal \(n\) qui ne serait pas libre pourrait être réduite en une famille génératrice à \(n - 1\) vecteurs, contredisant à nouveau l'inégalité.
Proposition — Corollaires sur les cardinaux
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). Alors : - toute famille libre de \(E\) a au plus \(n\) vecteurs ;
- toute famille génératrice de \(E\) a au moins \(n\) vecteurs ;
- toute famille de \(E\) comportant strictement plus de \(n\) vecteurs est liée ;
- toute famille de \(E\) comportant strictement moins de \(n\) vecteurs n'est pas génératrice.
Admis. Conséquence directe de l'inégalité de cardinal appliquée avec une base de \(E\) quelconque (cardinal \(n\)) jouant le rôle de \(G\) ou de \(L\).
Exemple — Montrer qu'une famille est une base par le cardinal
Dans \(\mathbb{R}^3\) (dimension \(3\)), considérons \(\mathcal{F} = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1))\), qui est de cardinal \(3\). Pour montrer que c'est une base, le théorème indique qu'il suffit de montrer que \(\mathcal{F}\) est libre. En résolvant \(\lambda(1, 0, 0) + \mu(0, 1, 0) + \nu(1, 1, 1) = (0, 0, 0)\) coordonnée par coordonnée, on obtient le système \(\lambda + \nu = 0\), \(\mu + \nu = 0\), \(\nu = 0\), d'où \(\lambda = \mu = \nu = 0\). Donc \(\mathcal{F}\) est libre, et le théorème conclut que \(\mathcal{F}\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Exemple — Une famille qui ne peut pas être une base par le cardinal
Dans \(\mathbb{R}^3\), le couple \(((1, 1, 1), (1, 2, 3))\) a cardinal \(2 < 3\) ; par les corollaires sur les cardinaux il ne peut pas être générateur de \(\mathbb{R}^3\), donc ne peut pas être une base. Au mieux (s'il est libre) c'est une base du sous-espace de dimension \(2\) qu'il engendre. Dans \(\mathbb{R}_2[X]\) (dimension \(3\)), la famille \((1, X, X^2, X + X^2)\) a cardinal \(4 > 3\), donc elle est liée — et une relation de dépendance non triviale explicite s'écrit \(1 \cdot X + 1 \cdot X^2 + (-1) \cdot (X + X^2) = 0\) (coefficients \(0, 1, 1, -1\) sur \((1, X, X^2, X + X^2)\), non tous nuls). Méthode — Démontrer qu'une famille de cardinal \(n\) est une base
Lorsque la dimension \(n\) de \(E\) est connue et que \(\mathcal{F}\) a cardinal exactement \(n\), vérifier une seule propriété (la plus simple) : la liberté (résoudre \(\sum \lambda_i v_i = 0_E\) et démontrer que tous les \(\lambda_i\) sont nuls) ou le caractère générateur (résoudre \(\sum \lambda_i v_i = w\) pour \(w\) arbitraire et démontrer qu'une solution existe). L'autre propriété en découle automatiquement. En pratique, la liberté est presque toujours plus rapide : elle mène à un système linéaire homogène, plus simple que le système inhomogène requis pour le caractère générateur. Compétences à pratiquer
- Démontrer une base par le cardinal et la liberté
- Montrer qu'une famille n'est pas une base par le cardinal
I.4
Théorème de la base incomplète et rang d'une famille
Deux mouvements complémentaires sur une famille finie de vecteurs clôturent le section 1. Le premier complète une famille libre en une base (théorème de la base incomplète). Le second mesure la « partie libre » d'une famille quelconque par un seul entier, son rang.
Théorème — Théorème de la base incomplète
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \in \mathbb{N}^*\) et \((v_1, \dots, v_p)\) une famille libre de \(E\) avec \(p \le n\). Alors il existe \(n - p\) vecteurs \(v_{p+1}, \dots, v_n \in E\) tels que \((v_1, \dots, v_p, v_{p+1}, \dots, v_n)\) soit une base de \(E\). (Cas limite \(E = \{0_E\}\) : la famille libre vide est déjà une base, aucune complétion à faire.)
Admis. Idée : si \((v_1, \dots, v_p)\) n'est pas encore génératrice, il existe un vecteur \(v_{p+1} \in E\) hors de \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) ; l'ajouter à la famille préserve la liberté (Introduction aux espaces vectoriels, caractérisation des familles liées). On recommence jusqu'à atteindre le cardinal \(n\) ; par la caractérisation des bases par le cardinal, le résultat est une base.
Exemple — Compléter une famille libre de \(\mathbb{R}^3\)
Le singleton \(((1, 1, 0))\) est libre dans \(\mathbb{R}^3\) (\(\dim = 3\)). Pour le compléter, on ajoute \(e_2 = (0, 1, 0)\) : le couple \(((1, 1, 0), (0, 1, 0))\) est libre (vérification rapide coordonnée par coordonnée). On ajoute \(e_3 = (0, 0, 1)\) : le triplet est libre de cardinal \(3\), donc (Caractérisation des bases par le cardinal) une base de \(\mathbb{R}^3\). Exemple — Compléter une famille libre de \(\mathbb{R}_2[X]\)
Le couple \((1, X - 1)\) est libre dans \(\mathbb{R}_2[X]\) (\(\dim = 3\)) : une combinaison \(\lambda \cdot 1 + \mu (X - 1) = 0\) donne le polynôme \((\lambda - \mu) + \mu X\), dont les deux coefficients sont nuls, donc \(\mu = 0\) et \(\lambda = 0\). On ajoute \((X - 1)^2 = X^2 - 2X + 1\) — le triplet \((1, X - 1, (X - 1)^2)\) a des degrés \(0, 1, 2\) tous distincts, donc est libre (résultat de Introduction aux espaces vectoriels sur les polynômes de degrés échelonnés). Le cardinal \(3 = \dim\) en fait alors une base. Définition — Rang d'une famille finie
Soient \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(E\). Le rang de \(\mathcal{F}\), noté \(\operatorname{rg}(\mathcal{F})\), est la dimension du sous-espace engendré par \(\mathcal{F}\) : $$\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \dim\bigl( \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) \bigr).$$ Proposition — Propriétés du rang
Soit \(\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de \(p\) vecteurs d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). Alors : - \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \le p\) ;
- si \(E\) est de dimension finie, \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) \le \dim(E)\) ;
- \(\mathcal{F}\) est libre si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = p\) ;
- \(\mathcal{F}\) est génératrice de \(E\) si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = \dim(E)\) (lorsque \(E\) est de dimension finie) ;
- \(\mathcal{F}\) est une base de \(E\) si et seulement si \(\operatorname{rg}(\mathcal{F}) = p = \dim(E)\) (lorsque \(E\) est de dimension finie).
Admis. La première inégalité vient de ce que les \(p\) vecteurs de \(\mathcal{F}\) engendrent \(\operatorname{Vect}(\mathcal{F})\) ; par la méthode du L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension, la dimension d'un sous-espace engendré est au plus le cardinal de toute famille génératrice. Les autres points en explicitent les cas d'égalité.
Exemple — Rang dans \(\mathbb{R}^3\)
Le rang de \(\mathcal{F} = ((1, 1, 0), (2, 2, 0), (0, 1, 0))\) dans \(\mathbb{R}^3\) vaut \(2\). En effet, le second vecteur est le double du premier (\((2, 2, 0) = 2 (1, 1, 0)\)), donc il n'apporte rien au sous-espace engendré ; il reste \(((1, 1, 0), (0, 1, 0))\), couple libre (vérification coordonnée par coordonnée). Le sous-espace engendré est alors le plan \(\{z = 0\}\), de dimension \(2\). Exemple — Rang de polynômes
Le rang de \((1, X + 1, X^2 + 2X)\) dans \(\mathbb{R}_2[X]\) vaut \(3\) : les trois polynômes ont des degrés \(0, 1, 2\) distincts, donc forment une famille libre (résultat de Introduction aux espaces vectoriels) ; cardinal \(3 = \dim(\mathbb{R}_2[X])\), donc par les propriétés du rang ils forment une base. Le rang de \((1, X, X + 1)\) ne vaut que \(2\) : \((X + 1) - 1 - X = 0\), donc la famille est liée ; le sous-espace engendré est \(\operatorname{Vect}(1, X) = \mathbb{R}_1[X]\), de dimension \(2\). Méthode — Calculer le rang par Gauss
Dans un espace de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) ou \(\mathbb{R}_n[X]\) : d'abord exprimer chaque vecteur de \(\mathcal{F}\) en coordonnées dans la base canonique de Introduction aux espaces vectoriels — comme un \(d\)-uplet de scalaires, où \(d\) est la dimension de l'espace ambiant (\(d = n\) pour \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), \(d = n + 1\) pour \(\mathbb{R}_n[X]\)). Puis empiler les coordonnées en lignes dans une matrice \(A \in \mathcal{M}_{p,d}(\mathbb{R})\) — une ligne par vecteur de \(\mathcal{F}\) — et réduire \(A\) par Gauss (Systèmes linéaires). Le rang de \(\mathcal{F}\) est le nombre de lignes non nulles de la forme échelonnée. En écrivant les vecteurs en lignes, les trois opérations sur les vecteurs qui conservent le sous-espace engendré (permutation des vecteurs, multiplication d'un vecteur par un scalaire non nul, ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres) sont exactement les opérations élémentaires de Gauss sur les lignes — et celles-ci préservent le rang de \(A\), donc le rang de \(\mathcal{F}\). Compétences à pratiquer
- Calculer le rang d'une famille
- Compléter une famille libre en une base
I.5
Dimension d'un sous-espace
Dans un espace ambiant \(E\) de dimension finie, tout sous-espace hérite d'une dimension finie majorée par \(\dim(E)\) ; l'égalité des dimensions force l'égalité des sous-espaces. C'est l'usage pratique principal du théorème du Caractérisation des bases par le cardinal.
Proposition — Dimension d'un sous-espace
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Tout sous-espace \(F\) de \(E\) est lui-même de dimension finie, et \(\dim(F) \le \dim(E)\).
Admis. Idée : par les corollaires sur les cardinaux du Caractérisation des bases par le cardinal, toute famille libre de \(F\) a au plus \(\dim(E)\) vecteurs (une famille libre de \(F\) est une famille libre de \(E\), et les corollaires donnent la borne supérieure). On construit alors une base de \(F\) par avidité, en ajoutant des vecteurs libres un à un : le processus s'arrête nécessairement (le cardinal ne peut pas dépasser \(\dim(E)\)) et la famille finale est une base de \(F\). Donc \(F\) est de dimension finie avec \(\dim(F) \le \dim(E)\).
Proposition — Caractérisation de l'égalité de sous-espaces par la dimension
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(F\) un sous-espace de \(E\). Si \(\dim(F) = \dim(E)\), alors \(F = E\).
Posons \(n = \dim(F) = \dim(E)\). Si \(n = 0\), alors \(\dim(E) = 0\) impose \(E = \{0_E\}\) (par la convention du L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension il n'y a pas d'autre espace de dimension zéro), et de même \(F = \{0_E\}\), donc \(F = E\) trivialement. Sinon \(n \in \mathbb{N}^*\) : une base \((f_1, \dots, f_n)\) de \(F\) est une famille de \(n\) vecteurs de \(F \subset E\), donc de \(E\). Elle est libre (en tant que base de \(F\)), donc c'est une famille libre de cardinal \(n = \dim(E)\) dans \(E\). Par la caractérisation des bases par le cardinal, c'est une base de \(E\). Par conséquent \(E = \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_n) = F\).
Exemple — Un sous-espace strict a une dimension strictement plus petite
\(F = \mathbb{R}_2[X] \subset \mathbb{R}_3[X]\) vérifie \(\dim F = 3 < 4 = \dim \mathbb{R}_3[X]\), donc \(F \subsetneq \mathbb{R}_3[X]\) (cohérent avec le polynôme \(X^3 \in \mathbb{R}_3[X] \setminus \mathbb{R}_2[X]\)). Exemple — Un hyperplan de \(\mathbb{R}^3\)
Le sous-espace \(H = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0 \}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) (exemple de Introduction aux espaces vectoriels). Un vecteur de \(H\) s'écrit \((x, y, z) = (x, y, -x - y) = x (1, 0, -1) + y (0, 1, -1)\), donc \(H = \operatorname{Vect}((1, 0, -1), (0, 1, -1))\). Le couple est libre (vérification rapide coordonnée par coordonnée : \(\lambda(1, 0, -1) + \mu(0, 1, -1) = (\lambda, \mu, -\lambda - \mu) = (0, 0, 0)\) impose \(\lambda = \mu = 0\)), donc c'est une base de \(H\) et \(\dim(H) = 2 < 3 = \dim \mathbb{R}^3\), d'où \(H \subsetneq \mathbb{R}^3\). Méthode — Trouver la dimension d'un sous-espace
Pour un sous-espace \(F\) donné par une équation linéaire (ou un système) à l'intérieur d'un espace de référence, paramétrer l'ensemble des solutions par des paramètres libres (résoudre, isoler, compter les degrés de liberté) ; la paramétrisation obtenue se lit comme un sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}(w_1, \dots, w_d)\) avec \(d\) vecteurs explicites. Vérifier que les \(d\) générateurs sont libres (système linéaire homogène) — ils forment une base de \(F\), et \(\dim(F) = d\). Pour démontrer \(F = E\), le critère du Dimension d'un sous-espace permet de conclure dès que \(F \subset E\) et \(\dim(F) = \dim(E)\) (inutile de vérifier l'inclusion réciproque). Compétences à pratiquer
- Trouver la dimension d'un sous-espace par une base
- Conclure F égale E par la dimension
II
Sommes et sous-espaces supplémentaires
II.1
Somme de deux sous-espaces
À partir de deux sous-espaces de \(E\), on construit le plus petit sous-espace de \(E\) les contenant tous deux, en rassemblant toutes les sommes d'un vecteur de chacun. Lorsque la décomposition « un vecteur de \(F\) plus un de \(G\) » est unique, la somme porte une propriété structurelle supplémentaire — la somme directe — qui sera le cadre standard du reste du chapitre.
Définition — Somme de deux sous-espaces
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). La somme de \(F\) et de \(G\) est l'ensemble $$F + G = \{ v_1 + v_2 \mid v_1 \in F,\ v_2 \in G \}.$$ Un vecteur \(v \in E\) appartient à \(F + G\) ssi il admet une décomposition \(v = v_1 + v_2\) avec \(v_1 \in F\) et \(v_2 \in G\). Proposition — La somme est un sous-espace
Pour toute paire de sous-espaces \(F, G\) de \(E\), l'ensemble \(F + G\) est un sous-espace de \(E\).
On applique la caractérisation pratique des sous-espaces (Introduction aux espaces vectoriels).
- \(0_E = 0_E + 0_E \in F + G\) puisque \(0_E \in F\) et \(0_E \in G\) (\(F\) et \(G\) sont des sous-espaces).
- Soient \(v, w \in F + G\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\). Écrivons \(v = v_1 + v_2\) et \(w = w_1 + w_2\) avec \(v_1, w_1 \in F\) et \(v_2, w_2 \in G\). Alors $$\lambda v + \mu w = \lambda (v_1 + v_2) + \mu (w_1 + w_2) = \underbrace{(\lambda v_1 + \mu w_1)}_{\in F} + \underbrace{(\lambda v_2 + \mu w_2)}_{\in G} \in F + G,$$ car \(F\) et \(G\) sont stables par combinaison linéaire.
Exemple — Une somme dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, 0))\) (l'axe des \(x\)) et \(G = \operatorname{Vect}((0, 1, 0))\) (l'axe des \(y\)). Un vecteur de \(F + G\) s'écrit \(x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) = (x, y, 0)\), donc \(F + G = \{ (x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R} \} = \operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0))\), le plan \(xy\). Exemple — Une somme à décomposition non unique
Dans \(\mathbb{R}[X]\), posons \(F = \operatorname{Vect}(1, X, X^2) = \mathbb{R}_2[X]\) et \(G = \operatorname{Vect}(X, X^2)\). Le polynôme \(X\) appartient à \(F + G\) et admet plusieurs décompositions : $$X = \underbrace{X}_{\in F} + \underbrace{0}_{\in G} = \underbrace{2X}_{\in F} + \underbrace{(-X)}_{\in G} = \underbrace{0}_{\in F} + \underbrace{X}_{\in G}.$$ Trois décompositions du même vecteur. L'unicité de la décomposition est précisément ce que la définition suivante fixe. Définition — Somme directe
La somme \(F + G\) est dite directe lorsque \(F \cap G = \{0_E\}\). On la note alors \(F \oplus G\). Exemple — Une somme directe dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, 0))\) (l'axe des \(x\)) et \(G = \operatorname{Vect}((0, 1, 0))\) (l'axe des \(y\)) ont pour intersection \(\{(0, 0, 0)\}\) : un vecteur \((x, 0, 0) \in F\) appartient aussi à \(G\) ssi il vaut \((0, y, 0)\) pour un certain \(y \in \mathbb{R}\), ce qui impose \(x = 0\) (et le vecteur est alors \((0, 0, 0)\)). Donc \(F + G = F \oplus G\) — et la somme est le plan \(xy\) (calculé dans l'exemple précédent), désormais muni de la propriété supplémentaire « directe » : tout \((x, y, 0)\) s'écrit de manière unique sous la forme \((x, 0, 0) + (0, y, 0)\). Exemple — Une somme non directe
Avec \(F = \operatorname{Vect}(1, X, X^2) = \mathbb{R}_2[X]\) et \(G = \operatorname{Vect}(X, X^2)\) de l'exemple précédent, l'intersection \(F \cap G\) contient \(X\) (et toute combinaison \(\alpha X + \beta X^2\)), donc \(F \cap G = \operatorname{Vect}(X, X^2) = G \ne \{0\}\). La somme \(F + G = F\) n'est donc pas directe — cohérent avec les trois décompositions différentes de \(X\) trouvées précédemment. Théorème — Somme directe et unicité de la décomposition
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). La somme \(F + G\) est directe si et seulement si tout \(v \in F + G\) admet une décomposition unique \(v = v_1 + v_2\) avec \(v_1 \in F\) et \(v_2 \in G\). - Somme directe \(\Rightarrow\) unicité. Supposons \(F \cap G = \{0_E\}\) et soit \(v \in F + G\) admettant deux décompositions \(v = v_1 + v_2 = v_1' + v_2'\), \(v_1, v_1' \in F\), \(v_2, v_2' \in G\). Alors $$v_1 - v_1' = v_2' - v_2,$$ et les deux membres appartiennent à \(F \cap G\) (membre de gauche dans \(F\), membre de droite dans \(G\)). Comme \(F \cap G = \{0_E\}\), les deux membres sont nuls, donc \(v_1 = v_1'\) et \(v_2 = v_2'\) : la décomposition est unique.
- Unicité \(\Rightarrow\) somme directe. Supposons que tout \(v \in F + G\) admette une décomposition unique. Soit \(v \in F \cap G\). Le vecteur \(v\) se décompose comme \(v = \underbrace{v}_{\in F} + \underbrace{0_E}_{\in G}\) et comme \(v = \underbrace{0_E}_{\in F} + \underbrace{v}_{\in G}\). Par unicité, les deux coïncident, donc \(v = 0_E\). Donc \(F \cap G = \{0_E\}\) et la somme est directe.
Méthode — Démontrer que \(F + G\) est directe
La voie standard est de démontrer \(F \cap G = \{0_E\}\) : on prend un \(v \in F \cap G\) arbitraire et on en déduit \(v = 0_E\) en combinant les conditions de définition de \(F\) et de \(G\). (Souvent, \(F\) et \(G\) sont décrits par des systèmes d'équations linéaires complémentaires, dont la combinaison force toutes les coordonnées à \(0\).) Une fois l'intersection réduite à \(\{0_E\}\), l'unicité de la décomposition résulte du théorème ci-dessus. Compétences à pratiquer
- Calculer F plus G
- Démontrer qu'une somme est directe
II.2
Sous-espaces supplémentaires
Lorsque deux sous-espaces \(F\) et \(G\) sont en somme directe et engendrent ensemble tout \(E\), tout vecteur de \(E\) se décompose de manière unique sur le couple \((F, G)\) — c'est le cadre des projecteurs du chapitre suivant et l'outil standard de décomposition en algèbre linéaire.
Définition — Sous-espaces supplémentaires
Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires dans \(E\) lorsque \(E = F \oplus G\), c'est-à-dire \(F + G = E\) et \(F \cap G = \{0_E\}\). Proposition — Décomposition unique sur une paire supplémentaire
Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\) si et seulement si tout \(v \in E\) s'écrit de manière unique sous la forme \(v = v_1 + v_2\) avec \(v_1 \in F\) et \(v_2 \in G\).
Admis (reformulation du théorème précédent appliqué à \(F + G = E\), donc tout \(v \in E = F + G\) admet la décomposition unique garantie par ce théorème).
« Supplémentaire » n'est pas « complémentaire »
Le complémentaire ensembliste \(E \setminus F\) (les vecteurs de \(E\) qui n'appartiennent pas à \(F\)) n'est jamais un sous-espace de \(E\) : il ne contient pas \(0_E\) (puisque \(0_E \in F\)), et il n'est pas stable par addition. Les sous-espaces supplémentaires \(F\) et \(G\) ont pour intersection \(\{0_E\}\), non vide — ils partagent le vecteur nul, par construction.
Théorème — Existence d'un supplémentaire en dimension finie
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Pour tout sous-espace \(F\) de \(E\), il existe au moins un sous-espace \(G\) de \(E\) tel que \(E = F \oplus G\). On dit qu'un tel \(G\) est un supplémentaire de \(F\) dans \(E\) (pas « le » : \(G\) n'est pas unique en général).
Admis. Idée : prendre une base \((f_1, \dots, f_p)\) de \(F\) (l'héritage du Dimension d'un sous-espace donne \(\dim(F) \le \dim(E)\) et une base) ; c'est une famille libre de \(E\) avec \(p \le n = \dim(E)\), donc (théorème de la base incomplète) elle peut être complétée en une base \(\mathcal{B} = (f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_{n-p})\) de \(E\). Posons \(G = \operatorname{Vect}(g_1, \dots, g_{n-p})\). Alors \(F + G \supset \operatorname{Vect}(\mathcal{B}) = E\), donc \(F + G = E\). Prenons \(v \in F \cap G\) et décomposons-le sur la base \(\mathcal{B}\) de \(E\) de deux façons : uniquement avec des coordonnées sur les \(f_i\) (car \(v \in F\)) et uniquement avec des coordonnées sur les \(g_j\) (car \(v \in G\)) ; l'unicité des coordonnées dans une base (Introduction aux espaces vectoriels) impose alors que toutes les coordonnées soient nulles, donc \(v = 0_E\) et \(F \cap G = \{0_E\}\). D'où \(E = F \oplus G\).
Exemple — Plusieurs supplémentaires dans \(\mathbb{R}^2\)
Posons \(F = \operatorname{Vect}((1, 0))\) (l'axe des \(x\)) dans \(\mathbb{R}^2\). Les deux sous-espaces \(G_1 = \operatorname{Vect}((0, 1))\) et \(G_2 = \operatorname{Vect}((1, 1))\) sont supplémentaires de \(F\) : chacun a dimension \(1\), intersecte \(F\) uniquement en \(\{0\}\) (directions différentes), et apporte la seconde direction nécessaire pour reconstituer \(\mathbb{R}^2\). Le supplémentaire n'est pas unique. Exemple — Annonce sur les matrices symétriques et antisymétriques
Un exemple classique, traité en détail dans l'exercice Pour aller plus loin : dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), les sous-espaces \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \{ A \mid {}^t A = A \}\) des matrices symétriques et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = \{ A \mid {}^t A = -A \}\) des matrices antisymétriques sont supplémentaires. Somme : toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) se décompose en \(A = \tfrac{1}{2}(A + {}^t A) + \tfrac{1}{2}(A - {}^t A)\), le premier terme étant symétrique et le second antisymétrique, donc \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) = \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) + \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\). Somme directe : une matrice \(A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) vérifie à la fois \({}^t A = A\) et \({}^t A = -A\), donc \(A = -A\), donc \(2 A = 0\) et \(A = 0\). On verra au Dimension d'une somme et caractérisations que ceci est cohérent avec les dimensions \(\dim \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \tfrac{n(n+1)}{2}\) et \(\dim \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) = \tfrac{n(n-1)}{2}\), dont la somme vaut \(n^2 = \dim \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Méthode — Construire un supplémentaire en dimension finie
Étape 1. Calculer \(\dim(F)\) et exhiber une base \((f_1, \dots, f_p)\) de \(F\) (méthode du Dimension d'un sous-espace). Étape 2. Utiliser le théorème de la base incomplète pour compléter cette base en une base \((f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_{n-p})\) de \(E\) (choisir les \(g_i\) hors du \(\operatorname{Vect}\) des vecteurs déjà listés). Étape 3. Poser \(G = \operatorname{Vect}(g_1, \dots, g_{n-p})\). La caractérisation du Concaténation de bases par concaténation garantit alors \(E = F \oplus G\). Des choix différents de complétion donnent des supplémentaires différents — choisir le plus simple. Compétences à pratiquer
- Reconnaître des sous-espaces supplémentaires
- Construire un supplémentaire
II.3
Dimension d'une somme et caractérisations
La formule de Grassmann relie quatre dimensions par une seule égalité : \(\dim F\), \(\dim G\), \(\dim(F + G)\) et \(\dim(F \cap G)\). On en déduit la dimension d'un supplémentaire et quatre manières équivalentes de reconnaître une paire de sous-espaces supplémentaires en dimension finie.
Théorème — Formule de Grassmann
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \(F, G\) deux sous-espaces de \(E\) de dimension finie. Alors \(F + G\) est de dimension finie et $$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$
Admis. Idée : prendre une base \((e_1, \dots, e_r)\) de \(F \cap G\), la compléter (théorème de la base incomplète) du côté \(F\) en \((e_1, \dots, e_r, f_{r+1}, \dots, f_p)\), base de \(F\), et du côté \(G\) en \((e_1, \dots, e_r, g_{r+1}, \dots, g_q)\), base de \(G\). La famille \((e_1, \dots, e_r, f_{r+1}, \dots, f_p, g_{r+1}, \dots, g_q)\) est une base de \(F + G\), de cardinal \(r + (p - r) + (q - r) = p + q - r = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)\).
Proposition — Dimension d'un supplémentaire
Si \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans un espace \(E\) de dimension finie, alors \(\dim F + \dim G = \dim E\).
Par hypothèse, \(F + G = E\) et \(F \cap G = \{0_E\}\). La convention \(\dim \{0_E\} = 0\) (L'inégalité de cardinal et le théorème de la dimension) donne \(\dim(F \cap G) = 0\). La formule de Grassmann donne alors \(\dim E = \dim(F + G) = \dim F + \dim G - 0 = \dim F + \dim G\).
Théorème — Caractérisation par quatre conditions des supplémentaires
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(F, G\) deux sous-espaces de \(E\). Les quatre énoncés suivants sont équivalents : - \(E = F \oplus G\) ;
- \(E = F + G\) et \(F \cap G = \{0_E\}\) ;
- \(F \cap G = \{0_E\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\) ;
- \(E = F + G\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\).
Admis. Les deux premiers énoncés constituent la définition de \(E = F \oplus G\). Le troisième se déduit de \(F \cap G = \{0_E\}\) et de la formule de Grassmann qui donne \(\dim(F + G) = \dim F + \dim G\), puis \(\dim(F + G) = \dim E\) combiné au critère d'égalité de sous-espaces du Dimension d'un sous-espace livre \(F + G = E\). Le quatrième est symétrique : Grassmann donne \(\dim(F \cap G) = 0\), donc \(F \cap G = \{0_E\}\).
Exemple — Reconnaître un supplémentaire dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) (le plan \(z = 0\), de dimension \(2\)) et \(G = \operatorname{Vect}((0, 0, 1))\) (l'axe des \(z\), de dimension \(1\)). Appliquer la troisième caractérisation (\(F \cap G = \{0_E\}\) et dimensions). Un vecteur de \(F \cap G\) s'écrit \((x, y, 0)\) (il est dans \(F\)) et aussi \((0, 0, z)\) (il est dans \(G\)), donc \(x = y = z = 0\) — d'où \(F \cap G = \{(0, 0, 0)\}\). Et \(\dim F + \dim G = 2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3\). Conclusion : \(F \oplus G = \mathbb{R}^3\) — sans jamais vérifier \(F + G = \mathbb{R}^3\) directement. Exemple — Grassmann en action
Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0))\) (le plan \(xy\), \(\dim F = 2\)) et \(G = \operatorname{Vect}((1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0))\) (\(\dim G = 2\)). Leur intersection : un vecteur \(\alpha(1, 0, 0, 0) + \beta(0, 1, 0, 0) = (\alpha, \beta, 0, 0)\) de \(F\) appartient aussi à \(G\) ssi sa troisième coordonnée est nulle (automatique) et il est de la forme \(\gamma(1, 0, 1, 0) + \delta(0, 0, 1, 0) = (\gamma, 0, \gamma + \delta, 0)\), ce qui donne \(\beta = 0\) et \(\gamma + \delta = 0\) ; l'intersection est donc \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0, 0))\), \(\dim(F \cap G) = 1\). Grassmann donne \(\dim(F + G) = 2 + 2 - 1 = 3\) — \(F + G\) est un sous-espace de dimension \(3\), strictement inclus dans \(\mathbb{R}^4\), donc \(F\) et \(G\) ne sont pas supplémentaires. Méthode — Choisir la caractérisation la moins coûteuse
Parmi les quatre caractérisations équivalentes de \(E = F \oplus G\), la troisième (\(F \cap G = \{0_E\}\) et \(\dim F + \dim G = \dim E\)) est en général la moins coûteuse : l'intersection se calcule par un petit système linéaire, et les dimensions se lisent sur des bases via le Dimension d'un sous-espace. La quatrième (\(F + G = E\) et dimensions) est commode lorsqu'une description rapide de \(F + G\) est disponible. Vérifier chaque morceau séparément — ne jamais affirmer « \(E = F \oplus G\) » sans nommer les deux vérifications effectivement faites. Compétences à pratiquer
- Appliquer la formule de Grassmann
- Vérifier E égale F oplus G par la dimension
II.4
Concaténation de bases
Lorsque \(F\) et \(G\) sont en somme directe, une base de \(F\) suivie d'une base de \(G\) est une base de \(F + G\) — et réciproquement, cette propriété caractérise les sommes directes. La technique fournit une base explicite de \(F \oplus G\) et un test propre pour « la somme est-elle directe ? ».
Proposition — La concaténation engendre la somme
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\), de dimension finie, de bases respectives \((f_1, \dots, f_p)\) de \(F\) et \((g_1, \dots, g_q)\) de \(G\). Alors la concaténation \((f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_q)\) est une famille génératrice de \(F + G\).
Admis. Idée : tout vecteur \(v \in F + G\) s'écrit \(v = v_1 + v_2\) avec \(v_1 \in F\) et \(v_2 \in G\) ; \(v_1\) est combinaison linéaire de \((f_1, \dots, f_p)\) (base de \(F\)) et \(v_2\) combinaison linéaire de \((g_1, \dots, g_q)\) (base de \(G\)). En sommant les deux combinaisons, \(v\) apparaît comme combinaison linéaire de la famille concaténée.
Théorème — Caractérisation des sommes directes par concaténation
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\) de dimension finie, de bases respectives \((f_1, \dots, f_p)\) de \(F\) et \((g_1, \dots, g_q)\) de \(G\). La somme \(F + G\) est directe si et seulement si la concaténation \((f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_q)\) est une base de \(F + G\). En particulier, en dimension finie, \(E = F \oplus G\) si et seulement s'il existe une base de \(F\) et une base de \(G\) dont la concaténation est une base de \(E\).
Admis. Idée : la concaténation est génératrice (proposition précédente), donc c'est une base de \(F + G\) ssi son cardinal vaut \(\dim(F + G)\) — c'est-à-dire \(p + q = \dim(F + G)\). Par Grassmann, cela équivaut à \(\dim(F \cap G) = 0\), c'est-à-dire à la somme directe.
Exemple — Une concaténation qui reconstruit la base canonique
Dans \(\mathbb{R}^3\), posons \(F = \operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) (le plan \(z = 0\)) et \(G = \operatorname{Vect}((0, 0, 1))\) (l'axe des \(z\)). Une base de \(F\) est \((e_1, e_2) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0))\), une base de \(G\) est \((e_3) = ((0, 0, 1))\). La concaténation \((e_1, e_2, e_3)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) — une base de \(\mathbb{R}^3\). Par le théorème, \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\). Exemple — Une concaténation qui n'est pas une base
Dans \(\mathbb{R}^2\), posons \(F = \operatorname{Vect}((1, 0))\) et \(G = \operatorname{Vect}((1, 0), (0, 1)) = \mathbb{R}^2\). Une base de \(F\) est \(((1, 0))\), une base de \(G\) est \(((1, 0), (0, 1))\). La concaténation \(((1, 0), (1, 0), (0, 1))\) a cardinal \(3 > 2 = \dim \mathbb{R}^2\), donc elle est liée (corollaires sur les cardinaux, Caractérisation des bases par le cardinal) — relation explicite \((1, 0) - (1, 0) = 0\). La somme \(F + G = G = \mathbb{R}^2\) n'est pas directe puisque \(F \cap G = F \ne \{0\}\). Méthode — Démontrer \(E \equal F \oplus G\) par concaténation
Étape 1. Trouver une base \((f_1, \dots, f_p)\) de \(F\) et une base \((g_1, \dots, g_q)\) de \(G\) (méthode du Dimension d'un sous-espace pour chacune). Étape 2. Former la concaténation \((f_1, \dots, f_p, g_1, \dots, g_q)\) et vérifier qu'elle est libre dans \(E\) (système linéaire homogène). Étape 3. Si le cardinal \(p + q\) vaut \(\dim(E)\), par la caractérisation des bases par le cardinal la concaténation est une base de \(E\) — par le théorème ci-dessus, \(E = F \oplus G\). (Si le cardinal est inférieur à \(\dim(E)\), la somme est directe mais ne couvre pas \(E\) tout entier : \(E \ne F + G\).)
Pour aller plus loin
Le vocabulaire et le décompte par les dimensions établis ici forment l'ossature du chapitre suivant — Applications linéaires — où toute application linéaire entre espaces de dimension finie sera mesurée par deux dimensions complémentaires : celle de son noyau et celle de son image, reliées par la formule du rang. La notion de projecteur \(p\) associé à une paire de sous-espaces supplémentaires \(E = F \oplus G\) (avec \(p\) envoyant chaque vecteur sur sa composante sur \(F\)) sera caractérisée par la relation \(p \circ p = p\) et fournit la façon la plus concrète d'utiliser les décompositions construites ici.
Compétences à pratiquer
- Construire une base par concaténation
- Détecter une somme directe sur une famille concaténée
III
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Synthétiser dimension de somme et concaténation
- Sommes dans les espaces de polynômes et de matrices en dimension finie
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