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Introduction aux espaces vectoriels
Ce chapitre est un premier contact avec la notion abstraite d'espace vectoriel. De nombreux ensembles rencontrés jusqu'ici — \(\mathbb{R}^n\), les espaces de polynômes \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{R}_n[X]\), les espaces de matrices \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), l'espace des suites \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), les espaces de fonctions \(\mathcal{F}(D,\mathbb{R})\) — peuvent être additionnés deux à deux et multipliés par un nombre réel, et tous obéissent aux mêmes règles de calcul. Extraire ces règles communes donne une seule notion, l'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), qui permet de travailler sur tous ces ensembles d'un seul coup. Le chapitre fixe le vocabulaire — sous-espace vectoriel, combinaison linéaire, famille libre, famille génératrice, base, coordonnées — et l'illustre sur de nombreux exemples concrets venus de l'algèbre (espaces \(\mathbb{R}^n\) et de matrices colonnes, espaces de polynômes, espaces de matrices) et de l'analyse (espaces de suites, espaces de fonctions). C'est une première approche : les théorèmes phares de l'année sur la dimension et le rang seront vus dans un chapitre ultérieur ; ici on construit uniquement le vocabulaire et un stock régulier d'exemples. Rappel de notations : \(\mathbb{R}^n\) est l'ensemble des \(n\)-uplets \((x_1, \dots, x_n)\) de nombres réels ; \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est l'ensemble des matrices colonnes à \(n\) lignes ; ce sont des ensembles différents — ils portent la même arithmétique mais une disposition différente, donc on garde des notations distinctes. Les polynômes \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{R}_n[X]\) viennent de Polynômes ; les matrices \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) viennent de Matrices. L'ensemble \(\mathbb{N}\) est supposé contenir \(0\).
I
Les espaces vectoriels
I.1
Définition et exemples fondamentaux
Sur de nombreux ensembles rencontrés jusqu'ici, on sait déjà additionner deux éléments et multiplier par un nombre réel, et on emploie chaque fois les mêmes règles de calcul. La notion d'espace vectoriel rassemble ces règles dans une seule définition ; cinq exemples de référence se lisent alors d'un coup (\(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}[X]\), \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), \(\mathcal{F}(D, \mathbb{R})\)). Le sous-espace \(\mathbb{R}_n[X] \subset \mathbb{R}[X]\) s'en déduira gratuitement au Définition et caractérisation pratique, comme application canonique du raccourci des sous-espaces.
Définition — Espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\)
Un espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\) (ou \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel) est un ensemble non vide \(E\) muni de deux opérations : - une addition \(+: E \times E \to E\), \((x, y) \mapsto x + y\) ;
- une multiplication par un scalaire \(\cdot: \mathbb{R} \times E \to E\), \((\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x\) (souvent noté \(\lambda x\)) ;
- l'addition est associative : \(\forall x, y, z \in E\), \((x + y) + z = x + (y + z)\) ;
- l'addition est commutative : \(\forall x, y \in E\), \(x + y = y + x\) ;
- il existe un élément neutre \(0_E \in E\) : \(\forall x \in E\), \(x + 0_E = x\) ;
- tout \(x \in E\) possède un opposé \(-x \in E\) : \(x + (-x) = 0_E\) ;
- la multiplication par un scalaire est associative : \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\forall x \in E\), \(\lambda (\mu x) = (\lambda \mu) x\) ;
- distributivité à gauche : \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\), \(\forall x, y \in E\), \(\lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y\) ;
- distributivité à droite : \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}\), \(\forall x \in E\), \((\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x\) ;
- \(\forall x \in E\), \(1 \cdot x = x\).
Les huit axiomes sont écrits une fois, pour référence. En pratique, la façon de reconnaître qu'un ensemble est un espace vectoriel n'est pas de les vérifier un à un. Conformément à l'indication du programme « on se limitera à des espaces vectoriels de référence et à leurs sous-espaces vectoriels », tout candidat sera reconnu comme l'un des espaces de référence listés ci-dessous ou comme un sous-espace de l'un d'eux (test de sous-espace du Définition et caractérisation pratique) — jamais en parcourant la liste des axiomes.
Exemple — L'espace de référence \(\mathbb{R}^n\)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), l'ensemble \(\mathbb{R}^n\) des \(n\)-uplets de nombres réels, muni des opérations coordonnée par coordonnée $$(x_1, \dots, x_n) + (y_1, \dots, y_n) = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n), \qquad \lambda (x_1, \dots, x_n) = (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n),$$ est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, de vecteur nul \(0_{\mathbb{R}^n} = (0, \dots, 0)\). Concrètement, dans \(\mathbb{R}^2\) : \((1, 2) + (3, -1) = (4, 1)\) ; dans \(\mathbb{R}^3\) : \(3 \cdot (1, -2, 0) = (3, -6, 0)\). Exemple — L'espace de référence \(\mathcal{M}_{n\virgule p}(\mathbb{R})\)
Pour \(n, p \in \mathbb{N}^*\), l'ensemble \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) des matrices \(n \times p\) à coefficients réels, muni de la somme matricielle et de la multiplication par un scalaire de Matrices, est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, de vecteur nul la matrice nulle \(0_{n,p}\) (tous les coefficients nuls). Par exemple dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) : $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\
-1 & 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\
0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\
-1 & 4 \end{pmatrix}.$$ Exemple — L'espace de référence \(\mathbb{R}[X]\)
L'ensemble \(\mathbb{R}[X]\) des polynômes à coefficients réels (Polynômes), muni de la somme polynomiale et de la multiplication par un scalaire de Polynômes, est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, de vecteur nul le polynôme nul \(0\). Par exemple : $$(3X^3 - X + 2) + 3 (2X^4 + X^2 - 1) = 6X^4 + 3X^3 + 3X^2 - X - 1.$$ Le sous-espace \(\mathbb{R}_n[X] \subset \mathbb{R}[X]\) sera traité au Définition et caractérisation pratique comme application canonique du raccourci des sous-espaces. Exemple — L'espace de référence \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\)
L'ensemble \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) des suites réelles \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\), muni de l'addition terme à terme et de la multiplication par un scalaire $$(u_n) + (v_n) = (u_n + v_n)_{n \in \mathbb{N}}, \qquad \lambda \cdot (u_n) = (\lambda u_n)_{n \in \mathbb{N}},$$ est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, de vecteur nul la suite nulle (la suite constante égale à \(0\)). Par exemple, avec \(u_n = \tfrac{1}{n+1}\) et \(v_n = 2^n\) : $$(2 u + v)_n = \frac{2}{n+1} + 2^n.$$ Exemple — L'espace de référence \(\mathcal{F}(D\virgule \mathbb{R})\)
Pour tout \(D \subset \mathbb{R}\) non vide, l'ensemble \(\mathcal{F}(D, \mathbb{R})\) des fonctions \(f: D \to \mathbb{R}\), muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire ponctuelles $$(f + g)(x) = f(x) + g(x), \qquad (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \quad (x \in D),$$ est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, de vecteur nul la fonction constante nulle \(0: x \mapsto 0\). Par exemple, pour \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = e^x\) sur \([0, 1]\) : \((f - g)(x) = x^2 - e^x\).
\(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\) sont des ensembles différents
Les deux espaces \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) portent la même arithmétique et la même structure de coordonnées, mais ce sont des ensembles distincts : \(\mathbb{R}^n\) contient le \(n\)-uplet \((x_1, \dots, x_n)\) écrit en ligne, tandis que \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) contient la matrice colonne \(\begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\) à \(n\) lignes et une colonne. On les garde notationnellement distincts dans ce chapitre, et on rencontrera une base canonique pour chacun.
Proposition — Règles de calcul dans un espace vectoriel
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Pour tout \(x \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{R}\) : - multiplication par zéro : \(0 \cdot x = 0_E\) \ et \ \(\lambda \cdot 0_E = 0_E\) ;
- l'opposé vaut \((-1) \cdot x\) : \((-1) \cdot x = -x\) ;
- règle du produit nul : si \(\lambda x = 0_E\), alors \(\lambda = 0\) ou \(x = 0_E\).
- Préliminaire — simplification dans \(E\). Si \(u + a = u + b\) pour certains \(u, a, b \in E\), alors en ajoutant l'opposé \(-u\) à gauche des deux membres (avec l'associativité et la commutativité de \(+\) dans \(E\)), on obtient \(a = b\).
- Préliminaire — unicité de l'opposé. Si \(x + a = 0_E\) et \(x + b = 0_E\), alors \(x + a = x + b\) et la simplification donne \(a = b\) ; en particulier l'opposé \(-x\) est unique.
- Multiplication par zéro, côté scalaire : \(0 \cdot x = 0_E\). $$\begin{aligned} 0 \cdot x &= (0 + 0) \cdot x &&\text{(arithmétique scalaire)} \\ &= 0 \cdot x + 0 \cdot x &&\text{(distributivité à droite).} \end{aligned}$$ D'autre part \(0 \cdot x = 0 \cdot x + 0_E\) par le neutre, donc \(0 \cdot x + 0_E = 0 \cdot x + 0 \cdot x\), et la simplification donne \(0_E = 0 \cdot x\).
- Multiplication par zéro, côté vecteur : \(\lambda \cdot 0_E = 0_E\). $$\begin{aligned} \lambda \cdot 0_E &= \lambda \cdot (0_E + 0_E) &&\text{(neutre)} \\ &= \lambda \cdot 0_E + \lambda \cdot 0_E &&\text{(distributivité à gauche),} \end{aligned}$$ puis la simplification contre \(\lambda \cdot 0_E = \lambda \cdot 0_E + 0_E\) donne \(0_E = \lambda \cdot 0_E\).
- L'opposé vaut \((-1) \cdot x\). $$\begin{aligned} x + (-1) \cdot x &= 1 \cdot x + (-1) \cdot x &&\text{(axiome \(1 \cdot x = x\))} \\ &= (1 + (-1)) \cdot x &&\text{(distributivité à droite)} \\ &= 0 \cdot x &&\text{(arithmétique scalaire)} \\ &= 0_E &&\text{(étape précédente).} \end{aligned}$$ Donc \((-1) \cdot x\) est un opposé de \(x\) ; par unicité de l'opposé, \((-1) \cdot x = -x\).
- Règle du produit nul. Supposons \(\lambda x = 0_E\) avec \(\lambda \ne 0\). On multiplie les deux membres par \(\lambda^{-1}\) : $$\begin{aligned} x = 1 \cdot x &= (\lambda^{-1} \lambda) \cdot x &&\text{(arithmétique scalaire)} \\ &= \lambda^{-1} \cdot (\lambda x) &&\text{(associativité scalaire)} \\ &= \lambda^{-1} \cdot 0_E = 0_E &&\text{(étape précédente).} \end{aligned}$$ Donc \(\lambda = 0\) ou \(x = 0_E\).
Méthode — Reconnaître une structure d'espace vectoriel
Pour reconnaître qu'un ensemble est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, l'indication du programme est « on se limitera à des espaces vectoriels de référence et à leurs sous-espaces vectoriels » — la définition axiomatique n'est pas un objectif du programme. La voie standard est le raccourci des sous-espaces du Définition et caractérisation pratique : identifier l'ensemble comme une partie de l'un des espaces vectoriels de référence (\(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}[X]\), \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), \(\mathcal{F}(D, \mathbb{R})\) pour \(D \subset \mathbb{R}\) non vide), avec les mêmes opérations, et appliquer la caractérisation des sous-espaces. Jusqu'au Définition et caractérisation pratique, on reconnaît une structure d'espace vectoriel uniquement sur les espaces de référence listés ci-dessus. Compétences à pratiquer
- Reconnaître un espace vectoriel de référence
- Calculer avec des vecteurs
I.2
Combinaisons linéaires
Combiner quelques vecteurs de \(E\) avec des coefficients scalaires est l'opération de base du chapitre. On travaille uniquement avec des familles finies de vecteurs — restriction verbatim du programme — et on précise ce que signifient « combinaison linéaire » et « famille ».
Définition — Famille finie de vecteurs
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Une famille finie de vecteurs de \(E\) est une liste \((x_1, \dots, x_n)\) de vecteurs de \(E\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\) ; l'entier \(n\) est le cardinal de la famille — le mot retenu par le programme pour « nombre de termes ». Une famille est ordonnée et peut contenir des vecteurs répétés : \((x_1, x_2) \ne (x_2, x_1)\) en général, et la famille \((0_E, 0_E, 0_E)\) a pour cardinal \(3\) même si ses trois termes coïncident. Une famille n'est pas le même objet que l'ensemble \(\{x_1, \dots, x_n\}\) de ses termes — en particulier, le cardinal de la famille n'est pas le cardinal de l'ensemble de ses termes (qui ne compterait que les termes distincts). Exemple — Trois familles finies et leurs cardinaux
Dans \(\mathbb{R}^3\), la liste \(\bigl((1, 0, 0), (0, 1, 0)\bigr)\) est une famille finie de cardinal \(2\). La liste \(\bigl((1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)\bigr)\) est une famille finie différente — toujours de cardinal \(3\) bien que ses deux premiers termes coïncident — et son ensemble de termes distincts \(\bigl\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\bigr\}\) n'a que \(2\) éléments. La liste \(\bigl((0, 1, 0), (1, 0, 0)\bigr)\) est encore une autre famille, de cardinal \(2\), mais distincte de la première en tant que liste ordonnée. Définition — Combinaison linéaire
Soient \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel et \((v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(E\). Une combinaison linéaire de cette famille est tout vecteur de \(E\) de la forme $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_p v_p, \qquad \lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R},$$ où les nombres réels \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) sont les coefficients de la combinaison. Exemple
Dans \(\mathbb{R}^2\), \((2, -3) = 2 \cdot (1, 0) + (-3) \cdot (0, 1)\) : une combinaison linéaire du couple \(((1, 0), (0, 1))\) avec les coefficients \((2, -3)\). Le couple \(((1, 0), (0, 1))\) sera promu « base canonique » au Les trois bases canoniques fondamentales. Exemple — Dans \(\mathbb{R}[X]\)
Le polynôme \(Q = (X - 3)^2\) est une combinaison linéaire de \((1, X, X^2)\) : $$Q = (X - 3)^2 = 9 - 6X + X^2 = 9 \cdot 1 + (-6) \cdot X + 1 \cdot X^2,$$ de coefficients \((9, -6, 1)\). Exemple — Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
La matrice \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\) est une combinaison linéaire de \(\bigl( I_2, \begin{psmallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{psmallmatrix} \bigr)\) : $$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\
-1 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot I_2 + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{pmatrix},$$ de coefficients \((3, -1)\). Exemple — Décider une combinaison linéaire par un système \(2 \times 2\)
Le vecteur \(w = (5, 1)\) est-il combinaison linéaire de \(v_1 = (1, 1)\) et \(v_2 = (1, -1)\) dans \(\mathbb{R}^2\) ?
On cherche \((\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\) tel que \(\lambda v_1 + \mu v_2 = w\) ; en lisant coordonnée par coordonnée : $$\begin{aligned} \lambda + \mu &= 5 \\
\lambda - \mu &= 1 \end{aligned} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{aligned} \lambda &= 3 \\
\mu &= 2 \end{aligned}$$ (somme et différence des deux équations). Donc \(w = 3 v_1 + 2 v_2\) : décider l'appartenance revient à résoudre un système linéaire.
Méthode — Tester si un vecteur est combinaison linéaire
Pour tester « \(w\) est-il combinaison linéaire de \((v_1, \dots, v_p)\) ? » — dans les espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}[X]\) (le sous-espace \(\mathbb{R}_n[X]\), reconnu au Définition et caractérisation pratique, se traite par la même technique appliquée dans \(\mathbb{R}[X]\)) — on écrit l'équation \(\sum_{i=1}^p \lambda_i v_i = w\) coordonnée par coordonnée dans \(\mathbb{R}^n\), coefficient par coefficient dans \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), coefficient par coefficient sur chaque puissance de \(X\) dans \(\mathbb{R}[X]\) (on complète les coefficients manquants par \(0\) jusqu'au degré maximum apparaissant). On obtient un système linéaire d'inconnues les \(\lambda_i\), que l'on résout par Gauss (Systèmes linéaires). Le système admet une solution si et seulement si \(w\) est une telle combinaison linéaire. Compétences à pratiquer
- Écrire une combinaison linéaire
- Décider si un vecteur est combinaison linéaire
II
Sous-espaces vectoriels
II.1
Définition et caractérisation pratique
Parmi toutes les parties d'un espace vectoriel \(E\), celles qui sont stables par les deux opérations — ajouter deux vecteurs ou multiplier l'un d'eux par un scalaire — forment une classe particulièrement intéressante : chacune est elle-même un espace vectoriel, avec les mêmes opérations. Ces parties sont les sous-espaces vectoriels, et la caractérisation pratique ci-dessous est le moyen standard de les reconnaître.
Définition — Sous-espace vectoriel
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Une partie \(F \subset E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) lorsque les trois conditions sont vérifiées : - \(0_E \in F\) (elle contient le vecteur nul) ;
- \(F\) est stable par addition : \(\forall u, v \in F\), \(u + v \in F\) ;
- \(F\) est stable par multiplication par un scalaire : \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\), \(\forall u \in F\), \(\lambda u \in F\).
Proposition — Caractérisation pratique
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Une partie \(F \subset E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si : - \(0_E \in F\) ;
- \(\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\), \(\forall u, v \in F\), \(\lambda u + \mu v \in F\) (« stable par combinaison linéaire à deux vecteurs »).
- Sens direct. Supposons que \(F\) est un sous-espace. Pour \(u, v \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), les vecteurs \(\lambda u\) et \(\mu v\) appartiennent à \(F\) par stabilité par multiplication scalaire, et leur somme \(\lambda u + \mu v\) appartient à \(F\) par stabilité par addition.
- Sens réciproque. Supposons la condition à deux vecteurs. En prenant \((\lambda, \mu) = (1, 1)\), on obtient \(u + v \in F\) pour tous \(u, v \in F\), c'est-à-dire la stabilité par addition. En prenant \(v = 0_E\) (qui est dans \(F\)) et \(\mu = 0\), avec \(\lambda \in \mathbb{R}\) quelconque, on obtient \(\lambda u + 0 \cdot 0_E = \lambda u \in F\) pour tout \(u \in F\), c'est-à-dire la stabilité par multiplication par un scalaire. Les deux stabilités sont vérifiées, ainsi que \(0_E \in F\), donc \(F\) est un sous-espace.
Proposition — Un sous-espace hérite de la structure d'espace vectoriel
Si \(F\) est un sous-espace d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), alors \(F\), muni des restrictions de l'addition et de la multiplication par un scalaire de \(E\), est lui-même un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
La stabilité par \(+\) et \(\cdot\) est la condition même de sous-espace. Le neutre \(0_E\) appartient à \(F\) par définition de sous-espace, il joue donc le rôle de neutre dans \(F\). Pour tout \(u \in F\), l'opposé \(-u = (-1) \cdot u\) appartient à \(F\) par stabilité par multiplication scalaire. Les axiomes restants (commutativité et associativité de \(+\), associativité scalaire, les deux distributivités, \(1 \cdot u = u\)) sont des égalités quantifiées universellement portant sur des vecteurs de \(E\) et des scalaires de \(\mathbb{R}\) ; elles sont vraies dans \(E\) pour tout choix d'arguments, donc en particulier pour des arguments dans \(F\). Les opérations restreintes à \(F\) en héritent, donc \(F\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
Exemple — Les sous-espaces triviaux
Pour tout \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), les deux parties extrêmes \(\{0_E\}\) (le seul vecteur nul) et \(E\) tout entier sont des sous-espaces de \(E\). On les appelle les sous-espaces triviaux. Un sous-espace n'est jamais vide, puisqu'il doit contenir \(0_E\). Exemple — Sous-espaces de \(\mathbb{R}^3\) par une équation homogène
Dans \(\mathbb{R}^3\), l'ensemble \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\) est un sous-espace : \(0 = (0, 0, 0)\) vérifie l'équation ; pour \((x, y, z), (x', y', z') \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), $$\lambda(x + y + z) + \mu(x' + y' + z') = 0,$$ c'est-à-dire \((\lambda x + \mu x') + (\lambda y + \mu y') + (\lambda z + \mu z') = 0\), donc \(\lambda(x, y, z) + \mu(x', y', z') \in F\). Exemple — Non-sous-espaces : échec à contenir \(0\) ou à la stabilité
Dans \(\mathbb{R}^3\), \(G = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 1\}\) n'est pas un sous-espace : \((0, 0, 0)\) ne vérifie pas \(x + y + z = 1\). Dans \(\mathbb{R}^2\), \(H = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 0\}\) (la réunion des deux axes) n'est pas un sous-espace : \((1, 0)\) et \((0, 1)\) appartiennent à \(H\), mais leur somme \((1, 1)\) a un produit \(1 \ne 0\), donc \(H\) n'est pas stable par addition. Exemple — Le sous-espace \(\mathbb{R}_n\lbrack X\rbrack\) de \(\mathbb{R}\lbrack X\rbrack\)
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\mathbb{R}_n[X] = \{P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg P \le n\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}[X]\) : le polynôme nul a pour degré \(-\infty \le n\), donc \(0 \in \mathbb{R}_n[X]\) ; et pour \(P, Q \in \mathbb{R}_n[X]\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), les règles de degré de Polynômes donnent \(\deg(\lambda P + \mu Q) \le \max(\deg P, \deg Q) \le n\), donc \(\lambda P + \mu Q \in \mathbb{R}_n[X]\). Par la proposition précédente, \(\mathbb{R}_n[X]\) est lui-même un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel — sans avoir à revérifier les huit axiomes. Au contraire, \(\{P \in \mathbb{R}[X] \mid \deg P = n\}\) n'est pas un sous-espace (il ne contient pas \(0\) ; et \(X^n + (-X^n) = 0\) a pour degré \(-\infty \ne n\), donc il n'est pas non plus stable par addition). Exemple — Matrices triangulaires et symétriques dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), l'ensemble \(\mathcal{T}_n^+(\mathbb{R})\) des matrices triangulaires supérieures est un sous-espace : la matrice nulle est triangulaire supérieure, et une combinaison linéaire de deux matrices triangulaires supérieures l'est encore (le coefficient \((i, j)\) avec \(i > j\) reste nul). L'ensemble \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid {}^t A = A\}\) des matrices symétriques est un sous-espace : \({}^t 0 = 0\) ; et \({}^t(\lambda A + \mu B) = \lambda \, {}^t A + \mu \, {}^t B = \lambda A + \mu B\) pour \(A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) (linéarité de la transposition, Matrices). Exemple — Sous-espaces définis ponctuellement dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) et \(\mathcal{F}(\mathbb{R}\virgule \mathbb{R})\)
Dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\), l'ensemble des suites bornées \(\{u = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \mid \exists M \in \mathbb{R}_+, \forall n \in \mathbb{N}, |u_n| \le M\}\) est un sous-espace : la suite nulle est bornée par \(M = 0\) ; si \(u\) est bornée par \(M\) et \(v\) par \(M'\), alors \(|\lambda u_n + \mu v_n| \le |\lambda| M + |\mu| M'\) pour tout \(n\), donc \(\lambda u + \mu v\) est bornée. Dans \(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), l'ensemble \(\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(0) = 0\}\) des fonctions s'annulant en \(0\) est un sous-espace : \(0(0) = 0\) ; et si \(f(0) = g(0) = 0\), alors \((\lambda f + \mu g)(0) = \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0\). Idem pour l'ensemble des fonctions paires, et pour l'ensemble des fonctions impaires : chaque étape de stabilité est une vérification ponctuelle. Exemple — Analyse : \(\mathcal{C}(I\virgule \mathbb{R})\) et \(\mathcal{D}(I\virgule \mathbb{R})\) (stabilité admise depuis le lycée)
Pour un intervalle non vide \(I \subset \mathbb{R}\) (quel qu'il soit — segment \([a, b]\), intervalle ouvert \(\mathopen{]}a, b\mathclose{[}\), \(\mathbb{R}\) tout entier, …), l'ensemble \(\mathcal{C}(I, \mathbb{R})\) des fonctions continues sur \(I\) est un sous-espace de \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\). Pour un intervalle ouvert \(I\) (de sorte que « dérivable sur \(I\) » ait son sens lycée sans ambiguïté aux bornes), l'ensemble \(\mathcal{D}(I, \mathbb{R})\) des fonctions dérivables sur \(I\) est un sous-espace de \(\mathcal{F}(I, \mathbb{R})\) (et est contenu dans \(\mathcal{C}(I, \mathbb{R})\)). La fonction nulle est continue et dérivable ; et les règles de stabilité « somme et multiple scalaire de fonctions continues (resp. dérivables) sont continues (resp. dérivables) », ainsi que « dérivable implique continue », sont rappelées du lycée (Terminale spécialité mathématiques) — on les admet ici et on les redémontre formellement dans Limites et continuité et Dérivation. Le raccourci des sous-espaces s'applique directement. Proposition — Intersection de sous-espaces
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. L'intersection de deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) est un sous-espace de \(E\) ; plus généralement, pour \(r \in \mathbb{N}^*\), l'intersection \(F_1 \cap \dots \cap F_r\) d'une famille finie de sous-espaces de \(E\) est un sous-espace de \(E\).
Cas de deux sous-espaces : \(0_E \in F\) et \(0_E \in G\), donc \(0_E \in F \cap G\). Pour \(u, v \in F \cap G\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) : comme \(F\) est un sous-espace, \(\lambda u + \mu v \in F\) ; de même \(\lambda u + \mu v \in G\) ; donc \(\lambda u + \mu v \in F \cap G\). Cas d'une famille finie : \(0_E \in F_i\) pour tout \(i\), donc \(0_E \in \bigcap_{i=1}^r F_i\) ; pour \(u, v \in \bigcap_{i=1}^r F_i\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), la combinaison \(\lambda u + \mu v\) appartient à chaque \(F_i\) (chacun est un sous-espace), donc à \(\bigcap_{i=1}^r F_i\).
Réunion de sous-espaces
Une réunion de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace. Dans \(\mathbb{R}^2\), les deux axes \(\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\) et \(\{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}\) sont des sous-espaces, mais leur réunion contient \((1, 0)\) et \((0, 1)\) mais pas leur somme \((1, 1)\), donc la réunion n'est pas stable par addition.
Méthode — Tester si une partie est un sous-espace
Pour tester si \(F \subset E\) est un sous-espace, on effectue deux vérifications dans l'ordre : (1) a-t-on \(0_E \in F\) ? (rejet rapide sinon). (2) On prend deux vecteurs arbitraires \(u, v \in F\) et deux scalaires arbitraires \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\), et on vérifie que \(\lambda u + \mu v \in F\) (critère à deux scalaires ci-dessus). Si les deux étapes sont vérifiées, on conclut « \(F\) est un sous-espace ». Si l'étape (2) échoue, on exhibe un contre-exemple explicite (vecteurs numériques explicites lorsqu'on travaille dans \(\mathbb{R}^n\) ou \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) ; polynômes, suites ou fonctions explicites lorsqu'on travaille dans \(\mathbb{R}[X]\), \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) ou \(\mathcal{F}(D, \mathbb{R})\)). Une fois \(0_E \in F\) vérifié, une forme asymétrique équivalente est « vérifier \(\lambda u + v \in F\) pour \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(u, v \in F\) arbitraires » ; on utilise la forme la plus rapide à écrire. Compétences à pratiquer
- Vérifier la caractérisation pratique des sous-espaces
- Reconnaître des non-sous-espaces
II.2
Sous-espace engendré par une famille finie
À partir d'une famille finie de vecteurs de \(E\), rassembler toutes leurs combinaisons linéaires construit le plus petit sous-espace de \(E\) contenant la famille. Ce sous-espace est appelé le sous-espace engendré par la famille, noté \(\operatorname{Vect}\). Le sous-espace engendré est la façon standard de décrire un sous-espace par une liste finie de vecteurs.
Définition — Sous-espace engendré
Soit \((v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(E\). Le sous-espace engendré par cette famille, noté \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), est l'ensemble de toutes ses combinaisons linéaires : $$\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) = \{\, \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p \mid \lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R}\, \}.$$ Proposition — Le sous-espace engendré est le plus petit sous-espace contenant la famille
Pour toute famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(E\) : - \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) est un sous-espace de \(E\) ;
- il contient chaque \(v_i\) ;
- c'est le plus petit sous-espace de \(E\) contenant \(v_1, \dots, v_p\) : tout sous-espace \(G \subset E\) contenant chaque \(v_i\) contient \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\).
Sous-espace. Le vecteur nul est la combinaison de coefficients tous nuls : \(0_E = 0 v_1 + \dots + 0 v_p\), donc \(0_E \in \operatorname{Vect}\). Une somme de deux combinaisons \(\sum \lambda_i v_i\) et \(\sum \mu_i v_i\) est la combinaison \(\sum (\lambda_i + \mu_i) v_i\), et un multiple scalaire \(\lambda \cdot (\sum \mu_i v_i) = \sum (\lambda \mu_i) v_i\) ; les deux sont des combinaisons de la famille, donc \(\operatorname{Vect}\) est stable. Contient chaque \(v_i\). Le vecteur \(v_i\) est la combinaison de coefficient \(1\) sur \(v_i\) et \(0\) ailleurs. Minimalité. Soit \(G\) un sous-espace de \(E\) contenant chaque \(v_i\). Par définition de sous-espace (et la caractérisation pratique), \(G\) est stable par combinaison linéaire à deux vecteurs ; par récurrence sur l'entier \(k \in \{1, \dots, p\}\), toute somme partielle \(S_k = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_k v_k\) appartient à \(G\). En effet, \(S_1 = \lambda_1 v_1 \in G\) (stabilité par multiplication scalaire de \(v_1 \in G\)) ; en supposant \(S_{k-1} \in G\) et \(\lambda_k v_k \in G\), leur somme \(S_k = S_{k-1} + \lambda_k v_k\) appartient à \(G\) (stabilité par addition). En prenant \(k = p\), on obtient \(S_p \in G\). Donc \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) \subset G\).
Exemple — Droites et plans dans \(\mathbb{R}^3\)
Dans \(\mathbb{R}^3\), le sous-espace engendré \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0))\) est l'axe des \(x\) : \(\{(x, 0, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}\) ; \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) est le plan horizontal \(\{(x, y, 0) \mid x, y \in \mathbb{R}\}\) ; \(\operatorname{Vect}((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = \mathbb{R}^3\) tout entier. Exemple — \(\mathbb{R}_n[X]\) comme sous-espace engendré
Dans \(\mathbb{R}[X]\), \(\operatorname{Vect}(1, X, X^2, \dots, X^n) = \mathbb{R}_n[X]\) : tout polynôme de degré au plus \(n\) s'écrit de manière unique \(P = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot X + \dots + a_n \cdot X^n\), donc appartient au sous-espace engendré ; réciproquement toute telle combinaison a un degré au plus \(n\). C'est la façon naturelle de décrire \(\mathbb{R}_n[X]\) comme sous-espace engendré. Exemple — Une égalité de sous-espaces engendrés non canonique dans \(\mathbb{R}_2[X]\)
\(\operatorname{Vect}\bigl((X - 1)^2, (X - 1)(X + 1), (X + 1)^2\bigr) = \mathbb{R}_2[X]\). En développant chaque polynôme on obtient \((X - 1)^2 = X^2 - 2X + 1\), \((X - 1)(X + 1) = X^2 - 1\), \((X + 1)^2 = X^2 + 2X + 1\). Trois courtes combinaisons font apparaître \(1\), \(X\), \(X^2\) dans le sous-espace engendré : $$\begin{aligned} (X - 1)^2 + (X + 1)^2 - 2 (X - 1)(X + 1) &= 4 && \text{(donc \(1\) en divisant par \(4\))}, \\
(X + 1)^2 - (X - 1)^2 &= 4 X && \text{(donc \(X\) en divisant par \(4\))}, \\
\tfrac{1}{2}\bigl((X - 1)^2 + (X + 1)^2\bigr) - 1 &= X^2 && \text{(demi-somme moins \(1\))}. \end{aligned}$$ Avec \(1, X, X^2\) tous dans le sous-espace engendré, tout élément de \(\mathbb{R}_2[X]\) y est aussi.
Ordre, doublons et substitutions scalaires non nulles
L'ordre des vecteurs et la présence de doublons dans la famille ne changent pas le sous-espace engendré. Remplacer un des vecteurs listés par un multiple scalaire non nul de lui-même ne change pas non plus le sous-espace engendré : \(\operatorname{Vect}(v_1, \dots, \alpha v_i, \dots, v_p) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) pour \(\alpha \in \mathbb{R}^*\) (les combinaisons avec \(\alpha v_i\) se réécrivent comme combinaisons avec \(v_i\) en absorbant \(\alpha\) dans le coefficient).
Méthode — Décider l'appartenance à un sous-espace engendré
Pour tester \(w \in \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) — dans les espaces de référence \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}[X]\) — on lit l'équation \(\sum \lambda_i v_i = w\) comme un système linéaire d'inconnues les \(\lambda_i\) (même technique coordonnée-/coefficient-/coefficient-par-... que pour le test de combinaison linéaire du Combinaisons linéaires) et on résout par Gauss ; \(w\) appartient au sous-espace engendré si et seulement si ce système admet au moins une solution. Compétences à pratiquer
- Calculer un sous-espace engendré
- Décider l'appartenance à un sous-espace engendré
III
Familles libres, génératrices, bases
III.1
Familles libres et génératrices
Deux propriétés extrêmes d'une famille finie de vecteurs structurent la suite du chapitre. Une famille génératrice atteint tout vecteur d'un sous-espace par combinaison linéaire, donc décrit tout le sous-espace par une courte liste. Une famille libre, au contraire, ne porte aucune redondance : la seule combinaison qui donne \(0_E\) est la combinaison triviale. Les bonnes familles combinent les deux — ce sont les bases de la sous-section suivante.
Définition — Famille génératrice
Soit \(F\) un sous-espace d'un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\). Une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(E\) est génératrice de \(F\) (on dit qu'elle engendre \(F\)) lorsque \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\), c'est-à-dire : tout \(w \in F\) est une combinaison linéaire de \(v_1, \dots, v_p\). L'égalité \(F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) entraîne en particulier que chaque \(v_i \in F\) (puisque \(v_i \in \operatorname{Vect}\)). Exemple — Engendrer \(\mathbb{R}^3\)
La famille \((e_1, e_2, e_3)\) avec \(e_1 = (1, 0, 0)\), \(e_2 = (0, 1, 0)\), \(e_3 = (0, 0, 1)\) engendre \(\mathbb{R}^3\) : tout \((x, y, z) = x e_1 + y e_2 + z e_3\). Exemple — Engendrer \(\mathbb{R}^2\) par un couple non canonique
Le couple \(((1, 1), (1, -1))\) engendre \(\mathbb{R}^2\). Pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), résoudre \(\lambda(1, 1) + \mu(1, -1) = (a, b)\) donne \(\lambda + \mu = a\) et \(\lambda - \mu = b\), donc \(\lambda = \tfrac{a + b}{2}\) et \(\mu = \tfrac{a - b}{2}\) : une unique solution à chaque fois. Exemple — Engendrer \(\mathbb{R}_n[X]\)
La famille \((1, X, X^2, \dots, X^n)\) engendre \(\mathbb{R}_n[X]\) : tout \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) s'écrit \(P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\), c'est-à-dire la combinaison de coefficients \((a_0, a_1, \dots, a_n)\). Définition — Familles libres et liées
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Une famille finie \((v_1, \dots, v_p)\) de vecteurs de \(E\) est libre (ou linéairement indépendante) lorsque la seule combinaison de la famille égale à \(0_E\) est la combinaison triviale : $$\forall (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p, \quad \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p = 0_E \ \Longrightarrow\ \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0.$$ Une famille qui n'est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendante) : une combinaison non triviale est égale à \(0_E\). Exemple
Dans \(\mathbb{R}^2\), le couple \(((1, 0), (0, 1))\) est libre : \(\lambda(1, 0) + \mu(0, 1) = (\lambda, \mu) = (0, 0)\) impose \(\lambda = \mu = 0\). Le couple \(((1, 2), (2, 4))\) est lié : \(2 (1, 2) - (2, 4) = (0, 0)\) est une combinaison non triviale donnant \(0\) (le second vecteur est le double du premier). Exemple — Libre vs génératrice : les deux propriétés sont indépendantes
- Libre mais pas génératrice. La famille singleton \(((1, 0))\) dans \(\mathbb{R}^2\) est libre, mais elle engendre uniquement l'axe des \(x\), pas tout \(\mathbb{R}^2\).
- Génératrice mais pas libre. Réciproquement, la famille \(((1, 0), (0, 1), (1, 1))\) engendre \(\mathbb{R}^2\) (déjà \(((1, 0), (0, 1))\) le fait), et la combinaison non triviale \((1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = (0, 0)\) montre qu'elle est liée.
Proposition — Famille à un vecteur
Une famille \((u)\) réduite à un seul vecteur de \(E\) est libre si et seulement si \(u \ne 0_E\). - Cas \(u \ne 0_E\). Alors \(\lambda u = 0_E\) impose \(\lambda = 0\) par la règle du produit nul (Proposition du Définition et exemples fondamentaux), donc \((u)\) est libre.
- Cas \(u = 0_E\). Alors \(1 \cdot u = 0_E\) est une combinaison non triviale égale à \(0_E\) (le coefficient \(1 \ne 0\)), donc \((u)\) est liée.
Exemple
Dans \(\mathbb{R}^3\), la famille \(((1, 0, 2))\) est libre ; la famille \(((0, 0, 0))\) est liée. Définition — Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs \(u, v\) de \(E\) sont colinéaires lorsque l'un des deux est un multiple scalaire de l'autre : $$\exists \lambda \in \mathbb{R}, \ u = \lambda v \qquad \text{ou} \qquad \exists \mu \in \mathbb{R}, \ v = \mu u.$$
Piège avec le vecteur nul
La formulation symétrique « l'un est un multiple scalaire de l'autre » est obligatoire à cause du vecteur nul. Si \(v = 0_E\) et \(u \ne 0_E\), alors \(u\) n'est pas un multiple scalaire de \(v\) (aucun scalaire ne transforme \(0\) en un vecteur non nul), pourtant le couple est colinéaire via la seconde clause : \(v = 0 \cdot u\). Ne jamais réduire la définition à un seul sens.
Proposition — Famille à deux vecteurs
Une famille de deux vecteurs \((u, v)\) de \(E\) est liée si et seulement si \(u\) et \(v\) sont colinéaires. - Sens direct. Supposons \((u, v)\) liée. Il existe \(\lambda, \mu\) non tous nuls avec \(\lambda u + \mu v = 0_E\). Si \(\mu \ne 0\), alors \(v = -\frac{\lambda}{\mu} u\), donc \(v\) est un multiple de \(u\). Si au contraire \(\mu = 0\), alors \(\lambda \ne 0\) et \(\lambda u = 0_E\), ce qui par la règle du produit nul impose \(u = 0_E\) ; alors \(u = 0 \cdot v\), donc \(u\) est un multiple de \(v\). Dans les deux cas, \(u\) et \(v\) sont colinéaires.
- Sens réciproque. Si \(u = \lambda v\), alors \(u - \lambda v = 0_E\) est une combinaison non triviale (le coefficient de \(u\) vaut \(1 \ne 0\)), donc la famille est liée. De façon symétrique, si \(v = \mu u\), alors \(v - \mu u = 0_E\) est une combinaison non triviale (le coefficient de \(v\) vaut \(1 \ne 0\)), et la famille est encore liée.
Exemple
Dans \(\mathbb{R}^3\), le couple \(((1, 0, 0), (2, 0, 0))\) est lié (colinéaires, le second est le double du premier) ; le couple \(((1, 0, 0), (0, 1, 0))\) est libre ; le couple \(((0, 0, 0), (1, 2, 3))\) est lié (le premier est \(0_E\)). Proposition — Caractérisation générale d'une famille liée
Soient \(p \ge 2\) et \((v_1, \dots, v_p)\) une famille finie de vecteurs de \(E\). La famille est liée si et seulement si au moins un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres : $$(v_1, \dots, v_p) \text{ liée} \ \Longleftrightarrow \ \exists i_0 \in \{1, \dots, p\}, \ v_{i_0} \in \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{i_0 - 1}, v_{i_0 + 1}, \dots, v_p).$$ - Sens direct. Si la famille est liée, il existe \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) non tous nuls avec \(\sum_{i=1}^p \lambda_i v_i = 0_E\). On choisit un indice \(i_0\) tel que \(\lambda_{i_0} \ne 0\) ; on isole : $$v_{i_0} = -\frac{1}{\lambda_{i_0}} \sum_{i \ne i_0} \lambda_i v_i,$$ une combinaison linéaire des autres.
- Sens réciproque. Si \(v_{i_0} = \sum_{i \ne i_0} \mu_i v_i\), alors $$\mu_1 v_1 + \dots + \mu_{i_0 - 1} v_{i_0 - 1} + (-1) v_{i_0} + \mu_{i_0 + 1} v_{i_0 + 1} + \dots + \mu_p v_p = 0_E,$$ combinaison de coefficient \(-1 \ne 0\) sur \(v_{i_0}\) — donc non triviale. La famille est liée.
Toute famille contenant \(0_E\) est liée
Si l'un des vecteurs \(v_{i_0}\) d'une famille vaut \(0_E\), alors la combinaison de coefficient \(1\) sur \(v_{i_0}\) et \(0\) ailleurs donne \(0_E\) — combinaison non triviale, donc la famille est liée. De même, toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée : \(1 \cdot v_i + (-1) \cdot v_j = 0_E\) lorsque \(v_i = v_j\).
Méthode — Tester si une famille est libre
Pour tester si une famille \((v_1, \dots, v_p)\) est libre, on écrit l'équation homogène \(\sum_{i=1}^p \lambda_i v_i = 0_E\) d'inconnues les \(\lambda_i\) et on la lit concrètement : - coordonnée par coordonnée dans \(\mathbb{R}^n\) : une équation par coordonnée, \(n\) équations à \(p\) inconnues ;
- coefficient par coefficient dans \(\mathcal{M}_{r,s}(\mathbb{R})\) : une équation par coefficient, \(rs\) équations à \(p\) inconnues ;
- coefficient par coefficient sur chaque puissance de \(X\) dans \(\mathbb{R}[X]\) : une équation par puissance, jusqu'au plus grand degré apparaissant dans la famille.
Méthode — Tester si une famille est génératrice
Pour tester si une famille \((v_1, \dots, v_p)\) engendre un espace cible donné (ou, plus généralement, un sous-espace \(F\) donné), on écrit l'équation \(\sum_{i=1}^p \lambda_i v_i = w\) pour une cible symbolique \(w\) (dont les coordonnées sont écrites en lettres \(a, b, c, \dots\) plutôt qu'en nombres). On lit coordonnée-/coefficient-par-coefficient comme dans la méthode de test de liberté : - la famille est génératrice de l'espace de référence tout entier si et seulement si le système est résoluble en \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) pour tout choix de lettres \(a, b, c, \dots\) (aucune condition de compatibilité) ;
- la famille est génératrice d'un sous-espace strict \(F\) si et seulement si le système est résoluble exactement quand les lettres vérifient les équations linéaires définissant \(F\) (c'est-à-dire que les conditions de compatibilité du système coïncident avec les équations de \(F\)).
Exemple — Tester génératrice pour \(\mathbb{R}^2\)
La famille \(((1, 1), (1, -1))\) engendre-t-elle \(\mathbb{R}^2\) ? On prend une cible symbolique \(w = (a, b)\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\) et on résout \(\lambda(1, 1) + \mu(1, -1) = (a, b)\). Le système \(\lambda + \mu = a\), \(\lambda - \mu = b\) donne \(\lambda = (a + b)/2\), \(\mu = (a - b)/2\) — résoluble pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), donc la famille est génératrice. Compétences à pratiquer
- Tester si une famille est libre
- Tester si une famille est génératrice
III.2
Bases et coordonnées
Une famille à la fois libre et génératrice d'un sous-espace est appelée base de ce sous-espace. Sa première vertu est l'unicité : dans une base, tout vecteur possède une et une seule liste de scalaires coordonnées, que l'on rassemble dans une matrice colonne.
Définition — Base
Dans ce chapitre, une base d'un sous-espace non nul \(F \subset E\) (donc \(F \ne \{0_E\}\)) est une famille finie de vecteurs de \(F\) à la fois libre et génératrice de \(F\). Le sous-espace trivial \(\{0_E\}\) est reconnu comme un sous-espace mais ne reçoit pas de base à ce stade — tout énoncé de base dans ce chapitre suppose implicitement \(F \ne \{0_E\}\). Le cas de la famille vide est traité plus tard, dans le chapitre sur la dimension. Exemple — Deux bases simples
Le couple canonique \(\mathcal{B}_0 = ((1, 0), (0, 1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) : il est libre (déjà observé) et générateur (Exemple ci-dessus). Dans \(\mathbb{R}_1[X]\), le couple \((1, X)\) est une base : il est libre (une combinaison \(\lambda \cdot 1 + \mu \cdot X = 0\) dans \(\mathbb{R}_1[X]\) impose \(\lambda = \mu = 0\) puisqu'un polynôme de degré \(\le 1\) est nul ssi tous ses coefficients le sont — rappelé de Polynômes) et générateur (tout \(P \in \mathbb{R}_1[X]\) s'écrit \(P = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot X\)). Proposition — Existence et unicité des coordonnées dans une base
Soit \((v_1, \dots, v_p)\) une base d'un sous-espace non nul \(F\). Alors tout vecteur \(w \in F\) s'écrit d'une unique façon comme combinaison linéaire \(w = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p\) avec \(\lambda_1, \dots, \lambda_p \in \mathbb{R}\). - Existence. Vient du caractère générateur de la famille : tout \(w \in F = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)\) s'écrit comme une telle combinaison.
- Unicité. Supposons \(w = \sum \lambda_i v_i = \sum \mu_i v_i\). En soustrayant on obtient $$\sum_{i=1}^p (\lambda_i - \mu_i) v_i = 0_E ;$$ comme la famille est libre, chaque coefficient \(\lambda_i - \mu_i = 0\), donc \(\lambda_i = \mu_i\) pour tout \(i\).
Définition — Coordonnées et matrice colonne des coordonnées
Avec les notations ci-dessus, les uniques scalaires \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) sont les coordonnées de \(w\) dans la base \(\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_p)\). La matrice colonne des coordonnées de \(w\) dans \(\mathcal{B}\) est la matrice colonne $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w) = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\
\vdots \\
\lambda_p \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R}).$$ Exemple — Une base non canonique de \(\mathbb{R}^2\)
Le couple \(\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) : génératrice (démontré au Familles libres et génératrices) et libre (l'équation \(\lambda(1, 1) + \mu(1, -1) = (0, 0)\) donne le système \(\lambda + \mu = 0\) et \(\lambda - \mu = 0\), d'où \(\lambda = \mu = 0\)). Les coordonnées de \(w = (5, 1)\) dans \(\mathcal{B}\) valent \((3, 2)\) (calculées au Combinaisons linéaires), donc sa matrice colonne des coordonnées vaut $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w) = \begin{pmatrix} 3 \\
2 \end{pmatrix}.$$ Méthode — Trouver des coordonnées dans une base connue
Étant donné une base \(\mathcal{B} = (v_1, \dots, v_p)\) d'un sous-espace non nul \(F\) et un vecteur \(w \in F\), on résout le système linéaire \(\sum \lambda_i v_i = w\) d'inconnues les \(\lambda_i\) par Gauss. Comme la famille est une base de \(F\) et \(w \in F\), le système admet une et une seule solution ; ses valeurs sont les coordonnées de \(w\) dans \(\mathcal{B}\), que l'on empile dans \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w)\). Test d'appartenance associé. Pour un candidat \(w \in E\) dont l'appartenance à \(F\) n'est pas connue, le même système \(\sum \lambda_i v_i = w\) sert aussi de test d'appartenance : il admet une solution si et seulement si \(w \in F\) ; lorsqu'il en admet une, l'unique solution fournit les coordonnées. Compétences à pratiquer
- Trouver des coordonnées dans une base
III.3
Les trois bases canoniques fondamentales
Trois exemples récurrents réapparaîtront dans tous les chapitres d'algèbre linéaire suivants et méritent un nom : les bases canoniques de \(\mathbb{R}^n\), de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et de \(\mathbb{R}_n[X]\). Chacune est notée une fois avec sa matrice colonne des coordonnées.
Définition — Base canonique de \(\mathbb{R}^n\)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) est la famille \(\mathcal{B}_{\text{can}} = (e_1, \dots, e_n)\) où \(e_i = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)\) a le \(1\) en position \(i\) et \(0\) partout ailleurs : $$e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1).$$ Proposition — C'est une base de \(\mathbb{R}^n\)
La famille \((e_1, \dots, e_n)\) est une base de \(\mathbb{R}^n\). - Génératrice. Pour tout \((x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n\), \((x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n\), combinaison lue coordonnée par coordonnée.
- Libre. En posant cette combinaison égale à \((0, \dots, 0)\), on impose \(x_1 = \dots = x_n = 0\) sur chaque coordonnée, donc tous les coefficients sont nuls.
Exemple
Dans la base canonique \(\mathcal{B}_{\text{can}}\) de \(\mathbb{R}^n\), les coordonnées d'un vecteur \((x_1, \dots, x_n)\) sont simplement ses propres composantes, donc sa matrice colonne des coordonnées est $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}_{\text{can}}}\bigl((x_1, \dots, x_n)\bigr) = \begin{pmatrix} x_1 \\
\vdots \\
x_n \end{pmatrix}.$$ Définition — Base canonique de \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), la base canonique de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) est la famille \((E_1, \dots, E_n)\) où \(E_i\) est la matrice colonne avec un \(1\) sur la ligne \(i\) et \(0\) partout ailleurs : $$E_1 = \begin{pmatrix} 1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \end{pmatrix}, \qquad E_2 = \begin{pmatrix} 0 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \end{pmatrix}, \qquad \dots, \qquad E_n = \begin{pmatrix} 0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \end{pmatrix}.$$ Proposition — C'est une base de \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
La famille \((E_1, \dots, E_n)\) est une base de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). - Génératrice. Toute matrice colonne \(X = \begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix} = x_1 E_1 + \dots + x_n E_n\).
- Libre. La même équation de second membre \(0\) impose \(x_1 = \dots = x_n = 0\) ligne par ligne.
Exemple
Dans la base canonique \((E_1, \dots, E_n)\), la matrice colonne des coordonnées d'une matrice colonne \(X = \begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\) est \(X\) elle-même — ses coefficients sont déjà ses coordonnées.
\(\mathbb{R}^n\) vs \(\mathcal{M}_{n\virgule 1}(\mathbb{R})\)
La base canonique de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et celle de \(\mathbb{R}^n\) se correspondent position par position : c'est la distinction matrice colonne vs \(n\)-uplet ligne. C'est ce qui justifie l'« identification » de \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) utilisée ailleurs dans le cours — ici, nous les gardons notationnellement distincts (restriction du programme).
Extension à \(\mathcal{M}_{n\virgule p}(\mathbb{R})\)
La construction s'étend sans difficulté à l'espace des matrices général : pour \(n, p \in \mathbb{N}^*\), la famille des matrices élémentaires \(E_{1,1}, E_{1,2}, \dots, E_{1,p}, E_{2,1}, \dots, E_{n,p}\) (listées dans l'ordre lexicographique sur \((i, j)\), soit \(np\) vecteurs en tout), où \(E_{i,j}\) est la matrice possédant un \(1\) en position \((i, j)\) et \(0\) partout ailleurs, est une base de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) (Matrices). Le programme ne demande explicitement que les trois bases énoncées dans cette section ; le cas matriciel général est mentionné ici comme extension naturelle utile.
Définition — Base canonique de \(\mathbb{R}_n[X]\)
Pour \(n \in \mathbb{N}\), la base canonique de \(\mathbb{R}_n[X]\) est la famille \((1, X, X^2, \dots, X^n)\), de cardinal \(n + 1\). Proposition — C'est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\)
Pour \(n \in \mathbb{N}\), la famille \((1, X, X^2, \dots, X^n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\). - Génératrice. Tout \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) s'écrit \(P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\) pour des uniques réels \(a_0, \dots, a_n\) (propriété d'unicité des coefficients de Polynômes), donc la famille engendre \(\mathbb{R}_n[X]\).
- Libre. La même identité avec \(P = 0\) impose tous les \(a_i = 0\) par la propriété d'unicité des coefficients de Polynômes (« polynôme nul \(\Leftrightarrow\) tous les coefficients sont nuls »).
Exemple
La matrice colonne des coordonnées de \(P = 2 X^3 + X - 1\) dans la base canonique \(\mathcal{B} = (1, X, X^2, X^3)\) de \(\mathbb{R}_3[X]\) vaut $$\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(P) = \begin{pmatrix} -1 \\
1 \\
0 \\
2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4, 1}(\mathbb{R})$$ — quatre coordonnées par ordre de degré croissant. Méthode — Écrire une matrice colonne des coordonnées dans une base canonique
- Dans \(\mathbb{R}^n\). Les coordonnées de \((x_1, \dots, x_n)\) dans \((e_1, \dots, e_n)\) sont ses propres composantes — on les empile en colonne.
- Dans \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). Les coordonnées de \(X = \begin{psmallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{psmallmatrix}\) dans \((E_1, \dots, E_n)\) sont ses entrées de ligne \(x_1, \dots, x_n\) — la matrice colonne des coordonnées est \(X\) elle-même.
- Dans \(\mathbb{R}_n[X]\). Les coordonnées de \(P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\) dans \((1, X, \dots, X^n)\) sont ses coefficients par ordre de degré croissant — on complète par \(0\) jusqu'à la position \(n\) lorsque le degré effectif est plus petit.
Pour aller plus loin
Ce chapitre fixe le vocabulaire ; les théorèmes phares viendront plus tard dans l'année, dans le chapitre Espaces vectoriels de dimension finie. Là, deux bases d'un même sous-espace seront montrées avoir le même nombre de vecteurs — ce nombre est la dimension du sous-espace — et la notion associée de rang d'une famille se lira sur la même élimination par lignes que le rang d'une matrice. Le chapitre suivant — Applications linéaires — transportera alors toutes les notions construites ici sur les applications entre espaces vectoriels, et la matrice colonne des coordonnées \(\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(w)\) deviendra l'élément de base de la matrice d'une application linéaire. Le sous-espace trivial \(\{0_E\}\) recevra à ce moment une base (la famille vide) et une dimension (\(0\)).
Compétences à pratiquer
- Écrire les coordonnées dans la base canonique
IV
Pour aller plus loin
Compétences à pratiquer
- Pour aller plus loin
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